книги / Потенциальная теория неустановившихся сверхзвуковых течений

Если разложение функции Ф в ряд по степеням частоты

ф = 2 н 2 'Ч Ъ	(4.4.4)
о

подставить в уравнение (4.4.1—3) и приравнять члены при одинаковых степенях х, мы получим следующую совокуп­ ность упрощенных задач:

(	Л'Фо = 0,		(4.4.5)
п = 0	Фо. U o = - V ,	{x \ y )^ S \	(4	.4.6)
I	Ф о и о = 0,	{x \ y )^ R \	(4.4.7)
f	Д 'Ф „ = -Ф ,,_ 1 ,		(4.4.8)
п > 1 1	1>n,Uo = 0,	( x ' ,y ) iS \	(4.4	.9)
I	Ф„|.=о = 0,	(*',!/) 6 Л '	(4.4	.10)

(Заметим, что для получения решения нет необходимости разлагать V в ряд по частоте, хотя это и может оказаться целесообразным в окончательном результате для того, чтобы получить принятую точность аппроксимации).

Первая из задач (п = 0), формулированная соотноше­ ниями (4.4.5—7), есть не что иное, как задача о стационар­ ном обтекании крыла той же формы в плане. Последующие задачи (л = 1 , 2, . . . ) , формулированные соотношениями (4.4.8— 10), по существу, также являются задачами стацио­ нарного типа, в том смысле, что и дифференциальное урав­ нение, и граничные условия по форме сходны с имеющими место в стационарных задачах. Это станет еще более оче­ видным, если решение уравнения (4.48) представить в виде

ф = + ф<,“)+ ф»’^ (л > I), (4.4.11)

где ф|?*^ есть некоторое частное решение уравнения (4.4.8),

а Фп ^ и Фп ^ являются решениями следующих		граничных
задач:
Д'ф<“>=	0,	(4.4.12)
ФЙ’ I-O = - Ф Й > 1,-0.	(x '.y ) e S ',	(4.4.13)
Ф Й >|-о = 0.	(x',y)iR',	(4.4.14)

Д 'ф ^ ^ О ;			(4.4.15)
U O= о,	(Jf',	у) € 5 ',	(4.4.16)
(Djf) I = -(D Jf) U o ,		у) 6 /?'	(4.4.17)

Первая из этих задач (4.4.12— 14) идентична по форме ста­ ционарной задаче (4.4.5—7), а вторая дополнительная задача (4.4.15— 17) решается теми же общими методами.

Если задняя кромка крыла дозвуковая, то граничные условия в следе (на пелене) (3.9.5) следует включать в фор­

мулировку задачи; эти условия напишутся так:
(0 .^ .-f/M-Ix(D)^=O* = о,	{x \ y )^ W .	(4.4.18)

Теперь уже наряду с четными следует включить и нечетные степени х в разложение функции Ф в ряд. При этом удоб­ нее записать ряд так, чтобы члены с четными и нечетными степенями х разделялись:

ф = 2 к,“(Ф,„+ /кФ,..0-

(4.4.19)

Подставляя (4.4.19) в (4.4.1—3) и (4.4.18) и приравнивая члены C одинаковыми степенями х, получим

при /г = о

Д'Фо = 0,	{x\y)^s\
OozUo=
Фо Iz=O= 0,	{x\y)^R\
Фох' Iz-O* = 0»	{x\iMW;

(4.4.20) (4.4.21) (4.4.22)

при 2л + 1 > 1
Д'Фгп+1 = - Ф 2 « -	( = 0, если	л =	(4.4.24а)
Ф(2п-Н)г)г=о = о,	(л-', у) 6 S ',		(4.4.25а)
^(2п+1) |г=о = о.	{x\ y)^ R \		(4.4.26а)
Ф(2п+1)х. Iz=O* = -	М-'Фгд |*=о*,	у) 6	(4.4.27а)

при 2 n > 2
			(4.4.24b)
^ 2,wl.=o =	0,	{x\ tj)^ S \	(4.4.25b)
Фгн Iz=O =	O,	{x \ y )^ R \	(4.4.26b)
Ф211 . |.=o* = Ч- М‘ 1ф2п-1 Iz=O-,		{x\ y) 6	(4.4.27b)

