книги / Физика и гидравлика нефтяного пласта

Проницаемости	определяются	из	треугольных диаграмм
(рис. V.12 и V.13).	На рис. V.12	линии	1— 50 % соответствуют

постоянным относительным проницаемостям для газа при дви­ жении трехфазной смеси (нефть, газ, вода), а на рис. V.13 та­ кие же линии относятся к нефти [1 ]. Зависимости построены для гидрофильного песка.

Отметим, что проницаемость для воды практически не зави­ сит от соотношения насыщенностей двух других фаз [71].

Приближенное решение задачи применительно к случаю вы­ теснения газированной нефти водой принадлежит Д. А. Эфросу [82]. Модель его такова. При вытеснении водой нефти, содержа-

Рис. V.12. Диаграмма относительной прони-	Рис. V.13. Диаграмма относительной прони­
цаемости для газа как функция насыщен-	цаемостн для нефти как функция насыщен­
ности	ности

щей окклюдированный газ, образуются два фронта — газонеф­ тяной и водонефтяной. Это обусловлено тем, что вследствие большой подвижности газ обгоняет нефть и воду, поэтому водо­ нефтяная зона практически не содержит подвижного газа (кроме защемленного). В первом приближении применяется схема Баклея— Леверетта с учетом того, что в каждой зоне (во­ донефтяной и газонефтяной) присутствует неподвижный третий компонент — остаточный газ в порах.

ДИНАМИКА ВЫТЕСНЕНИЯ НЕФТИ ВОДОЙ (ОДНОМЕРНЫЙ, ЛИНЕЙНЫЙ СЛУЧАЙ)

На основании теории Баклея— Леверетта определим дина­ мику обводнения продукции в простейшем случае одновременно линейного вытеснения [40].

Для определения безводной добычи нефти У(^бв) восполь­ зуемся формулой (V.57), примем в ней x = l (I — длина пласта), тогда l= V {t6 s)/ m F ($ф).

11 Заказ № 283

161

Для момента времени <>(бв насыщенность на выходе из пласта si определим по формуле

I =

F (*), (Si > 5ф) •

(VЛ24)

По известной насыщенности найдем расходы обеих фаз на выходе:

	с = и ( 1 — Ф ( 5 0 )	(V.125)
	1>с= пФ(51), v = dV/dt

Если фронт вытеснения не достиг выхода, общая потеря дав­ ления Др слагается из двух составляющих

Д р = A p i + Д р 2 ,

( У Л 2 6 )

где Api и Дрг— компоненты потерь в зоне вытеснения и в ос­ тальной области, в которой движется одна нефть.

Первая компонента определяется из следующей формулы:

*Ф

&Р,-------\ - Ж * х ,

(V. 127)

где через Хф ■< I обозначена координата фронта вытеснения,

*Ф-----4 r ~ F ^

0 ^ 2 8 )

или, используя выражения (V.43) и (V.57), получим

Др1	VicvV	F’ (5) ds			ф.	(УЛ29)
	km S	U + ^	C	km
	S9

Так как «ф для заданных фазовых проницаемостей — вполне оп­ ределенная, постоянная величина1, то интеграл в (V.129) яв­ ляется также постоянным.

Вторая компонента

				г	V	\
	Цн с ( / — Хф) у			Цн с ^	— F (5ф) J V		(V.130)
Др2 =		kfn с (Sc)			kf нс (SC)
Суммируя	(V.127)	и	(V.130)	и учитывая, что		v = dV/dt, полу-
чим
Др	ис	dV	Г ^	, Л	мо^(*Ф)\К_1		(V.131)
	k '	dt	L /н С(Sc) ^		/ н с (sc)	) т у

1 Имеется в виду задача вытеснения при отсутствии различия плотностей

фаз.

162

Разделяя переменные и интегрируя, получим

	_1_ / _	M F	( 4 ) _ W 2 _ / ___W		___ \ у	=	(V.132)
	2 V*	/н	c (S c ) ) т	/ „ с	(S c) J	Нс
	где Р — импульс,
			Р =	^Ар dr.			(V.133)

При решении квадратного уравнения необходимо иметь в виду, что множитель перед V2 в (V.132) может быть как положитель­ ным, так и отрицательным 1.

