книги / Трехмерная теория устойчивости стержней, пластин и оболочек
..pdfной теории устойчивости применялся в работах [51, 641, подробное обсуждение его выполнено в работе [1001. Для моделей, учитывающих реологические свойства, будем фиксировать значение всех величин
докритического состояния при t = |
t0 и рассматривать поведение воз |
||
мущения во времени |
t. |
|
|
Тогда из (5.95) |
получаем: |
|
|
«S = 6 ,n (A ? — 1 ) е д |
Я ?)-М А О ; |
«Л = 6 , д ? з д |
Я ? = X°{(t0)- ( 5 .9 6 ) |
Для возмущений компонент тензоров деформаций и скоростей дефор маций выводим:
для первого варианта |
теории |
малых докритических деформаций |
|||||||||
2е, |
-о |
дип |
. |
.о |
дит |
|
|
д’ип |
|
||
|
|
|
|
|
2Ъпт - |
|
|
|
|||
|
+ к |
|
|
+ |
к |
+ к |
дит |
• |
(5.97) |
||
|
|
|
дхп |
||||||||
для второго варианта этой теории |
|
|
|
|
|
||||||
2ей |
ди„ |
дит . |
п |
дип |
, |
дйт |
(5.98) |
||||
дхт |
дхп |
' |
1епт ~ |
дхп |
+ |
дхп |
|||||
|
|
Изложенный подход для тел с реологическими свойствами в трехмер ной теории применялся в [58, 62, 64]. Чтобы получить предельную сис тему, рассмотренную в работе [126], необходимо положить t0 оо.
Заметим, что для изотропных тел из (5.96) следует
0 |
е 0 |
0 |
s 0 |
0 |
е „О |
Oij = оijOti, |
Si/ = |
оц ги; |
eij — |
оцен. |
В возмущениях выделим множитель exp iQ t, тогда для амплитудных величин (для которых оставляем обозначения самих величин) получаем из уравнений (1.43), (1.49) систему уравнений
|
К » |
+«•*><*) « • = °- |
|
<5-"> |
||
Составляющие поверхностных сил из (1.44) и (1.50) определяем |
по фор |
|||||
муле |
|
|
|
|
|
|
|
Р/ = |
|
I • |
|
|
(5.100) |
Компоненты тензора {со} имеют |
вид: |
Р |s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
для первого варианта теории малых докритических деформаций |
||||||
Ща¥> — Я/Я^[6г/6врарс + (1 — б{/) (6ia6jpG{j + |
M /aG/()l + 6ip6/a(Tpp; |
|||||
для второго варианта этой теории |
|
|
|
(5.101) |
||
|
|
|
|
|||
COj/ap = 6(/6apO/p + (1 — бif) (6fa6yp + |
б/рб/а) Glj + |
6/рб/аОГрр. |
(5.102) |
|||
В выражении (5.101) введены обозначения: |
|
|
|
|||
a;, = |
4 ? + W 4 ? ) ; |
о:, = |
с|;’ + |
Й № .Ч а). |
(5-ЮЗ) |
|
Величины flip и Gif обладают свойствами: |
|
|
|
|||
a g = а $ ; |
G \? = G f |
2); |
Gt, - |
G,t\ |
a/p = epi. |
(5.104) |
151
Из выражений (5.103) и (5.104) получаем:
а]р Ф ар,; Gr, ф Git. |
(5.105) |
Из формул (5.103) и (5.105) следует, что свойства (5.105) характерны только для первого варианта теории малых докритических деформаций в случае тел с реологическими свойствами. Для второго и третьего вариантов этой теории имеем равенства:
G = G$ = Gif. |
(5.106) |
Таким образом, выражения (5.101) являются наиболее общими и ве
личины % и G]j, входящие в них, несимметричны. Поэтому ниже по строим решения для наиболее общего случая (5.101) и (5.105). Пред варительно выпишем выражения, чтобы вычислить величины ар( и для некоторых конкретных моделей деформируемых тел.^
Для гиперупругого изотропного тела с произвольной формой уп ругого потенциала Ф согласно [69] с учетом (5.106) получаем выра жения:
где Ф° = Ф(Л?°, А?, Л§°).
