книги / Устойчивость и колебания трехслойных оболочек

Вводя новую функцию х» связанную с ф зависимостью

i =	- R	z	ds	(5.28)
получим
, = / ! _ «	J L	)	х:

\V ds2 ) Л

01 +

02

А2

d

/ 02

1

1 '

01 ‘

Р

ds

1 ds2

'

Я2 ,M ’.

*аа—

/

02

1

1 \

A2

02

^

x ;

(5.29)

|

3

|

U«2

1 R? 1 0

1

0S2 ,

M n = ~ D

1Ю

02

'

' R 2 y

I s 2",|x;

\ds2

Qt =

- D

-

Ш

.,

02 '

> ( * - ’ P

где

ds l, ds2 1

052 i

D =

- - в

;

0 =

01 + 208+

03;

.

(5.30)

12

1

1

8 Т ®

вв,

Теперь уравнение (5. 14) запишется в виде

djc2 Т

0S2 \dS2

р

0S2 )

^

(5.31)

Уравнение совместности. Второе уравнение получим, исклю­

чая из первых трех и шестого соотношения

(5. 9)

перемещение

U2

д2*22

I п д 2

( д 2

д2

[

02

д^22

0 * 2

“Г ^ 0 S 2

[ ds2

dxds \

dS2

*

R? ) eVf\-R ds^dx2

(5. 32)

Это уравнение совместности деформаций. Упростим его, полагая равной нулю деформацию сдвига е i2 и линейную относительную окружную деформацию £22- Имеем

д2*22 | п			д2 /	_]__М	еа = 0 .	(5. 33)
0 * 2	~Г		d s 2	0S2 _ Г /?2 )
Выражая х2г через %из (5. 29), найдем
<32	/1	Ш				(5.34)
0*2	[	р
Вычисляя хц согласно			(5.19), получим
M11= E k e 1		Eh2		А2 _d2_\		(5.35)
		2		р	ds2 / X,

101

отсюда

Nu	д2 г 1	А2	d2	(5 .3 6 )
Eh 1 2	12 дх2 V	P	ds2

Подставляя (5. 36) в уравнение (5. 34), найдем

£А^	д2	f l -	/?А	ь12	d2
ds2 "	—				ds2 * ~ г £ ) *	(5-37>
	dx2	V

Разрешающее уравнение. Исключая из уравнений (5.31) в (5. 37) Nu, придем к разрешающему уравнению относительно х

ds*	\ds2	' Я2 )	{	р	ds2)	~
1 Я дх* \	2	ds2 12 J	\	p	ds2 / *	d2_	Pi	(5.38)
						ds2

но

2 ds2

поэтому (5. 38) приводится к следующему виду:

f l j i .	/ d2 1	M V i	***
ds* \ ds2		l 1	p
, £A	d4 /.i	A2 * Ч ¥ -
	dx4 \	P ds2 j	^

£ ) * +

1 d2

(5.39)

/? ds2 P'

где функция р, определяемая

поверхностными

нагрузками на

оболочку, находится из (5.16).

Уравнение

устойчивости

найдем,

принимая

в

качестве по­

верхностной нагрузки

Ат-о

д2и2

1

_

^ 2 \

I

» = jVn ——

Я

д х ) ~

дх2

(5.40)

Подставляя (5.40)

в уравнение

(5.39),

получим

Э2

1

\2

д4

£A

d4

ds2

' Я2

ds4

Я2

dx4

o

-

f

a *

-

- [

д* / д2

9

о

Я2?)+,

дх2ds2 \ ds2

+ 2JV'

ds3dx \ ds2

№и

12■

d2

ds2

‘

^2

f

£

) I[“

a

(5' 41)

s r ) ] ( , -

Перейдем к рассмотрению частных задач.

102

2.УСТОЙЧИВОСТЬ УДЛИНЕННОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ

ПРИ ОСЕВОМ СЖАТИИ
Полагая в уравнении (5.41)
№п = —N ; JV »= 0;	№к= 0	(5.42)
и
. , тих .	ns	/с лл\
Х=5Со sin —j— sin — ,		(5.43)

(R — радиус; / — длина оболочки; т — число продольных полу­ волн; п — число окружных волн), найдем критическое равномер­ ное удельное сжимающее усилие трехслойной круговой цилинд­ рической оболочки

N	Рп2	1	Я?	(П2_ 1)2	ПЧ\2	ц2т 2Я4	(5.44)
	Я2		л2	(л2+1)	т2л*	X2 (л2 + 1) л2

1 + * ^ г

где, как и ранее,
	.	n2h2 .		„	12Я2		,	I
	k =	-----		и2----------- ;			Х = — .
		Щ			Я4Д20			£
Проводя минимизацию				этого		выражения по
п2№/т2п4, найдем								П2
	/
N			в_ Eh2 л2— 1				/	1 + ^ Я 2
			3	R	л2 + 1		I /	-
								+ к
Отсюда для однослойной оболочки имеем
					Eh2 л2-		1
				~	VbR	п2 + 1 ‘

При п = 2 из (5.47) найдем

М— УЪ Eh2

5 R

Это известный результат Саутуэлла [30].

