книги / Методы оптимального проектирования
..pdfгде Ci и с2— произвольные постоянные. Отсюда с и (6-38) получаются выражения для сил вращения;
аг — |
а — |
р |
Р“ 2 (3 + |
V) |
, |
|
|
г 2 |
8 |
г > |
|
||||
|
|
|
|
||||
в |
а - |
р |
P » 3 ( l + 3 |
v ) . |
(6-49) |
||
8 |
т |
' |
|||||
"а — |
а т |
гз |
|
где а, Р — постоянные внутри каждого кольца, полученного в ре зультате разбиения.
Для проектируемой конструкции определяются также силы огР- и с0 в точках rlt г2, . гп. Ограничение*(6-41) записывается отдель но для каждого интервала »[rj_i, г/|. Имеем:
‘C1=~5“ K — »el> ,'2=“§_l«r|. h9 = "2"N».
откуда ввиДу (6-41) получаем:
max {TI, Т2, Тз}< Т о. |
(6-50) |
Вектор функций ограничений может быть записан в виде
^ = < v v - • V *
Пределы его изменения в соответствии с условием (6-50) запи сываются с помощью неравенства
L ^ y (x )^ U t |
(6-51) |
где L = (0 , 0, — , Ь) и U = (то, т0, . . т<>).
Таким образом, задача оптимального проектирования диска па ровой турбины сводится к поиску минимума критерия оптимально сти (6-46) при ограничениях (6-50) и (6-51) путем варьирования
вектора х = (&3....... bn-ъ, а2).
Движение к оптимуму внутри допустимой области. Поскольку на начальных этапах поиск осуществляется внутри допустимой обла сти, используется метод наискорейшего спуска. Рекуррентная фор мула метода наискорейшего спуска имеет вид:
+ |
(6-52) |
где |
U U |
f |
|
, |
. |
. |
(**) |
; h - |
длина шага. |
xk=(bk3, |
ь \, |
Ьй„,_2а*г); Ф * = - |
|
||||||
|
Частные производные критерия оптимальности в данном случае |
||||||||
могут быть представлены в аналитической форме: |
|
||||||||
|
|
|
0 (« /+1 + |
«у + «/-.) ПРИ / = 3- •••• » - 2 ; |
|||||
|
|
|
dw |
по |
л |
|
. . |
|
|
|
|
|
dat |
= Т |
(2яг + |
(Ьу~ Ь^ ' |
|
|
Поэтому соотношение (6-52) сводится к следующим выражениям:
Ъ?Х= |
|
|
tk_ |
— a!-l) (a/ +l + Л/ + а/~l) Nk ’ |
|||
« 2 ^ = Л |
2 .— 3 ( 2 л 2 + |
л з ) ( ^ I |
(6-53) |
где нормализующий множитель Nb имеет вид: |
|
||
|
(tf/+i — 0/-i)a (я/+, + а/ + я / _ ,) 3+ |
||
|
|
1/2 |
|
~Ь |
(2л2 4“л3)2 (^I |
63) |
|
Согласно методу наискорейшего спуска 4 |
выбирается в резуль |
тате решения однопараметрической задачи минимизации. Кроме того, с учетом ограничений величина h подбирается таким образом, что бы я* * 1 было допустимым решением.
Следует установить, какое максимально возможное значение h не выводит за пределы допустимой области.
Для ограничений на конфигурацию изделия (6-48) с помощью соотношений (6-53) получаем:-
3 |
—ei)N* |
|
|
т — 2 ; |
|
^ “ ч (« /+1-л/)(в/+1+ в/-И /-1) ПРИ 7 |
|||||
’ |
|||||
______ 3 (fl2fe |
<JX |
е3) N ь |
|
||
|
«p (2a2 + a3) |
(&! — &,) |
|
||
Г __ |
3 (fl3 — e2-r g2fe) |
|
|||
2 “ |
—яр (2a2 — a3) |
(&, — * 3) |
* |
||
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
1<K/n-2 |
' |
' |
|
T. e. • /а выбирается минимальным среди всех положительных зна чений tj.
Чтобы сформулировать условия для выбора tk, исходя из ограт ничений (6-51), рассмотрим эти ограничения на каждом из элемен тов разбиения. Обозначим через км толщину диска при радиусе /у,
— максимальное значение деформирующего усилия в слое г<.
