книги / Физика и гидравлика нефтяного пласта

фильтрации. При построении модели необходимо исходить из определенного режима течения фаз в пористой среде.

В настоящее время наиболее распространена точка зрения, согласно которой каждая из фаз движется независимо от сосед­ ней (другой) по своим собственным извилистым каналам (шнурковый режим). Противоположная точка зрения исходит из пред­ положения о «сосуществовании» обеих фаз в каждом пористом канале, причем наиболее простой схемой в этом случае является кольцевая схема течения, при которой смачивающая жидкость движется по стенкам пористого канала, а несмачивающая фаза (в частности, газ) перемещается в центре этого канала. Эта схема отвергается большинством исследователей по косвенным соображениям: если бы в пористой среде реализовался такой режим течения, то относительные проницаемости зависели бы от отношения вязкостей. В действительности, однако, большинством экспериментов такое влияние не обнаруживается. Рассмотрим этот вопрос подробнее, представив пористую среду в виде пучка цилиндрических капилляров одного и того же диаметра, внутри которых реализуется кольцевой режим течения. Такая модель течения применительно к фильтрации газированной жидкости была предложена С. Ф. Аверьяновым [61]. Им же была сделана попытка теоретического решения задачи кольцевого течения с использованием известного уравнения для скорости течения вязкой жидкости в цилиндрической трубе:

		° ж = - ^ г г2+ а 11пг +		Ь1.		(V.7)
Постоянные интегрирования ai и bi С. Ф. Аверьянов опре­
деляет из следующих граничных			условий: при r = R0, где R0—
граница между связанной и гравитационной					водой,	иж = 0;
при r = Ru	где	Ri — граница	между	водой	и	воздухом,
По уравнению		(V.7) не представит труда определить объем­
ный расход	жидкости:
Q =	i ^ { ( R l - R \ ) ( R l - Z R b + 4 R U n - ^ \ .					(V. 8)

Выражая Ri/Ro через относительную влажность s, получим из (V.8 ) после некоторых упрощений формулу для относитель­ ной проницаемости воды:

/ж (s) = 53-5.	(V.9)
Сопоставление опытных результатов [61] с расчетами по фор­
муле (V.9) дало хорошие результаты. Однако задачу	следует
решить иначе [50].
Напишем уравнение для скорости течения газа:
«г = ^ Г г2 + а 21пг + 62.	(V.10)

Э*

131

Для определения постоянных интегрирования примем сле­ дующие граничные условия: при г = Ro, vm= 0; при г = R\ ка­ сательные напряжения трения со стороны жидкости и газа равны между собой:

dvw	dvр	(V.11)
р* dr	“ Иг dr ,

причем выполняется условие непрерывного перехода скоростей на этой границе. На оси трубы, т. е. при

	г — 0 ,		dr — 0 .			(V. 12 )
	Подставляя граничные условия в формулы				(V.7) и	(V.10),
	получим
						(V.13)
	и	- ' г> + 1 ^		- « > ] •		(V. 14)
	Определим расходы жидкости и газа по формулам
	<2 ж = \ 2nrvx dr,		Qr = 5	2jtrwr dr.		(V. 15)
	#i		0
	Перейдем к определению относительных проницаемостей
	/ж (s) = s2			|		(V.16)
	/г(д) = ( 1 - д	)2 +	2 ^ - д (1	- s )	’
			ГЖ	1
	где s — водонасыщенность.					не пре­
	При предельном переходе р.г/Цщ->-0 формула (V.16)

образуется в (V.9). Отсюда следует, что для получения реше­ ния, имеющего физический смысл, необходим предельный пере­

ход не в граничном условии,	как	это было выполнено
С. Ф. Аверьяновым (dvm/dr =	0), а	в самом полном решении
дифференциального уравнения.

Сопоставление формулы /ж(д) = s2 с зависимостью km = = fm(s), полученной на основании экспериментов с газирован­ ной жидкостью, показывают довольно значительное несоответст­ вие между ними. Так, при экспериментальной зависимости по­ казатель степени п = 3,67, в то время как по теоретической формуле п = 2 .