В выражениях (5.107) через А? обозначены алгебраические инвари
анты тензора деформаций.
Для теории малых упругопластических деформаций, учитывая обо
значения [70] и (5.106), в случае нагружения имеем: |
|
||||
оф = Я + 26,эр + Ц ? |
- |
х Ее + |
- |
f |
& & ] - |
— 26,э(р — г |
£ с); |
|
(5.108) |
||
|
' |
3 |
' |
|
|
Gtf = р — (^р — £ -£ ej ; 4 |
= |
6,/ [^Я + |
-j- р — |
§- E^j ela + |
+ - Т - Е А ] .
Если в (5.108)'принять Е0 = Ек — Зр, то получим случай линейного упругого изотропного тела:
aip = А + 26/эр; 'G,/ = р; а</ = 6,/ (AeJU + 2ре«).
152
Для теории течения пластических тел с изотропным упрочнением, учитывая обозначения [70, 75] и (5.106), при нагружении получаем:
а,р = К + 2б<рр> + |
[Я (П? + И® + |
Пз) + |
2рП?] [Я (П? + |
П2 + Пз) + |
||||||
|
|
+ |
2рПр] (1 — Я (П? + |
П° |
Пз)2 — |
|
|
|||
|
-гм(п?>ч-(1Й>! + <1Й)г|Г ‘; |
0„ = |Х. |
(5.109) |
|||||||
Величины П° вычисляем по формуле |
|
|
|
|
||||||
+ |
2е?? |
df° |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
dASf* |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
У0 |
+ |
3« |
|
|
+ |
3 (ornP - ^ г J [ -Д р Г + |
2е*°• дАУ>й |
+ |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
s g g -f f L |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дА?° |
|
|
3еЙ‘^ |
Г)} ’[ < 5 - + |
20“ 1 ^ |
+ |
3(,’“ ,,- ^ г ] ' |
<5Л1°) |
||||
где |
/° — функция |
нагружения |
[75]; |
|
|
|
|
|||
АТ и А1р0 — алгебраические |
инварианты |
соответственно”тензора |
||||||||
|
|
напряжений и |
тензора пластических деформаций. |
|||||||
В случае нестареющего линейного наследственно |
упругого тела |
|||||||||
имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
аф = |
Я — Г Я* (t0 — т) exp iQ (т — 10) dx + |
|
|
||||||
|
+ |
26*р |
— J р* (t0 — т) exp Й2 (т — 10) dxj ; |
(5.1! 1) |
||||||
|
|
Оц = |
P — [ fi* (*o — т) exp i'Q (т — 10) dr, |
|
|
|||||
где Я* и ц* — соответствующие ядра. |
|
|
|
|
|
|||||
Для упруговязкопластического тела получаем [75]: |
|
|||||||||
= (я+ х »+ v |
+ -^-) И?+ /а<1+ !ШЙ (4- А + |
- |
Г Р ¥ + Ш г Г <р’
153
|
в9= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
0); |
(5.112) |
|
||
|
4 2M = ( y y |
+ s'p)^ |
|
^ |
“ |
"T + S^T |
W |
" fi<p; |
|
|
|
|||||
|
2 G |
f } M |
= |
c p o |
+ |
i Q |
|
( 1 |
+ |
|
t ) | * S ) ; |
2 G |
/ / M |
= |
||
|
A = (xS^l + |
|
|
|
t 1 + |
“ПИ-о); |
k = K 2 T5, |
|
|
|
||||||
где |
с — коэффициент упрочнения; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Но — скалярный положительный множитель; |
|
|
|
||||||||||||
|
г) — коэффициент |
вязкости; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
а®- — компоненты девиатора |
напряжений; |
|
|
|
|
||||||||||
|
zff и ? 0-ком поненты |
девиаторов |
