книги / Математическая теория колебаний упругих и вязкоупругих пластин и стержней

А '( * , z ) =

■ К ' XX	d e 1	w < V «b «'*.« * f. / v	5.)
		+ 6t
	X X
			(I.17)

- работу изменения формы.

Для вывода нелинейной зависимости б»- л/ £^. необходимо выпол­ нение следующих условий [lo]i

-удельная работа деформации А должна быть однозначной функ­ цией компонент тензора деформации D ;

-материал тела должен быть однородным и изотропным;

-как и в законе Гука, шаровой тензор напряжения Т0 должен за­

висеть лишь			от шарового		тензора деформации D 0 9 а девиатор тензора
напряжений			Т - от девиатора тензора деформации д г ;
	- для		бесконечно		малых деформаций устанавливаемый закон дол­
жен по форме совпадать с законом 1Ука (I.13)•
	Исходя из того, что указанные условия должны выполняться,										для
удельной		работы А получаем выражение						[ Ю ]
			Л - А		. ( е . ) + А ' ( 9 ‘ , Л,'),					(I.IS)
где	J j	- третий		инвариант девиатора				тензора деформаций.
	Как	показано		в работе		[10], величина А от инварианта				J *	не
должна зависеть, и тогда нелинейный								закон зависимости ef.. ^		£..
имеет вид
			в- = з к е в ж ,			се.) ;	Г - 2 6 / (v*)D \			( Ы 9 )
Здесь зео 9			£ - функции соответственно удлинения						и сдвига,	кото­
рые	через		составляющие удельной				работы деформации		выражаются		фор­
мулами
			* о ( е 0)		1	dA„		4 <1А'		( 1. 20)
						d e / ’		d K*
				9к е .

Из закона (X.19) для отдельных компонент тензора напряжений получим зависимости

*jj	-	з к е „ Х0 С О	+ 2G (6 jj - О	/ ( К	) ;
		,			(I.2I)
6ij	=	в е.у / ( К ) ;	i t j i 4	= х , у , г	•

В дальнейшем функции удлинения и сдвига удобнее выражать как

и тогда (I.2I) принимает вид

Ъ г зкеь l î + £ (е’ >]+ 2ff(£jj-			£	*	)	;
*	r	® т	; l *J-					(I-23)
	г в е ч [ 1+f , ( t à ]
В силу того, что закон (1.23) должен			быть		одинаковым		как	при
нагружении» так и при разгрузке, то функция				f o (80)		должна быть чет­
ной по ео , a	зависеть лишь	от		. В частности,			разлагая
вти функции в степенной ряд, имеем
	г(п+ 1)	/ ,» Л '				г(л+т)		(1.24)
	* " е-
Обобщим нелинейный закон (I.2I) на случай					вязкоупругого			тела
[31].

Линейная теория вязкоупругости основана на эффекте памяти,т.е. линейной интегральной зависимости напряжений от деформаций. Тогда для линейного вязкоупругого тела

e0°3 K R 0 ( е в)			;	T = 2 G R (D '),			(1.25)
где RL и R - линейные		интегральные			операторы типа	вольтеровских:
			t
* . ( о - и * ) - i ç 0 ( t - 4 ) u v < * ç i						(1.26)
		0 t
R ( 0 =	% ( t ) ~		\	F20(t - S )t ,(tj)< * S
lj0 ( t ) - ядра этих	операторов.0						А
Как и при выводе		(I.2I),		для удельной работы деформации
можно получить Представление
	А * А 0 + А *					(1.27)
Для обобщения закона (I.2I) на случай вязкоупругого тела сфор-
цудируем ряд условийi
• удельная работа деформации А					должна быть однозначной		функ­

цией истории деформирования от его начала до текущего момента вре­ мени t ;

- материал вязкоупругого тела должен быть однороден и изотро­

пен*

- девиатор тенаора напряжений Т должен зависеть лишь от ис-

горни изменения девиатора D', а среднее напряжение б* - лишь от ис­ тории изменения средней деформации ео ;

-для бесконечно малых деформаций нелинейный закон зависимости

^& lj в пределе должен переходить в закон (1.2б).