Задача, формулированная системой (4^.4.20—23), — это стационарная задача для крыла заданной формы в плане. Вводя частные решения уравнений (4.4.24), четную и не­ четную задачи (4.4.24—27) можно разбить на стационар­ ные и дополнительные, аналогичные тем, которые фор­

мулируются	соотношениями		(4.4	.12— 14)	и	(4.4.15— 17),
плюс еще одна		дополнительная		задача с	неоднородными
граничными	условиями для Ф^', на пелене W'
Заканчивая		этот раздел,	мы дадим метод			разложения

в ряд по степеням частоты решения задачи о крыле в виде интегрального уравнения (см. § 10.5),

У я = М {Ф }= 2 ч2ЧМ {Ф г,}-1-тЛ4{Ф 2г,1}], (4.4.28)

г= 0

где символ M означает операции, определяемые интеграль­ ным уравнением. Примем, что интегральное уравнение для стационарной задачи может быть обращено по соот­ ношению

Ф, = Л4-М1^} = ^ { П

(4.4.29)

Теперь, представляя V H M B виде рядов по степеням х, уравнение (4.4.28) можно переписать в следующей форме:

S K“ [V „ + < W „ .J = г=0

= 2 2 х “ " ‘Ч/И,. + 1хМ „..И Ф „ + <хФ ,„,}. (4.4.30)

г= 0 S=O

Перемножив	обе части уравнения	(4.4.30) на оператор
L^l = М~^) и	приравнивая члены с	одинаковыми степе-

и н, получим

8 = 0

H- Ъ ^2(г-8)-1 {^^2s+l})

(4.4.31а)

^2r+l ~

{^2r+J

^2(i--s) {^^2s+l}

S = O

- 2 Л ^ 2 ( г-8Н1{Ф28}}.

(4.4.31b)

S =O

Отметим, что Mog^i тождественно обращается в нуль, если задняя кромка нигде не имеет дозвуковых участков, поскольку X в.ходит в M только через х^ в дифференциаль­ ном уравнении; в то же время Ogr+i всегда сохранится из-за наличия Kgr+i- C другой стороны, если V не разлагать в ряд, как это было в рассмотренном ранее методе решения диффе­ ренциального уравнения (V' участвует непосредственно лишь в определении Ф^), то фд,.+! будет обращаться в нуль вместе

CA las*!-

Взаключение отметим, что итерационный процесс, опи­

сываемый соотношениями (4.4.31), можно рассматривать как некоторую модификацию известного метода Лиувилля — Неймана (см. Курант и Гильберт, том 1) и что он в равной мере применим к разложению по любому параметру, для которого решение (т. е. обратный оператор L^) интегрального уравнения может быть найдено, если этот параметр обра­ щается в нуль, и для которого существует разложение типа (4.4.30). В некоторых случаях может возникнуть необходи­ мость во введении в разложение членов вида x ” log x (см., например, § 9.8), однако основной порядок действий изло­ женного в этом разделе метода не изменится.

§ 4.5. Случай очень низкой частоты колебаний

Преобразования, рассмотренные в предыдущем разде­ ле, дают формальный метод, позволяющий свести кано­ ническую граничную задачу, сформулированную в § 3.9, к совокупности эквивалентных стационарных задач.

Однако,	пользуясь этим методом, не	следует		забывать,
что переход к исходным переменным х		и t	сам	по	себе
является	преобразованием, зависящим	от	частоты.		Если

мы хотим применить полученные результаты к случаю негармонического, медленно изменяющегося движения, параметр tx можно интерпретировать как оператор (Ojdt'), а полученный результат преобразовать к переменным (л:, /) C помощью видоизмененного преобразования Лоренца (§ 3.4). Случай гармонического движения может быть рас­ смотрен методом параграфа 3.10.

Для иллюстрации рассмотрим задачу о гармоническом движении, в предположении, что частота колебаний очень мала. Это, по-видимому, наиболее важный случай примене­ ния метода разложения в ряд по степеням частоты, так как он непосредственно применим к расчету вращательных про­ изводных.

