книги / Механика сплошных сред (теоретические основы обработки давлением композитных материалов с задачами и решениями, примерами и упражнениями)

СПИСОК ПРИНЯТЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ И СОКРАЩЕНИЙ

ijk – символ Т. Леви-Чивиты;

ek – орт, или единичный вектор ( ek =1), направление которого совпадает

с k-й координатной осью;

aI, aII, aIII (bI, bII, bIII и т. п.) – первый, второй и третий инварианты тензора Ta (Tb и т. п.);

ai (bi и т. п.) – главные компоненты тензора Ta (Tb и т. п.);

				a	*
a	– среднее значение тензора T , a		=	ii	;
				N
0	a	0

Sa – сферическая часть тензора Ta, Sa = a0Tδ; Da – девиаторная часть тензора Ta, Da = Ta–Sa;

– символ скалярного типа p произведения двух тензоров различных рангов с p индексами суммирования (свертки) их компонент (при умножении тензора любого ранга на скаляр символ p опускается; при p = 0 ( = b) вместо символа bиспользуется символ тензорного произведения; при p, равном наименьшему рангу одного из тензоров-сомножителей, символ заменяется скалярной точкой «·» как символом полного скалярного произведения);

p – символ векторного произведения тензоров различных рангов (при p, равном рангу одного из тензоров-сомножителей, символ p заменяется символом « » полного векторного произведения);

– векторный дифференциальный оператор У. Р. Гамильтона (набла) с ком-

		∂		=	∂	=	∂	e
	понентами								;
		∂x			∂x		∂x
								k
		i			i		k

n – тензорный, ранга n, дифференциальный оператор У. Р. Гамильтона,

n = ... =	∂n
		(полное скалярное произведение n на тензор ран-
	∂xi ...∂xk

*В учебнике используется правило А. Эйнштейна и исключение из него – правило А.И. Лурье.

Правило А. Эйнштейна: если в одночлене (например, aibi, или kfk, или cjdj, и т. п.), содержащем индексированные переменные, встречаются повторяющиеся индексы или одинаковые с индексами буквы, то по этим индексам или индексам и буквам производится суммирование (aibi = a1b1 + + a2b2 + ..., или kfk = f1 + 2f2 + ..., или cj d j = c1d + c2d2 +..., и т. п.).

Исключение А. И. Лурье: суммирование в одночлене по повторяющимся индексам или индексам и одинаковым с ними буквам не производится, если такие индексы или буквы в любом виде встречаются с обеих сторон знака равенства (неравенства, тождества и т. п.) в уравнениях или равенствах (неравенствах, тождествах и т. п.), например: ci = aibi c1 = a1b1; c2 = a2b2; ... или sk = kfk s1 = f1; s2 = 2f2; ..., или gj = cjdj g1 = c1d; g2 = c2d2; ...

11

СПИСОК ПРИНЯТЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ И СОКРАЩЕНИЙ

га m при m ≥ n называется дивергенцией n-го порядка этого тензора; тензорное произведение n на тензор любого ранга называется градиентом n-го порядка этого тензора; векторное произведение n на тензор ранга m при m ≥ n называется ротором или вихрем n-го порядка этого тензора);

∂2

== ∂xi∂xi – оператор П.С. Лапласа (гармонический);

	2 =	=		∂4				– бигармонический оператор;
			∂x	∂x ∂x		∂x
					j		j
			i	i
	n							n
	∂ Ta
		– частная производная тензора Ta							по времени t;
	∂t
	n							n
	d Ta
		– полная производная тензора Ta							по времени t;
	dt

L – лагранжев радиус-вектор с компонентами Li – лагранжевыми (материальными) координатами частицы m в начальный t = t0 момент времени;

E – эйлеров радиус-вектор с компонентами Ei – эйлеровыми (пространственными) координатами материальной частицы m, находящейся в произвольный момент времени t в пространственной точке n;

dL, dE – радиус-векторы точек малой окрестности материальной частицы m в начальный t0 и произвольный t моменты времени соответственно;

x – радиус-вектор частицы (точки) в обобщенных координатах xi (общее обозначение координат);

U (u) – вектор перемещения материальной частицы с компонентами Ui (ui);

U n , U p , U τ – полный, нормальный и касательный векторы перемещения

на поверхности S с нормалью n ;

dU, U – вектор и тензор искажения (дисторции) окрестности материальной частицы;

TL, TE – лагранжев и эйлеров тензоры конечных деформаций с компонента-

ми Lik и Eik соответственно;

JL, JE – якобианы взаимообратного преобразования лагранжевых и эйлеровых координат;