пластических |
деформаций |
и |
|
||||||||||
|
|
скоростей пластических деформаций; |
|
|
|
|
||||||||||
|
т® — предел текучести |
при чистом сдвиге. |
|
|
|
|
||||||||||
Из выражений (5.103) и (5.112) можно получить соответствующие |
|
|||||||||||||||
значения для предельной системы, устремив t0 к <х>(в (5.103) и (5.112) |
|
|||||||||||||||
следует положить |
= 0; р.®= |
0 и е?° — 0]. В |
результате |
получаем |
|
|||||||||||
(5.106), где введены обозначения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
а и - Ь |
+ гбшц— |
|
|
|
|
(а® — cef®) (орр— серр) |
(5.113) |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
¥ |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
а-;= ц. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Выражения (5.107)...(5.113) получены в общем виде для первого и |
|
|||||||||||||||
второго вариантов теории малых докритических деформаций, при этом |
|
|||||||||||||||
необходимо положить для первого варианта: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
2бят — Ьпт[(Я/п)2 — 1]; |
£д.71 — 5ллДлАл», |
|
(5.114) |
|
||||||||||
для |
второго |
варианта: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e L = |
6™ (Я®- 1 ) ; |
ein = |
б м И . |
|
(5.115) |
|
|||||||
Построим общие решения уравнений (5.99), (5.101). Подставляя |
|
|||||||||||||||
(5.101) в (5.99), получаем систему уравнений: |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
Lma.Ua, — 0; |
Дисе — А-лАа [<кт+ (1 — $ат) &ат] ~дх дх ~ + |
|
|
||||||||||||
|
+ « « . ка1 г (1 - |
« м |
|
ей,1+<& ] - £ г + р « ™ . |
(5.116) |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ахр |
|
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим случай однородного докритического состояния (5.96) при |
|
|||||||||||||||
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(5.117) |
|
||
Для |
изотропных тел |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
а ч = |
а22‘, |
ец = |
622; |
e°i |
е®2; |
|
е»0 = |
ем; |
£и° = 622. |
|
|
154
Из предыдущих соотношений следуют равенства:
ац = аог; ап = 021; Gn = G21; G13 = G23; Gaj = G32;
(5.118)
ац = ai2 + 2G|2= аг| + 2G21.
Решение уравнений (5.116) при условиях (5.117) и (5.118) в про извольной цилиндрической системе координат, ось которой совпадает с осью Охз, можно представить в виде (аналогичные представления ре шений для упругих тел приведены в § 14):
~ХУ-----a i k r X; * — |
ST ¥--- |
-X ; |
|||
X°l g! 1 |
<т?! (X°) |
~|"д J 0|3 + g33(^°) |
2 |
(5.119) |
|
д2 |
|||||
П+°П A T T |
ell + о?! (*?Г2 |
d*l ' |
|||
|
°31 + G3I |
L |
|||
en + |
CTii (*4) |
A . |
ff2 |
a2 |
|
|
d4 |
dxi |
|
Функции f и Х являются решениями уравнений:
Г Л |
■ Gi3+ |
стзз (^i)~2 |
32 |
, |
