книги / Механика сплошных сред (теоретические основы обработки давлением композитных материалов с задачами и решениями, примерами и упражнениями)

1.5. РЕОЛОГИЯ КОМПОЗИТНЫХ СРЕД

аксиома памяти, в соответствии с которой текущие значения параметров состояния среды несущественно зависят от их значений в отдаленном прошлом.

Следствием постулата макроскопической определимости является принципиальная возможность изучения в достаточно малой окрестности свойств деформируемого твердого тела на образцах конечных размеров с однородным, не зависящим от координат, напряженным и деформированным состоянием. Под достаточно малой окрестностью внутри шара с достаточно малым радиусом, как это определено ранее (п. 1.2), здесь понимается окрестность с малым объемом ΔΩ, в котором в каждый момент времени напряженное и деформированное состояния, непрерывно изменяющиеся во времени, можно считать однородными. По отношению к малому объему ΔΩ в окрестности материальной частицы m деформируемого тела под M образцом понимается любое тело необходимых конечных размеров, вещество которого и его термомеханическое состояние в начальный момент времени t0 одинаковы с веществом и его термомеханическим состоянием во всем объеме ΔΩ в начальный момент времени t0. При этом должны соблюдаться следующие условия:

1)однородность напряженного и деформированного состояний M-образца по его объему в любой момент времени;

2)осуществимость любого процесса деформации или нагружения во времени;

3)осуществимость проникающего действия потоков (тепловых, массовых) через границу M-образца и однородность распределения в нем в любой момент времени параметров, связанных с этими потоками.

Совокупность испытаний M-образцов называется M опытами. В каждом из таких опытов, вследствие однородности напряженного и деформированного состояний M-образца, внутренние параметры НДС могут быть определены по параметрам поведения границы образца. Поэтому в M-опытах используются процессы, в которых форма и размеры образцов, а также условия нагружения на их границе позволяют оценить параметры НДС внутри деформируемого тела. При этом связь внешних и внутренних параметров НДС устанавливается на основании математической постановки задачи о движении материала в деформируемом образце и ее решения.

1.5.3.Математическая постановка краевых задач

Всоответствии с определением в пп. 1.1.4 математическая постановка краевых задач МСС включает запись замкнутого множества уравнений и краевых условий. Для выполнения первой части постановки задачи необходимо сначала установить перечень независимых параметров, которые определяют НДС деформируемого тела. В эйлеровых координатах такими параметрами являются лагранжевы координаты (1.2.9), с помощью которых можно рассчитать тензор

221

D(Li )

1. МЕХАНИКА СПЛОШНЫХ КОМПОЗИТНЫХ СРЕД

напряжений (1.5.13). Если принять во внимание, что якобиан (1.2.20) и вспомо-

гательный вектор (1.2.94) также определяются законом движения (1.2.9), то становится очевидной зависимость вектора скорости в (1.2.95) от лагранжевых координат. Опуская промежуточные уравнения связи якобиана (1.2.20) и вспомогательного вектора D (1.2.94) с лагранжевыми координатами для трехмерного движения, устанавливаем, что в основных уравнениях (1.5.13) и (1.2.95) девять скалярных уравнений включают двенадцать скалярных неизвестных величин: σik, Li, Vi. Для замыкания множества необходимо вспомнить, что тензором напряжения может быть не любой тензор второго ранга, а лишь тот, который удовлетворяет уравнению движения (1.4.16). Однако в этом уравнении имеется дополнительная неизвестная величина – плотность ρ. Теперь двенадцать скалярных уравнений включают тринадцать неизвестных величин и множество уравнений не является пока замкнутым. Для замыкания множества добавим еще одно скалярное уравнение неразрывности среды (1.2.143), связывающее плотность и скорость и не вносящее дополнительных неизвестных величин. Полученное замкнутое множество уравнений будем называть основным множеством (табл. 4).

