книги / Устойчивость и колебания трехслойных оболочек
..pdfУчитывая сказанное, компоненты деформации для несущих сло ев принимаем в форме
®и = |
«п -f--j- (®f)2+ ~ |
(е12+ шз)2; |
|
|
||||
®22 = |
«22 -|------- («>1 ) 2 |
— |
(^12 — |
“>з)2; |
|
(6. 12) |
||
®12 = = « 1 2 ------ + — |
(«22 — |
«11) ®3 + |
■“ «12 («22 + « l l) i |
|
||||
|
|
|
|
|
£ 13 = |
s23— |
0 - |
|
Для заполнителя |
|
|
|
|
|
|||
|
|
® fi=«u + |
-1 -Г -1 - ^ з - ш | ) 2+ ^ - ( ^ + |
^ ) 2; |
||||
|
|
®22= |
«22-|----— |— «23-f-“>lj -|---^ -(«12— <*>з)2; |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(6.13) |
|
|
® 12 = |
«12 + |
|
«13 — “ 2j |
<323+ “ l j - f |
||
|
|
+ — (« 2 2 — « l l ) “> з 4 ~ ~ « * 2 ( « 2 2 + «и )> |
||||||
где «* и ш* вычисляются по формулам |
|
|||||||
«11— |
Я ] |
Й 1,1-| -(/ / g ^ l) |
1^ 1 ,2 ^ 2 “l" ( 1 |
k]XZ )~ |
|
|||
« 2 2 = = Я г |
1ll2 ,2 -(- (-^з/g//1) |
1 Й1 //2,1 —J—(1 |
k t i Z)~'i‘k n W\ |
« зз = ® > 1г; |
||||
2 в Ь = |
//2/ У Г 1 ( Я а - 1» ! ) , ! |
+ Я 1/ / ^ ( Я Г ^ О . а ; |
|
|||||
«13 = |
« 1,2 — ( 1 + |
k u z )~ 1k i l u\ 4 - Я |
Г 1® ,!? |
|
|
«23 = |
Й 2 ,г— ( 1 "f” ^’22^')~2^’22^2 |
Я 2 |
№,2! |
||
2<i>1 = |
H |
2 1W i2 — U *,z — (1 + |
Z k ^ j ~ 4 24l\\ |
||
2(1)2= |
— |
H i lw A -\ -ii\tZ- ) - (1 |
- f z k n ) - ' k u u t ; |
||
2 « ь = ( Я 1Я , ) - 1 [ ( Я . и О и - С Я ^ ) ^ ] . |
|||||
Поэтому |
|
|
|
||
|
|
А + <4= Я г Ч а - |
(Я 1Я а)-2//12„ |
||
|
|
«12 — ш3 = Я 2 1Щ12— {Н |
2)~гН 2ltt2\ |
||
|
|
«13 — «>2 = Я |
Г 1® ),!— |
( 1 -J- -г^ и )_ 1 ^ и й ь |
у « м + ® ?=Я а V J — (1 + z k ^ ) - 4 22U2.
«о
(6.15)
Ill
Учитывая, что Hi=Ai{\+kuz), получим |
|
|
||||||
£и=(1 4"^1гг0 1 [Ai V ,i + Ai *А2 |
А1л112-\- |
|
||||||
е*2= (1-(-^гг2)-1 [Аг lu,*,%-\-Ai !Лг 1А2Ли\-(- k22,w\; |
|
|||||||
£12=0,5(1 + k u z)-i [А Г Ч 1 - |
W |
A |
, 2«f] - f |
|
||||
-(-0,5(1 -j-^222)_1 [Аг ^1,2 —Ai 1A%1Ля,1Иа]> |
|
|||||||
£12 “г *3 = (1 -(- к-ц2)—1 [Ai 1ti2, i — A i 1Аг 1 A12WI] ; |
(6. 16) |
|||||||
£12 — т з = ( 1 -\-k?&z )~ 1 [A 2 *^1, 2— A I |
!Аг lA2tji^ \ |
|
||||||
-y- £13 —m2 = (1 4~2^ii)-1 [Ai ltv,i —k^af]; |
|
|||||||
£234” ml = ( 1 4” Zk<2^)~~1[A2 Wi2--^22^2]- |
|
|||||||
Пусть |
|
|
|
|
|
|
|
|
^1— |
Ai |
^2---^22^2 |
A2 *2^,2- |
|
||||
Тогда тангенциальные перемещения точек слоев |
|
|||||||
