книги / Проектирование и исследование идентификационных моделей управляющих систем реального времени

ления, показала следующее: наличие обратных отрицательных связей приводит к наличию отрицательных элементов как в матрице F (X, A),

так и в якобианах F1 (x), F2 (x).

Таким образом, сходимость данного метода не гарантируется, а следовательно, метод квазилинеаризации не может быть применен для совместного оценивания параметров и состояния.

2. Метод инвариантного погружения. В основе метода инвари-

антного погружения лежит преобразование многоточечной краевой задачи в одноточечную.

Данный метод менее зависим от начальных значений. Сходимость алгоритма идентификации к фактическим значениям параметров обеспечивается в довольно широком диапазоне начальных приближений. К недостаткам метода инвариантного погружения следует отнести существенные затраты времени на преобразования модели, что делает невозможным применение идентификации объектов управления в реальном времени. Существенным недостатком является зависимость сходимости алгоритма от выбора вспомогательных матриц.

3. Фильтр Калмана – Бьюси. Алгоритм фильтра Калмана позволяет в реальном времени построить оптимальную оценку состояния системы X(t) , основываясь на измерениях Y(t) , содержащих погрешности. Вектор измерений X(t) рассматривается в качестве многомерного выходного сигнала системы, при этом зашумленного, а вектор состояния Y(t) – неизвестный многомерный сигнал, подлежащий определению. Условием оптимальности построенной оценки является минимум среднеквадратичного отклонения оцененного значения от истинного.

В общем случае задача фильтрации по Калману формулируется для нелинейной нестационарной системы в условиях действия допущения. Модификация метода – фильтр Калмана – Бьюси применяется для линейного стационарного объекта, представленного в пространстве состояния при действующем белом шуме [10, 12].

dX(t)	= AX(t) + BU(t) + N(t),	(2.108)
dt

где X(t) – случайный марковский n-мерный процесс, задаваемый необходимой априорной информацией:

M {X} – математическое ожидание X(t) , M {X} = X0 ;

81

cov(X(t)) – ковариационная матрица X(t), cov(X(t)) = = M {(X(t) − M {X(t)})(X(t) − M {X(t)})T } = P0 ;

U(t) – измеряемое векторное входное воздействие, которое может

быть как детерминированной, так и случайной величиной;

N(t) – k -мерный вектор случайных воздействий, полагаемых процессами типа белого шума: M {N(t)} = 0 , cov(N(t)) =

= M {N(t)N(t)T } = Vδ (t− τ ),

где δ (t) – дельта-функция;

V – симметричная неотрицательно определенная матрица интенсивности белого шума N(t).

Процесс X(t) наблюдается с помощью измерителя, и вектор измеряемых координат определяется соотношением

Y(t) = CX(t) + ε (t) ,

(2.109)

где ε (t) – p-мерный вектор шумов измерения, полагаемый случай-

ным	процессом	в	виде	белого	шума:	M {ε (t)} = 0 ,
cov(ε (t)) = M {ε (tε) (t)T } = Rδ			(t − τ),
где R – симметричная неотрицательно определенная матрица интен-
сивности белого шума ε(t) .
	Процессы N(t) и ε(t) , а также X(t) и N(t) , X(t) и ε(t) полага-
ются	некоррелированными: M {N(t)ε(t)T } = 0, M {X(t)N(t)T } = 0,
M {X(t)ε(t)T } = 0.
	Требуется построить линейную динамическую систему, обеспечи-
вающую получение оптимальной оценки X* (t)					вектора X(t) , если ошиб-
ка оценивания задана:
		E(t) = X(t) − X* (t).				(2.110)
	Критерием оптимальности является условие минимума ее квадра-
тичной нормы:
		J (t) = E(t)E(t)T → min .				(2.111)

Задача фильтрации по Калману – Бьюси соответствует следующей структурной схеме (рис. 2.27).

