книги / Проблемы нелинейного деформирования. Метод продолжения решения по параметру в нелинейных задачах механики твердого деформируемого тела

Пусть Щ нормирована, т.е.
/ Щ Щ 4Во -1 .
л0
Тогда, учитывая			представление (5.1.18)			и выражения (5.1.17), получаем
для коэффициентов (31р соотношение
*(0	„2					(5.1.19)
2	Ар
р=1
Решение	задачи		(5.1.8) для		функции	= ЭИУЭХ будем искать в виде
	к0)					(5.1.20)
IV*- 2 . 2 аурЙ^р.
Подставим		это	разложение		в уравнение	(5.1.8) и проортогоналиэируем
результат к		функциям			(/ = 1,2,...; 5	= 1,2,...,*(/)). В итоге, учитывая
соотношения (5.1.5)				и (5.1.17), получим систему уравнений для определе­
ния ац;
(П7 -	а,) аф =		2°	0<'> /	/..„(И', ; X) И'„ „ + 6,р>,$п
			Р=»	"о		(5.121)
		х= 1,2		*(0-

Если ( = /, то эта система разрешима только при условии, что ее правые части равны нулю,т.е.

*2	в <0 / Ь' М р : X) “'.г	+ « Л (0 = 0. 5 = 1,2,..., *(/).	(5.122)
р -1	Рр

Для неизвестных 0 ^ эта однородная задача представляет собой алгебраи­ ческую задачу на собственные значения, имеющую к(м) собственных зна­

чений ыф (д = 1,..., к(Г) ), которым соответствуют Л(/)					собственных Лг(х)-
мерных векторов &ф =			0$ (1)] т	Каждый из этих векторов в соот­
ветствии с представлением (5.1.20) определяет собственную функцию
в подпространстве
	2 ° 0чр Й/.р.................,*(/).				(5.123)
	р=1
Векторы	ортогональны		как собственные векторы. Если они. кроме
того, нормированы (5.1.19),			то и базис, составленный из функций Н ^\
4 = 1 ,..., к(г) , также ортонормирован.
Назовем базис У/у, ц -		1,..., Л(/), подпространства			главным бази­
сом продолжения. Тогда		решение		задачи (5.1.8), соответствующее
собственному значению ыФ и собственному вектору					представляется
в виде
ыФ - 2 *2 а<'.>			,...,Л0).		(5.1.24)
4	/ *=1

Для коэффициентов ОЕ^'Д из соотношения (5.1.21) при / формулу

1	*(«)	№ I	Ь,1Х Щ р \\Щ я <П>й,
	2
Я/ —Я/ р=1
/./=1,2,...;	<7=1,...,	Щ \	,...,*(/).	(5.1.25)

Точно так же, как и ранее, из условий нормировки, аналогичных условиям (5.1.15), (5.1.16) .легко установить, что при / = / имеет место

« $ = 0.

(5.1.26)

Обратим внимание, что если в качестве исходных базисов №,р в подпрост­ ранствах IV'*' выбраны главные базисы продолжения то компонен­

ты (ЗД собственных векторов систем уравнений (5.1.22) принимают про­ стейший вид

0

$ =

р.с7 = 1,2,.., *(/).

(5.1.27)

Соотношения (5.1.22) и (5.1.25) в этом случае также упрощаются и при­ нимают вид

<4° = - ;		(5.1.28)
=	^лСК!0!*) И '» .® ,.	(5.1.29)

Таким образом, если перенумеровать собственные значения, расположив их в порядке неубывания с учетом кратности, Я! < Я 2 < Я 3 <... и сопо­ ставить им в качестве собственных функций соответствующие элементы главных базисов продолжения подпространств V / , которые пронуме­ рованы последовательно = Й^1*, Щ = Й^1*,—. то формулы (5.1.24), (5.1.28), (5.1.29) представляются в виде

щ = 2а,/И//,				(5.1.30)
, = -	/	1,х(И/,; X) IV,<Ю0,		(5.1.31)
	0	при Я/ = Я,,
V=	•— 1		/ 2 >Х(И/,;X) ЩООо	(5Л’32)
	Я/ —Я,		о 0

Эти выражения совпадают с соответствующими формулами (5.1.11) — (5.1.14), (5.1.16) для случая некратных собственных значений. Такое совпадение позволяет при переходе к главному базису продолжения решать задачу (5.1.8) по единому алгоритму как для некратных, так и для крат­ ных собственных значений.