При необходимости к основному множеству всегда можно добавить требуемое количество уравнений, не нарушающих его замкнутости. Так, при определении параметровдеформированногосостояниякосновномумножествуподключаются(1.2.4)

для расчета вектора перемещения U , (1.2.4) или (1.2.70) для расчета тензора деформации TL или Tε, (1.2.137) для расчета тензора скоростей деформаций Tξ. Вместе с основным множеством перечисленные уравнения образуют новое замкнутое множество уравнений, содержащее 28 скалярных уравнений и такое же количество скалярных неизвестных, которые используются в математической постановке изотермических задач ТП. Для неизотермических процессов к этим уравнениям следует

Таблица 4. Уравнения основного замкнутого множества

			Вид уравнения				Суммарное количество		Номер формулы в тексте
							неизвестных	уравнений
	Tσ	= Tσ ( L, t)					9	6	(1.5.13)
			D
	V = − JE						12	9	(1.2.95)
					dV
	Tσ + ρF = ρ						13	12	(1.4.16)
					dt
	∂ρ	+ (ρV ) = 0					13	13	(1.4.5)
	∂t

222

1.5. РЕОЛОГИЯ КОМПОЗИТНЫХ СРЕД

добавить уравнение теплопроводности (1.4.61), в котором все теплофизические параметры должны быть заданы. В этом случае к 28 неизвестным величинам добавляется температура θ и замкнутое множество содержит 29 скалярных уравнений.

При решении некоторых задач МСС основное множество уравнений удобно записывать не через вектор скорости V , как это показано в табл. 4, а через вектор перемещения U . В этом случае в основном множестве остается уравнение (1.5.13), а уравнения (1.2.92) и (1.4.5) (табл. 4) заменяются уравнениями (1.2.4) и (1.2.145) соответственно. При этом последнее уравнение необходимо переписать в эйлеровых координатах. Интегрируя (1.2.145), имеем ρJL = с. Для

определения константы с воспользуемся начальными условиями: при t = t0 ве-
личины JL = 1 и ρ = ρ0(Ek). Теперь (1.2.145) можно переписать в виде
ρJL = ρ0.	(1.5.17)
Отсюда, учитывая (1.2.56), получаем
ρ = ρ0JE.	(1.5.18)

Кроме того, в уравнении движения (1.4.16) вместо вектора скорости нужно записать его значение, рассчитываемое по формуле (1.2.90). Окончательно получаем основное замкнутое множество уравнений в перемещениях (табл. 5).

Так же как и в предыдущем случае, к основному множеству уравнений, представленных в табл. 5, можно добавлять необходимое количество других уравнений, не нарушающих замкнутость множества.

Для выполнения второй части математической постановки задачи необходимо оговорить значения параметров, входящих в замкнутое множество уравнений, в начальный момент времени (начальные условия) и на границе области движения сплошной среды (граничные условия). Совокупность начальных и граничных условий называется краевыми условиями.

Таблица 5. Основное множество уравнений в перемещениях

	Вид уравнения	Суммарное количество		Номер формулы в тексте
		неизвестных	уравнений
	Tσ = Tσ ( L, t)	9	6	(1.5.13)
	U = E − L	12	9	(1.2.4)
	d 2U	13	12	(1.2.90)
	Tσ +ρF = ρ dt2
				(1.4.16)
	ρ = ρ0 JE.	13	13	(1.5.18)

223

в этот же момент времени. Остальные константы интегрирова-

1. МЕХАНИКА СПЛОШНЫХ КОМПОЗИТНЫХ СРЕД

Из теории дифференциальных уравнений известно, что при интегрировании множества дифференциальных уравнений, содержащих производные искомой функции одного аргумента наивысшего порядка n, их общее решение зависит от n констант интегрирования. При интегрировании замкнутого множества уравнений, связанного с постановкой краевой задачи, количество таких констант зависит от наивысшего порядка производных по времени t и наивысших порядков производных по эйлеровым координатам Ei. Общее количество соотношений в краевых условиях должно быть равно общему количеству констант интегрирования. Причем эти условия могут быть заданы как для самих параметров, входящих в множество, так и для производных параметров по аргументам порядка не выше n – 1.