Однако полностью модель кольцевого течения отвергнуть нельзя. Дело в том, что в некоторых исследованиях ,[25] указы­ валось, что при большой величине отношения несмачивающей фазы к смачивающей относительная проницаемость первой мо­ жет существенно повыситься. Действительно, заменяя в (V.16)

132

Цг = Цш и Рш = 11с, получим именно указанную выше тенденцию

роста fr(s)	=	fBC{s) с увеличением Цнс/Цс-
Из (V.16)		следует,	что при больших значениях Цг/Цж =
= И-нс/Цс	t(s) может		в некотором диапазоне значений насы­

щенности превзойти единицу. В связи с указанным остановимся на экспериментальной работе А. Е. Евгеньева [16], в которой изучался процесс вытеснения из образца воды с 2 %-ным рас­ твором поверхностно-активного вещества ОП-7, высоковязким маслом.

После того как через образец было прокачано масло в объ­ еме, равном 1,5ЕПОр, фазовая проницаемость оказалась практи­ чески одинаковой для всех сечений при наименьшей остаточной

водонасыщенности.				по трем опытам
В табл. V.1 приводятся определения / п c(s)
А. Е. Евгеньева и рассчитанные по формуле				(V. 16) значения
этой функции 1.			Т а бл и ц а V.1
Сопоставление теоретических и экспериментальных
	значений fнс
•‘ н с	/ н с (S)		Остаточная
	по А. Е. Ев-	по формуле	водонасыщен*
•‘ с			ность,
	геньеву	(V.16)		%
145	4,78	22,1		8,2
68,2	2,05	13,0		9,8
25,3	1,71	5,6		10,6

Расхождение, как видим, весьма значительное, хотя как из

опытов так и из теории вытекает, что /Hc(s)^>l					при р-нс/Цс^!-
Для соответствия между опытными			данными		и результатами
расчета необходимо в формуле (V.16)			принять s =			0,02 практи­
чески для всех трех случаев (пористая среда				в опытах практи­
чески	одна и та ж е). Именно этот		сравнительно			небольшой
объем	воды	должен быть включен	в зону	преимущественно
кольцевого течения. Остальной объем			(от 6 до 8 % в зависимо­
сти от	опыта)	сосредоточен в промежутках			между зернами.

С учетом сказанного формулы для относительных проницаемо­ стей примут вид

				«о		(V. 17)
	/н c(s) =	У +	2	М-н с		( 5 — s 0 ) ( l — S )
						( l - s 0)2
				М-с
„	При расчете fBC по формуле		(V.16)		значения s принимались равными
0,082, 0,098 и 0,106 соответственно.

133

где so — содержание воды в промежутках между зернами, зави­ сящее главным образом от структуры пористой среды.

Рассмотрим теперь некоторые работы, основанные на пред­ положении независимого движения каждой из фаз по своим

собственным каналам [11-			капилляр определим		по формуле
Расход	жидкости	через
Пуазейля		яг* hp	АУ г2 Ар
	Q				(V.18)
		8(1L	8(iL
где ДУ = nr2L — объем капилляра (V.19).
С другой стороны, капиллярное давление
			2a cos 0		(V.20)
		Р к =	г	‘
Подставляя значение г из (V.20) в (V.18), получим
	п	(g cos 9)2 А У Ар			(V.21)
	Q	2,1l?pl		‘
Написав	аналогичные выражения			для каждого	капилляра

и просуммировав расходы, получим формулу для определения общего расхода:

Qo:	(g cos 0)2	‘v	AVi	_	(а cos 0)2 V	‘v	” A«i	(V.22)
	2 ^ 2	L x	P2	-	2»L2	L	X p Ki2

где V — общий объем nop; Asi — доля объема пор, соответству­ ющая капиллярному давлению рКг-

Заменяя величину объема пор через общий объем породы FL и пористость т(т = V/(FL), получим

Q _	(g cos 0)2 тР	у	As;	(V.23)
0	2jIZ	2-i	р .
		i= 1	r Ki
Сумму в уравнении (V.23) можно			заменить	интегралом,
тогда		S = 1
	(g cos 0)2 тР		ds
Qo:		f		(V.24)
	&И	J n'7r ‘
		i=0
Сравнивая это выражение с формулой Дарси
	kF Ар			(V.25)
	Qo — ■
получим формулу для коэффициента проницаемости:
		5= 1
k = J o c o ^ _ m x J ds				(V.26)
		=о Pi
причем коэффициент X,	согласно [1 ], представляет			собой по­
правку на извилистость пути фильтрации.