82

Рис. 2.27. Структурная схема формирующего фильтра (ФФ)

иизмерителя при действии случайных возмущений

иналичии помех

При построении фильтра Калмана используется идея n-мерного наблюдателя (наблюдателя полного порядка), когда в качестве идентификатора состояния принимается математическая модель системы.

Фильтр Калмана осуществляет процедуру рекурсивного оценивания на основе наблюдений за входным и выходным сигналами объекта, где для уменьшения дисперсии оценок в алгоритм идентификатора вводится корректирующая обратная связь по выходу системы Y(t) .

Исходя из требования получения несмещенной оценки X* (t) уравнение фильтра имеет вид [10, 12]

dX* (t)	= AX* (t) + BU(t) + L(Y(t) − CX* (t)),	(2.112)
dt

где L – матрица коэффициентов усиления фильтра, обеспечивающая оптимальную в смысле минимальной дисперсии оценку состояния, которая определяется выражением

L = PCT R−1,

(2.113)

где P – ковариационная матрица ошибок оценивания, которая в случае стационарности процессов определяется решением алгебраического матричного уравнения Риккати:

AP + PAT − PCR−1CP + CVCT = 0.

(2.114)

В общем случае построение оптимального наблюдателя является решением задачи оптимального стохастического управления в условиях неполноты информации о векторе переменных состояния. Нахождение

83

матрицы коэффициентов усиления фильтра может быть реализовано методом аналитического конструирования регуляторов [10, 28, 29].

Фильтрация в случае выборочных измерений функции времени

k= 1, 2,… имеет следующий алгоритм:

1)По априорным значениям характеристик сигналов находится априорное значение ковариационной матрицы сигнала, основанное на k наблюдениях:

	Q(k +1) = AP(k )AT + V.	(2.115)
2)	Рассчитывается апостериорное значение ковариационной мат-
рицы сигнала, основанное на k +1 наблюдениях:
P(k +1) = Q(k +1) − Q(k +1)CT [CQ(k +1)CT + R]−1CQ(k +1). (2.116)
3)	Определяется матрица коэффициентов усиления	L(k +1) , за-

дающая вес поправок к начальным условиям на основе ковариационных матриц оценки состояний:

L(k +1) = Q(k +1)CT [CQ(k +1)CT + R]−1 = P(k +1)CT R−1. (2.117)

Величины P(k +1) , Q(k +1) , L(k +1) полностью определяются априорной информацией. Вычисления продолжаются до установления

стационарности				фильтра, условием	которой является равенство
	P(k +1) − P(k )		≤ ξ	или, соответственно,			L(k +1) − L(k)		≤ ξ , где ξ – за-
данная точность.
	После определения матрицы L(k)				алгоритм работы фильтра Кал-

мана – Бьюси сводится к последовательной обработке поступающих входных и выходных данных, при которой текущая оценка сигнала получается на основе корректировки ранее сделанной оценки с учетом информации, поступающей на вход фильтра в процессе наблюдения.

Фильтр Калмана – Бьюси требует дополнительной априорной информации, а именно вероятностных характеристик возмущений и помех. Данные требования являются избыточным для оценивания параметров и состояния детерминированного объекта.

Таким образом, исследования показали, что ни один из вышеприведенных методов оценивания параметров и состояния не является уни-

84

версальным. Каждый из рассмотренных методов обладает своими недостатками, ограничивающими область его применения.

Поэтому при идентификации моделей систем с ограничениями по измерениям необходимо разработать прикладной метод идентификации, простой в реализации, отвечающий требованиям сходимости, быстроте решения и ориентированный на конкретный класс моделей.

Для решения поставленной задачи предлагается следующий алгоритм идентификации [4, 27, 30]:

Объект описывается системой уравнений

	V(i +1) = ФV(i) ,			(2.118)
		U(i)
где	V(i) – обобщенный вектор состояния,
		V(i) = X(i)		,

Y(i)

U(i) – вектор входных воздействий; X(i) – вектор неизмеряемых координат; Y(i) – вектор измеряемых координат. Ф – матрица перехода.