5.2.Собственные колебания параллелогряммнай

вплане мембраны

Вкачестве первого примера исследуем задачу о собственных колеба­ ниях мембраны, имеющей в плане форму параллелограмма. Простота уравнений и наличие известных решений [344, 450. 395, 3%, 510] делает эту задачу удобной для демонстрации изложенного в § 5.1 метода.

Рассмотрим мембрану,форма и размеры которой показаны на рис. 5.1,а. Степень ее отклонения от прямоугольной мембраны характеризуется

О	I	ь
	а х О	а	{
	а)	б)

углом а. Как известно (см. например, [330]), после разделения времен­ ной и пространственных координат задача о собственных колебаниях мембран сводится к следующей задаче на собственные значения для ампли­ тудной функции прогиба

V2 IV + ШУ= 0, 1^(Г) = 0.

(5.2.1)

Здесь V2 = д2/Ъх2 + д2/Ъу2 - оператор Лапласа, Г - граничный контур мембраны. Частота собственных колебаний мембраны и связана с величи­ ной собственного значения Л задачи (5.2.1) следующим соотношением:

0, = и2 рк/Т0.

(5.2.2)

Здесь р, к и Т0 —массовая плотность, толщина и натяжение мембраны. Определяемое углом а множество параллелограммных в плане об­ ластей 2) с границей Г на плоскости х, у отображается на прямоугольную область 2>о с границей Г0 на плоскости 1 , г? (рис. 5.1,6) с помощью сле­

дующего преобразования:

Ч=х,т]=у - к к , \ = 1&а.

(5.2.3)

В дальнейшем параметр X примем в качестве параметра, характеризующего отклонение параллелограммной. мембраны от канонической прямоуголь­ ной. С помощью преобразования (5.2.3) задача (5.2.1) на плоскости $, т? сводится к виду

1(В^;Х) + ГСВ^О, ИГо) = 0.

(5.2.4)

/ а 2	э 2	Э2 \
2,(...,Х) = (— г	- 2 Х — — +(1 +х* ) т Т Д - ) -

\ а * 2

э*эт?

а п 2 /

Пусть для некоторого значения X известны все собственные значения Птп и ортонормированные собственные функции Ытп> составляющие глав­ ный базис продолжения. Двойная индексация здесь введена для удобства, поскольку в дальнейшем решение будет построено в двойных тригоно­ метрических рядах. Таким образом, Птп и Ытп удовлетворяют задаче

	1(Й'1И„ Д )+ П т п ^ т п = 0 ,
	И'п.л(Го) ’=0;	т , л	= 1,2,...		(5.2.5)
	Дифференциальные		уравнения продолжения		(5.1.7) представляются в
	форме
	дУтп	<Жтг		, т ,п = 1, 2,...	(5.2.6)
	ЭХ	' (ГК

В качестве начальных условий для этих уравнений используем известную

илегко получаемую систему собственных функций и собственных значе­ ний для прямоугольной мембраны, что соответствует значению параметра X = 0. Подробно они будут получены ниже. Задачу для определения стоя­ щих в правых частях уравнений продолжения функций н'шп(|, т?; X) и

шмл(\) построим, продифференцировав по X уравнения и граничные условия задачи (5.2.5). В результате получим

1(*тп;Х) + Птпм>тп = - 1 , х(НГтп;Х)-о>тпЮтп,

н’Л1Л(Г0) = 0, т, и = 1,2,...						2
Х)= —			и ..., X) = ( - 2 —		♦ 2 X	^ г ) (■•■) •	(5-2-7>
^	}	ЭХ	' \	Э$Эт?		Эт? 1
Учитывая,	что	функции		составляют		главный базис	продолжения,

решения неоднородной краевой задачи (5.2.7) ищем в соответствии с

соотношениями (5.1.30) —(5.1.32),				которые при использованной здесь
двойной индексации принимают вид
™тп = 2 а т ш /%						(5.2.8)
■А П '; - П тп			'.\(Мтп;X) Щ(Ю0		при п {/ Ф п т
		I , 1 *				’ (5.2.9)
( о	при щ	= а тп,
ь>тп =- 1	Ь.хОУтп. *) Ыт п(Юо, т, п, 1 , 1 = 1,2...					(5.2.10)
Собственные	функции	У/тп	главного базиса		продолжения	представим
в виде двойного тригонометрического ряда
Ытп =	ГтпЦ 8Ш ^		51П	,		(5.2.11)

Такое представление обеспечивает выполнение граничных условий задачи (5.2.5) и, в силу разложения (5.2 8), граничных условий задачи (5.2.7).