134

По формуле (V.26) были обработаны данные измерений про­ ницаемости k 27 образцов [1]. Для каждого образца методом нагнетания ртути была получена кривая капиллярного давле­ ния. По известным углу смачивания ртутью твердой поверхности и поверхностному натяжению для нее были пересчитаны капил­ лярные давления рк для системы вода— воздух. Далее не пред­ ставило труда вычислить интеграл, входящий в выражение (V.25), а затем и величину коэффициента А. Среднее значение А оказалось равным 0,216. На рис. V.3 построена зависимость ме­ жду проницаемостью, рассчитанной по формуле (V.26) при А = = 0,216, и фактическими ее значениями. Как видим, соот­ ветствие между измеренными 1 ЮОио

ивычисленными проницае­ «а 5000

мостями

вполне

удовлетвори­

0

тельно.

1

woo

?

В главе

II,

посвященной

Qj

500

са

о

теоретической

модели порис­

5у

той

среды

Кармана—Козени,

6

100

извилистость, т. е.

отношение

*

50

среднестатического

пути филь­

Г>

I

°

1

трации к длине образца, была

«:

10

принята

равной

2.

Установим

Г ^

L J L _

г

=

§

5

связь

между

А

в

формуле и

/

величиной |. Для этого необхо­

з

1

0

/

I

д

'

димо

в

формулах

Пуазейля

________L J

5 10

50.100

500 10005000

(V.18)

и (V. 19)

L заменить на

Проницаемость,рассчитанная поурав­

\L. Тогда легко получить выра­

нению Y.2S, 10'3мт2

жение для А =

£~2 =

0,25.

Рис. V.3. График сравнения проницаемости,

Эта

величина

довольно

рассчитанной поданным капиллярного Дав­

ления, полученным

с помощью нагнетания

близка

к

экспериментальной

/ — керны

ртути, и замеренной.

2 — шлам

А =

0,216. Обращаем внимание

верхнего

Вилкокса;

верхнего

Вилкокса;

3 — керны

Палаксн

на

то,

что

сопоставление,

(Пурцелл [1])

строго

говоря,

неправомерно,

так как

формула Кармана— Козени относится

к несцементиро­

ванной породе, для которой приемлема модель из сферических частиц, а рассматриваемая модель из набора капиллярных тру­ бок соответствует сцементированной породе. По приведенной выше формуле (V.26) можно рассчитать относительную прони­ цаемость как смачивающей, так и несмачивающей фаз.

Пусть 5 — содержание смачивающей фазы в пористой среде. Тогда смачивающей фазой в первую очередь должны быть за­ няты поры большего размера, так как в них давления рс меньше, чем в соседних порах меньшего диаметра, занятых несмачиваю­ щей жидкостью. В этом случае будет соблюдаться условие

Ри с Рс Рк-

(V.27)

135

Основываясь на этом соображении, получим из (V.26) выра­ жение для проницаемости смачивающей фазы

K’ os.e)*» X (	4 - .	(V.28)
$=0	Рк

Разделив (V.28) на (V.26), имеем формулу для относитель­ ной проницаемости смачивающей фазы

S (dsi p i )

h(s) = - l------------

.

(V.29)

о

Аналогичным способом получим выражение для относитель­ ной проницаемости несмачивающей фазы

JOAPK)
Lc(s) = - l------------.	(V.30)
S O / A D
о
Из приведенных формул следует, что сумма	относительных

проницаемостей равна единице, однако это противоречит всем экспериментальным данным.

Положение можно было бы исправить, если принять различ­ ные коэффициенты пористой среды X для каждой фазы или же считать, как это предположили Фатт и Декстра, величину X за­ висящей от размера г в виде X = а/гь {Ь > 0).