Рассмотрим ограниченный класс модели, присущий многим системам автоматического управления. Согласно классификации, приведенной в работе [26], объекты данного класса могут быть представлены следующими типами звеньев:

–апериодическое звено;

–идеальное интегрирующее звено;

–реальное интегрирующее звено;

–реальное интегрирующее звено с суммарным входом;

–последовательное соединение апериодического звена 2-го порядка и интегрирующего звена.

Первые два типа звена являются полностью измеряемыми и поэтому могут быть оценены любым методом идентификации для полностью измеряемых объектов. Реальное интегрирующее и реальное интегрирующее звено с суммарным входом имеют одну неизмеряемую внутреннюю переменную. Объект, представляющий собой последовательное соединение апериодического звена 2-го порядка и интегрирующего звена, имеет две неизмеряемые переменные.

85

Матрицы перехода данных объектов имеют следующий вид:

– реальное интегрирующее звено

1	0	0
Ф = b	a	0	;	(2.119)
1	11
	a21
0		1
– реальное интегрирующее звено с суммарным входом
1	0	0
	a11
Ф = b1		0	;	(2.120)
	a21
b2		1

– последовательное соединение апериодического звена 2-го порядка и интегрирующего звена:

			1		0			0	0
		Ф	= b1	a11				0	0 .	(2.121)
			0	a21			a22		0
					0		a32
			0						1
Для звеньев 2-го порядка обобщенная матрица перехода имеет вид
			1		0			0
		Ф = b			a			0	.
				1	11
					a21
			b2					a22
С учетом структуры матрицы перехода уравнение динамики
(2.118) может быть записано в следующем виде:
	u(i +1)		= u(i),
			= b1u(i) + a11x(i),							(2.122)
	x(i +1)
	y(i +1)		= b u(i) + a			21		x(i)	+ a y(i).
			2						22
Система (2.122) после исключения из нее x(k) – неизмеряемой
координаты примет вид
1		( y(i + 2) − (a11			+ a22 ) y(i				+1) + a11a22 y(i)) = u(i)	(2.123)
	b1a21 + b2 (1− a11)

86

	или
	c1 y(i + 2) + c2 y(i +1) + c3 y(i) = u(i),						(2.124)
	где
	c1	=			1	,	(2.125)
			b1a21		+ b2 (1− a11 )
	c2	=		−(a11 + a22 )		,	(2.126)
				b1a21	+ b2 (1− a11)
	c3	=			a11a22	.	(2.127)
			b1a21		+ b2 (1− a11 )

После наблюдений над объектом формируются матрицы измерений входных U(i) и выходных Y(i) переменных, уравнение (2.124)

разрешается относительно коэффициентов c1, c2 , c3 .

По известным коэффициентам c1, c2 , c3 определяются коэффици-

енты матрицы переходов:

– реальное интегрирующее звено

=

1

b1a21

,

c1

+ a22

= −

c2

a11

,

(2.128)

c1

c3

a

a

=

;

11

22

c1

– реальное интегрирующее звено с суммарным входом

+ b2 (1− a11) =

1

b1a21

,

c1

+ a22

= −

c2

a11

,

(2.129)

c1

c3

a a

=

.

11

22

c1

87

Коэффициент b2 представляет собой реакцию системы на входное

воздействие на первом интервале дискретности, поэтому определить его не составляет труда.

Таким образом, в результате идентификации определяются коэффициенты матрицы перехода a11, a22 , b1a11 или b2 , a11, a22 , b1a11.

Это означает, что предложенный алгоритм идентификации позво-

ляет определить постоянные времени a =							1	,	a =	1	и общий коэф-
				11			T1		22	T2
фициент усиления K	Σ	= K K		=	b1a21	.
		1	2		a11
Для звеньев 3-го порядка, в которых неизмеряемыми являются две

внутренние переменные x1, x2 , с учетом структуры матрицы перехода уравнение динамики (2.118) может быть записано в следующем виде:

u(i +1) = u(i),

(i

+1) = b1u(i) + a11x1(i),

x1

(2.130)

(i

+1) = a21u(i) + a22 x2 (i),

x2

y(i +1) = a x (i) + y(i).