u ] = u i -\-[\-\-kn { z — c)\c<il -\-zbi, |
(C < |
2 < |
C+ A1); |
|
||||
и*= И /_Ь ■г (а/4-,<М> |
( £ < 2 < с ) ; |
|
|
(6.17) |
||||
И/=И/ — 1 1 -(■кц (z -)- с)] co<i 4-z^ i, |
( £ |
h2^ 2-^! с). |
|
|||||
Обозначим |
|
|
|
|
|
|
|
|
еп = АГ1 и1Л 4- ArMrMi.gMj 4 -£ ци»; |
|
|||||||
^22= А Г 1и2,2 4 -А Г 1АГ1А1,1я1 4-А^®; |
(6.18) |
|||||||
£12 — А1 |
Й2(^ |
Al |
А2 |
А^>2й^, |
|
|||
|
|
|||||||
£2I ^A 2 |
й^2 |
Ai |
А2 |
А2)1и2, |
|
|
||
Оц= Ai 1<х1>1 -}- Ai |
Аг |
А12а2; |
|
|||||
(Z22==А2 С&2,2 + |
AI |
А2 |
А2дСЬ-^, |
(6.19) |
||||
а12 = |
AI |
а2,х |
Ai |
Аг |
A^jCtj, |
|||
|
||||||||
^ai—^Аг |
^1,2 |
Ai |
А2 |
A2)id2, |
|
112
%n ^ A T 4 k u 4 i - Al V x ),i + ( ^ a ) " M i . a ( t a - ^ 2 Ч « ); y ^ ^ A T 1O M a - ЛГ1^ -аЬ + (ЛИ а Г 1Ла,1 ( M x - ^ i V i ) ;
%a ~ k n \Аг ^Щ.Л— Al Ai ^l.a^x] + |
(6. 20) |
|
+ Кг [ЛГЧд—^ Г^ Г^ л] ~(ЛЛ)_1Х
X [^,12 — •+ •^i-a®,.x A‘l -^а.х^.а]*
Cu = |
•+ |
(^иах).хЧ"(^х-^а) 1A L>S* 22«2' ' |
Саг = |
Аг |
(&а2«а).2+(A i-i4a)—^а.х^^х» |
t u = -| - A i 1 (^22«a),x-----r- A2 !AI M-i.a^n^ 4" ^ 1 *^2 ^ . n +
+ АТ2АТ1А1Люл + A-iAT^ATjW'i,
(6. 21)
О)
О)
t21 ==— А4 |
{kyiKi)ti |
|
— -^I A2 A2,1kwft1 |
Ai A2 |
®f,ia+ |
|||
+ |
Л 1 2Ai 1^x.2®,,x_b'|i ХАг 2А%17юл . |
|
||||||
Тогда компоненты |
деформации запишутся |
следующим об |
||||||
разом. Для |
первого и второго несущего слоя (нижний знак от |
|||||||
носится ко второму несущему слою): |
|
|
||||||
e h = ( \ i - k jjz ) - 1 [еи ± c a u ± c ( z |
+ с)С ц + z x j; |
|||||||
«2 2 = 0 + |
Ка,г )~г \Кг ± ««Ча + с (г |
+ с)^2а+ 2каа]; |
||||||
^2 = |
-|-( 1 + |
*хх2 ) (1 + а д ) [еи + « а1 ± с а п |
± |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(6. 23) |
|
|
± |
«<Чх ± |
2c ( z + |
с) С1а + |
2гх1а]; |
|
|
е\г + |
<4^ |
(1 + |
а д |
- 1 [«12 ± |
««ха + |
**ха]5 |
|
|
ef2— < 4 ^ ( 1 + ^ г ) -1 [бах ± |
C(Xax + |
2tax]; |
|
|||||
|
~ |
«fa— < 4 ~ — [+ & ! + <?ах]; |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(6.24) |
|
\ « i 3 - “i ~ - [ + К ± c « J; |
|
из
для заполнителя
е\\ = (1 + £ ц2 ) 1 [eu + 2 (au + xii)];
eli — (1 + ^22г )- 1 1е22Ч*г (°22 + уаг)]I
ей ■= -у(1 4 knz)~r(1+ *22ZYXКг4«и+г (а12+а21+2х12
efa + <4« ( 1 + ^ц2)-1 К г + K ai2 + чг)]5
gj2 0J3 л; ( 1 -(-k% 2 z) 1 [e% "I-z (а21 -j-т2Х)],
-^-е?з—<»2 ~ —[&+ 2rax], -у е?з— <»i ж — IA + zaJ.