Будем считать, что каждое hhi может изменяться независимо без учета распределения сил на соседних участках разбиения.
|
'ÏO'- 'C, |
hi |
|
|
|
tki = |
ri |
|
(6-54) |
||
*0 |
ш 1 |
|
|||
где |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
tykj (гi — в/ - 1) + |
Ф&/- 1 (aj |
rj) |
|
||
m = |
|
aj — aj -i |
|
|
|
и |
при / = 3 , ...» m—2, |
|
|||
|
|
||||
откуда следует, что для выполнения (6-54) необходимо, чтобй |
|||||
|
tft ^ |
min t^i. |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
Таким образом, th убывает по мере приближения к ограниче |
|||||
нию. До тех пор, пока |
имеет положительное значение, движение |
||||
осуществляется внутри |
области; |
при |
выходе на |
границу |
прини |
мает нулевое значение.
Движение вдоль границы допустимой области. Способы движе ния вдоль границы допустимой области различаются в зависимости от типа ограничений. Так, при нарушении геометрических ограниче ний (6-47), линейных относительно конструктивных параметров, используется проекционно-градиентный метод.
Движение с помощью проекционно-градиентйого метода, как и раньше, определяется формулой
хк+\—хк+ЬЦк,
где фл вычисляется, исходя из следующих условий. |
|
Случай 1. xh лежит на ограничении 6<=еi, 3 |
—2. Тогда |
Случай 2. xh лежит на ограничении 02= ^ 1 + 6 3 или аг=яз—ег. Тогда
Указанные формулы mwiytiê* ны преобразованием проекций об щего вида для конкретных огра ничений.
При выходе на границу обла сти, соответствующую нелинейным ограничениям (6-51), используют ся методы линейного локального
|
|
|
|
моделирования этих |
ограничений. |
||||
|
|
|
|
‘ В целом стратегия поиска оп |
|||||
|
|
|
|
тимума должна строиться следую |
|||||
|
|
|
|
щим образом. Для некоторого раз |
|||||
|
|
|
|
биения |
(вначале |
достаточно |
гру |
||
-100 -50 |
50 |
W0 мм |
бого) |
производится |
поиск |
опти |
|||
мального варианта, затем шаг раз |
|||||||||
Рис. 6-6. Пример. Определение |
биения уменьшается вдвое и сно |
||||||||
ва производится |
поиск оптимума. |
||||||||
оптимального |
профиля |
диска |
Процесс продолжается |
до |
гех |
||||
турбины. |
|
|
|
пор, пока при двух последователь |
|||||
зультаты не |
будут |
отличаться |
ных разбиениях |
полученные |
ре |
||||
меньше, |
чем на заданное значение. |
На рис. 6-6 представлен оптимальный вариант диска турбины, полученный в результате применения рассмотренного алгоритма.
Глава седьмая
МЕТОДЫ ШТРАФНЫХ ФУНКЦИИ
7-1. ФОРМИРОВАНИЕ ШТРАФНЫХ ФУНКЦИИ
Основная идея, положенная в основу методов штраф ных функций, состоит в замене критерия оптимальности исходной задачи (масса изделия, приведенные затраты, мощность и т. и.) некоторым обобщенным критерием, значения которого совпадают с исходным критерием оптимальности внутри допустимой области. При выходе из допустимой области, а в некоторых случаях уже при приближении к границе обобщенный критерий оптималь ности резко возрастает за счет штрафных функций, за висящих от ограничений.
Штрафные функции обеспечивают либо быстрое воз вращение в допустимую область, либо невозможность выхода из нее. Вследствие того, что при использовании штрафных функций ограничения не присутствуют в явной форме, для поиска оптимального решения могут применяться методы безусловной оптимизации (т. е. оптимизации при отсутствии ограничений). Таким обра зом, методы штрафных функций позволяют свести зада чу оптимального проектирования к последовательности задач, не содержащих ограничения.
Весьма эффективно применение методов штрафных функций в тех случаях, когда гиперповерхности, ограни чивающие допустимую область значений параметров, за даны нелинейными функциями. В этом случае движение к оптимуму вдоль-границы допустимой области осущест вляется автоматически в результате оптимизации обоб щенного критерия оптимальности. В зависимости от спо соба формирования штрафных функций различают ме тод штрафных функций и метод барьерных функций.