pQa (Х°) 2 |
i |
w |
л |
|
L |
+ G ;2 + |
a?, (Я°р2 |
Ьк\ |
+ |
С;2+ а» (Я °Г2_|* |
’ |
|||
|
|
Ь азз (*з°) |
|
|
|
|
|
(5.120) |
|
|
Д + - г |
|
|
Р & ( . Ц Г |
|
|
|
||
|
|
|
2 a*f |
G13+ о®1(Я®) |
2 |
|
|||
|
G3i + ° H (Я?) |
|
|||||||
X |
Д + G13 + |
а33 (^l) |
|
|
pfi2 (Яр |
~ |
|
I _ |
|
|
аи + |
дп ft?) |
2 |
дхз |
I + °11 |
ft?)~ 2J |
|||
|
(д*з + |
с*з) (д31+ |
G31) |
|
|
} |
х = 0 - |
||
|
1ап + о°и (Я°р2] [О*, + о?, (Я°Г2j ^ |
|
При статическом (квазистатическом) подходе из (5.119) получаем:
“» = T r ' f' - W |
X: |
« г * — и |
г * <5121> |
|||
и |
— Д)| |
°и ft?)"*3 Г д |
■ G13 + |
дзэ(^|)~2 |
1 у |
|
3 |
?-з |
Д31 + G3i |
[ |
aii + |
д?| (Я?)-2 |
дх\ J |
Тогда функции W и X определяем из уравнений (2.30), где величины С2 имеют вид:
|
ь2 GI3 + O33 (Я”)~2 |
|
|
|
о;2+ ° и (я?г 2; |
|
|
L U |
Г-зз + |
дз°з(*3° Г 2110Га + |
4 , (Я?Г211 *'■ . |
W |
laij + |
o?i (Я®) 21(бз! + |
(5.122) |
ст“[ (Яз)~21J ’ |
155
„„ |
<43 + “и»!) 1 , |
Дзз+ q33 |
_ |
- |
+ « ? , <i»-! + |
о ;,+ «и <Ф~* |
|
_______(g13 + С|з) (^31 + g3l)_____ |
|||
|
(au + o,, (X°)-2] IGj, + o°, (Я3) |
2] |
Из выражений (5.121) следует, что в случае статического (квазистатического) подхода решения представляются в виде уравнений второго порядка, однако характер их определяется соотношениями между ве
личинами |
и Сз (§ 14). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Из соотношений (5.100), (5.101) получаем выражения для состав |
|||||||||||
ляющих |
поверхностной |
нагрузки |
на |
цилиндрических |
поверхностях: |
|||||||
|
p ™ = ( 4 ) > ; . + A ( t f r !i ( ^ - - |
|
|
|
|
|||||||
|
+ (Я?)2 «12 ( - ^ Г |
~ |
“г |
|
+ |
«1 |
+ |
^3«31 |
|
; |
||
|
Pns = |
( Я ? 12) 21 |
[G1 |
?1+ |
(Я?) |
2а/ GI O] |
|
и1 |
- -«2 - + |
|
||
|
|
|
+ |
ds |
|
“ 1 |
ds |
a s |
/ * |
|
|
|
|
|
Рпз = Ь Ж г -£ * . + |
1(я5)»Сз, + |
0?1] |
|
(5.123) |
||||||
где |
и N2 — составляющие вдоль осей 0*х и Ох2 нормали к контуру |
|||||||||||
поперечного сечения. |
|
|
|
|
|
|
|
|
при х3 — |
|||
|
Составляющие поверхностной |
нагрузки, |
действующие |
|||||||||
= const, определяем по формулам: |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
Ри = |
*№Й1 |
+ |
[(*?)» Ов + |
<&] |
; |
|
||||
|
|
f t, = |
Ш |
|
■% - + [(*&*<& + |
®&1- j ± - ; |
(5.124) |
|||||
|
|
РS3 == ^i^3<2i3 div и |
[(Яз)2Яад -f- 033— Л>?Л»з«1з] |
|
■. |
В случае плоской деформации в плоскости хгОх3 решение система уравнений (5.99), (5.101) можно представить аналогично (2.42) в виде:
“i — [(Яз°)2 |[<3з1 + а? 1 (Яз) 2] - щ - + [аад + «ад(Яз)"2] ~ ^ г | + Р^а || X;
(5.125)
и, = - \ Х (+3 + <3в) - g ~ X .
Для определения функции X получаем второе уравнение (5.120), в ко тором оператор Д следует заменить на дг!дх\.
