книги / Физика и гидравлика нефтяного пласта

ошибка будет автоматически исправлена тем, что в конечной формуле дебит выбранной фиктивной скважины будет фигури­ ровать со знаком минус.

В результате взаимодействия реальной добывающей сква­ жины (стока) Ai и фиктивной нагнетательной (источника) Аг

давление в любой точке пласта будет равно
	<1п-97>
а на границе изменения проницаемости
+	(Ш.98)

где гг — расстояние от Ai и А2 до любой точки этой границы. Составляющая скорости фильтрации на границе АВ, обус­

ловленная работой добывающей скважины Аи

— S h r -

<Ш" >

а проекция ее на направление, перпендикулярное к порогу АВ,

	v„	Я1	а	(III. 100)
		2яггЛ	Гг

Точно таким же способом найдем соответствующую ско­ рость фильтрации, обусловленную действием фиктивного источ­ ника А2,

	v2			Я2	(III.101)
			2яrrh
. и проекцию				а
vn			Я2		(III. 102)
		2яrTh		Гг ‘
Сумма о' и v" будет равна нормальной составляющей ско­
рости фильтрации в точке		этой		границы	(см. рис. III.8, б):
	_		(?1 + ?2>в		(III. 103)

2я ф

Определив давление рГ и нормальную составляющую скоро­ сти фильтрации на границе АВ в правой полуплоскости, перей­ дем к определению этих величин для левой полуплоскости.

Для построения фильтрационного потока в этой области по­ местим фиктивный сток Аз на расстоянии ОАз = а; дебит фик­ тивного стока — <7з, его также определим из граничных условий (см. рис. II 1.8, в).

6 Заказ № 203

81

Под действием фиктивного стока давление в левой области будет равно

	P =	-2S & - '" '- ' +			C".		<ШЛ04>
а на пороге АВ
	Р г = т ё т		Шгг +		С2.		(III. 105)
Скорость фильтрации на этой границе будет
		v	Яз	’			(III. 106)
			2nrrh
а нормальная составляющая ее
	Vn	Яз		а			(III. 107)
		2кгTh		ГГ
Первое условие— равенство давлений на границе АВ — по­
лучим, приравняв (III.98) к (III.105):
М 1	М2	1п гг -(- Ci —			Мз	c2.	(III. 108)
2nkih 1п гг —	2nkih				2nk2fi In rr +
Правая часть этого уравнения может равняться левой только
в том случае, если
q i - q 2= - ^ - q 3,				С, = С2.			(III. 109)

Второе условие— равенство нормальных составляющих ско­ ростей на границе — получится, если приравняем (III.103) и (III.107)

{Я\+Ч2)а_ д3а

2лhr\ 2nhr\

или <7i + <72 = <7з-

(III. ПО)

Из уравнений (III.109) и (ШЛЮ) определим

Величина <72 может быть положительной и отрицательной. Из (Ш Л И ) следует, что выбор в качестве фиктивной скважины А2 д л я правой полуплоскости источника правилен при значениях k2> ki.

Что же касается выбора фиктивной скважины Аз для левой полуплоскости, то он был сделан правильно: в этой точке дол­ жен помещаться именно сток, а не источник.

82

Физический смысл этого вполне очевиден. При любых про­ ницаемостях ki и k2 наличие добывающей скважины At должно возбудить движение жидкости от периферии к этой скважине во всей области фильтрации и, в частности, в левой полуплоско­ сти; такое движение, очевидно, можно возбудить стоком, поме­

щенным в правой области, а не	источником,	находящимся
там же.	выражение	для давления
Из (III.111) и (III.97) получим
в правой полуплоскости:

+ ‘га" 2>

Из (III.111) и (III.104) имеем выражение для давления в ле­ вой полуплоскости:

Р = {~ ,^

) w

lnr° + c -

<I,U13>

Для определения постоянной интегрирования С используем отмеченное нами ранее свойство фильтрационного потока, за­ ключающееся в том, что на достаточно большом расстоянии от скважины At изобары по своей форме близки к окружностям.

