книги / Устойчивость и колебания трехслойных оболочек
..pdfЗдесь п — число |
волн |
в окружном |
направлении; |
хо — посто |
|||
янная. |
|
|
|
|
|
|
|
Вводя (3. 43) в (3. 42), приходим к уравнению |
|
||||||
/1 |
л2\ |
/1 |
Л2\2 |
|
|
|
|
1 + * * U |
+ я2 ) |
Ы |
+ rt»J |
_ |
____ ________________ |
||
J \ |
Л2\ |
/ 1 |
Л2 \ _ Г Х4 |
/ 1 |
л 2 \ / 1 |
л 2 \ 2 Г |
|
1 + Д Х2 +- Я2J \ 2X2 + Л2 ) |
|
(2X2+ Л2j 1 Х2 + Я2j |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
(3 .4 4 ) |
где |
|
|
А2я2 |
|
а_ |
12(1 - У 2)/?2 |
|
д « _ 12g/?3(l — у2) , |
|
||||||
9 |
£А30я2 |
’ |
" W |
|
|
Я4А20 |
|
|
|
|
i |
|
|
|
(3.45) |
|
|
|
/? |
' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рнс. |
17. Зависимость критиче |
Рнс. |
1в. Зависимость критиче |
||||||||||
ского |
значения |
внешнего |
все |
ского |
значения |
внешнего |
все |
||||||
стороннего равномерного |
дав |
стороннего |
равномерного |
дав |
|||||||||
ления q*=qmщ круговой цилин |
ления |
q* |
круговой |
цилиндри |
|||||||||
дрической |
оболочки |
от |
коэф |
ческой оболочки |
от коэффици |
||||||||
ента |
сдвига А |
при |
0= 0,1 и |
||||||||||
фициента |
сдвига |
А |
при |
0= 0,1 |
|||||||||
|
|
Х=10 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
На |
рис. 17— 18 приведены минимальные значения |
критичес |
|||||||||||
кого давления |
q* — q*m[n |
в зависимости от коэффициента сдви |
га для значений параметров |х2= 16, 64, 100, 1000, 10000, 30000; 0= 0,1 и Я= 4 и 10.
81
6. КРИТИЧЕСКАЯ НАГРУЗКА ПРИ КРУЧЕНИИ
Изучим местную потерю устойчивости опертой по торцам тонкой упругой круговой трехслойной пологой цилиндрической оболочки, подверженной действию концевых крутящих момен тов Мцр в плоскости параллельного круга [14, 15]. Под действи ем этих моментов в оболочке при докритическом безмоментном состоянии возникнут удельные усилия, равные
М 12" |
_ _Р_- |
л/° = |
0- |
№ = 0 |
(3.46) |
||
2я/?2 |
’ |
7V n |
U’ |
i V 22 U- |
|||
Тогда задача |
сводится |
к |
решению уравнения |
устойчивости |
|||
f l ( 1 " " T |
vS) v W v ’z* + f - |
£ |
0 - 7 ^ * |
) * - |
|||
которое разыскиваем в виде |
|
|
vS)7!vtb=0> |
(3' 47) |
|||
|
|
|
|
|
|||
|
[a s ln Л Й ^ З Ц . + |
tco s |
]■ (3.48) |
Здесь п — число волн по окружности; т] — параметр, характери зующий наклон винтовых складок, образующихся при потере устойчивости хо; а, Ь — константы.