Исходя из указанных условий для удельной работы деформации А получаем представление

			* ( * , ? , * ) - £ ( J , ) + $			( 9 Ï ) ,				d - 20>
где	и	Щ - нелинейные функционалы.
	Имея представление (1.28)» обобщенный закон (I.I9)									для вязко-
упругого		тела	выражаем зависимостями
		^ • З К » . [г , (£„)€.];			T - 2 G R k ( t f ) D ‘] .					О - » )
Здесь
	*	[г. «•>*]• 5F			*[''<*■> D']‘3G
	Исходя из постулата изотропии, предполагаем, что нелинейные
функционалы Г0, Г имеют производные по Фреше							[9] любого			порядка в
нуле,	и	при атом должны выполняться условия					Г0 ( о ) ш Г(0)ж1. Следова­
тельно,		операторы или функционалы Q, Г				можно	разложить		в ряды
			г		2 ч _
ç<e.)* 1+				г (tf)		п~1	( К	)		(1.30)
						Г

п*1

t t

Кп(6в)т ctn ££*°(t)- j*... J Ffn(t~tf

		t	t		J		(I.3I)
en ( v ? ) * л [ ? ! ” ( t}		- J ■■•• î Ft»		(* -	» ••• - *■■ t» >4
*V>1 ( W ... K 2 ( U
Fjn - n -мерные	ядра интегральных		операторов		Кп	и	вп
Для компонент напряжений закон (1.29) можно записать в виде
в,-, “ 3KRo [г»		е>] + 26R				- О ] ;
бц =	<?/?	е,; ] ;		«.У-		у.	2

13

Выражения (Г.32) являются нелинейными зависимостями между для изотропного вязкоупругого тела при малых деформациях.

§ 3. Линейный закон термоупругости

Рассмотрим связную теорию термоупругости с учетом конечности скорости распространения температуры. В этом случае количество теп­

ла AQf сообщаемое телу объемом А гг					за время A t , зависит от скоро­
сти его распространения в точке A						и в общем случае от изме­
нения скорости объемной деформации'					&	d iv с Г ) 9
	д а - f ü v ü t [ ( ■ > ^ * ■ ^ , 7 j r ) *
			I t			(1.33)
где	параметры	термоупругой среды.
	Температура Г удовлетворяет уравнению
	г т	1	д Т	1	д *Т
		' с *	â t	о *	â t 3

« р	d t 2	d i v U + р,
«T		<з

Здесь

- ^ r d iv U .	(1.34)
dt

СР~ С1г

' ?3 оСА ;

к - коэффициент теплопроводности; С- скорость			распространения тем­
пературы.				<oq и
Линейная	зависимость между деформациями		напряжениями
температурой	Т в соответствии	с законом Дюамеля - Неймана имеет вид
	=-<*■К (Г~Тв) d.j + К cUv ÏÏS.J +
	+	,	(1.35)
где U - вектор перемещения;		- символ Кронекера.
Таким образом, уравнение		(1.34) принадлежит к уравнению		гипер­

болического типа и описывает процесс распространения тепла с конеч­ ной скоростью С*.

Если параметры	положить равными нулю, то получим несвяз­
ную теорию термоупругости.