Исходя из изложенного, подсчитаем количество соотношений в краевых условиях, необходимых для определения констант интегрирования основного замкнутого множества уравнений (табл. 4). Проще всего это можно сделать путем последовательных подстановок уравнений (1.5.13), (1.2.92), (1.4.5) основного множества в (1.4.16), приводящих множество четырех тензорных уравнений к одному тензорному уравнению. Тогда относительно лагранжевых координат Lk полученное дифференциальное уравнение будет содержать производные второго (наивысшего) порядка по времени t и по эйлеровым координатам Ei. Значит, в N-мерном эйлеровом пространстве количество констант интегрирования n = 2(1 + N). Это же число определяет количество необходимых соотношений в краевых условиях. При этом отмечаем, что две константы были связаны с интегрированием по времени. Значит, начальные условия должны содержать два соотношения. Одно из них определяет значение лагранжевых координат в начальный момент времени t = t0, когда Li = Ei, другое – значение частной про-

изводной ∂Lk ∂Ei

ния должны определяться условиями в каждой точке границы S области Ω движения сплошной среды. В процессе движения среды пространственные координаты граничных точек в общем случае изменяются, а лагранжевы координаты, исходя из определения этих точек (п. 1.3) с учетом (1.2.10), остаются неизменными. Поэтому обычно границу области связывают с интервалом изменения

лагранжевых координат L−k ≤ Lk ≤ L+k L−k ≤ Lk ≤ L+k	и задают в виде*
S = L+k UL−k .	(1.5.19)

*Соотношение (1.5.19) следует рассматривать лишь как удобное математическое, но не физи-

ческое равенство.

224

				1.5. РЕОЛОГИЯ КОМПОЗИТНЫХ СРЕД
Таблица 6. Механические краевые условия основного множества уравнений
Тип условия	Обозначение		Наименование условий
		начальные		граничные
Кинематический	С	V = V		V = V n s S	v
		0
Статический	Н	Tσ = Tσ0		n Tσ = σn s Sσ
Смешанный	ННТС	V = V0 ;		n ×V ×n =V τ;
				3
		Tσ = Tσ0		Tσ Tn = pn s Spv
	КНТС	V = V ;		V T = V p ;
		0		n
		Tσ = Tσ0		n ×(Dσ n)×n = τn s Sτv

На этой границе производные ∂Lk должны принимать значения, которые

∂Ei

задают в соответствии с априорными или апостериорными представлениями

об изучаемом движении. В связи с тем, что производные	∂Lk	и	∂Lk	полностью
	∂t		∂E
			i
определяют вектор скорости (1.2.95), назначение начальных и граничных усло-
вий для V может быть заменено начальными
t = t0 V = V0				(1.5.20)

и граничными (1.2.170) кинематическими условиями для вектора скорости – ус ловия С. Если последние условия заданы на всей границе области, то, как отмечалось ранее (пп. 1.2.8), S = Sv.

Вместо кинематических условий (1.5.20) и (1.2.170) для отдельных задач удобнее записывать статические начальные условия

t = t0 Tσ = Tσ0

(1.5.21)

и граничные статические (нормальные и касательные напряжения) условия (1.3.50) – условия Н. В случае, когда последние условия заданы на всей границе области, имеем S = Sσ (п. 3.5). Наряду с кинематическими или статическими граничными усло-

225

1. МЕХАНИКА СПЛОШНЫХ КОМПОЗИТНЫХ СРЕД

Таблица 7. Механические краевые условия основного множества уравнений в перемещениях