Пусть на некотором расстоянии RK давление равно рк. Ис­ пользуя это условие, исключим из (III.112) постоянную инте­ грирования, а затем определим искомое давление в правой по­ луплоскости:

Р	Mi	In	П___ ( k2—k\\		Mi 1п	Рк- (III. 114)
	2iik\h		RK	W I + * 2 /	2я*1h
При	rl = Rc	и л2« 2 а		p должно равняться		давлению рс

в скважине. Учтя это, получим окончательно формулу для опре­ деления дебита [61]:

Я\ =	2nk\h	(III. 115)

По этому методу могут быть решены и другие более слож­ ные случаи [61].

БЕСКОНЕЧНАЯ ЦЕПОЧКА РАВНОУДАЛЕННЫХ СКВАЖИН В БЕСКОНЕЧНОМ ПЛАСТЕ

Существует несколько способов решения этой задачи, но наи­ более простым является способ, основанный на теории функций комплексного переменного. Этим способом решим задачу.

6*

83

Расположим вдоль оси		абсцисс	на равном		расстоянии а =
= 2а друг от друга 2п=\		стоков обильностью			q. Комплексная
функция согласно	принципу суперпозиции			будет равна
F (2 ) =	[In z + In (z — а) +		. . . +	In (z — па) +
+ 1п (2 +	ц )+ . . .	+ 1п(2 + па)] = - ^ - In X

+ ^ г 1п Н г - а 2 - 2а2 ••• ” 2fl2]-

(ш -пв)

С другой стороны, известно, что

^ F — n O - ^ S r ) -

a "-"? )

Устремим п к бесконечности. Чтобы можно было использо­ вать формулу (II 1.117) для определения бесконечного произве­ дения, примем

и = яг/а1.

Тогда
F(z) =		-^ \ n s \ n ^ ~ .				(III. 118)
Отделяя действительную часть от мнимой, получим значение
потенциала:
ф= -е т	ln [ch l T y — co sv			JC] +	C-	(III. 119)
Пусть при 2 = Rc	y = R c	Р =	Рс, тогда, учитывая,			что ср =
k
= — р, найдем давление в пласте:
		,	%	It	х
		ch — у — cos —
Р— Рс	4nkh	In	о	о	Rc	(III. 120)
		ch — Rc —cos —
			a	a

При наличии нескольких параллельных цепочек потенциал находится по принципу суперпозиции полей, обусловленных дей­ ствием каждой из них. Например, для двух цепочек потенциал равен

Ф	=	4пА	1п	у — cos	Я2	In (с h - ^ - i y - H ) -
				ГГ1 3	4яА
				— co s -^ -(* — Xi)) +		С.	(III. 121)

1 Второй член в (III.116) как постоянный отброшен.

84

Легко показать, что уже при значениях у > 2 а поток к це­ почке скважин будет практически линейным.

Действительно, при

		,	*
		ch — у		2 е	» 1
			а и
М	i „ I	„*у/®__		М	( / / - ^ - 1	п 2 ) =
Р — Рс 4nkh	ш 2	е	—	2* (2стЛ)
	М		( у -----~ 1п 2 ) .			(Ш. 1 2 2 )
	2 k F

По выражению (III.122) определяют падение давления на от­ резке пути

1 = У — ~ 1п 2,

перпендикулярном к цепочке скважин, при движении половины

а

потока — через поперечное сечение F = 2oh.

