книги / Методы оптимального проектирования

зом: найти значение параметра t,	для которого	выра­
жение
F(xk+ td )= F (x \- { - td t, x \ + td2,	x \ + t ü n	(3-1)

достигает минимального значения.

Указанная задача, естественно, решается путем при­ менения однопараметрических методов оптимизации. На рис. 3-1 представлено сечение критерия оптимальности, зависящего от двух параметров', с помощью прямоц xh+

,Рис. 3-1. Линии уровня критерия оптимальности F (xi, xs) и график сечения вдоль прямой х°+ td.

-\-td, где Xй — начальная точка отсчета и t — параметр расстояния.

Однопараметрические методы различаются как по требованиям к степени гладкости критерия оптимально­ сти (непрерывность, дифференцируемость и т. п.), так и по информации, используемой в каждой точке поиска. С этой точки зрения можно выделить два класса алго­ ритмов. Алгоритмы одного класса учитывают при опре­ делении длины шага только признак убывания (возра­ стания) критерия оптимальности в нескольких последо­ вательно выбираемых точках поиска, .а алгоритмы дру­ гого— изменения численных значений критерия в одной или нескольких итерациях.

3-1. ПОИСК п о ПРИЗНАКУ ВОЗРАСТАНИЯ (УБЫВАНИЯ) КРИТЕРИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ

Алгоритмы этого класса позволяют найти оптимумдля достаточно широкого класса функций. Они не тре­ буют условия дифференцируемости критерия оптималь­ ности, а только его непрерывности. Допускаются такж е (в, конечном числе точек) разрывы первого рода.

Простейший алгоритм. Простейший метод определе­ ния оптимума однопараметрической задачи оптимально­ го проектирования состоит в следующем. Из произволь­ ной начальной точки х0 осуществляется монотонное из­

менение параметра		х	с заданным шагом h в сторону
убывания	критерия	оптимальности, т. е. Xh=Xo-\-kh, k—
= 1 , 2	После того,		как функция	F(x) начнет возра­
стать, т. е. при F(xkoX			F (x/to+i) для	некоторого k0, про­

изводится смена направления	движейия с одновремен­
ным уменьшением шага вдвое:
•*7(0+2-- JC/(0+	1 -2 •

При следующем изменении направления поиска (воз­ растании критерия оптимальности) снова производится уменьшение шага и т. д. Общая формула поиска имеет, вид:

			р&		(3-2)/
		xk+\ — xt +	J J (— 1)*
			i=i
где & =	Pk	k — число шагов		после t-й смены направ-
	2
	i=l
ления	поиска;	p/t — число	смен	направления	поиска до

шага k.

Указанный алгоритм довольно прост для программи­ рования на ЭВМ, однако он требует большого числа итераций в тех случаях, когда начальная точка нахо­ дится далеко от экстремума, а также при пологой функ­ ции критерия оптимальности.

Метод Фибоначчи. Повышение эффективности одно­ мерного поиска достигается применением метода Фибо­ наччи. Пусть интервал поиска экстремума определяется

.неравенством ao^x^b 0. Для применения метода Фибо­ наччи должнобыть зафиксировано число N точек, в ко­ торых производится вычисление критерия оптималь, ности.

Пусть исходный интервал поиска [до. &о] сократился лосле /г итераций до [ад, &д]. Тогда для вычисления

Фис. 3-2. Расположение интервалов неопределенности при поиске экстремума.

>'я — метод Фибоначчи; б — метод «золотого ссчсии

нового интервала [a^+i, bh+i] выбираются точки h и t\ (рис. 3-2,а) с помощью формул

tk = ÎT+t-k {bk~ ak)+ak' Г к = Ф^+ S r {bk ~ ak)+ йк'

(3-3)

где Фй— числа Фибоначчи, которые определяют с по­ мощью ре'куррентных соотношений:

Ф й= Ф й-1 + Ф й- 2; Ф о=Ф 1=1-

(3-4)

Если F(th) <F(t'h), то в качестве следующего интер­ вала выбирается [а^+ь bh+i]=[ak, t'k], и если F(tk) > ' >F(t'k), то выбирается [ajt+i, &yl+i] = [4, bh]. Если значе­ ния критерия F в точках t n t ' равны, то в качестве [aft+i, bk+1] может быть выбран любой.из интервалов Jan, Fк] или [tu, bu], поскольку их длины одинаковы.

Последние точки задаются формулами:

"г	(^дт_1	a N—\)~ \~ a N—l	(3-5)

~ ~2~	~ a N - 1) “ h a N—V	(3-6)

где е> 0 — произвольно малое число. Оно вводится на последней итерации, чтобы уменьшить интервал, содер­

жащий минимум.		интер­
Если F(ttr-i) < F (t'n -i), то минимум лежит в
вале [ûjy-ь	/'w-i]. В противном случае минимум	лежит
в интервале	[fw-i, 6jv—1]. Отсюда следует, что	длина
последнего	интервала неопределенности равна	(bü-i—

—aN-i) /2 и относительно исходной длины составляет:

bff aN= 2ф^ (bo #«)•

(3-7)

Таким образом, если задано число обращений к мо­ дели (в данном случае, число вычислений критерия оптимальности), то может быть указана точность, с ко­ торой производится поиск. В свою очередь, исходя из требуемой точности -поиска, пользуясь формулой (3-7), можно определить число вычислений критерияоптималь­ ности.