Для трехслойной оболочки имеем формулу

(5.45)

переменной

(5.46)

(5.47)

(5.48)

	д г _ / 3 в	Eh2	/ я2+ т	(5.49)
	5	/?	я2 + 4&

103

3.УСТОЙЧИВОСТЬ при р а в н о м е р н о м в н еш н ем

ПОПЕРЕЧНОМ ДАВЛЕНИИ

В докритическом безмоментном состоянии под действием равномерного поперечного давления в оболочке возникают только усилия N22°, равные

N l2= - q R .

(5.50)

Остальные усилия равны нулю

N u = N 12=0.

.(5.51)

Принимая .в (5.41) функцию % в виде (2т, п — соответственно число продольных и окружных волн; xo=const)

. пиlx .	ns	(5. 52)
X= Хо sin —— stn —— ,
1	к

получим выражения для критического внешнего равномерного поперечного давления трехслойной круговой цилиндрической оболочки

Ш 2

Ря2	1 +	Я2	Л2— 1		______m4v&	(5.53)
Я	1 + "it2”kn2		Я2	Ц	п4(л2— 1)
/?3
где	я2/г2		12Я2
					\ = —	(5.54)
	' №		/г2я4в
					R
Из (5. 53) следует, что минимум достигается при т = II, формула
для q приобретает вид
Ря2	1 + - Я2 Л2— 1				яб	(5. 55)
ч = -		кп2	Я2	Х4	л4 (л2— 1)
/?3	1+
		Я2

Минимизируя это выражение при целоисчисленных значениях параметра волнообразования п, найдем величину критического давления q*.

Для весьма длинных оболочек второе слагаемое при п ф 1 пренебрежимо мало, поэтому

Ря2 я2+ §kn2 л2— 1

(5.56)

R3 я2+ kri1 я2 ’

откуда следует, что минимальное значение критического давле­ ния достигается при п = 2, а значение

3D	я2 + №
я*~- R8	я2 + ik	(5.57)

104

Из (5. 55) в случае однородной оболочки имеем

	Р Я 2	Г Л2 — 1	яб	(5. 58)
	Ч~~ /?з	[ Я 2	Х4 л 4 ( л 2 — 1)

и для весьма длинной оболочки эта формула переходит в извест­ ную формулу Грасгофа — Бресса— Леви — Брайана [23]

	<7*=	ЗР	(5. 59)
		/?®

4. УСТОЙЧИВОСТЬ ПРИ ВСЕСТОРОННЕМ ВНЕШНЕМ РАВНОМЕРНОМ ДАВЛЕНИИ

В этом случае докритическое безмоментное состояние харак­ теризуется усилиями

№ п = - З В - ‘,			N n = ~ q H ;			JV ia= 0.		(5.60)
Принимая, как и ранее, функцию х в форме
			. тлх .		ns			(5.61)
	Х=Хо sin —			sin —
(т — число продольных		полуволн, п — число окружных						волн;
Х о = const) и вводя ее в уравнение				(5.41), найдем выражение для
критического внешнего		всестороннего				равномерного давления
трехслойной круговой	цилиндрической оболочки
			Ькп2
РЯ2		1 + ■я 2		(Я2- l)2
Я			кп2	_т2_	л2-		1\
/г»		1 +
			"я2"	2X2 +			Я4
						Я 2	)
			/й4я4					(5. 62)
			/И2	Л2— 1\
			ix ? +	я2	j
из которого следует,	что		минимального				значения q достигает
при /72=1
		Ькп2
Ря2	1 + -			(Л 2 — I ) 2
		Я 2
<7= /?з		&л2

!+■“я2"

яб	(5. 63)

105

Здесь, как и прежде,

	:ЛЗД.	12Я2	(5.64}
	РЯ2 ’ ^	Я«А20 ’
			Я

Для достаточно длинных оболочек эта формула переходит в со­ ответствующую формулу предыдущего раздела, и для бесконеч-. но длинной оболочки критическое значение внешнего равномер-1 ного всестороннего давления совпадает с критическим значени­ ем внешнего равномерного поперечного давления

q * = M L	_я2_+_4^ ,	(5.65)
Я3	я2+ 4А	'