ЦЕПОЧКА РАВНОУДАЛЕННЫХ И РАВНОДЕБИТНЫХ СКВАЖИН В БЕСКОНЕЧНОМ ПЛАСТЕ

Если число добывающих скважин в прямолинейной цепочке конечное, то давление в скважинах даже при одинаковых ин­

тервалах между			ними	и оди­
наковых	дебитах		будут раз­
личны.	общих		соображений
Из
ясно, что чем		дальше		распо­
ложена скважина от середины					п	v п х
цепочки,	тем	больше		должно	Рнс. 111.9. К расчету давления в бесконеч­
быть давление в ней.
					ном пласте (случай цепочки конечной дли­
Для	нагнетательных сква­					ны)
жин должна		иметь место об­

ратная тенденция, т. е. уменьшение давления нагнетания с пере­ ходом от центральных скважин к периферийным.

Пусть на бесконечно большом пласте имеется прямолиней­

ная	цепочка, состоящая		из 2п+\	равнодебитных			скважин
(рис.	111.9).
Давление в v-й скважине определим по принципу суперпо­
зиции
р„ = "2^ -		[1п/?с + 1п 2 а +	1п 2 . 2 а + . . .		+ 1п (п — \) 2а +
или	+	1п 2а + 1п 2 •2а +	. . . +	In (п +	v) 2а] +	С	(III. 123)
Р' =	^ Ш	[1п/?с + 2л1п2а + 1 п ( « - v )!(« +			v)l] +	C.	(III. 124)

85

Используя формулу Стирлинга для приближенного опреде­ ления факториала при большом числе множителей, получим 1

Pi = 2яkh		[ln /?c +			2п 1п 2 а +		1п 2л — 2 л +
		(п2 — у2)		П+ -Я-		(n -|_v)	*
	+ 1п				2			+ С.	(III. 125)
			(п —v)v
Найдем	разность		давлений			в v-й		и центральной	(v = 0)
скважинах
р , — ро =			ц? .		(л2 —у2)			2 ( п + у )	(III-126)
		2*kh				(n - v Y		п2п+1
Если принять v =		const и			п-*- оо, то, как легко видеть из
(II 1.126), эта	разность		будет		стремиться			к нулю, т. е. произой­

дет полное выравнивание давлений в средней части ряда дли­ ной, соответствующей 2 у + 1 скважинам.

Определим разность давлений в самой крайней и централь­ ной скважинах. В этом случае нельзя использовать выражение

(III.126),		так как формула Стирлинга непригодна							для	случая
V = п.
Непосредственное вычисление величины рп для крайней
скважины дает следующий результат:
pn=	- ^	j r [\nRc +		\u2a + \ n 2 -2 o +		. . .	+	1п2«.2а] +		С =
=	" S	r	Пп Ъ +	2" 1п 2а +	1п (2л)!]-|- С =				[in Rc +
+	2п 1п 2а + 1п У2л + (bn +					1п 2п — 2п] +			С.	(III. 127)
Для центральной скважины имеем
Ро =			[1п/?с +	2(1п2а +	1 п 2 .2 а + . . .			+ 1п п2а)\ + С =
=	т а "		П п Я с +	2 Я 1 п 2 а +	2 1 п « ! ] +		С =	“ 2^	[ 1 п / ? с +

+ 2п 1л 2а + 1п2л + (2п + 1)1пя — 2п] + С. (III.128)

Откуда

Р п ~ Р о = "2^ [(2 п + -i-) 1п 2п - 2п\пп - 1п ^/Щ . (III. 129)

1 Формула Стирлинга дает удовлетворительные результаты даже при п=

= 1-н2.

86

Описанным выше методом можно решить задачу фильтрации жидкости к одной горизонтальной скважине бесконечной про­ тяженности в однородном горизонтальном пласте конечной тол­ щины h. Эта задача решалась И. А. Чарным в предположении, что расстояния от оси скважины до кровли и подошвы пласта

одинаковы, а = hi2. Более общее		решение,	принадлежащее
А. М. Пирвердяну	[53], исходит из	условия,	что	ось смещена
в сторону кровли	(подошвы), т. е.	а ф h/2	(рис.	ШЛО).
Для решения задачи отобразим		скважину зеркально кровле

и подошве пласта. Затем отображенные скважины, в свою оче­ редь, отобразим относительно линий 1— 1, 2—2 и так далее до бесконечности.