Подставляя (3.48) в (3 .47), приходим к уравнению
а [ф(л, — 1) — ф(»,1)] cos ~ |
cos |
— f- |
|||
|
|
|
/ |
н |
|
-[--а[ф(/г,— 1) + Ф(/г,1)] sin |
- у . sin -п(-вг № |
— (- |
|||
+ Ь [ф(л,1) — Ф(л,— 1)] sin |
cos - |
{-s ^ |
— (- |
||
+ ИФ ( Л , 1) + |
<Кл. - 1)1 C O S |
JHL sin n (s — r>x) .— 0, (3.49) |
|||
где |
|
|
|
|
|
|
1 + т [ Н г * т Н т ) [ х |
||||
' |
- f [ K ± f ) 4 i )1 |
||||
ЯГ) , ^ у |
. г - у г . |
я . |
Н |
^ т |
Г |
х [ ( . |
|
|
|
|
|
|
U j J |
* [ ( - ^ т ) Ч т ) Т |
|||
+ 2J v ; . ( - a ± f ) f = o . |
(3.50) |
||||
|
82
Из формулы (3. 50) при
* = - * * ! ; |
р |
x = - a * * L - |
т |
n ifih fK |
получим два уравнения для определения Nu°
Я2в*
12 2R
Щ2
1 + £2£!/2 [£l/2 ( — ’l*' ± 5)2-Ь 1]
X
! + —i r l el/2c - ,i* ± 5 )2 + 1] ^е1/2
[ г 1/2 ( - 7 |
) * А |
£ ) 2 + 1 ] а , 52 |
( — Л* |
± |
£)3 |
(3.51) |
|
X |
71* ± |
£ |
Я 2 |
[ е1 / 2 ( _ , , * |
± |
£ ) 2 + 1]2 |
|
— |
|
|
|
|
|
Для оболочек, имеющих малый параметр е, формула (3.51) упрощается, так как в этом случае можно положить
|
|
el/2( _ ^ * |
± £)*-(-1 — 1. |
|
(3.52) |
|
Тогда найдем |
|
|
|
|
|
|
|
|
Я20* |
i + bk/gt 1/2 |
f - ( - 4 * ± |
9 s] |
|
2R |
|
12g2( — т)* ± 5) |
i +A/62*Va |
|||
|
|
|
||||
Суммируя и вычитая эти уравнения, получим |
|
|
||||
|
|
t *= .m *2(T1*2+ |
^ ; |
|
(3. 53) |
|
п*« — |
?_ ^ * 2 — |
|
„1 + »*/e2s1/2 _ 0 |
(3 ^ |
||
|
3 |
3 |
Зб£4 |
1 + * /?2eV2 |
' |
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
^крЯ |
,__ Jl_ . n » ____ e |
(3. 55) |
||
|
|
iEh^Re1'4 ’ |
# |
|
1 — V2 |
|
|
|
|
|
Уравнение (3. 54) позволяет найти rj* по заданному |=я/я.
83
На рис. 19—20 приведены зависимости минимального сдви гающего усилия T*=Tmin* от Я (отношение длины i
Рис. 19. Зависимость критического касатель
ного |
усилия т *= т Ш|П от отношения X— |
||
=l/R |
(I — длина, R — радиус) |
для |
круго |
вой |
цилиндрической оболочки |
при |
0 *= 1 ; |
£=0,001; 0=0,01 для ряда значений <=Л/Й (Л — толщина оболочки; R — радиус)
Рис. 20.. Зависимость критического касательного усилия т* от отношения \=IIR (I — длина, R — радиус) для круговой цилиндрической оболочки
при 0 * = 3 ; £= 10; |
0=0,01 |
для ряда |
значений отношения l=h/R |
(h — тол |
|
щина оболочки, |
R — радиус) |
Рис. 21. Зависимость критического ка сательного усилия т* от отношения X длины к радиусу для круговой ци линдрической оболочки при 0 * = 2 ; £=0,4; <=0,01 для ряда значений О
оболочки к ее радиусу R ) |
для /=0,001, 0,002, 0,005, 0,01, 0,02, |
||
0,05; при 6=0,001; •0=0,01; |
6 * = 1 |
и 6 = 1 0 ; 0= 0,01; |
0 * = 3 . |
На рис. 21 даны зависимости |
минимального |
критического |
|
значения т * = Т т ш * от Я для ряда значений О. |
|
8 4
7.КРИТИЧЕСКАЯ НАГРУЗКА ПРИ КОМБИНИРОВАННОМ НАГРУЖЕНИИ
Вразд. 2—6 настоящей главы рассмотрена потеря устойчи вости замкнутой цилиндрической оболочки при различных воз действиях, действующих на оболочку как одновременно, так и изолированно. Полученные формулы позволяют оценить значе ния наименьшего параметра критической нагрузки при комби нированном нагружении. Однако такой расчет приводит к боль
шой вычислительной работе.
Обычно критические нагрузки, соответствующие отдельным случаям равномерного продольного сжатия, равномерного кон турного сдвига известны. В разное время предлагалось опреде лять и критические нагрузки в случае совместного действия внешних сил. Одну из таких эмпирических зависимостей мы и приводим ниже.