5.УСТОЙЧИВОСТЬ ПРИ КРУЧЕНИИ

Пусть по торцам цилиндрической оболочки приложены кру­ тящие моменты Л1,ф. В докритическом безмоментном состоянии удельные усилия в оболочке равны

№и = №22= 0 ;	№а = ^ - .	(5.66)
	2 Я /?2
Принимая функцию %в виде
X = sin T Z L ja sin	+ ь cos	(5. 67)
(a, b, T] — параметры, n — число окружных волн)		и подставляя

ее в уравнение устойчивости (5.41), приходим к следующим двум уравнениям:

			л4(л2— 1)2		•	Eh /	лк)	тя \< /.	. А2
\	ш	)'	Я8		1	Я2 1	я ±	1 ) \	РЯ2 »8) +
	+ 2N a -		л 3 (л2— 1) / _ Л 1 + ИЯj j
			Я5	1			' , + - * L „ .) = o. (5 .68)
							.	ря2	1

Из этого уравнения следует, что минимум Nu достигается при

т = 1 .

Вводя обозначения

		k-—	А2Я 2 _		X	I .		, _, _______ яЯ		(5.69)
			Р/2	’		Я	’	~ Я ’	In '
приведем	уравнения			(5 .68)		к	виду
		1 4- —					о		X2
2ЛГ°2	2f20				1- $2^				— £2( - Ч ± 5 )3
		^	{2							(5.70)
Eh	12		k		X2	„		v	Х2
		1 +	р-

106

Суммируя и вычитая эти уравнения друг из друга, найдем

	и	/ Х2	\	Х2
*11 № 1 + ~¥			К 1 1	(5.71)
Eh '_ 24	' к	X2 „ „	' 2	„ Х2
1 +	р		£2)	1 —£2--------
		> 5!<’2-		^ Я2

12Ф| еч ■*4,

Ьк	Х2	Х2
	е2-------	+ 31)2)
	1 —	S2 (£2
1+ -?	Я2	я2	(5.72)
к		-О
	X2 „	Х2

h2-^2)		1-6*
1 + ~¥ rf6*'		Я?
С помощью равенства (5.72)		выражение (5.71)	приводится к
виду
N n = 2 E k	Щ Ц (ч2 + S2)		(5.73)

"2 ( ' - 62£ )

Кроме того, (5. 72) позволяет определить т) при заданном значе­ нии |, т. е. п, и подстановкой в (5.73) найти минимум N\£

		i +	i *	/ 1 _
П4— 2_ w	—	—	g - 1 ---------		= 0 .	(5.74)
3	3 ■	36	k	X2
		1 + li-		\
Пусть
	TV?2	2Eh*				(5.75)
Поэтому
	/ /2	\5/4 Щ (t|2 +		g2)		(5.76)
	W	.		X*
Для однородной оболочки формула (5. 76)					остается прежней,
тогда как уравнение (5. 74) приобретает вид
				„ Х2 \ 2
•П«— — rft2— - £ « — —				Х2	- о .	(5.77)
3	3	36
			— 52
			я2
с помощью которого может быть найдено минимальное						значе­
ние S .

107

Г л а в а 6

УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ И УСТОЙЧИВОСТИ НЕПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК ПРИ МАЛЫХ И КОНЕЧНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЯХ

В этой главе получены нелинейные уравнения равновесия „ устойчивости непологих трехслойных оболочек, состоящих Й различных изотропных несущих слоев и жесткого трансверсал* но изотропного заполнителя. В следующей главе эти уравнени будут использованы для оценки границ применимости уравнени локальной потери устойчивости и полубезмоментной теории. Та же, как и в гл. 5, здесь для заполнителя приняты кинематиче-' кие гипотезы прямых линий, для несущих слоев — гипотез Кирхгоффа — Лява. Как и ранее, используем общий для все трех слоев коэффициент Пуассона, определяемый по формул

где Еп, Vfc ( k = l , 2, 3) — модуль Юнга и коэффициент Пуассон первого, второго несущего слоя и заполнителя соответственна hk (k—i , 2, 3) —толщина первого, второго несущего слоя и за полнителя соответственно. Помимо введенных ранее обозначс ний положим А[, А2 и &ц, &22— параметры Ламе и главные крц визны поверхности, эквипотенциальной к срединной поверхност заполнителя.