12

СПИСОК ПРИНЯТЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ И СОКРАЩЕНИЙ

Tε – тензор малых деформаций с компонентами εik;

ε0 – средняя деформация, ε0 = εNii ;

Sε – сферическая часть Tε , Sε = ε0Tδ;

Dε – девиаторная часть Tε (девиатор деформаций) с компонентами eik = εik – ε0δik; eI, eII, eIII – первый, второй и третий инварианты девиатора Dε;

Γ – интенсивность сдвиговых деформаций, Γ = 2 eII ;

dΩL, dΩE – элементарные объемы окрестности материальной частицы в начальный t0 и произвольный t моменты времени;

V или v – вектор скорости перемещения материальной частицы с компонентами Vi или vi;

V n , V p , V τ – полный, нормальный и касательный поверхностные векторы скорости на поверхности S с нормалью n ;

dV , V – вектор и тензор скорости искажения (скорости дисторции) окрестности материальной частицы;

Tξ – тензор скоростей деформаций с компонентами ξik;

ξ		– средняя скорость деформации, ξ =	ξii	;
	0	0	N

Sξ – сферическая часть Tξ , Sξ = ξ0Tδ;

Dξ – девиаторная часть Tξ (девиатор скоростей деформаций) с компонента-

ми ηik = ξik – ξ0δik;

ηI, ηII, ηIII – первый, второй и третий инварианты девиатора Dξ;

Η – интенсивность сдвиговых скоростей деформаций, H = 2 ηII ;

Λ – степень деформации сдвига;

P – поверхностная сила; m – масса;

F – массовая сила, приходящаяся на единицу массы;

dV

dt – инерционная сила, приходящаяся на единицу массы (ускорение);

σ – напряжение;

13

СПИСОК ПРИНЯТЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ И СОКРАЩЕНИЙ

Tσ – тензор напряжений с компонентами σik;

σ0 – среднее напряжение, σ0 = σΝii ;

Sσ – сферическая часть Tσ, Sσ = σ0Tδ ;

Dσ – девиаторная часть Tσ (девиатор напряжений) с компонентами sik = σik – σ0δik; sI, sII, sIII – первый, второй и третий инварианты девиатора Dσ;

Τ – интенсивность касательных напряжений, Τ = sII ;

σn , pn , τn – полное, нормальное и касательное поверхностные напряже-

ния, действующие на площадке S с нормалью n ;

σокт, pокт, τокт – полное, нормальное и касательное октаэдрические напря-

жения;

τik – максимальные касательные напряжения, τmax – наибольшее из них по модулю;

θ – температура;

Q – количество тепла;

q– вектор теплового потока;

ρ– плотность;

σт или σs – предел текучести;

τт или τs – напряжение пластического сдвига (предел текучести на сдвиг); Ext – мощность внешних сил;

Int – мощность внутренних сил;

δJ, δy – вариации функционала и функции соответственно; (ϕ, ψ) – скалярное произведение двух функций; ||ϕ|| – норма функции;

JЛ, JК – функционалы Ж. Лагранжа А. Кастилиано соответственно; ДС – деформированное состояние;

КВ-поле – кинематически возможное поле (V или U ), удовлетворяющее кинематическим граничным условиям;

КМ – композитный материал (металл); МДТТ – механика деформируемого твердого тела; МКЭ – метод конечных элементов; МСС – механика сплошных сред;

НДС – напряженно-деформированное состояние; НС – напряженное состояние; ОМД – обработка металлов давлением;

14

СПИСОК ПРИНЯТЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ И СОКРАЩЕНИЙ

P-поле – реальное (действительное) поле, удовлетворяющее всем граничным условиям и замкнутому множеству уравнений в математической постановке краевой задачи;

ТП – теория пластичности; ТСУ – температурно-скоростные условия;

СВ-поле – статически возможное поле Tσ, удовлетворяющее статическим граничным условиям и уравнению движения;

СПДРМ – совместная пластическая деформация разнородных металлов.

15

1. МЕХАНИКА СПЛОШНЫХ КОМПОЗИТНЫХ СРЕД

1.1. ФОРМАЛИЗАЦИЯ ПОНЯТИЙ

Мышление, восходя от конкретного к абстрактному, не отходит – если оно правильное ... – от истины, а подходит к ней.

В.И. Ленин

1.1.1. Идеализация форм существования материи

Окружающий нас мир есть не что иное, как движущаяся материя в ее различных формах и проявлениях. В мире нет ничего, что не было бы конкретной формой материи, ее свойством, продуктом ее закономерного изменения, развития. Материальный мир воспринимается нами через внешние, ощутимые проявления. История развития науки от древних времен до настоящего времени показывает, что чем совершеннее наши познания о материи, тем большее количество ощутимых проявлений свойств материи мы можем зафиксировать, расширяя тем самым свои познания как в созерцаемом мире, так в невидимых макро- и микромирах.