где р* — параметр критической нагрузки только при действии продольного сжатия; q*p — параметр критической нагрузки
при действии только внешнего равномерного поперечного дав ления; т*р — параметр критической нагрузки при действии
только равномерных касательных сил на контуре; р*, q*, т* — соответствующие значения параметров при комбинированном нагружении. При этом р* определяется как максимальное фиб ровое сжимающее напряжение (с учетом изгиба, если имеет место внецентренное приложение нагрузки).
8. СВОБОДНЫЕ ПОПЕРЕЧНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
Добавляя, в соответствии с разд. 9, гл. 2, в правую часть уравнения (3. 2) приходящуюся на единицу поверхности инерци онную силу
(3.57)
и полагая внешнюю нагрузку равной нулю, приходим к системе уравнений малых поперечных колебаний трехслойной цилиндри ческой оболочки:
|
|
R |
дх2 \ |
Т |
+ |
(3.58) |
|
|
|
) * |
|||||
D f l - |
v a] VaV2Х + — |
— |
+ Q h — |
|
|
(3.59) |
|
Вводя разрешающую функцию %i |
|
|
|
|
|||
|
. |
р |
Eh |
д2 /. |
|
|
(3.60) |
Л |
Л1 |
|
R |
дх2 [ |
|
|
|
|
- |
7 |
’ ■)*■• |
8 5
получим одно уравнение малых поперечных колебаний круго вой цилиндрической оболочки
о ( 1_ ! £ . T. ) r t W b + ^ . £ ( i - f v ) й =
|
|
<3- 61) |
|
Для свободно опертой цилиндрической |
оболочки |
функция |
х» |
имеет вид |
|
/Л |
ЛП\ |
• л • fflJhX |
nS |
||
Xi=Xoe‘ <sin —p c o s - - , |
(3.62) |
||
где т — число полуволн по образующей |
цилиндра; |
п — число |
волн по окружности; о — круговая частота поперечных колеба
ний; хо — постоянная. |
|
|
|
|
|
Вводя (3.62) в уравнение (3.61), получим |
выражение для |
||||
круговой частоты |
|
|
|
|
|
|
Irrfl |
rfi\ |
|
|
m4 |
< J= |
U 2 |
Я2> (nfi_ |
r fiy |
, 2 |
X4 |
|
«2 П X2 + |
Я2) |
-ГР' |
/m2 Л2 \2 |
|
QhRi , t InP |
|||||
|
|
|
|
|
(3.63) |
из которого следует, что минимальной частоте соответствует од на полуволна в продольном направлении ( т = 1).
В(3.63) использованы прежние обозначения
Я2Д2 |
# |
g |
12(1 — t l) j?2 . |
1_ |
(3.64) |
|
k |
|
|
|
|
R |
|
РЛ2 |
’ |
^ |
Я4Д20 |
’ |
|
Г л а в а 4
УСТОЙЧИВОСТЬ КРУГОВЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ПАНЕЛЕЙ
1.ИСХОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ
Видоизменим несколько уравнений разд. 1 гл. 3, вводя вмес то круговой координаты s декартову координату у. Если /— длина панели по образующей, а длина ее дуги равна Ь, то ар гументы линеаризированных уравнений устойчивости
V W = — |
— ( l - — va |
х; |
|
(4.1) |
|
R |
дх2\ |
а |
|
|
|
|
|
-2N\, |
& |
+ ^ > 5 ) х |
|
|
|
дхду |
|||
|
|
д х 2 |
|
ду2] |
|
X ( l - f - v * ) z = ° |
|
|
|
(4 .2 ) |
86
изменяются в пределах
ОО < # < & .
При этом оператор Лапласа V 2 () имеет вид
V ^ дх* ^ ду*
Уравнения (4. 1) — (4.2) могут быть использованы при реше нии задач об определении верхней критической нагрузки тонких упругих пологих круговых трехслойных цилиндрических пане лей постоянной толщины. Сформулируем граничные условия.