С учетом разложений (5.2.11), (5.2.8) и выражения (5.2.10) уравнения продолжения (5.2.6) представляются в виде

^/т п р ч Ъат пц?цря,

			(5.2.12)
аК	^ т п т п •
(0	при П т п= Щ ,		(5.2.13)
Я ц - П тп		^
Здесь введено обозначение
ЬтпЦ= I	1 .х(Рп,п’Л)Щ<Юо-		(5.2.14)
Подставим в	это выражение разложение		(5.2.11). В результате получим
ЬтпЦ / /	2 /тара'	2
		г-г ( - 2 Р^ СОХ Р%СО$ ()Т) -
0 0	рч	\йО

2

- 2Л(Я 5Ш />^51П 07}) • Б /цк, -7 = 51П К% $Ш				1},	(5.2.15)
		к/	\/аЬ
рл	кп	ап	1п
р = - , к = — , а = —ч ,ь = - г
а	а	Ь	о

Интегралы, входящие в выражения для ЬтП1/, могут быть легко вычислены в квадратурах и имеют вид

о	рп%		кп%	а			(5.2.16)
/ 81П	--------51п		-------- сН- =	—	8 р к ,
о	а		а	2
				2 а		к
				------ :----- т- , если (р + к) нечетно,
				п	Л	- р*
				0, если (р + к) четно.			(5.2.17)
Учитывая эти и аналогичные{интегралы по т? на интервале							[О, Ь], после
несложных выкладок получаем
^Я1яГ/ = —			^	/ т п р ч Л / р ч + р ^ к1 ? т п р ч ? У к1			Л
			рак1				(5.2.18)
		{
	16		„-----::— :------г- . если (р + к) и {д + 0 нечетны.
		^ (к7 —р2 )(12			- Я2)
Ч>РЧк1 -		1о, если (р +Л)или (д + I) четно.					(5 2.19)
	аЬ

В качестве начальных условий для задачи Коши (5.2.12) используем извест­ ное решение для прямоугольной мембраны (X =0). Для получения лого

решения достаточно подставить разложение (5.2.11) в уравнение (5.2.5). Проделав это, легко получаем

1, если т = р н п = ц,

Гтпрд ~Ь(тп)(рч)	К:
	если т Ф р	пФ д,
		(5.2.20)

Для реализации вычислений по формулам (5.2.12), (5.2.13), (5.2.17), (5.2.18) необходимо, чтобы функции У/тп составляли главный базис продолжения. Если среди собственных значений &тп нет кратных, то сами собственные функции \Утп образуют такой базис. В случае кратных собственных значений для перехода к главному базису продолжения не­ обходимо проделать некоторые дополнительные вычисления, общий вид

которых дан в	§ 5.1. Мы рассмотрим этот случай на примере совпаде­
ния двух собственных значений.
Итак, пусть	:{к1 Ф м) и этим собственным значениям соот­
ветствуют две собственные ортонормированные функции IVк 1 и		обра­
зующие подпространство V{*, каждый элемент которого также является
собственной функцией. Построение главного базиса продолжения		в под­

пространстве IV* в соответствии с выражениями (5.1.22) сводится к сле­ дующей задаче на собственные значения для алгебраических уравнений:

0, I	Ь.ЛЩь X) Мк,<Юо +0г/ Ь М п V МыД>о + ш*01 = 0,
						( 5.2 .21)
01 I	^ . \ 0 Ы	*)	о +02	X) ^ гсШ0 +^*02 =
С учетом обозначения (5.2.14) эта система принимает вид
01-^кШ + 02^гл/ + ы*01 = 0»							(5.2.22)
01 ЬкШ + 02		+ 4О*02 = 0-
Из выражения		(5.2.17) следует, что Ь5{к, = ЬкШ. Поэтому матрица урав­
нений	(5.2.21)	симметрична и, следовательно, система уравнений					(5.2.21)
имеет два действительных собственных значения					и	которым соот­
ветствуют два		собственных ортонормированных			вектора	[01(1),	02(1)] т
и ОЗ/2), /32<2)] т . Решив эту простую задачу, получаем
02|	2 ---- ~ (Ь к 1к1
„<1.2)			г ь кщ _ _	х			(5.2.23)
	{ 4	+ [(1*Ш - Ькш )		2,2
				)
$ , 2 ) =		(Ьк1к1	~ ^к!$г)±^_	^
	{4 Ь \ш + [(ЬкШ ~			2 >2