В произвольной криволинейной ортогональной системе координат (оС, движение упругой или вязкоупругой среды при малых дефор­ мациях описывается уравнениями в напряжениях

7 7	Лз 4	d	( hi h3 6u fi) +	d	K	~
		. ) + др		( Л
â u		dfi
âhi	* 1		I	H h		d * u «
h* doi	~ 1 t i h*		+d« t h*	â / "	P	Ô t*

	ды.	(\	6<*P )* др (Л*		}+ д)	^ *//)"
.	. â h .	_ ,	ondh ,	, on»dht	ап г	оd ‘ Lufi	t
~*ii hi ~dp~~			+	d^ 4~âJ~ *&Я Ьз~д«~p T t i			>
				°		I(1.36)
-Г	{ K h e* j ) + £		( h, *** //)+ y			ât>,
						■*/

-	,	9 b .	.	âh3	d h 3
“	h'	âtf	+	Л2 ~dt +
где h Jf	hg9	h3 - коэффициенты Ламе.имеющие			вид

<?*<//

~dW ’

Лу

Вуравнениях (1.36) объемные силы не учитываются. В частности»

Вцилиндрической системе координат уравнения (1.36) принимают вид

д&гг	*	д6ге		6rr~6oe		& иг
7 г ~ + “ Т ё ~ + 1 Г ~ +				г		d t * *
à * r e	±	0 вм +	à 6oz	2 6го ^	à и $	^	(1.37)
д г	+ г âe		дг	г	* d t z 9
à e rz		0 *а г		6 r z	р д a z .
дг	г	до	dz	г	* d t%

Уравнения движения (1.36) и (1.37) в перемещениях в случае не­ линейной зависимости весьма сложны. Оцнако для линейной зависимости вц™ 8ц они значительно упрощаются введением потенция-

лов продольной и поперечных волн по формуле
(7= ÿ r a d			Ф + r o tY "		(1.30)
При этом векторный потенциал поперечных волн				Y	должен удовлетво­
рять дополнительному условию			[7, 8]
	dizx		Y = О.		(1.39)
Условие (1.39)	в произвольной ортогональной				системе координат
является достаточно	сложным. В цилиндрических координатах (г, О, z )
оно удовлетворяется автоматически, если векторный					потенциал Y	по­
ложить равным
Y = ¥ i e z		+ r o t ( Y 2 ?z ) .			(1.40)
В потенциалах Ф и Y		уравнения (1.36)		в линейном случае		прини­
мают вид

7 ? - :		Я -	а м )
где а и b - скорости распространения продольной		и поперечной волн,
а операторы ^ и М равны
Л/г=/?в + - 1 / ?	M ^ R		(1.42)

В динамике твердого тела напряженно-деформированное состояние

однозначно определяется	заданием граничных и начальных условий. На­
чальные условия в общем	случае	имеют вид
« \ f o - ïï<:		7Г L . - 5	(1-43>

По типу граничных условий различают три основные задачи. Первая краевая задача возникает в том случае, когда на границе

S твердого тела задаются напряжения. Бели через Х п , YnfZn обо­

значить	проекции		этих	усилий, отнесенные		к единице		площади поверх­
ности,	то	граничные условия
*х х		СОЗ (п,ж)+		cos(n, у) + 6XZ		COS (tr,z). Х „ ;
		cos ( п>*)+		cos	+ 6yz	co s	( n ,z ) =		Yn ; (1.44)
&xz		COS (n, ac)+ 6y2 COS (П, ÿ) -f 62z COS					(n, z) *		.
Здесь n - нормаль			к поверхности S		тела.
В случае второй краевой задачи на поверхности S								задаются сме­
щения,	т.е.

«/г-		uSl= f2 (5t' s0;		^ f 3(sr>s2),			(i.45)
где n, s, , S2	- ортогональная система координат на поверхности.
Третья краевая		задача	возникает в случае,		когда на	одной час­
ти поверхности	S задаются условия (1,44),			а на	остальной	- условия
(1.45).
Кроме основных		краевых	задач встречаются задачи, когда сплош­

ное тело состоит из сред с различными характеристиками. При этом на

границе раздела сред Г

можно задавать различные условия

контакта!

- в случае абсолютно жесткого контакта по границе раздела

Г

нормальное и касательные напряжения,

а также

перемещения

непрерыв­

ны, т.е.