Запишем деформации слоев в следующем виде: первый несущий слой (c < z < c + fti)
bYi==e*ii-{-catl-\ -{z~ c) Л ц -{-гхи ;
второй несущий слой (—с—/гг^гг^— с)
£//=e\j — са *j— (z - f с) cl;] + z*,};
заполнитель (—с ^ г ^ с )
(6.25)
(6. 26)
(6.27)
j — 6 i j ZO.i j ~ Z t - ij, |
(6.28) |
Здесь
en = en -i—^ n + -^-^ia + Y «12;
°*1 = “Л + «12% + «11% + «и? |
|
|
(6.29) |
|
<I22==a2^2+ a21% + a22e22+ |
a225 |
- |
|
|
a 12= Y 0l^2 4“ Y |
° 2^1 |
~2 |
aj2^22 |
|
"I- "j* an% + Y |
|
Y " Ct®*ei2’ |
||
^22= e22+ - j - eh + | V + j eh ; |
|
|||
% = Y (e12 + eti) + Y |
aA + у |
% % + Y % % ’ |
|
|
|
|
|
|
(6.30) |
114
2.НАПРЯЖЕНИЯ, УДЕЛЬНЫЕ УСИЛИЯ
ИУДЕЛЬНЫЕ МОМЕНТЫ
Согласно закону Гука для плоского напряженного состояния идеально упругого тела
———- [(1 —v) —|—vS^ySft*] , |
(6.31) |
J 1 — V* |
|
|
(S*fc=Sn + S22; b4 = l ПРИ |
is=J; |
Ь‘} ^ ° |
при |
г' ^ Д |
||||||||
Напряжения в слоях вычисляются по следующим формулам: |
|||||||||||||
первый несущий слой ( c ^ z ^ c + h i ) |
|
|
|
||||||||||
|
с) |
= |
1 — Vj* |
{(1 - |
v) [еи - |
сa*j — (г — с) c^l} + |
z * J |
- f |
|||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
+ v8// |
|
ca at~^(z ~ c) |
|
}1 |
(6.32) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
второй несущий слой (—с— |
|
|
— с) |
|
|
||||||||
|
Д - ^ T z t j *(1 ~ v) |
|
c a h ~ ( z + c) Л и + г х и] + |
||||||||||
|
|
|
|
“J-vS/y \&kk |
|
cdkk (z -J-с) |
|
)> |
(®* 33) |
||||
заполнитель (—c < z < c ) . |
|
|
|
|
|
|
|||||||
®/7= |
Дз |
a |
((I - v |
) [^ 7+ |
2 (a?7+ |
*f/)] + |
vS<7 [em-\-z (aftft-{-xAft)] ); |
||||||
J |
1 --■VV**32 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(6.34) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
°% = G a,. |
|
|
|
(6.35) |
||
Введем удельные усилия и удельные моменты |
|
|
|||||||||||
|
с-^Н\ |
|
|
—** |
|
|
|
v |
|
|
|||
N\} = |
f |
a)fiz\ |
N ) } = |
j |
*\{lz\ |
N ij3 = j oSyjfz; |
|
||||||
|
|
c |
|
|
|
—c —h * |
|
|
|
—c |
|
|
|
|
C+Ai |
|
|
|
. |
|
-rf |
|
|
|
|
||
M \ j= |
I |
ajj i z - ^ d z ; |
|
M]j== |
j |
<52..(z -\ -c)d z; |
(6.36) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
—c —A* |
|
|
|
||
M |
^ j c ^ d z ; |
Q 3= |
j |
°%dz. |
|
|
|
|
|
||||
|
—c |
|
|
|
—c |
|
|
|
|
|
|
||
Вычисляя, найдем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
N ' „ |
= |
v , {(1- |
v) [ « :, + |
ф |
« |