Тип условия	Обозначение			Наименование условий
		начальные							граничные
Кинематический	П	U = U0			U = U n s Su
Статический	Н	Tσ = Tσ0			n Tσ = σn s Sσ
Смешанный	ННТП	U = U0 ;			n ×U ×n =U τ;
		T = T0			T		3	= p	n	S
		σ σ					T		s		pv
					σ		n
	КННП	U = U	;		U T			= U p ;
		0					n
		Tσ = Tσ0			n ×(Dσ n)×n = τn s Sτv

виями при решении задач часто задают смешанные граничные условия, когда или на поверхности Spv задаются нормальное напряжение (1.3.52) и тангенциальная скоY рость (1.2.175) – условия ННТС, или на поверхности Sτv задаются касательное наY пряжение (1.3.53) и нормальная скорость (1.2.171) – условия КННС.

Совокупность всех величин, характеризующих значения кинематических и статических параметров в начальный момент времени и на границе области движения среды, называется механическими краевыми условиями. Различные варианты записи механических краевых условий для параметров основного множества уравнений приведены в табл. 6.

В общем случае при решении задач ОМД граница области движения металла может состоять из участков, на которых заданы С-, Н-, ННТС- и КННСграничные условия:

S = Sv Sσ Spv Sτv.

(1.5.22)

При расширении основного множества уравнений введением дополнительных уравнений и параметров движения среды для последних также записываются краевые условия, если эти условия не являются следствием механических краевых условий основного множества уравнений (табл. 6). Так, при добавлении к основному множеству (табл. 4) уравнений (1.2.4) могут быть использованы краевые условия (табл. 6) либо краевые условия основного множества в перемещениях (табл. 7), где, в отличие от табл. 6, вместо С-, ННТС- и КННСусловий в скоростях используются П , ННТП и КННП условия в перемещениях

226

1.5. РЕОЛОГИЯ КОМПОЗИТНЫХ СРЕД

соответственно. Условия табл. 7 применяются при решении основного множества уравнений в перемещениях (табл. 5). При решении неизотермических задач в их математической постановке наряду с уравнением (1.4.61) рассматриваются температурные краевые условия. В зависимости от типа решаемой задачи это могут быть граничные условия первого, второго, третьего или четвертого рода, рассматриваемые для нестационарных задач вместе с начальными температурными условиями. Последние, как и ранее, означают распределение рассматриваемого параметра, в данном случае – температуры, в начальный момент времени

t = t0 θ = θ0.

(1.5.23)

Граничные условия первого рода определяют распределение температуры θn на границе SI объема Ω тела M в любой момент времени:

θ = θn s SI.

(1.5.24)

При этом должна соблюдаться совместимость (1.5.24) с условием (1.5.23) при подстановке в последнее координат Ei точек s границы SI, а в первое t = t0.

Граничные условия второго рода связаны с вектором теплового потока (1.4.58), проекция qn которого на внешнюю единичную нормаль n к поверхности SII задана на этой поверхности. Учитывая, что qn = q n и производная температу-

ры по направлению	∂θ	= θ n, из (1.4.58) получаем наиболее часто применя-
	∂n
емую запись граничного условия второго рода:
		–κ θ n = qn s SII.	(1.5.25)

Граничные условия третьего рода задаются на поверхности SIII, через которую осуществляется значимый конвективный теплообмен между исследуемым объемом Ω тела M и окружающей его средой:

–κ θ n = α(θ – θс) s SIII,

(1.5.26)

где α – коэффициент теплообмена; θс – температура окружающей среды. Эти условия применяются в задачах стационарного конвективного теплообмена.

Граничные условия четвертого рода на границе SIV позволяют учитывать нестационарный теплообмен контактируемых α- и β-сред, когда температура их соприкасающихся поверхностей Sαβ = SIV одинакова:

θα = θβ; κα θα nα =κβ θβ nβ s Sαβ.

(1.5.27)

227

1. МЕХАНИКА СПЛОШНЫХ КОМПОЗИТНЫХ СРЕД

Ясно, что при решении уравнения теплопроводности (1.4.69) для композит-

k

ной среды M = Mα температурные граничные условия на стыке Sαβ ее ком-

α=1

понент должны быть представлены в виде (1.5.27).