1. Панель свободно оперта по всему контуру. Имеем
|
N u = e^ = w = H 11= M 11= 0 |
при |
х = 0 , |
х — 1‘, |
1 |
(4.4) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
при |
У = 0, |
у = Ь . |
I |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Вводя функции F их, получим |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
F = v 2/r= x = |
V2X = V 2V 2X = 0 |
|
при |
х — 0 , х = 1 , |
|
(4.5) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У = о, у = ь . |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2. |
Панель свободно оперта по прямолинейным краям и жест |
||||||||||||
ко защемлена по криволинейным краям. Имеем |
|
|
|
||||||||||
|
ul = N n = w = w l = a l = 0 |
|
при |
|
х=1\ |
|
(4.6) |
||||||
|
М^ = еи — 1Ю— Н ^ = М 22~ 0 |
при |
г/ = |
0, у = Ь. |
(4.7) |
||||||||
В функциях F и х эти граничные условия |
запишутся |
так: |
|||||||||||
|
dJ L = * £ ~ ( i _ |
Л2 |
V2\ х = А |
|
* |
= 0 |
|
|
|||||
|
» |
К |
|
|
|||||||||
|
дх |
дх3 |
|
\ |
р |
/ А |
|
дх |
дх3 К |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
при |
|
л := 0, х — 1; |
|
(4.8) |
|||
|
|
|
|
№F |
|
дН |
|
д*х = 0 |
|
|
|
||
|
|
|
|
~ду2~ *~ ~ 1й р |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
ду* |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
при |
|
у = О, |
у = Ь . |
|
(4.9) |
||
3. Панель жестко защемлена по прямолинейным |
краям и |
||||||||||||
свободно оперта по криволинейным краям. Имеем |
|
|
|||||||||||
|
N n = e w= ‘W = |
Ffu = M n = 0 |
при |
* = 0 , х = 1 ; |
|
(4.10) |
|||||||
или |
U2 = N u — w = a 2— W'Z— Q |
|
при |
у — 0, у = Ь , |
|
|
|||||||
|
&F |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А * __ |
дх4 = |
0 |
при |
д г= 0, х = 1 ; |
(4.11) |
|||||
|
|
дх* |
|
дх2 |
|
||||||||
dF |
d3F |
Л |
А2 |
Л |
|
дх |
дН |
Л |
|
|
|
=ь . |
|
ду |
дуз |
I 1 |
Р |
v / х |
|
_ |
£?г/3 |
0 |
ПРИ |
У - 0 ’ У |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.12) |
87
4. Панель жестко защемлена по всему контуру. Имеем
u1= N -n = w |
= |
при |
х = 0, х = 1 ; |
u2 = N 12= w |
= w tZ— a 2 = 0 |
при |
(4.13) |
у — О, у = Ь . |
Для функций F и % эти условия запишутся так:
dF & F
дх дх3
1 |
Iсч |
|
дх |
II |
н |
|
о |
|
1 |
|
|
'Ъ1 |
II |
||||
|
« |
|
|
|
со |
|
|
|
|
р |
/ L дх |
|
дх3 |
|
|
||
|
при |
х = 0 , |
|
Х = |
1\ |
(4.14) |
||
й2 „ 2\ |
X |
Н |
%| |
II |
О |
|
||
— V!2 |
ду |
ду3 |
|
|
|
|||
Р |
/ |
|
|
|
|
|||
|
при |
у = о, |
|
у — Ь. |
|
|
В следующих разделах при решении конкретных задач будем использовать разрешающее уравнение
D(1- Т v‘) *'vW*+%sr(1- f v‘)b-
= 0 ' (4- 15>
которое очевидным образом получается из (4. 1) — (4. 2).