A + -J - m j& j+ |
||||||
+ & + « - * , „ ] + v [ Л + - S A - C * + - f - a ; , + m i ± u , „ ] ) ; |
|||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
(6.37) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
115
|
+ V |
[ A - J~ |
’‘4 + |
~ |
^ |
~ |
«»]}: (6.38) |
|||
|
|
wfj = |
|
v, [(i - |
v)«;,+ s„v «y; |
(6.39) |
||||
.,1 |
|
Eh 2 |
|
|
|
|
|
|
||
M n = - |
|
|
|
[« ’* + |
- у - |
|
|
|||
|
M |
2 (1 — v2)jY A {(l - v ) |
|
|
||||||
+ ( f + t ) Ч |
+ л ' 4 г“ + т * “» + ^ : » + ( т + т ) 4 ) ! |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(6.40) |
|
^ = |
9 |
^ T A {(I - 1” [ ~ e'<+ f |
ab |
'« + |
||||||
|
+ |
( Y '+ 'f " ) Axo] + v8'i [ — |
+ |
|
— |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(6.41) |
|
ж:l j z |
|
Eh 2 |
У Л |
[0 - * ) ( < * ;,+ |
*//) + |
V |
( “» + * » ) ] ; |
|||
12 (1 — v2) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
Qi3=G h t3ai. |
|
|
(6.42) |
Уравнения равновесия и граничные условия удобно записы вать, используя следующие удельные усилия и моменты:
MtJ= M h + K |
+ M h + c (N }j- N b); |
|
H ^ M ' v + c N ' n - c N ] fi |
’ |
|
Щ = К - К |
- |
|
Через компоненты деформации они выражаются так:
м ч = г ~ - 2 [ a - v j ^ + v s ^ L ] +
^~2(f— V2) К 1 ~ ?) (CJ3alJ+ CVSXl)+ СС14>1])+
+ 8 , 7 V (c12a 44+ c 13y.M+ cc14C**)];' |
(6.44) |
[ ( ■ - '’) < , + ^ y +
116
+ |
[(! - v ) ( c 22a ;y+ c c MC,y+ cw*,j) + |
|||||
|
-j-vS,y (c22a*ft4" ссзЛь*4" c2s*»ft)]’ |
|
||||
^ |
= 2lT= ^ Cl3^ ~ V) </+ V8‘^ |
+ |
||||
+ T ^ ^ v2- [('1 - |
v) (c32a * j + CC34Cу 4* сзз*/у)+ |
|||||
|
+ V » v ( v |
; |
+ c c ^ |
+ ^ 3 3 ^ ) 1 ; |
||
|
|
|
[(1 - |
v) e ' j + v h M |
+ |
|
+ |
f( 1 _ V ) ( c^ |
+ |
cc“ ^ + C " * v ) + |
|||
Здесь |
+ v®<7(C42a*fc4" CC44***ft4"C43*ftft)]• |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
Си= * 3 (Yi — Yz)= Cgl; |
си = Yi (4 +^3)— Ya |
+ /з)= |
||||
C14— Yx^-f |
= c41; |
c22= /32 (3YX4" 3Y2 + Y3): |
C23=C3S!= 3 YX^ (4+ У 4 - з у 3 & 4 - У + YA*;
c38== Yx (3f,« + 6 ^ 3 + 4V) 4- Y2 (ЗУ 4-6V 3 4-4 42)+ Y3y ;
c24=c42=3Sf3 (Yi^x |
Y2^2)* |
|
|
сз4=4 Ш 1 - YA 2)4- & 3 (Yx4 |
YA); |
||
c44=4ухУ 4- 4Y2y ; |
cu = C33— 2 C 23 - f см; |
||
|
|
Еф-k . |
|
Я |
т 2!*-:i |
|
|
|
|
l-V ft2 |
’ |
_£ A (l —у2) . |
(Л = 1 , 2, 3). |
*£ A (l-v x 2) ’
3.ВАРИАЦИЯ ПОЛНОЙ ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЭНЕРГИИ.
УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ
(6.45)
(6.46)
(6.47)
(6.48)
(6.49)
Уравнения равновесия получим, вычисляя вариацию полной энергии оболочки с учетом энергии поперечного сдвига запол нителя. Вариация энергии внутренних сил оболочки равна по тенциальной энергии деформации оболочки, взятой с обратным
117
знаком, вследствие этого принцип возможных перемещений за пишется в форме
|
|
|
|
|
6П—6Л—6В=0, |
(6.50) |
|||
где 6П — вариация потенциальной энергии деформации; |
|||||||||
6Л — вариация |
работы |
внешней |
поверхностной |
нагрузки; |
|||||
бВ — вариация |
работы |
внешних контурных сил. |
|
||||||
Вариация потенциальной энергии деформации |
выражается |
||||||||
следующим образом: |
|
|
|
|
|
||||
|
£а |
[ C + h i __ |
|
|
£ /_ |
|
ч |
||
8П = |
j j |
j |
2 |
a‘ibeUdZ + И |
2 |
°h bsU+ 2 °« 8е?з) d z + |
|||
|
Ei ’ll |
l с |
I,) |
|
|
—c \l,j |
I |
/ |
|
|
|
+ . |
j |
|
|
|
AxA^dxxd x it |
(6.51) |
|
|
|
—c—hi t,j |
|
) |
|
|
|
||
которое |
на основании |
(6.26) — (6.28) и (6,36), (6.43) приво |
|||||||
дится к виду |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ш = |
f [ 2 |
|
1^ е и |
|
|
|
+ |
||
|
= f |
|
|
|
|
||||
|
Е.Ч. Li.y |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
4 ~ 2 Q fiai |
AxA2d x xd x it |
(6.52) |
|||
где |
Ъ. и т|1, т|2 — координаты краев оболочки в направлении |
||||||||
осей координат х х и хг. |
|
|
|
|
|
||||
Учитывая, что |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
Ье*п — S(?u -|-V & i |
^128^x2» |
|
||||
|
|
|
8^22 — 8е21“Ь ^28^2 4 " e 21^ e 2V |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
E>x4- |
(6.53) |
|
4---- ” |
^128^22 4 “ |
е 2$ |
е У& 4 " |
e 21^e u 4 " g |
|
|||
после подстановки (6. 53) |
и (6. 52) |
и интегрирования по частям |
|||||||
представим 6П в виде |
|
|
|
|
|
||||
|
Е* ^а |
|
|
|
|
— It^w — ЬАЬаг— ^5^ 2] |
dx%-|- |
||
Ш = j* j I — |
|
|
|
||||||
|
Ei ^1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- f j |
I xd x x-)- j |
I 2dx a, |
(6.5 4 ) |
|
|
|
|
|
|
Ei |
|
’ll |
|
|
118
где
^1— (Л -^ ц ),1 — A2txiV22-f- Ai 1 (A ? N 12),2- f kn (A 2 Mu ) X_ |
|
|||||||
— ^11^2,1^22+2i4i (^пА?^12),2 + (А,2е12— ^ |
иЛ1Л2) N |
I |
||||||
+ ( ^ i ^ 2 iT V 2 2 ) , 2 + ( A 2G21N |
1 2 ) ,1 |
+ ( ^ x 6 x li V 12) a _|_ |
|
|||||
|
4“(А,2е22 |
e12^2,l |
^1^2^Ц^2) A^ls; |
^g ggj |
||||
L 2= - ^ 1.2^11 + |
(^ 1^ 22),2+ |
ЛГ1 (^ 2W 12)iX- f |
(Л2/^22) a __ |
|||||
^22^1,2^114“2Л2 (^22-^22^ 12)il_b (^ 2ei2A^11) x | |
|
|||||||
“t- (-^2,1^21 |
^2^22-^1^2) -^^2“t_ (■№12g12^l),2+ (Ла./У12е22) 1 -)- |
|
||||||
|
~\~{^цЛгл |
&1Л1Л2^22 |
e2X/4l,2) Л^и; |
(6.56) |
||||
LS = (A I {А2Мп)л) x |
|
|
|
|
|
|||
(Л2 |
ЛХ|2/И1Х) 2 —f-(Л2 2(Л22А/12) х) а-_|_ |
|||||||