1. ПЕРЕМЕЩЕНИЯ И ДЕФОРМАЦИИ

Так как и гипотезы прямых линий и гипотезы Кирхгоффа - Лява предполагают несжимаемость материала слоев в попереч ном направлении, то функция прогиба точек оболочки не зави: сит от нормальной координаты г:

w = w (x ь х2).

(6. 11

Обозначая через ф полный угол поворота нормали заполнит теля, на основании гипотез прямых линий для тангенциальны; перемещений точек заполнителя получим формулу

И* =U-i -(- Zifi ( — с <	2 < с ) ,	( 6. 2
Ui — тангенциальные перемещения	точек	исходной поверх

ности.

-Тангенциальные перемещения граничных поверхностей за

полнителя
ull = a l -\-ctyi (z = c ); и;2= и г —	(z — — c).	(6.3

108

Теперь, используя гипотезы Кирхгоффа — Лява, для танген­ циальных перемещений точек несущих слоев найдем выражения:

для первого несущего слоя ( c ^ z ^ c + h i )

	И/=«г +	<%+ (г — с) [(и, + Сфг) k'u — Н'				V ,,] ;	(6.4)
	для второго несущего слоя		(—h2— c < z < — с)
	и*= иi —	- f (z + с) [(ut — ci|>,) k'u —				.	(6.5)
	В этих формулах
	kj	- A i -----;	Ц i	=■ A‘ ~	; H { ' = - A . - ,
	1 + скц
		1— cku		.1+ ckn		1 — cku
	причем ku и Aj — соответственно			главные	кривизны		и пара­
	метры Ламе срединной поверхности заполнителя.
	Линейная деформация поперечного сдвига ец через переме­
	щения вычисляется по формулам
	e ta— M/,z	0 kuz) 1k[lUi		Н i ^Wj	(г=	1 , 2).	( 6. 6)
	Для заполнителя найдем согласно (1.2)
	eZ _	— Ьцщ + ЛгУ,-		й1			(6.7)
		1 +		1 + кц2
	Вводя вмессо ф новые перемещения
		а 1=Ф/ —	+				(6. 8)

являющиеся углами поворота нормали в заполнителе, дополни­ тельными к углам поворота, имеющим место при отсутствии сдвига, запишем тангенциальные перемещения точек пакета в форме:

при (c ^ z ^ .c + h \ )

uZi =	ut + -~\ Zk. U	c a i -{ - z (k ilui — At Vi);
	1+ cku
при (— c ^ z ^ c )
	Ui— Ut-^-zicit-^ktjUi — At W [)m,		(6.9)
при (—h2—	— c)
и = щ — ~ + zk“		сщ - f z (kuUt— ATlw t) .

l — ckn

Так как

zck)t 1 ,

эти формулы можно получить в виде:

109

при ( c ^ z ^ c + h i )

иг = щ

+

[1 + ( z - с) klt] car{-z(kiiU i -

Л Г У *);

при (— c ^ z s ^ c )

u l= U i-{-z(ai-{-kiiU i — At У / );

(6. 10J

при (—с—/гг ^ z^ —c)

и ] = щ - [ \

+ (z +

c)A„]ra/+

z

( М г - ^ Г У ,- ) - )

Деформация сплошного тела в общем виде вычисляются по

формулам

ef1 = e? + i - [ ( ef1)2 + ( ^

+ 4 ) 4 ( Y

*?»— S)2] ;

• J 2 = d a + Y

\ Ш 2 + ( - ^

4 з + » 2 ) + ( e b - m f j ;

£

=

[ Ш *

+ ( ^

з + “*)2+

( т

4 з _

шГ/

^ f2= ef2+ - ~ e il

(е*2— ® з)+ ^ “ в22(е*2+

«4) +

+

т

(

т

*

“ “0

( т

4з+ш?) ;

(6 .1 1

S23 =

в|з +

^22

^23 —

“>1j +

^33

^23 +

“ 1j “Ь

—(- (^21 —

шз )

^13 - ) - “ 2j

;

Sl3 =

£?3 - f - £ 3 3

^31 —

®2j +

^11

“b

“ 2^ +

-f-

^23—

j

(^12 + “з)*

При вычислении деформаций в случае оболочки будем пред полагать, что осевые деформации еи, углы сдвига ец и поворо ты « а малы по сравнению с единицей, однако порядок малостг. углов поворота ниже порядка малости осевых и сдвигающих деформаций. При вычислении осевых и сдвигающих деформа* ций в \2 удобно использовать формулы (6. 10), тогда как при вы числении сдвигов е,-3 и углов поворота (о целесообразнее поль зоваться точными выражениями для тангенциальных перемете ний (6.9), которые для несущих слоев дают тождества

е 1з = 0 .