* (1)

-

пп >

nsf

nsf

nst

.

в (2)

*Sg

(1.46)

4"

и (г)

u {1)=

и (*>

п

Ч

Ч

если по

границе

Г

отсутствует

трение,

то

,(0

^ (*)

ns, а О;

>-,3=1,2;

и и1 и 1г)-

(1.47)

éпп

Пп

п

п >

- при наличии трения

по контакту Г

условия контакта весьма сло­

жны и до настоящего времени нет единого мнения об их виде. Бели

же

одна из сред - абсолютно

твердое тело,

то условием контакта может

быть закон трения по Кулону.

Сформулированные

граничные условия,

как

правило,возникают

при

решении тех или иных динамических задач и будут использованы в после­ дующих главах книги.

§5. Математический подход к выводу уравнений колебания упругих и вязкоупругих пластин. Общие замечания

Исследование волновых процессов в ограниченных деформируемых телах сводится к сложнейшим математическим задачам.

Даже для деформируемых сред, описываемых простейшими моделями, такими, как упругая и вязкоупругая среды, многие нестационарные за­ дачи не исследованы полностью и отсутствуют эффективные методы,поз­ воляющие решать эти задачи в точной постановке. Поэтому большинство прикладных задач в различных областях техники решаются с использо­ ванием упрощенных моделей (пластинки, стержни и оболочки), сводящих пространственные задачи динамики к двумерным или одномерным.

Зак.689

Для исследования нестационарных колебаний пластин, стержней и оболочек прибегают к такой математической модели описания их пове­ дения, в которой изучаются движения точек срединной плоскости (плас­ тинки), срединной поверхности (оболочки), срединной линии (стержни).

Математической теории построения упрощенных моделей колебания пластин, стержней и оболочек посвящено значительное число работ,опу­ бликованных в нашей стране и за рубежом £l,3,6,22,23,29,44 - 55 ].

Однако большинство из них связано с изучением	колебания пластин	и
стержней в упругой линейной постановке.
Как правило, теории колебаний стержней и	пластин основаны	на

гипотезах плоских сечений и гипотезе Кирхгофа. На основе этих гипо­ тез выведены соответствующие приближенные уравнения колебания,полу­ чившие название классических.

Резкое увеличение количества прикладных задач, способствующих изучению динамического поведения стержней, пластин и оболочек при воздействии различных нестационарных внешних усилий, показало недо­

статочность классических уравнений для описания наблюдаемых		явле­
ний, что в свою очередь	привело к большому числу уточненных	теорий
и уточненных уравнений	колебания. Эти уточненные уравнения	выводи­

лись также на основе новых гипотез. Наиболее полный обзор по разным

уточненным моделям колебания	стержней, пластин	и оболочек дан	в
работах [6, 7, 21], а также в более поздних публикациях [22, 26].
Следует отметить весьма	ограниченное число	работ, посвященных

выводу приближенных уравнений колебания стержней и пластин с учетом реальных механических и реологических свойств материала,нелинейнос­ ти зависимости напряжений от деформаций, начальных смещений и на­ пряжений температуры, влиянию окружающей среды, анизотропии и т.д.

Однако к исследованию колебания стержней, пластин и оболочек можно подходить на основе точной постановки задач, рассматривал эти тела как трехмерные при воздействии внешних усилий, приводящих к то­ му или иному виду колебаний.

Такой математический подход,получивший название метода началь­ ных функций, был осуществлен В.3.Власовым [4] для определения на­ пряженно-деформированного состояния упругих изотропных однородных пластин в линейной постановке при стационарных внешних усилиях. Ма­ тематические подходы к изучению колебания пластин рассматривались также в работах [б, 22 , 36 , 45].

Однако математический подход с точки зрения точных т^ехмсрных задач для деформируемых сред не нашел применения в исследовании ко­ лебания стержней, пластин и ободочек о учетом разнообразных механи­ ческих, реологических и других озойств материала.