Метод штрафных функций. Рассмотрим задачу поис ка локального минимума критерия оптимальности F(x) в области, ограниченной системой неравенств
Ri(x)^.О, 1=1, 2, ..., |
/л. |
(7-1) |
Введение обобщенного критерия |
оптимальности по |
методу штрафных функций производится с- помощью не которой непрерывной функции Q (JC) , удовлетворяющей следующим условиям:
1) Q (x )= 0 внутри и на границе допустимой области, т. е. при значениях параметров хи х2> ..., х„, удовлетво ряющих ограничениям (7-1);
2) Q(x) > 0 , если не выполнено хотя бы одно из огра ничений (7-1).
Примерами функций Q(х) могут служить выра жения:
Q i(* )= 2 (max#/(■*). °Г> а5зЬ |
(7-2) |
|
1=1 |
|
|
а также |
|
|
0 . ( * ) = Т ! Г |
Ri (*) + !*< (*)l |
(7-3) |
(ы L |
|
|
Обобщенным' критерием оптимальности согласно ме тоду штрафных функций является выражение
Т(х, |
t)=F (x)+tQ (x), |
(7-4) |
где t — некоторое |
положительное число, |
называемое |
коэффициентом штрафа. |
|
Метод оптимизации с помощью последовательности штрафных функций состоит в следующем. Рассматри вается некоторая неограниченная, монотонно возрастаю
щая последовательность {^}, k = \, 2 |
положительных |
чисел. Для первого элемента этой |
последовательности |
с помощью методов, изложенных в предыдущих главах, отыскивается безусловный локальный минимум функции Т(х, ii). Пусть этот минимум достигается в точке х1*.
Вектор х1* используется как начальное приближение для решения задачи поиска минимума функции Т(х, t2), где t2>'ti и т. д. Таким образом, решается последова тельность задач минимизации функций Т(х, 4 ), &=1, 2 ..., причем результат предыдущей оптимизации х'1, используется в качестве начального приближения для поиска хк+'
Поскольку для бесконечно возрастающей последова тельности ih локальные минимумы приближаются к до пустимой области (далекие от допустимой области ми нимумы погашаются за счет роста штрафного члена), последовательность xft*, &=1, 2 сходится к локаль
ному оптимуму, расположенному внутри или на границе допустимой области.
В качестве примера рассмотрим задачу поиска мини мума критерия оптимальности, представляющего собой квадратичную функцию от двух переменных:
F(xi, х2) =0,8x2! + 1,7х22—1,2х!Х2—
—12,3xi +11,4*2+48,2
при ограничениях
Ri(хь х2) = (xi— 1)2+ (х2—2)2—9 < 0 ;
х2> 0 .
5)
м о щ ь ^ ш К Й ф у н к ц и й ^ 24" ОПТИМального проектирования с по,
о — исходная задача оптимизации: |
б — |
обобщенный критерий оптимальности» |
• |
и |
J3P
Линии уровня функции F(xi, хг) и допустимая область значений конструктивных параметров Х\ и х2 представлены на рис. 7-1,а. Обобщенный критерий опти
мальности сформирован |
с помощью функции Q2( *) J |
определяемой формулой |
(7-3). |
Линии уровня обобщенного критерия оптимальности при значении коэффициента штрафа t—2 приводятся на рис. 7-1,6. Результаты вычислений приводятся в табл. 7-1 ;
Т а б л и ц а 7-1
k |
|
k |
k |
. Число |
Точность |
Число вычислений |
|
|
|
|
|||||
|
|
х\* |
х2* |
итераций |
JvT(xft)l |
функция |
градиента |
|
|
|
|
|
|
||
1 |
2 |
4,127 |
3,435 |
4 |
0,05 |
15 |
5 |
2 |
4 |
3,994 |
3,196 |
5 |
0,02 |
17 |
6 |
3 |
10 |
3,941 |
3,045 |
5 |
0,04 |
19 |
6 |
4 |
25 |
3,907 |
2,974 |
6 |
0,02 |
22 |
7 |
5 |
50 |
3,876 |
2,912 |
7 |
0,01 |
28 |
8 |
Промежуточные итерации хь2.) располо жены вне допустимой области. Это свойство метода со храняется при решении более сложных задач оптимиза ции. Если локальный минимум расположен на границе допустимой области, то последовательность безусловных оптимумов в методе штрафных функций сходится к оптимальному решению, все время находясь снаружи относительно допустимой области. По этой причине ме тод носит также название метода внешней точки [53]*
Обобщенный критерий оптимальности представляет собой сложную функцию даже для допустимых областей достаточно простого вида. На рис. 7-2 приводится при мер возникновения «овражной» ситуации при переходе к обобщенному критерию оптимальности. На рис. 7-2,а представлены линии уровня критерия оптимальности в исходной задаче, а на рис. 7-2,6 — линии уровня обоб щенного критерия. В последнем случае имеем дело с «овражной» ситуацией. При этом один из «склонов оврага» соответствует линиям уровня функции ограни чения, а другой — линиям уровня критерия оптималь ности. Однако трудности, порождаемые сложностью обобщенного критерия оптимальности, компенсируются возможностью использования хорошо разработанных
критерия оптимальности имеет вид: |
|
|
|
Г .<*. < ) = . f ( * ) + < { f ] |
[ |
Г + т у |
, ( Л |
*tel |
L |
tel |
' |
(7-7) При применении «метода штрафных функций любая точка векторного пространства параметров может быть выбрана в. качестве начальной. Это значительно упро щаетпрограммирование алгоритмов, использующих
штрафные функции.