Метод Фибоначчи обладает наибольшей скоростью сходимости для класса непрерывных функций. Ограни­ чением на его применение является требование наличия на отрезке поиска единственного экстремума (класс унимодальных функций). Выделение такого отрезка мо­ жет осуществляться с помощью грубых методов оценки экстремума. Например, функция F(x) может вычислять­

ся при значения х0, х	о	* o + 2 / t , х0+ 4 h и т.	д.	с фик­
сированным h до тех	пор,	пока ее значения	не	начнут

увеличиваться. В этом случае три последних значения параметра х определяют наиболее вероятный интервал поиска локального экстремума.

Метод «золотого сечения». Другое весьма значитель­ ное неудобство, ограничивающее применение метода Фибоначчи, состоит в том, что стратегия поиска сущест­ венно зависит от заранее заданного числа эксперимен­ тов. Кроме того, для запоминания чиселФибоначчи используется память ЭВМ. Поэтому на практике часто пользуются более простым методом «золотого сечения» (рис. 3-2,6).

В этом методе сохраняется постоянным отношение длин двух последовательных интервалов неопределен­ ности, т. е.

T=Lft/Lft+1= l , 680340.

Для оценки интервала неопределенности на А-й ите­ рации точки /,и t' определяются по формулам:

+ - ^ L k_1= bk. i - ^ L k. l.

Далее выбор одного из отрезков производится так: же, как и в методе Фибоначчи. После N итераций длина интервала неопределенности составляет 1 fxN~l.

Метод «золотого сечения» обладает несколько меньшей скоростью сходимости, чем метод Фибоначчи, однако при большом N длины интервалов неопределенности, полученные с помощью обоих методов, практически не различаются. Метод «золотого сечения» требует сравни­ тельно небольшого объема памяти ЭВМ и прост в реа­ лизации.

3-2. МЕТОД КВАДРАТИЧНОЙ АППРОКСИМАЦИИ

Алгоритмы, позволяющие определить экстремум на прямой по ряду численных знааений критерия оптималь­ ности, построены на основе подходящей аппроксимации функции в некоторой окрестности поиска.

Рассмотрим один из таких методов — метод квадра­ тичной аппроксимации, когда скорость одномерного по­ иска повышается за счет, интерполяции функции крите­ рия оптимальности квадратичным полиномом. Экстремум этого полинома с некоторой погрешностью дает экс­ тремум критерия оптимальности. Повторяя процесс аппроксимации в окрестности точки хк, удается опреде­

лить экстремум с любой наперед заданной точностью. Пусть хh— некоторая итерация поиска оптимума од­

нопараметрического критерия оптимальности F(x). В ее окрестности осуществляется аппроксимация функции F(x) с помощью выражения

F (х) ^ F (xk) -j-ai (x—Xk)+ a 2 (x—xh)2.

(3-8)

Для определения коэффициентов аппроксимирующе­ го полинома должны быть известны значения критерия

оптимальности	еще, по	меньшей	мере, в двух	точках
(Xh+i и хл+г).	Значение	F (xu+i)	вычисляется в	точке
Сб

*ft+i==*ft-|-A*ft+b Точка *ft+2=*ft-I-Ajfft+ 2 определяется по формуле

Pk^^k+i* Рн^	если F(Xft)'^>F(Х(е+Л ’,
<Jkbxh+t, qk< - - ^ ~ ,	если F(xk) < F ( x k+l).

Вэтом случае аппроксимирующие коэффициенты ai

ив2 могут быть определены из системы уравнений:

F(xk+i)'— F (xk)+ atbxh+t + аА *% +1;

F {•Хк+г)= 4 ” aiД-^й+г 4 ”

Для существования минимума параболы (3-7) необ­ ходимо, чтобы коэффициент при квадратичном члене был положительным. Это условие запишется в виде

в	____Р [хк+г) ÀJC.t+i — F foft+i) &xk+2 4*	— A%k+i) P (xh)
3	&xk+i^xk+2 {^xk+i—Дх^+'г)

(3-9)

Если точка минимума существует, она может быть вычислена по формуле

ç_____ ____ i V

2аг	2	Л
чу___________F (xA+i) &X2tt+2 — F-(хА+г) A*3ft+i____________
F (*4+s) û*é+i F (#£+i) &*к+г +		1 — AX-fc+j) f (*ft) *
Упрощение вычислений достигается, если для опре­
деления существования минимума		аппроксимирующей

параболы (3-7) сравнивать с нулем лишь числитель вы­ ражения (3-8), который одновременно является знаме­ нателем отношения, определяющего &k+i-

Поиск экстремума производится следующим образом. Пусть задана некоторая константа 0 > 0 . Если а г < 0 или |Ü t|>ô, то движение осуществляется в направлении убывания функции F(x) с постояннымили монотонно возрастающим шагом. Как только функция начинает •возрастать, осуществляется переход к аппроксимации квадратичным полиномом.

