книги / Методы качественного анализа в динамике твердого тела
..pdf§ 5. Приложение к вынужденным колебаниям маятника 121
в этой задаче естественно поставить вопрос о существовании
однозначных аналитических интегралов. |
|
|||||||||
|
Будем |
говорить, |
что |
система |
канонических |
уравне |
||||
ний |
с гамильтонианом |
(5.1) |
имеет |
однозначный |
интеграл |
|||||
& {I, |
<р, t, Iи), если эта функция |
|
|
|
||||||
|
1) есть первый интеграл, |
|
|
|
|
|||||
|
2) является |
действительной аналитической функцией |
||||||||
в области |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
X (--е, е), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г, р, однозначна по пе- |
||
|
Пусть |
I = |
1° £ £$ (38 — |
ве |
|
С х с. |
|
|||
|
|
|
|
|||||||
ковое множество), tp° |
= |
0. |
Рас |
|
D |
с |
||||
смотрим на комплексной плоскос |
|
|||||||||
ти времени t £ С замкнутый кон |
|
|
|
|||||||
тур |
Г — |
границу прямоугольни |
|
А . |
в _ |
|||||
ка ABCD |
(рис. |
14). Здесь Т — |
о |
|||||||
|
т+Т |
|||||||||
период функции f(I°,u>(I°)t)cost, |
|
|
||||||||
|
|
|
||||||||
а т ( / ° ) — чисто мнимый |
период |
|
рИс. 14 |
|||||||
мероморфной функции |
/( /° , wz). |
|
|
|
||||||
Число г выберем так, чтобы f(I°, O J Z ) |
не имела полюсов на Г. |
|||||||||
|
Обозначим |
через 7 замкнутую |
непрерывную |
кривую |
||||||
в С х С, являющуюся образом следующего отображения |
||||||||||
|
|
|
Ф = w(I°)z, |
t = z, |
z £ Г. |
|
Пусть Д, I2 — малый интервал R, содержащий точку 1°, а О — связная окрестность контура 7 в С х С, П(а) С О С С П(S), 0 < s < S, такая, что при всех I £ (Г , 12) мероморфная функция / ( / , ip) не имеет полюсов в области О. Здесь мы положили
П(р) = {(ф> t) е С х С : |1шф| < р, |1т£| < р}.
Теорема 3. Канонические уравнения с функцией Гамиль тона (5.1) не имеют однозначного интеграла t,p), аналитического в прямом произведении (Г , 12) х О х (—г, е).
122 |
Глава 5 |
Доказательство.
Прежде всего заметим, что функция S (I , <р, t, р) аналитична в области Д х О х (—е, г), где
Д = { / £ С : R e / £ (/{, 1'2), |bn/| < v },
интервал (1[, Г2) содержит 1° и лежит внутри (Д, I2), a v — малое положительное число.
Разложим функцию S в ряд по степеням р: |
|
S = So(I, Ti t) + p S i(I, <р, t) + ... |
(5-2) |
Если (I, ip, t) £ Д х О, то этот ряд сходится при малых значе ниях параметра р. Покажем, что So не зависит от перемен ных (p u t. Действительно, если (I, t) £ (h , I2) х Т 2, то из невырожденности невозмущенной системы вытекает, что So не содержит <р, t (§ 3,4 гл. I). Если же (<р, £)£П, то это утверж дение следует из связности области Q.
Докажем теперь, что dSo/dl = 0 в интервале (I\, I2). Согласно теореме Пуанкаре [1, 3] решения возмущенной
задачи можно разложить в сходящиеся ряды по степеням па раметра р вдоль контура Г:
I = 1° -\- pl^{t) + ... , ip = |
u>(I°)t + pp^(t) + ••• |
(5-3) |
|
Покажем, что после обхода контура Г функция / 1(i) по |
|||
лучит приращение £ ф 0. Воспользуемся уравнением |
|
||
Ж = эж |
эж_ |
|
|
т |
= м dt |
|
|
Положим |
|
|
|
I=I° = ф^ = |
_ ^ /0 ’ |
sint = |
|
= | [eitn i ° , (j t ) - e ~ itf ( I 0,ut)].
Рассмотрим значение функции Ж на решениях (5.3). Прира щение h этой функции после обхода контура Г можно разло жить в сходящийся степенной ряд:
h — ho + phi + . . . .