Для формулировки граничных условий относительно функции X следует иметь в виду зависимости
z = v - v « x . ; F = f £ ( i - f * ) b . |
(4.16) |
Согласно ранее изложенному граничные условия для свободно
опертого края |
(х= х°) через xi |
записываются |
в форме |
|
||||
|
d2Xi |
д*ц |
<^Xi |
дх3г = 0. |
|
|
(4.17) |
|
^ |
дх2 |
дх4 |
дхв |
|
|
|||
для жестко защемленного края (х=х°) |
|
|
|
|
||||
А2 |
v') V=VzXi |
|
__d3xi_d5Xl |
<*7Xi |
=0. |
(4.18) |
||
( ‘ - f |
дх |
дх3 |
дх3 |
дх7 |
||||
|
|
|||||||
Перейдем к рассмотрению частных задач. |
|
|
|
|||||
2. |
УСТОЙЧИВОСТЬ СВОБОДНО ОПЕРТОЙ ПАНЕЛИ |
ПРИ КОМБИНИРОВАННОМ РАВНОМЕРНОМ ОСЕВОМ СЖАТИИ И ПОПЕРЕЧНОМ ДАВЛЕНИИ
Пусть тонкая упругая круговая пологая цилиндрическая па нель находится под (воздействием внешнего равномерного попе речного давления q и равномерного сжимающего усилия N, тог-
88
да удельные усилия докритического состояния можно выразить формулами
№ n = - N ; №22= - q R ; №12= 0 . |
(4.19) |
|
Принимая функцию xi в форме |
|
|
Zi=XoSin тлх |
gin ялу |
(4. 20) |
I |
b |
|
где т и п — число полуволн в продольном и окружном направ лениях, после подстановки (4.20) в уравнение (4.15) найдем
— ( N — + q R h A = |
^ |
п |
+ Х2 ) f«a + |
1 |
^-)2+ |
|||||
Dn*\ |
Х2 |
1 4 |
) |
л I |
|
т2 \ \ |
|
Х2) |
||
|
|
|
|
1 + ' ( " г + 7 г) |
|
|
|
|||
|
|
+ ■X* |
ТП |
|
|
|
|
(4.21) |
||
|
|
/ |
/И2 |
\2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
('4 + |
"хГ |
|
|
|
|
|
Здесь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р*2 |
Г |
А2^20Я4 |
х— |
L . |
(4. 22) |
|||
|
|
|
* |
|
|
|||||
Полученная |
формула |
позволяет |
|
исследовать |
устойчивость |
панели как при чистом продольном сжатии ( q = 0) и чистом по
перечном давлении (N = 0), так |
и при совместном их действии. |
Как частный случай при R -^ oo, |
р.2— 0 из (4.21) вытекает фор |
мула для критического одностороннего удельного сжимающего усилия плоской трехслойной прямоугольной пластины
N = |
£>я2 |
(4.23) |
|
Ь2 |
|
3. |
УСТОЙЧИВОСТЬ СВОБОДНО |
ОПЕРТОЙ ПАНЕЛИ |
ПРИ КОМБИНИРОВАННОМ ДЕЙСТВИИ РАВНОМЕРНОГО ПРОДОЛЬНОГО СЖАТИЯ, ПОПЕРЕЧНОГО ДАВЛЕНИЯ И СДВИГА
Пусть помимо равномерной по круговому контуру осевой сжимающей силы N и внешнего равномерного поперечного дав ления q свободно опертая пологая круговая цилиндрическая па нель подвержена действию краевых равномерных сдвигающих усилий т. Тогда
r f u = - N ’, №22= - q R ; 7V?2= T . |
(4.24) |
89
Решение уравнения (1.6) |
из-за наличия несимметричног |
|
слагаемого |
|
|
2т |
Л |
Ю |
дхду [ |
V2) v 2v 2ja |
|
|
р |
приходится отыскивать в виде бесконечного двойного ряда п* синусам.
Выбрав прогиб панели в форме
w = |
2 JS |
Ww п |
. |
тлх . |
ппи |
(4 .2Z |
|||||
sin ------ sm —— |
|||||||||||
|
|
|
|
i |
|
b |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
для xi будем иметь выражение |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
оо |
_ |
|
/ пял: |
и яг/ |
|
|
|
|
|
ел |
|
Wmnsm — |
sin ——- |
|
|||
Ъ |
= |
^ 1 |
|
V |
V |
|
|
|
I |
о |
(4.26 |
|
Я4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
каждый член которого удовлетворяет краевым условиям |
(4. 17) |
||||||||||
Подставляя |
(4.26) |
в уравнение |
(4 .15), найдем, что |
(4.26 |
|||||||
и, следовательно, |
(4. 25) не являются точным решением, так ка! |
||||||||||
левая часть уравнения |
|
(4. 15) |
не обращается в нуль. |
|
|||||||
262 |
|
2 |
|
^ |
|
r " 1 r C0S^ |
“ s " - f + |
|
|||
Drfi |
|
|
|
|
|||||||
|
т=1 ’л=1 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
О |
О |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[— |
|
(iV — |
|
|
|
|
|
+тS—1 Sл—1 [D TP |
\ |
Х2 +<7*«2) - |
|
X
(4 .27‘
Применим теперь метод Бубнова (1, 2]. Умножаем (4.27) на