156
При статическом (квазистатическом) подходе из (5.125) получаем:
ui — (Яз)21 Юз. + |
сг?| (Яз) 2] ~т~Г "Ь [°зз + |
стаз (Яз) 2] . |
| X; |
|
1 |
*' |
3 |
1 |
(5.126) |
и3= — Я?Яз (а .3 + б|з) |
X. |
|
|
Для определения функции X имеем второе уравнение (2.30), в котором оператор Д следует заменить на д2/дх2, а величины £2 и £§ вычислить из выражений (5.122). Составляющие поверхностной нагрузки при хг =
= const и при ха = const представим соответственно в виде:
Рц = |
[(А.?)2 а\\ + |
а?.] |
+ Я[Язсз1 -g“3 |
; |
|
|
, |
|
‘ |
' |
(5.127) |
Рis = |
Л.?ХзОхз |
+ |
1(Хз)аG31+ |
0п] |
; |
Р31 = |
Я?Я3°Сз, -§Ь - + |
[(Я?)2G.3 + |
<&] |
(5.128) |
|
Рзз = |
О зД .з ■ |
+ |
1(Яз°)2 Озз + |
сгзз1 |
• |
Результаты (5.119)...(5.128) получены для тензора {(о) в виде (5.101) при условиях (5.103)...(5.105), и если принять (5.106), т. е. считать
величины ар, и Gij симметричными, то эти результаты переходят в ре зультаты, полученные в работах [64, 69).
Таким образом, выше получены решения трехмерных уравнений для первого варианта теории малых докритических деформаций в об щем виде для различных моделей деформируемого тела. Эти результа ты позволяют построить характеристические определители для раз личных моделей по аналогии с приведенными выше для стержней, пластин и оболочек, причем конкретизация модели достигается за
счет выбора выражений для величин % и G*j.
Чтобы получить аналогичные результаты и соответствующие ха рактеристические определители для второго варианта теории малых докритических деформаций, необходимо в (5.119)...(5.128), а также в соответствующих им характеристических определителях принять
выражения (5.106) и во всех соотношениях положить Я? = 0.
Следует заметить, что результаты (5.119)...(5.128) с несимметрич
ными величинами % и Gi, относятся только к случаю первого вари анта теории для тел с реологическими свойствами при принятом под ходе. Во всех других случаях первого варианта теории (тела без рео логических свойств; случай предельной системы с реологическими
свойствами; при учете упрощений типа Я?» 0 для медленных движе ний в докритическом состоянии и т. д.), а также для всех случаев вто рого варианта теории получаем результаты с симметричными величи нами ape и G^.
157
Полученные численные результаты в последних двух главах для упругих стержней, пластин и оболочек можно перенести непосредст венно на случай устойчивости трехмерных тел при ползучести, если использовать метод критической деформации, предложенный в работе [81] и получивший широкое распространение в инженерной практике. Используя указанный метод, можно исследовать на основании получен ных численных результатов влияние сдвиговой жесткости материала стержней, пластин, цилиндрических и сферических оболочек на кри тическое время.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ай н о л а Л. Я. Вариационные принципы динамики линейной теории упру гости.— Докл. АН СССР, 1967, 172, № 2, с. 306—308.
2. А й н с Э. Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения.— Харьков: Гостехнздат УССР, 1939.— 719 с.
3. А м б а р ц у м я н С. А. Теория анизотропных пластин,— М.: Наука, 1967.— 266 с.
4. А м б а р ц у м я н С. А. Специфические особенности теории оболочек из современных материалов.— Изв. АН Арм. ССР. Механика, 1968, 21, № 4, с. 3—19.
5.А м б а р ц у м я н С. А. Общая теория анизотропных оболочек.— М.: Наука, 1974 — 446 с.
6.Б а б и ч И. 10. Об устойчивости цилиндрической панели.— Прикл. механика. 1968, 4, № 12, с. 121—124.
7.Б а б и ч 1. 10. Про стШюсть траисверсалыю-1зотропннх цилшдричних обо-
лонок.— Доп. АН |
УРСР. Сер. А, 1968, № 5, с. 451—454. |
|
8. |
Б а б и ч И. Ю. Исследование устойчивости цилиндрических оболочек при по |
|
мощи |
трехмерных |
линеаризированных уравнений.— Прикл. механика, 1968, 4, |
№7, с. 32—39.
9.Б а б и ч И . 10. Об устойчивости изотропных и трансверсально-изотропных цилиндрических оболочек на основе трехмерных линеаризированных уравнений,— Тр. НТО Судпром. Л., 1968, № 108, с. 145—151.