Полученная указанным способом бес­

конечная цепочка, как			легко видеть из
рис. ШЛО, состоит из двух бесконечных
цепочек, в каждой из которых интерва­
лы между скважинами одинаковы и
равны двойной толщине пласта:
	2а =	2/i		(III. 130)
(для наглядности скважины одной из та­
ких цепочек зачернены).
Нетрудно доказать, что в результате
взаимодействия	всех		скважин	выпол­
няется условие	непроницаемости			кровли Рнс. 111.10. К расчету дебита
и подошвы пласта.		постоянство		горизонтальной скважины
Чтобы получить				давле­

ния на контуре питания АВ, отобразим все скважины относи­ тельно линии АВ и возьмем отображенные скважины с обрат­ ным знаком (это отображение показано на рис. ШЛО в виде цепочки II).

Итак, задача сводится к суперпозиции полей четырех це­ почек скважин: зачерненных справа; зачерненных слева; свет­ лых справа; светлых слева.

Для первой и второй групп скважин распределение давле­ ния описывается уравнением

	сh— (у — Н) — cos — (х — а)
4nk In	а	______ о _ _____'
	сh — (у + Н) — cos — (* — а)
	а ' '	а

для третьей и четвертой — уравнением

М	СЛД- (у - Я) — cos -5- (х + а)
	In
ink	сЛ-5- (у + Я) - cos	(х + а)

+С', (III. 131)

+С",

где q — дебит 1 м скважины, Н- расстояние от цепочки до линии АВ.

87

Результирующее давление р = р '+ р " . Граничными услови­ ями являются: при х = а — Rc, у = Н, р = рс\ при у = 0, р = = рк. Решение имеет вид [53]

		д _ 2nk(pK~Pc)	у
X	2пН	h	_2________	(III. 132)
	h	I n 2nRc + 4 - 1 "	л (2a — Rc)

h

Расчеты по формуле показывают, что дебит совершенной го­ ризонтальной скважины практически не зависит от места рас­ положения ее по толщине.

Перейдем к рассмотрению несовершенных горизонтальных скважин. Окружим мысленно скважину цилиндрической поверх­ ностью радиуса Ro = R c+K где Л,— участок стабилизации, за пределами которого фильтрация имеет плоский характер в вер­ тикальной плоскости. Для всей внешней области расчет будем

вести по формуле		(III.132),		несколько		видоизмененной, т. е.
			2	л k(pK- p 'c)		y
X	2яН					. (III. 133)
	- I n				- I n	я ( 2 д — R0)
		2яЯо
					1 — c o s
Формула	(III.133)	получена		из (III.132) заменой рс давлением
р' на цилиндрической			поверхности радиуса Ro и Rc—Ro.
Внутри	кольцевой		области		R o > R > - Rc расчет будем вести
по формуле В. И. Щурова
		Я	2 n k (р 'с -		р с )	(III. 134)
					I n	Rc

где С — коэффициент несовершенства по характеру вскрытия. Исключая из уравнений (III.133) и (III.134) промежуточное давление р'о, получим формулу для притока жидкости к несо­

вершенной горизонтальной скважине

=	2 n k ( р к - Дс) v

Чц ^

X	h	_______ 1	_ 2 ________	(III. 135)
2 я И		+ £ + ~2~1"
h	2 я R с		я ( 2 д — Rp)
	I n

h

88

Отношение дебитов при а = hj2 и а = 0 будет

	2яН	■In	2я/?с	+ С
Я'	2пН ■In		+ 1п	(IllЛ36)
		я /?с		+ С

Из формулы (II 1.136) видно, что с ростом С различие между дебитами q' и q" должно уменьшаться.