Ряс. V.14. Схема выделенного элемента.

/ — линии тока; 2 — зона отбора скважины первого ряда

В работе [40] уравнение Баклея— Леверетта было использо­ вано для расчета фильтрации жидкости в полосообразной за­ лежи к двухрядной системе скважин. На рис. V.14 показана схема выделенного элемента залежи, включающая в себя две скважины (по одной из каждого ряда). На достаточно большом расстоянии от первого ряда обе границы зоны отбора практи­ чески параллельны непроницаемым границам залежи. Заменим криволинейную границу залежи прямолинейной EFGH (рис. V.15), причем одна из сторон ее необязательно должна проходить через скважину первого ряда. Суммируя условно эти области для всех скважин, получим схему течения для всей за­ лежи в целом. Таким образом, зона отбора первого ряда пред­ ставляется в виде прямоугольника EFGH, зона отбора второго ряда — в виде ступенчатой прямоугольной фигуры ABCDEFGH. Для каждой из этих зон используется описанная выше мето­ дика. Подробно вопрос рассматривается в ; [40].

1 В конце безводного периода в (V.132) следует принять V=ml/F(sф), а верхним пределом интеграла в (V.129) — Sj, при этом Др2 = 0.

11*

163

ГЛАВА VI

ВЫТЕСНЕНИЕНЕФТИИЗПОРИСТОЙСРЕДЫ ВОДНЫМИРАСТВОРАМИПОВЕРХНОСТНО-АКТИВНЫХ ВЕЩЕСТВ(ПАВ) ИПОЛИМЕРОВ

Высокая подвижность воды обусловливает прорыв ее через наиболее проницаемые пропластки к добывающим скважинам. При этом за фронтом вытеснения остается более или менее значительное количество нефти, которое полностью нельзя извлечь из пласта в течение «водного» периода работы скважин.

Добавки полимеров к нагнетаемой воде увеличивают ее вяз­ кость, снижают проводимость пористой среды и обусловливают выравнивание фронта вытеснения. Добавки же ПАВ способст­ вуют более полному вытеснению, достигаемому за счет благо­ приятного изменения капиллярной характеристики системы.

Математические модели вытеснения нефти такими раство­ рами представляют обобщение рассмотренных в главе V моде­ лей, относящихся к вытеснению нефти обычной водой.

С помощью соответствующим образом построенных обоб­ щенных моделей в настоящее время изучается эффективность применения растворов ПАВ и полимеров при заводнении [3, 32].

Вместе с тем проблема построения адекватных моделей да­ лека от совершенства. В этой главе излагаются некоторые сооб­ ражения, относящиеся к таким моделям.

Ниже приводятся общие понятия и определения физико-хи­ мического характера, которые необходимы для понимания трак­ туемого вопроса.

АДСОРБЦИЯ

Концентрирование какого-либо вещества на поверхности жидкого или твердого тела в результате самопроизвольного пе­ рехода его из объема фазы называется адсорбцией. Адсорбция измеряется числом киломолей вещества, приходящихся на еди­ ницу поверхности.

Адсорбция может иметь место на поверхностях раздела: твердое тело— жидкость, твердое тело— газ, жидкость— жид­ кость, жидкость—газ.

Адсорбентом называется твердое вещество, на поверхности которого происходит адсорбция. Адсорбтивом (адсорбатом) на­ зывается вещество, концентрирующееся на поверхности раздела обеих фаз.

164

Адсорбция на однородной плоской поверхности определяется термодинамическим уравнением адсорбции Гиббса 1

	do	с	(VI. 1)
	Тс	W '

где Г — отношение избытка вещества в поверхностном слое к площади, разделяющей поверхности, т. е. адсорбция; о — по­ верхностное натяжение; с — концентрация растворенного в объ­

еме вещества;	R — газовая постоянная;	Т — абсолютная темпе­
ратура.		что концентрирование
Из уравнения Гиббса (VI. 1) следует,
вещества в	поверхностном слое, соответствующее, очевидно,
Г > 0, должно	иметь место при —— <	0 (положительная ад-
	ас

do

сорбция); при ——- > 0 величина Г < 0 и процесс должен сопро- dc

вождаться убыванием вещества в этом слое (отрицательная ад­ сорбция) .