~Ь(Лх 1 (A iM 12)i2)tl-\- (А^1{AIM W),2),2 ~ {A T 1А2лМ^)л ~. |
||||||||
ЛхЛ2 (ixiiV ul ^22^ 22) |
(Л2»^Уи)д — (Лх&2 ^ 22)12 —(Л1&1тУ12) |
|||||||
— (Л2&2-/Ух2),х~' (ЛХЛ2^22ех2 + |
ЛхЛ2<?2,&ц) ДГ12; |
(6.57) |
||||||
Ll = {A2^хх),х |
^2,X^22+^1 |
(^х2^хг).2“Ь ^цС (Л2/Иц) х |
|
|||||
^11сЛа>1Ж22-|-2сЛ1 |
(^цЛх2Л^12) 2 — Л1Лг<513; |
(6.58) |
||||||
|
|
А1лН и -]-А2 |
(Лг/^хг^х+ ^цС (А1М ^ )г_ |
|||||
^гг^х.г^н -f- 2сЛ2 |
(^22Л22Л112)л— ЛхЛ2(223; |
(6. 59) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/х = |
{(-^22 “Ь^22 ^ 22) ^М2 “Ь(-^УX2 “b 2 ^xlAf12) 8«X4~ |
|
||||||
-\-{Н2яЛ~Ьт.сМъ2) 8о2-|-(/7хг-j- 2kuCMi2) 8ах— Л/22Л2 18вд , + |
||||||||
-|-(ЛхЛ2) 1 [(ЛхУИ22) 2 |
Аъ2М11-\-2{А2М1^л -\г А1А^^Ъ&)-\- |
|||||||
+ e 21N ^ u 1+ e 11N 12Zu1-\-el2N l2bu2- |
M |
V ® ~ & Л 8®} Лх; |
(6.60) |
|||||
^2= 1(-^IX+ ^хх-^хх)8йх"Ь (-^Х2 + 2^22^хг) 8мг+ |
|
|||||||
-(-(//хх“Ь knpMi\) 8ах |
( Hl2-j- |
|
8а2 —MuAi 18*гех>—[— |
|||||
“Ь (ЛхЛ2) 1 [(А2Ми )л |
A2llMw-j- 2 (А1М12)л |
ЛхЛ2(?2] 8®) -J- |
-f- с2\А1хх8й2“J- e22N 228й2-f- e2lN XX8«X— b^Nxx8®< — §2N y $ w ) Л2.
Вычислим теперь работу, произведенную внешней поверх ностной нагрузкой, при варьировании перемещений точек обо лочки. Пусть q — интенсивность гидростатического . давления, направленного в сторону внешней нормали элемента оболочки со сторонами Aidxi и Л2с?х2. Работа, произведенная нагрузкой,
119
будет равна объему, заключенному внутри совокупности точек, через которые прошли точки элемента в процессе дополнитель* ной деформации, умноженному на величину интенсивности q* Первоначальная площадь элемента вследствие удлинения
сторон увеличилась до величины
(1 -\-вц 4 - £ 22) A1A2dx1dx2-
В этой формуле штрихи при ец означают, что эти величины; должны вычисляться при w = 0, поэтому работа, произведенная гидростатическим давлением, будет
Ь ill |
tv |
g ( l |
0 + * k i * ) 0 + k nz)dzA 1Aifix 1dx2a£ |
Ei ’ll |
6 |
5 j Я ( l + e h + |
e22) ( w + ^ r *u® 2+ Y *»® *) AxA2d x xd x ^ |
Ei ’ll |
|
E« ’ll |
|
JjJ q(w + euw + e^w-}- - у £ц®а + -^-£22®2) AxA2dxx dx2.
Варьируя интеграл, найдем
8^ ~ j J И 1 + e n + е 'ч2+ * 11® + * 22®) 8® +
El 4l
E* I*
+ ^ ® ( ^ n + 8e'2)] A1A3d x 1d x 2= ^ j [ q {А ^ -\ -А ^11л-\-Аги2Л-\-
|
|
Ei ’ll |
+ |
+ |
^ 2,1«2+ * 11® + * 22®) 8® - {{A2qw )A- |
— Aitlqw] bux— [{AtfwXi — Alt2qw] 8й2} d x x d x 2. (6.61)
Вариация работы внешней нагрузки ри действующей в иа правлении оси X i(i= 1,2), равна
Е* Я*
ЬАр= j J (p1ba1-\-p2bu2)A1A2dx1dx2.
Ei ’ll
Таким образом, вариация работы внешней поверхностной нагрузки
Ei % |
(AS<7®).I + Л,!?®] 8й!+ |
|
ЪА=ЪАч+ЪАр= ^ J {И И 2Р1 - |
||
Ei ^1 |
|
|
- f [ А А Р * - (Л<7® ),2+ ^1,2<7®] 8«2 + |
<? [ Д Л + А > « Ы + |
Л «2.2 + |
+ Л .2«2+ А , Л + + * |
22®]8®} d x 1оГх2, |
(6. 62) |
120