Исследование [53] показывает, что в анизотропных пластах даже при наличии значительной анизотропии разница между дебитами, соответствующими симметричному и предельно несим­ метричному положению оси скважины, невелика. Это дает осно­ вание при расчете дебита горизонтальной скважины в боль­ шинстве случаев не считаться с возможной несимметричностью расположения ее в пласте и считать а = Л/2 .

ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ТЕЧЕНИЯ

Отличительные особенности всех задач фильтрации однород­ ной жидкости, рассмотренных в предыдущих разделах, заклю­ чались в следующих не во всех случаях оговоренных положе­ ниях:

кровля и подошва пласта принимались за параллельные пло­ скости;

скважины вскрывали пласт на полную толщину.

Указанные положения позволяли свести все задачи к пло­ ским течениям, при которых процесс течения зависит от двух координат х и у.

В реальных условиях пласт представляет собой структуру, которая в большей или меньшей степени отклоняется от модели, образованной параллельными плоскими границами. Однако ва­ жно отметить, что в большинстве случаев протяженность пласта

во много десятков	раз	больше расстояния	между его	кровлей
и подошвой. Это дает		основание, как справедливо		отмечает
В. П. Пилатовский	[49], аппроксимировать		реальный,	в прин­

ципе не плоский пласт, моделью «тонкого» пласта, в котором частицы жидкости перемещались бы перпендикулярно к каж­ дому интервалу толщины. На основе этой модели В. П. Пилатовским [49] были разработаны методы решения задачи гидро­ механики тонкого пласта.

Эти методы можно использовать для расчетов фильтрации однородной жидкости в пластах, принимающих участие в строе­ нии геосинклинальных складок.

Если скважины без фильтра вскрыли пласт йена полную тол­ щину, или же если они при полном вскрытии пласта оборудо­ ваны фильтром, то в этих случаях фильтрационный поток яв­ ляется пространственным, даже тогда, когда кровля и подошва пласта — параллельные плоскости.

89

Для пространственных течений большое значение имеет по­

ток, образованный точечным			стоком (источником) в					неограни­
ченном пласте (рис. III.11).
Потенциал скорости <ptдля этого случая имеет вид *:
	Ф; =	_______ 4i________						(III. 137)
		2я V (z - О2 +			г2	’
где г = ^ х 2+ у 2.			при	<7 >	О— источник. Уравнение
При <7 < 0	имеем сток;
(III.137) — это	преобразованное			выражение (III.14),				в котором
		давление заменено					потенциалом ско­
		рости.
			Возьмем конечное число точечных
		стоков		(источников)			на вертикальной
		оси и применим				принцип		суперпози­
		ции для определения потенциала ско­
		рости, вызванного действием этих ис­
		точников.
		ков	Для конечного числа точечных сто­
			потенциал			скорости		выразится
		суммой

		Ф= У, -т~4л У/(___г - СУ^=)2 +					гг2 + С,
			/ = 1				(III. 138)
Рис. III.11. Точечный сток (ис­
точник) в неограниченном пласте	где	gi,		£2,	...,	£дг— координаты
	стоков.
Обозначим расход всех стоков через
			N
	Qo =	2 Q =	2 ]	qt.
			/ = 1
Увеличивая беспредельно		число стоков				(N ->-00), но сохра­
няя сумму расходов 2 Q неизменной, получим выражение
I	С	ЧЪ) & ,			, +	с	(III. 139)
4л J V ( z - C ) * + r*
характеризующее «действие» на			рассматриваемую				точку с ко­

ординатами z и г всех стоков отрезка — h, +h. При переходе от дискретного распределения к непрерывному мы заменим обо­ значение qt на <7 (0 -

Задаваясь той или иной интенсивностью стоков q(Q на от­ резке —h, +h, получим различные значения потенциала ско­ рости. Однако нас должно интересовать такое распределение <7 (£), которое обеспечивало бы получение постоянного потенци-

1 Определение потенциала скорости в главе I.

90