По известной кривой зависимости поверхностного натяжения от концентрации водного раствора о = а{с) можно с помощью графического дифференцирования ее определить величину ад­

сорбции.		показаны	три	изотермы поверх­
На рис. VI. 1 схематически
ностного натяжения о = о(с).		Изотерма	1	характеризует				ве­
щество, снижающее поверхностное натяжение о;					изотерма			2 —
вещество с постоянным значением о; изотерма					3 — вещество,
способствующее увеличению	а.	Все кривые		берут		свое начало
с одной и той же точки с =	0, при этом ордината					в этой	точке
равна поверхностному натяжению чистой воды.					типа 1,		назы­
Вещества, характеризующиеся изотермами

ваются поверхностно-активными веществами; вещества, соответ­ ствующие кривым 2,— поверхностно-неактивными (поверхност- но-инактивными).

Для построения кривой зависимости адсорбции от концен­ трации необходимо воспользоваться изотермой поверхностного натяжения о (с), проведя касательную к кривой в рассматривае­

мой точке (см. рис. VI.1). Тогда
Г =	(VI.2)

где ф— тангенс угла наклона касательной в рассматриваемой точке.

1 Уравнение (VIЛ) представляет собой частный случай более общего уравнения, полученного Гиббсам; в этом уравнении необходимо заменить ве­ личину с активностью второго компонента а для достаточно разбавленных растворов, которые мы будем использовать, ста.

165

На рис. VI.2 показана кривая зависимости адсорбции от кон­ центрации ПАВ, построенная указанным выше способом.

Для построения математических моделей необходимо знать изотермы адсорбции ПАВ и поверхностного натяжения в зави­

симости от концентрации с в закачиваемой воде.			£(<:)— изо­
Напишем эти зависимости в общем		виде: £ =
терма	адсорбции; о = а ( с ) — изотерма	поверхностного натя­
жения.
Существуют теоретические и эмпирические методы определе­
ния g(c)	и о (с).
Укажем некоторые из них.
Эмпирическое уравнение Шишковского
	а = Оо— a\n(bc-\- 1),		(VI.3)

Рнс. VI.1. Зависимость	поверхностного на*	Рис. VI-2. Изотерма адсорбции поверхност*
тяження от концентрации водных раство*		но-актнвного вещества
ров

где Со— поверхностное натяжение растворителя; а и b — кон­ станты.

Продифференцировав о по с и подставив в уравнение ад­ сорбции Гиббса, получим

Ьс	’	(VI.4)
Г = Г0С 1' + 6с
где Г,* — предельное значение адсорбции, достигаемое		при
с — ОО(Гоо = - ^	) .

На основе кинетических соображений и допущения об обра­ зовании только мономолекулярного слоя на поверхности адсор­ бента Лэнгмюр вывел формулу (VI.4), которая используется для любой границы раздела.

В этом уравнении константа Ь, называемая удельной поверх­ ностной активностью, характеризует степень снижения поверх­ ностного натяжения.

166

Приведенные зависимости соответствуют условию адсорбци­ онного равновесия, устанавливающемуся в течение определен­ ного времени, которое колеблется от долей секунды при адсорб­ ции газа до нескольких часов при адсорбции из раствора.

Из теории, основанной на мономолекулярной адсорбции, мо­ жно вывести формулу, характеризующую процесс адсорбции во времени:

а = аос(1 — e~ki),

где а» — равновесная величина адсорбции.

Отсюда легко получить выражение для потока вещества фазы:

-57- = k (ах — а).

На практике, однако, более надежным является способ непо­ средственного определения изотерм для конкретных ПАВ.

Как следует из вышеизложенного, уравнение Лэнгмюра (VI.4) основано на допущении образования только мономолекулярного слоя на поверхности адсорбента. Однако в действитель­ ности адсорбция полимолекулярна, так как молекулы пара ад­ сорбируются не только на «чистой» поверхности адсорбента, но и на поверхности уже образовавшихся слоев. Особенно большая

погрешность	теории	имеет место с приближением		давления
к давлению	насыщения,	когда число двойных, тройных и т. д.
слоев увеличивается. Брунауэр, Эммет и			Теллер разработали
теорию, учитывающую		полимолекулярный	характер	процесса.