10.Б а б и ч И. Ю. Об устойчивости равновесия ортотропной цилиндрической оболочки,— В ки.: Тр. VII Всесоюз. конф. по теории оболочек и пластинок. М .: Наука 1970, с. 76-79.
11.Б а б и ч И. 10. О линеаризированных задачах для несжимаемого тела при
малых деформациях.— Прикл. механика, 1971, 7, № 5, с. 21—26.
12. Б а б и ч I. Ю. Умови спйкосп i р1вняння нейтрально! р|'вновагн нестисливнх т1л при малих докритичних деформащях.— Доп. АН УРСР. Сер. А, 1971, № 6,
с. 537—539. |
1.10. |
Про один вар1ацШний принцип в теорп пружноТ спйкосп |
13. Б а б и ч |
||
нестнсливих ил |
при малих деформащях.— Доп. АН УРСР. Сер. А, 1971, №7, |
|
с. 613—615. |
И. 10. |
Задачи устойчивости равновесия трехмерных ортотропных |
14. Б а б и ч |
||
тел при малых деформациях.— Прикл. механика, 1972, 8, № 2, с. 16—24. |
||
15. Б а б и ч |
1 .10. Про сийкють прямокутних i кругових пластин при малих |
|
деформащях.— Доп. АН УРСР. Сер. А, 1974, № 2, с. 138-142. |
||
16. Б а б и ч I. Ю., Г у з ь О. М. Про точнють гшотези Юрхгофа —Лява в теора |
||
спйкосп цилшдричних |
iaoTponiiHx оболонок при осесиметричних деформащях,— |
|
Доп. АН УРСР, Сер. А, |
1967, № 10, с. 913-917. |
|
: 17. Б а б и ч И. Ю., |
Г у з ь А. Н. О влиянии свойств материала пластинки на |
|
величину критической силы.— Механика полимеров, 1969, №2, с. 355—357. |
||
18. Б а б и ч И . Ю., Г у з ь А. Н. О влиянии свойств материала стержня круго |
вого сечения на величину критической силы.— Строит, механика и расчет сооруж.,
1969, |
№ 4, с. 55—57. |
Г у з ь А. Н. Устойчивость трансверсально-изотропной |
|
• |
19. |
Б а б и ч И. 10., |
|
цилиндрической оболочки |
при осевом сжатии.— Механика полимеров, 1969, №6, |
||
с. |
1064—1068. |
|
|
. |
20. |
Б а б и ч И. 10., Г у з ь А. Н. Об устойчивости пластин и оболочек, выполнен |
ных нэ материалов с малой сдвиговой жесткостью.— В кн.: Тр; НТО Судпром. Л., 1969, № 130, с. 28-37.
159
21. Б а б и ч И. Ю„ Г у з ь А. Н., Ч е р н у ш е н к о И . И . , Ш у л ь г а Н .А . Об оценке точности теории устойчивости цилиндрических оболочек при внешнем
давлении.— Прикл. механика, 1974, 10, Л1» 10, с. |
16—21. |
22. Б а б и ч И. 10., Ч е р и у ш е и к о И. И., |
Ш у л ь г а Н. А. Об устойчивости |
ортотропной цилиндрической оболочки в случае осевого сжатия при неосесимметричных деформациях.— Прикл. механика, 1974, 10, № 8, с. 102—107.
23. Б а б и ч И. 10., Ч е р н у шеи ко И. И., Ш у л ь г а Н .А . Сравнительный анализ прикладных теорий устойчивости пластин и цилиндрических оболочек из компо
зитных |
материалов,— Сопротивление |
материалов и |
теория сооружений. Киев: |
Буд1вельник, 1975, № 25, с. 22—26. |
|
|
|
24. |
Б а е в Л. В., Т о р ш е и о в Н. Г. Устойчивость стержней из стеклопласти |
||
ка.— Механика полимеров, 1968, № 5, |
с. 906—910. |
|
|
25. |
Б и л о с е в и ч Р. М., М о ч е р н ю к Д. Ю., П е л е х Б. Л. Об устойчивости |
||
трансверсально-изотропных цилиндрических оболочек |
при действии внешнего дав |
||
ления.— Вести. Львов, политехи, ин-та, |
1972, № 70, с. |
127—133. |
•26. Б о л о т и н В. В. Неконсервативные задачи теории упругой устойчивости.—
М.: Фнзматгиз, 1961.— 339 с.