Метод барьерных функций. В этом методе для по строения обобщенного критерия оптимальности исполь зуются специальные функции, называемые барьерными. Значения, принимаемые барьерной функцией, неограни ченно возрастают при приближении к границе допусти мой области. Барьерные функции применяются в. тех случаях, когда ограничения заданы только в виде не равенств.
Для построения обобщенного критерия оптималь ности вводится функция 1(х), непрерывная на множест ве внутренних точек G0 допустимой области G, т. е. тех точек, для которых ограничения (7-1) выполняются как строгие неравенства. Она должна обладать следующим свойством: если {xh}, Аг==1, 2 ... — последовательность внутренних точек, сходящаяся к граничной точке обла сти G, то последовательность значений функции I(xh), к=Л, 2 ... неограниченно возрастает. Функция 1(х) на зывается барьерной функцией.
Примером функции 1(х) является
т |
|
Л (*)= = — 2 1п[— /?,(•*)]• |
(7-8) |
tel |
|
Эта функция существует только внутри допустимой области. Вне области G и на ее границе функция /( *) не определена. При приближении к границе она неогра ниченно возрастает.
Другим примером барьерной функции служит:
т |
|
М * ) = - 3 № М Г > |
(7-9) |
tel |
|
которая несколько проще, чем Л (я), |
и определена всю |
ду, за исключением границы области |
G. Обе барьерные |
функции используются при решении практических задач оптимизации.
После того, как определена вспомогательная функ ция 1{х), обобщенный критерий оптимальности записы вается в виде
U(x, r)= F (x )+ rI(x ), |
(7-10) |
где г — некоторое положительное число.
В частности, для рассмотренных примеров .барьерных функций (7-8) и (7-9) получаем обобщенные критерии
оптимальности: |
|
|
l/,(*. |
r)= 7 4 *)+ V /i(x ) |
(7-11) |
и |
|
|
Ua(x, r)= F (x )+ rh (x ). |
(7-12) |
|
В алгоритме оптимизации используется последова |
||
тельность положительных |
чисел {г/,}, k = \, |
2 ..., моно |
тонно сходящаяся к нулю. В качестве начальной точки
выбирается |
произвольная внутренняя точка |
х° обла |
сти G. Она |
является исходной для поиска |
минимума |
обобщенного критерия оптимальности U(x, гi). Минимум х1. функции U(x, п) выбирается в качестве начального приближения для поиска минимума, функции U(x, Гг) и т. д. Последовательность полученных таким образом безусловных минимумов хк* сходится к оптимальному решению исходной задачи.
В качестве |
примера рассмотрим задачу |
поиска опти |
||||||
мума |
критерия |
оптимальности, |
заданного |
квадратич |
||||
ной функцией |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F(jc,, |
•Х2)== -^-(л*, - j- x ^ ) — х х — 2 х г |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а 7-2 |
|
|
|
|
k |
|
Число |
Число вычислений |
||
к |
Тк |
|
л2* |
Точность |
|
|
||
|
х \• |
нтерацнй |
функции |
градиента |
||||
|
|
|
|
|
|
|||
1 |
0 ,5 |
0,8238 |
0 ,6848 |
4 |
0,0002 |
28 |
5 |
|
2 |
0 ,2 5 |
0,7876* |
0,8246 |
5 |
0,00001 |
35 |
6 |
|
3 |
0,1 |
0,7652 |
0,9 5 4 9 |
3 |
0,0007 |
30 |
4 |
|
4 |
0,01 |
0 ,7646 |
1,0483 |
4 |
0,0041 |
30 |
5 |
|
5 |
0,001 |
0,7635 |
1,0578 |
5 |
0,0004 |
32 |
6 |