Сначала рассмотрим крыло со сверхзвуковыми задними кромками. Пусть символ Фц [х , у, z; V (л:', //)} означает реше­ ние граничной задачи, формулированной соотношениями (4.4.5 — 7), т. е. задачи об установившемся движении со

скоростью, соответствующей числу M = V 2. Если дви­ жение гармоническое, функции Ф и К связаны с ком­

плексными амплитудами ф и о соотношениями (3.1.0.б,7). Разлагая экспоненциальные члены в ряд и сохраняя лишь

члены первого порядка относительно частоты,						получим
(см. Майлс [1°8])		1)
Ф = ехр^ —
х Ф о {х ', г/, г; e x p ( + i*M ’'- p )J ( A :, г/)} +					О М =	(4.5.1а)
=	У'	У)} +	^ *	[ ® » { f ’	У'
- х Ф	, { | , у. а;	? ( x , i /	) } ] +	0 ( ^ ^ ) .		(4.5.1b)
Если движение не гармоническое, но медленно меняю­
щееся,	параметр	ik в уравнении (4.5.Ib)			можно	заменить
на	а дифференцирование по t				переставить ме-

'^) См. также работы Зауэра Е®®] и Московнча и Мекля [“ ®1.

стами C оператором Ф,,. Тогда
1/. z; v{x, у,	о }	+
+ CF ) {^^0 [ f	’		о ] -
	[ f	’	У' ^)].} (^-^-2)

Подчеркнем, что здесь, равно как и в выражении (4.5.1), операцию, налагаемую оператором Фц на и, нельзя менять местами с умножением на х.

Если рассматриваемое крыло имеет дозвуковые задние кромки, то под символом Ф о{К} следует подразумевать решение задачи, формулируемой соотношениями (4.4.20—

23),	а к результату (4.5.Ib)				добавить		помноженное на tx
решение		задачи,		которую формулируют				соотношения
(4.4.24а— 27а),			если положить			в них	п = 0:
				А'Ф1 =	0,				(4.5.3)
			OuIz=O = O,			{х\ y)^ S\			(4.5.4)
			O i Iz= O = O,			(х\ у) ^ R'			(4.5.5)
O K-C-IZ=O+= — М'^Оо{х ',					i/,	о + ;	у {х\	у)],	]
				(=C ,y)iW '.					!(■ ‘ -З-б)
Решение этой				задачи	(4.5.3 — 6) дано Майлсом
в виде
Oi {х', у,		Z- У} =
		л'
=	-M -^	5	1Фо{5, у, г;		^ ) - Ф '{ 5 ,		y, z-, V)-\dt		(4.5.7)
		(V, z)
где	Xo {у,	z) — уравнение			поверхности, являющейся оги­

бающей конусов Маха, верщины которых располагаются

на передней кромке поверхности крыла S; Ф '			является
решением задачи (4.4.20	—22)	с условием
Ф! U-O =	O.	(x ',y )e w '	(4.5.8)

вместо условия (4.4.23). Полное решение имеет в таком

случае	вид
9(JC.	У, 2)=^Фо{|-. у, z; у (л, у, о} +
	+	МР-" [Ф о{у . У> z; XVt {х, 1/. О}-
	- ^ o j f . t/. z;		Vi {х, у, о } ]	+
	+	J [Фо{^,	г/, z; у, (л:,	у, t ) } -
		0
	-Ф ^и. i/. z; Vt {X, у, t))]dt			(4.5.9)

Заметим, что в практических приложениях этого резуль­ тата, возможно, более удобным было бы оперировать непо­

средственно C давлением,	как это сделано в работе Майлса
где рассмотрено	крыло* трапецеидальной формы
в плане (см. также § 8.3).

Замечание о дозвуковых и сверхзвуковых кромках. Следуя терминологии, принятой при. рассмотрении установившихся

течений (Уорд	стр. 21), кромка называется дозвуковой
или сверхзвуковой,	в зависимости от того, меньше или

больше скорости звука а^ составляющая скорости, нормаль­ ная к этой кромке и лежащая в плоскости крыла.