Впроцессе познания сложного материального мира удобно выделять отдельные материальные объекты, объединенные конечной совокупностью свойств. Естественно, что такое вынужденное ограничение безграничной совокупности свойств материи приводит к идеализации окружающего нас мира, но такая идеализация позволяет изучать не весь сложный материальный мир в целом, а лишь сосредоточить наше внимание на некоторых выделенных материальных объектах, которые обладают значимой на данном этапе исследования конечной совокупностью свойств. Оставляя за собой право расширения (при необходимости) выбранной конечной совокупности свойств материи, мы можем последовательно углублять свои познания о свойствах материи.

Объективно реальными формами существования материи являются пространство и время. В реальном пространстве материя распространена непрерывно. Последовательность изменения, развития свойств материи, отдаленность друг от друга стадий этих изменений, их длительность в пространстве характеризуются временем. Изменение свойств материи в реальном пространстве и времени необратимо.

Видеализированном пространстве, заполненном материальными объектами, можно рассматривать не все, а лишь отдельные способы распространения

16

1.1. ФОРМАЛИЗАЦИЯ ПОНЯТИЙ

информации в материальном мире, приводящие к значимому изменению выделенной на данном этапе исследования конечной совокупности свойств материальных объектов.

Для приближенного описания распространения информации (например, в виде механического, теплового, электромагнитного и других видов движения) в пространстве и во времени с применением математического аппарата необходимо идеализировать материальный мир. Критерием близости такого описания реальных явлений, происходящих в материальном мире, является опыт.

1.1.2. Топология сплошных сред

Известно*, что предметом топологии является исследование свойств фигур и их взаимного расположения, сохраняющихся гомеоморфизмами, т. е. взаимно однозначными и непрерывными в обе стороны отображениями. Используя прием идеализации окружающего нас материального мира, мы можем рассматривать топологию выделенных в нем некоторых объектов исследования, наделенных конечной совокупностью свойств.

Допущение о конечной совокупности свойств материальных объектов позволяет ввести понятие материальной точки (частицы) m как материального объекта пренебрежимо малых размеров, но обладающего конечной совокупностью свойств P (например, конечной массой). Материальная частица m в фиксированный момент времени t занимает пространственное положение n (про странственную точку). В произвольный момент времени каждой материальной точке m (пространственной точке n) приписывается окрестность. Под окрестностью точки понимают совокупность (множество) всех внутренних точек какого-либо шара с центром в этой точке. Достаточно малая окрестность – это шар с достаточно малым радиусом. Так как все такие точки вместе с центром лежат внутри некоторого шара, то они образуют ограниченное множество.

Материальное тело (пространственная область) – это множество M(N) материальных частиц m (пространственных точек n), обладающее свойствами: 1) вместе с m M (n N) этому множеству принадлежит достаточно малая окрестность с центром в этой точке – свойство открытости; 2) любые две точки m1, m2 (n1, n2) из M(N) можно соединить ломаной, состоящей из точек M(N), – свой ство связности. В таком случае указывают, что частицы m M (точки n N) непрерывно занимают весь объем (всю область) Ω тела M (пространства N), где Ω – количественная характеристика тела (пространства). Ограниченное множество Mα материальных частиц mαk, объединенных конечной совокупностью свойств Pα, непрерывно занимающих объем Ωα, называется сплошной

*Математическая энциклопедия. Т. 5. – М.: Советская энциклопедия, 1985. – 1248 с.

17

1. МЕХАНИКА СПЛОШНЫХ КОМПОЗИТНЫХ СРЕД

α-средой (континуумом) или материальным объемом α-среды. В общем случае свойства Pα тела Mα изменяются при переходе от одной его точки к другой. В этом случае тело Mα называется неоднородным (гетерогенным), в противном случае – однородным (гомогенным). Пусть mαk, mαj (k ≠ j) две такие произвольные частицы тела Mα, которые определяют некоторое направление (например, от mαk к mαj ) исследования свойств Pα окрестности частицы mαk. В общем случае Pα зависят от выбранного направления и тогда само тело и его свойства называют анизотропными, в противном случае – изотропными. Тело Mα с анизотропными свойствами окрестностей его частиц называется сплошной анизотропной средой, а с изотропными свойствами окрестностей всех его частиц – сплошной изотропной средой.