По Фатту и Декстру, коэффициент X представляет главным образом поправку на отклонение действительной длины пути движения от длины образца пористой среды. Чем меньше раз­ мер частиц, тем более извилист путь фильтрации. Однако урав­ нение для X противоречит однородности размерностей, поэтому в перечень параметров, от которых может зависеть коэффициент X, следует включить кроме г и другие размерные величины. Бо­ лее естественно, по-видимому, предположение о зависимости X от каких-то характерных значений насыщенности, например, минимальной насыщенности смачивающей фазы, как это было предложено Бурдайном [1]. Однако и это предположение не устраняет указанное противоречие.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФИЛЬТРАЦИИ СМЕСИ ЖИДКОСТЕЙ В ПОРИСТОЙ СРЕДЕ

Для вывода дифференциальных уравнений обобщим уравне­ ние (V.1), введя понятия давлений рс, рнс в смачивающей и не­ смачивающей фазах:

	vc	k	г		дрс
		Н с	'	с	д х
			г		(V.31)
	vН С -------	f e			д р и с
		Цн с	/ н	с	д х

Предпосылкой для записи исходных соотношений в указан­ ном виде является правдоподобное допущение, что каждая фаза течет по своим каналам, соприкасаясь, однако, друг с другом через промежутки между зернами пористой среды или через поперечные капилляры. Эта особенность геометрически изоли­ рованных друг от друга, но динамически взаимодействующих потоков позволяет предположить, что связь между давлениями в фазах должна существовать. Здесь важно отметить несущест­ венность абсолютных давлений рс и рв с. Иначе говоря, при вы­ воде этой связи мы должны включить не эти давления, а раз­ ность их рнс — рс, причем, очевидно, эта разность — всегда не­ отрицательная величина.

Анализ размерностей приводит к следующему выводу.

Vfe P*Q~ PQ = f { ~ ^

s, « ) .

(V.32)

Данное выражение содержит слишком мало информации для полученных количественных выводов. В качестве гипотезы пред­ лагается упрощенная связь для рвс — рс в следующем виде.

pK= pn c - p c=	^ l j ( s ) ,		(V.33)
	■\klrn
где J(s) — функция Леверетта. Таким		образом, предполагается,
что в процессе фильтрации двух	фаз	разность давлений	в них

в каждом сечении равна разности давления неподвижных жид­ костей, т. е. капиллярному давлению рк. В дальнейшем эта ги­ потеза нуждается в серьезном рассмотрении.

Выведем основные дифференциальные уравнения фильтра­ ции смеси жидкостей.

Напишем уравнения неразрывности для каждой фазы

dvc	ds	дУИС	= т	ds	(V.34)
д х	dt	д х		Ж
Используя (V.31) и (V.33), получим
k д	( (	др с \ ____	_ d s _		(V.35)
цс д х	V е д х ) — т dt ’

137

= - « - g - (V .3 6 )

Пусть вытеснение происходит при заданных давлениях на концах пласта. В пласт поступает лишь одна смачивающая

фаза (вода).

Будем предполагать, что до процесса нагнетания насыщен­ ность смачивающей фазой по всему пласту одинакова и равна

s = S c-

Таким образом, при t — О
s(x, 0) = sc.	(V.37)
Обозначим через р с = р с (0) = p i давление в	нулевом сече­

нии пласта. Отсутствие притока ун с несмачивающей фазы в этом сечении равносильно согласно выражению (V.31) равенству

/п с (дрн с/ дх) = 0.

Последнее равенство возможно с формально математической точки зрения при f „ с = 0 или д р н с/дх = 0 или же, наконец, при одновременном равенстве нулю обоих компонентов. Однако ус­ ловие /н с = 0 должно быть отброшено, так как в начальный мо­ мент времени вся область заполнена несмачивающей фазой (на­ сыщенность ею 1 — s не равна нулю), в дальнейшем в течение некоторого времени (возможно, даже бесконечно долгого) на­ сыщенность этой фазой, беспрерывно убывая, будет отлична от нуля.

Отметим, что в известной работе Пирсона [60] содержится неточность в граничном условии х = 0, а именно: принято до­ пущение, что с самого начала процесса вытеснения во входном сечении сразу устанавливается предельно-максимальная насы­ щенность смачивающей фазы [60]. А между тем численное ин­ тегрирование, правда, относящееся к случаю, когда задан рас­ ход смачивающей фазы, показывает, что в сечении х = 0 насы­ щенность смачивающей фазой растет постепенно [78].