Аппроксимация на каждом шаге производится по значениям критерия оптимальности в трех точках. Одна­ ко все три значения вычисляются лишь на начальном

равной 4,2 К, и корпус, температура которого Т0 равна 300 К*

*Часть теплового моста омывается потоком газообразного гелия, имеющего начальную температуру, равную температуре холодной

зоны (to=T c).

В процессе прохождения по поверхности теплового моста гелий нагревается до температуры /, забирая при этом тепло. Q, поступаю­ щее вследствие разности температур между корпусом и холодной зоной. Схема замещения охлаждаемого теплового моста представле­ на Ъа рис. 3-3.

h * ------- ------------ н

и

ж

*-о

Н е

^

Н е

<Ч|

* с

У\

Л

Л

Л Л

Л

Л

А

Л

Л

и

1-

1

v

v

V

V

V

v

V

v

v v

5

^ 1

r S

______ 1

х

t a - To

А

-

J

L .

\

< Н в

I

и

к?

Рис. 3-3. Схема замещения охлаждаемого теплового моста.

Схема состоит из трех участков с длинами Lc, L и L0. Тепловые сопротивления «холодного» (Rc) и «теплого» (R0) участков вычис­ ляются с помощью средних значений коэффициентов теплопроводно­ сти %е и Ао на этих участках:

Тепловой расчет на среднем участке производится путем реше­ ния уравнений теплового баланса:

dQ		dt	dQ
i r	= mcp-dT>		■ s r = “ (?,c )/W > .		(3-11)
где / — температура		гелия; m — расход		гелия в единицу	времени;
сР — теплоемкость	газообразного гелия			при постоянном	давлении;
а(Т0) — коэффициент		теплообмена, рассчитываемый по известным
формулам; Р — отношение поверхности,				соприкасающейся с гелием,
к длине охлаждаемого участка			(омываемый периметр); Т0— темпе­

ратура стенки теплового моста.

В качестве граничных условий принимаются условия второго

рода:
Q (0) =	(Ть — Тс)	на	Долодном“ конце;	(3-12)
Q (1) =	"о (7^0 — Ti)	на	„теплом* конце.	(3-13)

Принимая во внимание, что теплоприток в холодную зону Q(0) компенсируется за счет теплоты испарения гелия cLi с учетом коэф­ фициента двухфазного гелия %получим:

Q(0)=mKCb. (3-14)

На основе построенной математической модели определяется область изменения параметра т , представляющего собой расход ге­ лия в единицу времени.

Необходимо определить расход гелия, который позволяет 1й>д- держивать заданную температуру Т0 в некоторой точке х0 тепло­ обмена. В качестве меры отклонения температуры теплообменника

от заданной принята величина
	Р(ш) = [Г (т, * 0) - П			] 2.	(3-15)
Задача состоит	в	поиске значения* т ,		для которого	выражение
(3-15) минимально	и,	кроме	того, удовлетворяются		ограничения

(3-11), (3-13) и (3-14).

Обращение к модели (вычисление критериями ограничений для одной точки поиска) включает следующие этапы. Для некоторого значения thh осуществляется решение краевой задачи (3-12), (3-13) для системы уравнений (3-11). В результате получается распределе­ ние температур хладоагента и теплообменника, в частности, темпе­ ратура в заданной точке х0. По значению T(xQ) определяется F(riih).

Уже на этом примере видно, что одно обращение к модели мо­ жет потребовать значительного времени счета на ЭВМ. Так, в рас­ сматриваемой задаче проектирования тепловых элементов криоген­ ного двигателя система дифференциальных уравнений (3-11) сущест­ венно усложняется при дополнительном учете в модели таких фак­ торов, как влияние давления на скорость движения газа, учет кон­ денсирования, гидравлических характеристик и т. п. Оптимизация изделия варьированием только одного параметра дает представление проектировщику, насколько существенно влияние этого параметра как на критерий оптимальности, так и на характеристики, включен­ ные в модель в качестве ограничений.

Для оптимизации используется эффективный и достаточно про­ стой метод «золотого сечения», позволяющий в процессе поиска оценить необходимое число итераций. С его помощью удается также исследовать изменение температурного режима в заданной точке Хо~ при небольших-колебаниях расхода гелия вокруг оптимального зна­ чения т * .

Глава четвертая

ДЕТЕРМИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ НАПРАВЛЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ К ОПТИМУМУ

Простейшими • среди детерминированных являются прямые методы. Они позволяют определить направле­ ние поиска непосредственно по одному или нескольким значениям критерия оптимальности, без вычисления производных. Более сложными и в ряде случаев более

70