Основные предпосылки этой теории, названной БЭТ по имени

ееавторов, таковы: адсорбция многослойна;

образование первого слоя адсорбата происходит в резуль­

тате действия вандерваальсовых сил между адсорбатом и ад­ сорбентом; последующие слои образуются главным образом при конденсации наиболее «холодных» молекулпара;

условия конденсации и испарения, а также свойства жидко­ сти одинаковы для всех слоев, кроме первого;

вторые, третьи и т. д. слои образуются еще до завершения образования первого слоя.

На основе этих предпосылок была выведена следующая фор­ мула для изотермы адсорбции:

Р	РО	РО	|	со — 1 п	(VI.5)
У	' Р О - Р	_ УтС0	*1"	V mc 0 V
с двумя константами Vm (предельный				объем монослоя)	и Со
(Ро — упругость насыщенного пара).					р
Из уравнения	(VI.5)	видно, что
			зависимость между — X

X — —— и р носит линейный характер. Отрезок, отсекаемый от

ро — р

167

оси ординат, очевидно, равен	Ро	а тангенс угла наклона —
	VmC0 ’
Со— 1

VmC0 '

Построив по экспериментальным данным изотерму и аппрок­ симировав ее прямой, получим значения этого отрезка и тан­ генса. Далее определим искомые величины Со и Vm.

По найденному значению Vm, исходя из представления о плотном монослое, найдем площадь адсорбации 5 по формуле

	S =	VmNiоо,	(VI.6)
где N — число	Авогадро; со0— эффективная площадь,		покры­
ваемая одной	молекулой. Для	азота © о= 1,54 нм2, для	аргона

too = 1,36 нм2.

Указанная методика была применена для определения удель­ ной поверхности сцементированных горных пород [22, 73]. Опи­ сание результатов этой работы дано в главе I.

Один из авторов метода Брунауэр выдвинул следующие тре­ бования для оценки метода: теоретическое уравнение изотермы должно правильно отражать характер зависимости, полученной из опытов; вычисленные константы должны иметь правдоподоб­ ные значения; теория должна правильно отражать температур­ ную зависимость адсорбации.

Для ответа на первое требование заметим, что уравнение БЭТ правильно отражает ход изотермы, которая имеет в ука­ занных координатах вид прямой, тогда как изотерма Лэнгмюра даже при р/ро^.1 не может быть описана прямой линией.

Были получены оценки константы Со по теоретической фор­ муле, а также рассчитаны значения Vm по формуле (VI.6) для пористых сред с известной поверхностью адсорбации S. Эти Со и Vm, как правило, хорошо согласуются с экспериментальными значениями указанных констант, полученными по методу БЭТ (второе требование).'

То обстоятельство, что найденные значения Vm практически не зависят от температуры, служит ответом на третье требо­ вание.

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ

Перейдем теперь к описанию математических моделей для вытеснения нефти раствором ПАВ.

Хронологически первой такой моделью была модель, предло­ женная А. К. Курбановым [31]. Она учитывает влияние гидро­ динамических сил по схеме Баклея и Леверетта, а также сорб­ ционных эффектов, основанных на описанных выше математи­ ческих соотношениях.

В первоначальном виде эта модель не учитывала эффект неравновесности адсорбции. В дальнейшем это ограничение ав­ тором модели было снято [32]. Однако в обеих моделях не учи­

168

тывались капиллярные силы. Более совершенной является мо­ дель Г. А. Бабаляна, Б. И. Леви, Ю. В. Суркова [3], учитываю­ щая также влияние капиллярных сил. На ней мы остановимся несколько подробнее.

Авторами метода выписывается система дифференциальных уравнений в форме Раппопорта и Лиса (два уравнения). Од­ нако в ней учитывается эффект уменьшения поверхностного на­ тяжения с ростом концентрации ПАВ.

Приведем уравнение для определения капиллярного дав­ ления

Рн — рв = Рк(s, с) = о cos 0 д / - ^ - As) р (с), (VI.7)

где Р (с )— функция, учитывающая влияние ПАВ на капилляр­ ные силы; а — поверхностное натяжение при с = 0 .