Таким образом, единственно реальным условием на входе является условие, вытекающее из др-п с/дх = 0 :

Переходим к формулировке условий на выходе. Здесь опре­ деляющим является давление в несмачивающей фазе, так как область, куда вытекает жидкость, заполнена именно этой фазой. Пусть давление на выходе есть р2. Тогда при х = I

s sc, Рн c (/) — pc.

(V.39)

При

138

т. е. давление в смачивающей фазе меньше давления рн с (1) = = р2 и смачивающая фаза не будет вытекать из пласта в резер­ вуар с большим давлением и станет накапливаться в окрестно­ сти х = I. С ростом насыщенности s капиллярное давление рк

будет падать, и при s =		smax оно станет равным нулю. С этого
момента давление	в	смачивающей фазе рс (1) сравняется
с давлением рнс (0 =	Р2	в резервуаре, и начнется истечение этой

фазы в резервуар. В дальнейшем процесс истечения смачиваю­ щей фазы должен происходить уже при постоянной насыщенно­

сти на выходе.		граничное условие при х = 1 должно иметь
Таким образом,
следующий вид.						о cos 0
sc < 5 <		smax»	P c =	P i				J(s)		(V.40)
						-yjklm			X = 1.
		S — Smax>		p c		Pi
Перейдем к случаю вытеснения при заданном расходе.
Вследствие несжимаемости фаз
			v =	v Q+		v „	с.			(V .41)
Используя (V.41) и (V.1), получим,
	k f д р с		|	k f			д р п с		„	(V. 42)
	Не ,с дх			Цнс		/н с	дх	~	v-
Используя далее	(V.33),		(V.42), определим
			дрс	и		дрнс .
			дх			дх	■
		V +	Пн с
дрс
										(V.43)
дх							/„
				Цс	/ с
							М-н с
			k			a cos0 ,		,,	, ч ds
		V~ ~		---------- (s)W
			И			I k
д р н	с					Vт				(V.44)
дх							k		с
							/ н
							Пн с
Подстановка	значения —- —					в любое из уравнений				системы

(V.34) дает дифференциальное уравнение, удобное для исполь­ зования при заданном суммарном расходе обеих фаз:

v +	k	a cos 0	т, / ч ds
	Пн «	—	/нс</
_д_				(v -45)
дх		/с + По ‘/„ с

139

( N	Нис \
	И'С ) '

Уравнение (V.45) упрощается, если пренебречь капиллярными эффектами, т. е. отбросить второй член в числителе левой части этого уравнения:

v	_д_	[ /с + ^0 ‘ /„с ] = —т	d s	(V.46)
	дх		~Ж
Уравнение (V.46)		является квазилинейным уравнением в ча­

стных производных первого порядка и легко интегрируется. Решение задачи без учета капиллярного давления впервые

дано Баклеем и Левереттом в 1942 году (оно обычно называется случаем Баклея и Леверетта), а также независимо от них А. М. Пирвердяном в 1952 году [51].

Уже значительно позже в работах Раппопорта, Лиса и др. был исследован более общий случай вытеснения смеси жидко­ стей, учитывающий капиллярное давление и представленный уравнением (V.45).

Сформируем граничные условия. Пусть в пласт с одного конца л: = 0 нагнетается только смачивающая породу жидкость. Расход несмачивающей фазы в этом сечении, естественно, равен

нулю. Это означает, что
	=	(V.47)
Так как fac Ф 0 (см. разъяснения к задаче при заданном пе­
репаде давления), то из предыдущего следует
^ Г = о,	* = 0	(V.48)
или же
» —	* - » •	<v -49>

Оба условия, очевидно, должны дать один и тот же ре­ зультат.

Подставляя условие в формулу (V.44) для дрнс/дх [или же в формулу (V.43) для dpjdx], получим граничное условие на входе

р = — ■	fc(s )/, (s)-|L	, * = 0.	(V.50)
Нс	л/kjlk w w дх ’		v	'

Будем предполагать, так же как и в предыдущей задаче, s{x, 0) = sc- При х = 1 пока s < s max капиллярное давление рк > 0 (см. предыдущий случай), и смачивающая жидкость не

140