Г Л А В А 5

ДВУМЕРНЫЕ ЗАДАЧИ

§ 5.1. Введение

Многочисленные авторы, пользуясь разнообразными методами, подробно исследовали двумерные сверхзвуковые нестационарные задачи. Результаты этих исследований широко используются в практике анализа флаттера, в рам­ ках так называемой теории полоски, в которой локальное течение принимается двумерным. Здесь мы рассмотрим последовательно: задачу о колеблющемся профиле — приме­ нительно к расчету продольного демпфирования; случай произвольной зависимости от времени (применительно к расчету аэродинамических нагрузок при входе в порыв ветра) и, наконец, случай бегущих волн, возникающий при исследовании флаттера панелей обшивки.

§ 5.2. Колеблющийся профиль

Впервые эта задача была рассмотрена Поссио [^***], который получил ее решение в виде разложения в ряд по сте­ пеням частоты. Позднее более общие решения были полу­ чены Борбели I®'’ ] и многими другими ^). Обзор различных решений был дан в монографии Карпа, Шу, Вайля и Био (^^Ч, за которой последовала вторая монография тех же авторов содержавшая результаты численных расче­ тов. Вопрос о звуковом (М = 1) обтекании был предметом

1) Темпль 11 Яп		Био [‘®], Гаррик и Рубинов [т®], Маплс
[i*®], Е. А. Краснлыцнкова [“ ®], А. П. Паннчкин			Таусски
Вебер	[а®®], Хоил [ю®], Шварц [“ ®1, Дорр [«®J,		Унллн 1®®®],
Хакель	н Дурлипг	I^®®], Хасснг [®®]. Упрощенное	приближенное

решение дано в работе Коллара [*®]. См. также Вебер и Руппель [®®®].

специального рассмотрения в работах Ротта		[252]
и Нельсона и Бермана	[“ Ч.
Начнем с рассмотрения гиперболического уравнения
Гельмгольца в двумерном пространстве
		(5.2.1)
решение которого нам	нулшо наити при	следующих

x'=z

/

Рис. 5 .1 . Граничная задача для двумерного крылового профиля.

граничных условиях (рис. 5.1.):

O J z = O = - F	(X')	(X' > 0)	(5.2.2)
OIz=O = O	( х '< 0 ) .		(5.2.3)

При таком типе граничных условий естественно приме­ нить преобразование Лапласа по х' (см. §3.11), и тогда вновь полученная задача будет формулироваться следую­ щим образом:

Oz*z - Я^О* = 0,	Я = (S^+ н2) 1/2	(5.2.4)
O t I z = O = - V * ( S ) .		(5.2.5)

. Решение этой задачи, обращающееся в нуль на бесконеч­ ности, имеет вид:

ф * =

(S) е-л*

(Z > 0).

(5.2.6)

	КОЛЕБЛЮЩИПСЯ			ПРОФИЛ Ь		69
Используя соотношение (см. Кэмпбелл					и Фостер I®®],
стр. 866), согласно		которому
	ехр [ — (s“ -1- X^)'/аZ]} =
	=	J ,	[X (Л''2- 22)V2] I ( X ' -		2 ),	(5.2.7)
и применяя	теорему	сперты пия		(см. там	же, стр. 202),
получим
	Ф = 5 Л ( к [ { д :'- а = - 2 * 1 ‘/.)1/® <Л .					(5.2.8)
Теперь,	пользуясь		соотношениями (3.4.10),			(3.10.6)

и (3.10.7), перейдем к координатам (х, /). Комплексная амп­

литуда потенциала па крыле (z =	0-Ь) может быть пред­
ставлена в виде
> U o + = -f	(5.2.9)

Я (-^) — охр^ рг J «^0 рг (5.2.10)

Следует отметить, что v является здесь функцией х, а не х'. Подставляя выражение потенциала (5.2.9) в (3.3.5) или, иным путем, C помощью соотношений (3.9.3) и (3.10.8), найдем амплитуду давлений, которая выразится соотноше­ нием

X
7(x) = a,i(x ) + a„^	+	(5.2.11)

О

где

(5.2.12)

Первый член выражения (5.2.11) является кваэистационарным, т. е. получается с помощью решения стационарной задачи, величина есть производная коэффициента подъем­ ной силы по углу атаки для плоской пластины (по Аккерету). Интегрируя по -частям, тот же результат можно