32

2

Выражение (2.130) после исключения из него неизмеряемых коор-

динат имеет вид

c1 y(i + 3) + c2 y(i + 2) + c3 y(i +1) + c4 y(i) = u(i),

(2.131)

где

c1

=

1

,

(2.132)

b1a21a32

c = −

a11 + a22 +1

,

(2.133)

2

b1a21a32

c

=

a11a22 + a11 + a22

,

(2.134)

3

b1a21a32

c = −

a11a22

.

(2.135)

4

b1a21a32

88

После наблюдений над объектом формируются матрицы измерений входных U(i) и выходных Y(i) переменных, уравнение (2.122)

разрешается относительно коэффициентов c1, c2 , c3 , c4 .

По известным коэффициентам c1, c2 , c3 , c4 определяются коэффициенты матрицы переходов

=

1

,

b1a21a32

c1

c

a11 + a22

+1 = −

2

,

c1

c3

a a

+ a

+ a

=

,

11 22

11

22

c1

a a

22

= −

c4

.

11

c1

– реальное интегрирующее звено с суммарным входом

										1
	b1a21 + b2					(1− a11 ) =					,
										c1
			+ a22		= −			c2
	a11								,
								c1
					c3
	a a			=			.
		11	22			c1

(2.136)

(2.137)

Система уравнений (2.137) разрешается относительно a11, a22 , b1a21a32 , т.е. так же, как и для звеньев 2-го порядка опреде-

ляются постоянные времени a =	1	,	a		=	1	и общий коэффициент
				22
11	T1					T2

усиления KΣ = K1K2 K3 = b1a21a32 .

a11a22

Таким образом, предложенный подход к решению задачи идентификации с неизмеряемыми координатами позволяет получить простой и практически реализуемый алгоритм для идентификации объектов данного класса.

89

2.7. ПРИМЕНЕНИЕ НЕЙРОСЕТЕВОГО ПОДХОДА В ПОСТРОЕНИИ ИДЕНТИФИКАЦИОННЫХ МОДЕЛЕЙ ОБЪЕКТОВ В УПРАВЛЯЮЩИХ СИСТЕМАХ РЕАЛЬНОГО ВРЕМЕНИ

Нейронные сети – раздел искусственного интеллекта, в котором для обработки сигналов используются явления, аналогичные происходящим в нейронах живых существ [31].

Основными функциями искусственной нейронной сети (ИНС) являются:

–функция аппроксимации, актуальная при решении задач моделирования, идентификации и обработки сигналов;

–функция классификации и распознавания образов, актуальная, например, при решении задач диагностики состояния объекта;

–функция прогнозирования, актуальная при оценке будущего поведения системы по имеющейся последовательности ее предыдущих состояний;

–функция идентификации и оценивания, актуальная при решении задач управления динамическими процессами;

–функция ассоциативного управления.

Следует отметить, что приведенные функции ИНС полностью соответствуют основным задачам идентификации: обработке экспериментальных данных (функция аппроксимации); структурной идентификации (функция классификации и распознавания образов); параметрической идентификации (функция идентификации и оценивания и функция аппроксимации).

Внастоящее время проблема практического использования ИНС

вСАУ решена лишь отчасти. Недостаточно полно освещены вопросы применения нейрорегуляторов в системах автоматического управления, а также отсутствуют формальные методики построения нейросетевых моделей объектов управления различной сложности. Имеются примеры применения рекуррентных и нерекуррентных ИНС для решения лишь отдельных частных задач данного класса. В работах [33–35] рассмотрены проблемы разработки и исследования нейросетевых алгоритмов управления стационарными и нестационарными объектами; вопросы синтеза адаптивного нейрорегулятора для управления нелинейным мно-

госвязным объектом и идентификации электромеханических систем с использованием ИНС; предприняты попытки решить в комплексе про-

90