§5. Приложение к вынужденным колебаниям маятника |
123 |
Очевидно, что h0 = 0 и |
|
V = h1 / Ф (/°, t)dt. |
(5.4) |
г |
|
Функция Ф(1°, t) периодична по t с действительным перио дом Т, следовательно,
СА
J Ф(/°, t)dt + J Ф(1°, t)dt = 0.
ВD
Положим
в
<П = 1 1 еи/(1°, wt)dt,
А
D
Si = | j еи/(1°, ud)dt,
с
Покажем, что
|
|
в |
СТ2 = |
- | |
/ е "й/ ( Л “>*)*, |
|
|
А |
|
|
D |
s 2 = |
- | |
/ e- i*/(J°, wt)dt. |
|
|
с |
Si = |
- е |
“ <TI, Е2 = - е |
“ ст2. |
(5.5) |
Действительно, заменяя переменные по формуле t = |
z + ia, |
|||
получим |
|
|
|
|
Г |
|
|
|
|
Е! = | У |
ei{z+ia)f(I°, w(z + ia))dz = |
|
||
т + Т |
|
|
|
|
|
т + Т |
|
|
|
= - | е - “ / |
eizf{I°,ojz)d z |
= - e - ° ‘a1. |
|
|
|
Т |
|
|
|
Аналогично доказывается вторая формула.
Интеграл (5.4) с учетом формул (5.5) запишется в виде
» ? = ( ! - e_ “ )oi + (1 - е°)<т2. |
(5.6) |
124 |
Г л а ва 5 |
Разложим возмущающую функцию Ж\ в двойной ряд Фу рье (см. § 4 гл. I)
ОС |
ОО |
Жх = Y s H™ A I)ei{m,p+t) +
— ОО |
— ОО |
С другой стороны,
Жх = \[еаН1, 4>)+e~af{I , ф)\.
Так как 1° £ то и>(1°) = 1/п , п £ Z \ {0}, (§ 4, гл. I) и, сле довательно,
(Т\ — iTН —л?1,
Согласно определению векового множества £$ коэффициен ты Н -п,1 = Н Пу- 1 отличны от нуля, поэтому комплексно сопряженные интегралы <TI и <Т2 тоже не равны нулю. Пред положим, что г) = 0. Тогда равенство (5.6) дает
1 - |
е~а |
02 |
1 - |
е“ |
O'! |
и, следовательно, а = 0. Но это не так.
Воспользуемся определением приращения функции Ж ,
Жо{1° + n il1( т ) + £ ) + • • • ) + fxMi(1° + . . . ,
0j(I°)t + . . . , Ь )-Ж о (1° + f i l 1( r ) + . . . ) -
—+ ... , w(I°)t + . . . , t) = ЦТ] + . . . .
Разлагая левую часть этого тождества в степенной ряд по /и и приравнивая члены при первой степени ц, получим, что
1] = дЖ0( ~ д Г С
Так как JJ ф 0, то £ ф 0. Итак, действительно, функция / 1(^) неоднозначна вдоль Г.
Используя непрерывную зависимость решений от началь ных данных, легко получить, что / 1(i) неоднозначна вдоль
Исторический очерк |
125 |
контура Г при всех 1 = 1°, принимающих значения из мало го интервала (I", Н[), содержащего исходное начальное значе ние 1°. При этом £ = £(/°) ф 0, когда 1° G (/", Ц ).
Функция ^ {1, <р, t, и) — первый интеграл канонической системы уравнений с гамильтонианом (5.1). Значит, эта функ ция постоянна вдоль решений (5.3) и, следовательно, ее зна чения в момент времени т G Г и после обхода контура Г сов падают. Отсюда
(1° + н !1(т) + •••) + |
(1° + •••> |
|
u>(I°)t + ..., £)+••• = |
+ /т(/1(т) + 0 + •••) + |
(10 + •••j u{I°)t + •••,!) + ... .
Снова разложим это тождество в ряд по степеням ц и прирав няем нулю коэффициент при pi. Тогда
/81 = 0.
Так как £(/°) Ф 0, то д ^ 0/81 = 0, когда I G (/", И/)- Следо вательно, dS'ojdl = 0 на интервале (Д, / 2) Э (/", Ц ) и ФРц — = const.
Функция
З'х + Р-З'ъ + ••-
тоже является однозначным интегралом, аналитическим в об ласти Д х О х (—г, г). Аналогично убеждаемся в том, что = = const. Этот процесс можно продолжить сколь угодно далеко и прийти к заключению, что все S’k = const (k = 0, 1, 2, ...). Тогда & будет просто постоянной. ■
Замечание. В § 4 гл. 1 доказано, что канонические уравне ния с гамильтонианом (5.1) не имеют даже действительнозначных аналитических интегралов. Однако это утверждение и только что доказанная теорема 3 независимы (т. е. их нельзя формально вы вести одно из другого).