Допущение о конечной совокупности свойств среды позволяет в пространстве R, заполненном различными средами, и во времени t рассматривать идеализированное распространение информации в материальном мире как результат взаимодействия отдельных материальных объектов. В идеализированном пространстве R и времени t допускается обратимость процессов распространения информации, а следовательно, и изменения свойств. Тела Mα, непрерывно распределенные в R и t, занимают в фиксированный момент времени t части Nα

пространства R Nα . Предполагается, что в любой момент времени t между

α

материальными частицами m сплошной среды M и точками n пространства N, в котором эта среда находится, существует взаимно однозначное соответствие. Иными словами, в N нет таких точек, в которых отсутствуют материальные частицы из M, причем в каждой такой точке n помещается только одна материальная частица m, и, наоборот, в M нет такой материальной частицы, которая не занимала бы в рассматриваемый момент времени конкретное пространственное положение (пространственную точку) n из N, причем одна материальная частица m может помещаться только в одной пространственной точке n (взаимная однозначность m и n).

В ТП объектами исследования в R и t обычно являются сплошные тела Mα, для которых значимое на данной стадии исследования изменение свойств Pα

определяется термомеханическим движением.

Сплошное тело M может быть объединением конечного множества сплошных сред Mα

M = k Mα , (1.1.1)

α=1

характеризуемых индивидуальной конечной совокупностью свойств Pα. Допускается совпадение свойств некоторых тел Mα и Mβ из M. Если в этом объединении k > 1, то сплошное тело M называется полисредой (композитной средой, или композитом) (рис. 1). Ясно, что любая полисреда является гетерогенным телом.

18

свободным (пустым) про

1.1. ФОРМАЛИЗАЦИЯ ПОНЯТИЙ

Рис. 1. Композит как объединение множества сплошных сред

При k = 1 тело M (1.1.1) называется моносредой. В пространстве R тело M занимает часть

N k N .	(1.1.2)
1

Если тело M в N является объектом исследования, то удобно считать, что часть пространства вне этого тела

= R\N

(1.1.3)

занята средой, поведение которой по каким-либо причинам на данной стадии исследования нас не интересует. Значимое влияние этой среды на тело M представим внешним (по

отношению к M) воздействием 6, а будем считать странством на данной стадии исследования.

1.1.3. Классификация композитных сред

Допущение о конечной совокупности свойств сплошных сред позволяет считать, что между - и Ε-средой тела M обозначена четкая, разделяющая их поверхность SΔΕ (рис. 2).

Граничной точкой тела M называется точка s, не принадлежащая телу M (s M), но в любой окрестности которой можно найти точки этого тела. Непрерывная совокупность S всех граничных точек s тела M называется границей этого тела.

Объединение

		M S(N N S)
M			(1.1.4)

открытой области (пространства) M(N) и ее границы S называется замкнутой об ластью (замкнутым пространством). Учитывая взаимную однозначность материальных частиц m и соответствующих им точек n, границу между контактирующими телами M и MΕ можно обозначить как пересечение:

SΔΕ N NΕ . (1.1.5)

Рис. 2. Схема к определению границы тела

19

Рис. 4. Полуслой в виде прессуемого металла (а) и слой в виде прокатываемого металла (б)

20

1. МЕХАНИКА СПЛОШНЫХ КОМПОЗИТНЫХ СРЕД

Очевидно, вся граница тела M есть

	k
S	SΕ .	(1.1.6)
Часть	Ε 1
S6Δ	N	(1.1.7)

границы S , если таковая существует, называется границей внешнего воздей

ствия (рис. 3). Часть S0 границы S6Δ, где
внешнее воздействие малозначимо, на-
зывается свободной границей.
Если в
Рис. 3. Типы границ сплошной среды
Mϑ = M U MΕ	(1.1.8)
тело M таково, что
S = Sϑ U SΔΕ,	(1.1.9)

а тело MΕ такое, что SΕ не принадлежит S (SΕ S), то тело M называется телом окружения, а тело MΕ – телом включения. Например, КМ может состоять из тела окружения M , являющегося основой (иногда говорят матрицей) тела M, и нескольких компонент MΕ (1 d E d k), явля-

ющихся включениями.

Назовем : односвязной областью тела

M, если произвольную замкнутую линию,

принадлежащую :, можно любым путем стянуть в точку области, не выходя из нее. В противном случае : называется много связной областью. Очевидно, тело окружения является многосвязной областью.

Назовем S тела M односвязной грани цей, если S либо не содержит участков S0 (S0 S или S = S6Δ), либо полностью

представлена как S0 (S = S0	или
S6Δ S ). В противном случае S	будем

называть многосвязной границей. Всякое тело с двухсвязной границей будем называть полуслоем, с трехсвязной – слоем и в самом общем случае с многосвязной границей – звездой.