Л = [(!* /« - ^ « « ) 2

Анализ влияния метода и шага по параметру на ошибку шпегряроваияя уравнений продолжения по параметру (5.2.12) ,а =Ь =1, /тах X / тах = 7 х 7

		0'5	0.7	|	1.5	|	2.0
Метод			1			'
	0.1	20,98	неустойчивость		счета
Эйлера	0,025	21,24	22,8		неустойчивость
Модифициро­	0,01	21,31	22,9		36.73		51.98
	0,025	21,30	22,9		36.79		неустой­
ванный метод							чивость
Эйлера
Метод					36,82
Руиге-Кутга					36,89
Тогда переход в подпространстве IV* от базиса Н>к1,					к главному базису
продолжения Щи \У*Хпроводится в соответствии с соотношениями
Й'*| = Р(|, ) И'*|+Й1Ч		Г. « « = «*,
К = М2)и/„ +		„ = « ;.					(5'224)

После осуществления такого перехода во всех подпространствах, соот­ ветствующих совпадающим собственным значениям, дальнейшие вычи­ сления проводятся по формулам (5.2.12), (5.2.13), (5.2.17), (5.2.18), (5.2.19).

Описанный выше алгоритм был реализован на ЭВМ БЭСМ-6. В рядах (5.2.11) удерживалось конечное число слагаемых, соответствующих из­ менению г от 1 до /тах и / от 1 до /тах . Для интегрирования начальной задачи для системы дифференциальных уравнений (5.2.12) с начальными условиями (5.2.19) были опробованы различные схемы явного типа. В табл. 5.1 даны безразмерные частоты низшего тона для мембраны со сторонами а = 1, Ъ = 1, вычисленные тремя методами с различным шагом ДХ по параметру X. При этом в ряде (5.2.11) удерживалось 49 членов, что соответствовало 1тах х /тах = 7 x 7 . Как видно из таблицы, удовлет­ ворительную точность вплоть до значения X = 2 (о “ 63,5°) обеспечивает метод Рунге-Кутта с шагом ДХ = 0,05. При интегрировании по методам типа Эйлера возникает неустойчивость из-за накопления ошибок. Анализ результатов счета показал, что наиболее существенной причиной неустой­ чивости является нарушение из-за накопления ошибок условий ортонормированности собственных векторов.

В табл.	5.2 даны результаты расчета безразмерных частот первых девяти
тонов при различном числе членов ряда (4.2.11) для X = 1 (а = 45°) н
X = 2 (а “	63,5°). Расчеты проводились для мембраны с а = 6 = 1 методом

Рунге—Кутта с шагом ДХ = 0,025. Из табл. 5.2 видно, что удержание 1тах х /тах = 7 х 7 =49 членов ряда (5.2.11) обеспечивает удовлетвори­ тельную точность по крайней мере для первых четырех тонов.

Т а б л и ц а 5.2 Анализ влияния числа членов ряда (5.2.11) на точность вычисления частот низших тонов мембраны

(а =Ь = 1, метод Рунге-Кутта, ДА.= 0,025)

	«шах А /шах							«X /
		1 X 1	1 X 2	|	1X 3	2X 1	1	2 X 2	| 2 X 3	|	3X 1	|	3X 2	| 3X 3
	з х з	26,82	90,16		193,2	46,54		83,16	248,6		128,1		147,4	280,6
	4 X 4	26,78	88,19		172,7	45,46		74,37	176,3		120,2		108,6	199,2
1,0	5X 5	26,67	87,11		148,5	45,23		74,81	163,5		116,5		101,1	190,1
(45е )	6 X 6	26,64	86.99		144,3	45,09		74,22	161,0		114,9		100,9	186,8
	7X 7	26,62	86,81		144,2	45,03		74,15	159,5		114,7		100,5	186,0
	3X 3	53,02	204,1		463,1	68,08		114,8	572,0		228,5		264,9	562,0
	4 X 4	52,89	148,5		293,0	63,Ов		89,92	255,4		215,2		197,9	456,9
	5X 5	52,72	112,8		213,4	62,28		83,08	263,9		184,9		196,8	301,9
	6 X 6	52,63	105,8		211,3	62,04		82,26	222,6		143,0		196,0	270,0
	7 X 7	52,61	104,2		210,8	62,02		82,06	211,7		125,4		195,8	258,3

п

п/Ь =0,0

300

1,0

2 , 0

Рис. 5.3

а

100

О