Исторический очерк
Наиболее простой случаи движения тяжелого твердого тела около неподвижной точки был изучен Л. Эйлером (х = = у = z = 0), затем, с геометрической точки зрения,
126 |
Г л а ва |
5 |
Л. Пуансо. |
Другой случай (А = |
В, х = у = 0) был исследо |
ван Ж. Лагранжем и С. Пуассоном. Позднее К. Г. Якоби дока зал, что в этих случаях общие решения уравнений движения являются однозначными мероморфными функциями времени, рассматриваемого как комплексное переменное [22, 40].
Опираясь на этот результат, С. В. Ковалевская поста вила следующую задачу: найти все случаи, когда общее ре шение задачи о тяжелом твердом теле с неподвижной точ кой представляет собой функции, мероморфные во всей плос кости комплексного времени. В результате исследований С. В. Ковалевской выяснилось, что эти случаи весьма немного численны: к классическим случаям Эйлера - Пуансо и Лагран жа-Пуассона надо добавить еще один случай, когда А = В = = 2С, z = 0 (случай Ковалевской).
В случае, разобранном С. В. Ковалевской, так же как и в ранее известных, система уравнений движения имеет до полнительный первый интеграл, что и обеспечило возмож ность их интегрирования в квадратурах. При этом оказалось, что в некоторых естественных переменных (переменные Эй лера-Пуассона) во всех случаях интегрируемости дополни тельные интегралы являются многочленами, так же как и классические первые интегралы. Таким образом, общее ре шение представляется мероморфными функциями времени как раз в тех случаях, когда существует новый алгебраичес кий интеграл. Этот результат, естественно, поставил об щую задачу о связи между существованием алгебраических ин тегралов аналитических систем дифференциальных уравне ний и мероморфностью общего решения. На важность этой задачи впервые обратил внимание Пенлеве [41].
Выяснилось, однако, что однозначной связи здесь нет. Приведем соответствующие контрпримеры для гамильтоно вых систем с двумя степенями свободы.
Пусть |
|
Ж = Р 21 + ч 1 + р 1 + / Ы , |
(1) |
где f ( z ) — многочлен не ниже пятой степени. Система ка нонических уравнений с гамильтонианом (1) имеет два неза
Исторический очерк |
127 |
висимых алгебраических интеграла
3'\ = Ж, сРъ = pi +
с помощью которых уравнения можно разрешить в квадрату рах. Однако у этой системы есть неоднозначное решение:
P i = q i = О, р2 = y/ h - / ( 92), 92 = \Л - /ОЫ ; = const.
Действительно, 92(f) находится из обращения гиперэллипти ческого интеграла
t dz
V h ~ f (z)
и, следовательно, является неоднозначной функцией t£ С [3]. Обратно, пусть
Ж — pi + -у- — 9192 — 29!. |
( 2) |
Покажем, что все решения, канонической системы с гамиль тонианом (2) мероморфны. Действительно, qi = 1; следова тельно, 9i = t + с, с = const. Далее,
9 2 = Р 2, |
i>2 |
= 69! + 91. |
(3) |
Откуда |
|
|
|
92 = |
69! |
+ t + с. |
(4) |
Хорошо известно, что все решения дифференциального уравне ния
х = 6х2 + t |
(5) |
являются мероморфными функциями с полюсами второго по рядка [3, гл. II]. Следовательно, этим же свойством обладают
решения уравнения (4). |
Так как р2 = |
92 |
и вычеты функции |
92(t) в полюсах равны нулю [3, гл. II], |
то функция |
||
t |
|
|
|
P2(t) = / |
q2(t)dt + ci, |
ci = |
const |
0
128 |
Глава 5 |
однозначна и мероморфна во всей комплексной плоскости С. Утверждение доказано.
Предположим теперь, что система с гамильтонианом (2) имеет независимый от функции Ж алгебраический интеграл ■^{'РлРШлЦъ)- Тогда при фиксированном значении h функция
р |
2 |
&i(Pi(h, Р2, 9i, 92), Р2, 91, 9г), P i = h - Y |
+ 9192 + 2q\ |
есть алгебраический интеграл системы уравнений (3). Следо вательно, уравнение (4) имеет интеграл, являющийся алгеб раической функцией по <j2, 92, t, и, что то же самое, уравне ние (5) имеет интеграл, алгебраический по х, х, t. Однако, как доказал Пенлеве [41], такого быть не может.