27. Б о л о т и н В. В. Вопросы общей теории упругой устойчивости.— Прикл.
математика и механика, 1956, 20, № 5, с. 561—577.
28. Б о л о т и н В. В. О сведении трехмерных задач теории упругой устойчивос ти к одномерным и двумерным задачам.— В кн.: Проблемы устойчивости в строит, механике. М .: Стройиздат, 1965, с. 166—179.
29. Б о л о т и н В. В. О вариационных принципах теории упругой устойчиво сти.—В кн.: Проблемы мехаиикн твердого деформированного тела. Л .: Судостроение, 1970, с. 83-88.
30. Б о л о т и н |
В. В. Основные уравнения теории армированных сред.— Ме |
ханика полимеров, |
1965, №2, с. 27—37. |
31.Б о л о т и н В. В., Г р и г о л ю к Э. И. Устойчивость упругих и неупругих систем,— В кн.: Механика в СССР за 50 лет. Т. 3. М .: Наука, 1972, с. 325—363.
32.В а т с о н Г. Н. Теория бесселевых функций : в 2-х ч.— М .: Изд-во иностран ной лит., 1949.— Ч. 1. 798 с.
33. |
В о й ц е х о в с к а я К. Ф. Устойчивость цилиндрических |
оболочек |
с точ |
|||||||
ки зрения математической теории упругости,— Докл. АН СССР, |
123, |
Лгг 4, |
1958, |
|||||||
с. 623—626. |
|
|
Ф. Устойчивость равновесия стержней |
с |
точки |
|||||
34. В о й ц е х о в с к а я К . |
||||||||||
зрения |
математической теории |
упругости.— Докл. АН СССР, |
119, |
№ 5, |
1958, |
|||||
с. 903—906. |
|
К. Ф. Устойчивость равновесия упругих |
тел с точки |
|||||||
35. |
В о й ц е х о в с к а я |
|||||||||
зрения |
нелинейной |
теории |
упругости.— Прикл. механика. Киев: КНИГА, |
1965, |
||||||
№ 1, с. 88-107. |
композиционные материалы / Под |
ред. |
Б о к ш т е й - |
|||||||
36. |
Волокнистые |
|||||||||
д а С. 3.— М. : Мир, 1967.— 284 с. |
деформируемых |
систем.— М. : Наука, |
||||||||
. 37. В о л ь м и р |
А. С. |
Устойчивость |
||||||||
^1967.— 984 с. |
|
М и н а к о в а |
Н. И. Проблема устойчивости |
и числен |
||||||
38. |
В о р о в и ч И. И., |
ные методы в теории сферических оболочек,— В кн.: Механика твердого деформируе мого тела. М .: Наука, 1973, о. 5—86.
39. Г о д у и о в С. К. О численном решении краевых задач для систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений.— Успехи матем. наук, 1961, 16,
№3. с. 171—174.
40.Г о л ь д е и б л а т И. И. Нелинейные проблемы теории упругости.— М. з Наука, 1969.— 336 с.
41.Г р и г о л ю к Э . И. Теоретическое и экспериментальное исследование устой чивости тонких оболочек за пределом упругости.— В кн.: Итоги науки. Механика. М .: Наука, 1966, с. 7—80.
42. Г р и г о л ю к Э. И., К а б а н о в В. В. Устойчивость круговых цилиндри ческих оболочек.— В кн.: Механика твердых деформируемых тел. М. : 1969.— 348 с.
(ВИНИТИ. Итоги науки). |
П а н к р а т о в а |
Н .Д . |
|
43. |
Г р и г о р е н к о Я. М., В а с и л е н к о А. Т„ |
||
Расчет |
некруговых цилиндрических оболочек.— Киев: |
Наук, думка, |
1977.— |
104 с. |
|
|
|
.160