Следовательно, ар (с) представляет изотерму поверхностного

натяжения, р (с) — убывающая функция.			полной си­
Более подробно	рассмотрим третье уравнение
стемы [62, 3], учитывающее сорбционные процессы1:
Ж М	= - т - J - [sc + b	{с) ].	(VI*8)

В этом уравнении vB— скорость фильтрации воды, a vBc — объемная скорость поверхностно-активного вещества.

Выражение

- f t - M d x

является изменением скорости этого вещества (или расхода, со­ ответствующего единичной площади сечения потока) на элемен­ тарном пути dx.

Эту величину	необходимо приравнять	накоплению ПАВ
в рассматриваемом	отсеке dx (правая часть	уравнения (VI.5).

Величина накопленного ПАВ состоит из двух следующих ча­ стей:

д(sc)

т~di dx,

являющейся величиной изменения sc ПАВ в растворе в рассмат­ риваемом отсеке, и

-§Г [Ь (s) g (с)] dx,

равной «осадку» (адсорбции) в пористой среде2.

Функция b (s) введена в это выражение из следующих сооб­ ражений. Если g ( c ) — количество вещества, адсорбированного

объемом пористой среды	при полном насыщении ее раствором
( s = 1 ), то при частичном	насыщении адсорбция вещества дол­

жна быть меньше, так как только некоторая часть удельной по-

1	Уравнение описывает линейное вытеснение.
2	В исследованиях [62, 3] авторами модели допущена неточность: вместо

6(s)g(s) записано b(s)g(c)c.

169

верхности породы находится в контакте с раствором. Перемен­

ный безразмерный	множитель О b (s)	1 характеризует сте­
пень уменьшения	адсорбции по сравнению	с значением ее при

s = 1. Функция b (s) подлежит экспериментальному определе­ нию; значения ее при s = 0 и s = l соответственно равны 0 и 1 .

Вмодели [7] принят линейный вид функции fe(s) = s. Основываясь на описанной расчетной схеме вытеснения

нефти водным раствором ПАВ, авторы работ [62, 3] провели расчеты на ЭВМ технологических показателей разработки неф­ тяных месторождений с воздействием водой и водным раство­ ром ПАВ. Моделировались два пласта. Один из них состоит из изолированных прослоев, слои другого пласта не изолированы,— т. е. учитываются капиллярные перетоки [62, 4].

Хотя результаты расчета показывают, что применение ПАВ может дать существенный прирост конечного коэффициента нефтеотдачи (в среднем на 5 % по одиннадцати месторождениям •[4]), тем не менее к цифрам прироста следует отнестись сугубо осторожно. Основанием для такого утверждения служат следую­ щие соображения, некоторые из которых следуют из вышеизло­ женного.

Фазовые проницаемости определялись по обычной методике, т. е. в условиях, адекватность которых действительным не дока­ зана (см. гл. V). С другой стороны, из работы [25] следует, что даже решение задачи Баклея и Леверетта является неустойчи­ вым по отношению к входным данным (фазовым проницаемо­ стям и начальному положению водонефтяного контакта). В ра­ боте [25] приводится серия кривых распределения водонасыщенности, построенная по Баклею и Леверетту для двух достаточно близких значений входных параметров [25]. Несмотря на бли­ зость их значений, распределения существенно отличаются друг от друга. Если такая тенденция имеет место для простого слу­ чая, то тем более следует ожидать появления фактора неустой­ чивости в рассматриваемой здесь более сложной задаче.

Другой пример неустойчивости решения по отношению к входным данным: линейное вытеснение в пласте бесконечной

протяженности	при	постоянном		расходе, рассмотренное
в главе V. Уравнение (V.108) при помощи					соотношения (V.68)
можно привести к виду
х — х0-	! 9 л/km		/н с® (s) J' (s) ds			(VI.9)
		® (*Ф)		S — Sс
				$ф —	■ф (S )
					Sс
При малых значениях s (s, близких к sc) величина
Ф	(s)= -	/ с		Но- / с
		U + 1*0 '/„ с		/н
В окрестности sc функцию fc можно аппроксимировать так:
	fc =	B(s — scy ,	(р > 1 ).

170