Вернемся к динамике твердого тела. Теорема С. В. Кова левской о мероморфных общих решениях была существенно усилена А. М. Ляпуновым [42] и Г. Г. Аппельротом [43], дока завшим, что общее решение уравнений движения тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки представляется од нозначными (в частности, мероморфными) функциями време ни t&C только в классических случаях Эйлера, Лагранжа и Ко валевской. В этих случаях дополнительные интегралы, как
иклассические интегралы, являются многочленами, т. е. рас сматриваемые как функции многих комплексных переменных, они однозначны в прямом произведении комплексных плоскос тей. Эти результаты указывают на целесообразность рас ширения задачи Пенлеве: какова связь между существованием новых однозначных интегралов и однозначностью общего ре шения?
Формально задача Пенлеве об алгебраических интегралах
имероморфных решениях не включается в эту задачу, так как алгебраические функции в общем случае неоднозначны. Однако следует отметить, что при доказательстве отсут ствия алгебраических интегралов уравнений задачи о тяже лом твердом теле основная трудность состоит в доказатель стве несуществования дополнительного интеграла, являюще гося отношением двух многочленов (или просто многочленом), который, конечно, однозначен [44]. Кроме того, свойство сис темы аналитических дифференциальных уравнений иметь ал-
Исторический очерк |
129 |
гебраические интегралы в сильной степени зависит от выбора координат.
Наличие неоднозначных решений накладывает сильные ограничения на однозначный первый интеграл. Действитель но, пусть решение z(t), z £ С п неоднозначно вдоль некоторого контура Г С С; т. е. функция z(t) после обхода контура Г по лучает приращение £ ф 0. Если f(z ) — однозначный интеграл, то, очевидно,
f(z (r ) + £ ) = f(z(r)), т G Г.
Пример канонической системы с гамильтонианом (1) показы вает, что из неоднозначности общего решения еще не выте кает несуществование однозначных первых интегралов. Одна ко, как утверждает теорема 1 , если на ветвление решений наложить дополнительные условия, которые выполняются в общем случае, то из неоднозначности общего решения вы текает отсутствие дополнительных однозначных интегра лов гамильтоновых уравнений.
Отметим в заключение, что вековое множество задачи о вращении тяжелого несимметричного твердого тела вокруг неподвижной точки играет важную роль при доказательст ве отсутствия действительного аналитического интеграла (гл. III), при исследовании рождения изолированных периоди ческих решений (§ 2 гл. IV) и, наконец, при решении задачи Пенлеве о ветвлении решений и несуществовании однознач ных интегралов (§ 3-4 гл. V). Это позволяет с разных сторон рассмотреть классическую задачу об интегрируемости урав нений динамики твердого тела.
Глава V I
Принцип наименьшего действия и периодические решения в динамике твердого тела
Натуральная механическая система — тройка (М, ds, У), где М — гладкое n-мерное многообразие (конфигурационное пространство), ds — риманова метрика на М (которая задает кинетическую энергию системы S = (ds/dt)2/2), У — глад кая функция на М (потенциал поля сил). Движения натураль ной системы — это отображения т : Д —> М (Д — интервал в R ), удовлетворяющие в локальных координатах на М урав нениям Лагранжа с лагранжианом Jz? = S + У. Так как форма S положительно определена, то движение m(t) с начальными
условиями т{0) = а£М , J^m(0) = v (v — касательный вектор
к М в точке а) существует и единственно (подробности см. в [4, гл. IV]). Уравнения движения имеют первый интеграл — интеграл энергии: S — У = h. При каждом фиксированном значении h движение происходит в области D = {h + У ^ 0}, которая называется областью возможных движений.
§ 1. Аналог теоремы Хопфа-Ринова
Согласно принципу наименьшего действия в форме Якоби движения натуральной механической системы внутри облас ти D являются геодезическими линиями метрики dp2 = (h +
+ y ) d s 2.
Когда h > т а х м (—У), то D совпадает с М и (D , dp) — риманово многообразие. В противном случае граница 3D об ласти D не пуста, и метрика Якоби dp имеет на 3D особен ность (длина кривых, лежащих на границе, равна нулю).
Пусть q = (qi, ... , qn) — некоторые локальные коорди наты на М .