В настоящей	книге предпринята попытка изложения математической
теории колебаний	упругой или вязкоупругой пластинки для	изучения

ее динамического поведения при нестационарных внешних воздействия*. На основе такого подхода выведены точные уравнения продольных и по­

перечных колебаний		вязкоупругих пластин		с учетом и без учета началь­
ных	смещений и напряжений, с учетом частного вида анизотропии,тем­
пературы (связная		теория	термоупругости),	приближенные уравнения с
учетом окружающей		среды	и физической нелинейности материала. Полу­
чены выражения для всех смещений и напряжений по					толщине	пластинки
и сформулированы основные краевые задачи,				приводящие к		продольным
или	поперечным колебаниям пластинки. На			основе	точных	уравнений

проанализированы некоторые вытекающие из них приближенные уравнения и выведены для них приближенные краевые задачи.

Естественно, что ограниченный объем книги не позволил авторам изложить материал в необходимом объеме даже для изотропных упругих пластин и стержней в линейной постановке.

§ 6. Некоторые математические методы решения волновых задач

При исследовании волновых полей в линейных деформируемых сре­ дах или при решении задач колебания пластин и стержней в зависимос­ ти от постановки задачи используют те или иные математические ме­ тоды, из которых наиболее часто применяемые кратко излагаются ниже.

Интегральные преобразования Фурье и Лапласа» Различают следую­ щие виды преобразований Фурье:

- косинус-преобразование О0

^ ( с о ) = § f	(ос) c o s (а) х ) dot	;	(1.48)
о
- синус-преобразование
о©
F2 ( U))= f f	( х ) ein (c o x )c fx	;	(1.49)

о

- экспоненциальное или комплексное преобразование

	©о
F (eo )=	$ j ( x ) e o c p ( - i c û x ) d œ		(1.50)
	-OO
Формулы (1.48) - (1.60) справедливы, если несобственный интег­
рал от функции	\ f(x)j	существует, т.е.
оо		оо
J \ f( x ) к *		< о о или| If ( x ) \	^ ° °

О

~оо

Указанные преобразования Фурье	применяются для координат, ко­
торые изменяются от - оо до + о о	, и функций, являющихся четны­

ми, нечетными или произвольными по этим координатам соответственно.

Модуль		\F((0)\	называют	амплитудной характеристикой или				ам­
плитудным спектром функции J ( x ) , a					a r ç	F ((О) - фазовым спектром.
Если через у ( t )			обозначить функцию-оригинал				действительного
переменного		t при 04 1 <о©,		интегрируемую на любом интервале (09А)9
то выражение
		F ( p ) =J f	( t ) e x p ( ~ p t ) c / t				(I.5I)
		о
называют интегралом Лапласа,				а функцию		F(p)~ преобразованием		или
трансформацией Лапласа функции f ( t ) .					Здесь величина		p=aL + Lj$
комплексное число, причем ос > О .
Данное преобразование наиболее часто используют в случае,когда
переменная t		является	временем и задаются начальные условия для функ
ip M j(t)	при	t * О .
Преобразование Лапласа (I.5I) обладает следующими свойствами!
	y	<n)( t ) e x p ( - p t ) d p = p hF ( p ) ~
	О
	- р П				( О) ;		(1.52)
5 {			e x p ( - p t ) d t * F ( p ) Q ( p ) ,				(1.53)
о	о

где

4 ( р ) ’ 1 ? ( * ) е * Р ( - p t ) d t ;

°вС+ioo

— Г		F ( p ) e x p ( p t ) c t p ;	(1.54)
z x i	J ,
	cc-ioo
f ( 0 ) s	lim	I p F ( p ) J ;	(1.55)
	p -+*о
off/со
J [ F(P) e ap] e ptd p = f ( t - a ) H ( t - a ) ;			(i.se)

вC-ïoo