Приведенная выше математическая постановка краевых задач является общей, если учесть, что, как отмечалось ранее, к основному замкнутому множеству уравнений с необходимыми краевыми условиями всегда, когда требуется, можно добавить уравнения с соответствующими краевыми условиями без нарушения замкнутости получаемого при этом множества уравнений.

Следует отметить, что в приведенных постановках задач мы не использовали ограничений, накладываемых на тензор деформаций Tε и тензор скоростей деформаций Tξ. Вид этих ограничений (1.2.88) и (1.2.166) для обоих тензоров по форме одинаков. Ранее отмечалось, что при решении задач в перемещениях или скоростях тензор Tε или тензор Tξ определяется по формуле О. Коши (1.2.70) или Дж. Стокса (1.2.137) соответственно, которые с точностью до символики также совпадают, и вследствие безусловного выполнения тождества (П1.89) такое определение Tε и Tξ приводит к тождественному выполнению условий Б. Сен-Венана (1.2.88) или (1.2.166). Этим объясняется отсутствие последних уравнений в приведенных математических постановках краевых задач.

Если решение задачи основано на постановке в деформациях через тензор Tε или в скоростях деформаций через тензор Tξ, то соответствующие условия Б. Сен-Венана должны учитываться в замкнутом множестве уравнений. Пример таких множеств без учета инерционных и массовых сил для сред, свойства которых описываются определяющими уравнениями (1.5.2) или (1.5.4), приведен в табл. 8. При этом тензор напряжений представлен в виде (1.4.19) с помощью тензора TΦ функций напряжений Э. Бельтрами для безусловного выполнения уравнения равновесия (1.4.18). С использованием тензора TΦ уравнения (1.5.2) и (1.5.4) принимают соответствующий вид:

T

4

T );

4

T ).

= Ts (

2

T = T (

2

(1.5.28)

ε

Φ

ξ

s

Φ

Таблица 8. К математической постановке задач в деформациях или скоростях деформаций

Уравнения для постановки задач с

Суммарное количество

Формулы в тексте для

использованием

скалярных

постановки с исполь-

зованием

Tε

Tξ

неизвестных

уравнений

Tε

Tξ

2 Tε = 0

2 Tξ = 0

6

6

(1.2.88)

(1.2.166)

4

4 *

Tε = Ts ( 2 TΦ )

Tξ =

Ts ( 2 TΦ )

12

12

(1.5.28)

228

1.5. РЕОЛОГИЯ КОМПОЗИТНЫХ СРЕД

Если на границе области движения среды заданы кинематические или смешанные граничные условия, то сложность реализации постановки задач с уравнениями табл. 8 связана с интегрированием формул Е. Чезаро (1.2.89) или (1.2.167).

Задачи к пп. 1.5.3

Задача 1.5.3.1. Найти распределение температуры в произвольный момент времени для двух контактирующих полуограниченных тел М1 и М2 (рис. 49), равномерно нагретых до температуры Τ10 и Τ20 соответственно, приведенных в соприкосновение в момент времени t = 0, при начальных условиях Τ1(x, 0) = Τ10, Τ2(x, 0) = Τ20 и при граничных условиях четвертого рода:

Τ	(+0, t) = Τ (–0, t); Ν		ωΤ1(0, t)		Ν		ωΤ2 (0, t)	,
						2
1	2	1		ωx			ωx

где Τ1(+0, t) и Τ2(–0, t) – предельные значения температуры при стремлении аргумента х к нулю справа и слева; Νi – коэффициенты теплопроводности тел Мi. В качестве дополнительного вводится условие затухания тепловых возмущений при х = ρ φ:

ωΤ1(φ, t) ωΤ2 (φ, t) 0. ωx ωx

Решение. По условию задачи температура в любой точке рассматриваемых неподвижных тел зависит только от двух переменных: координаты х и времени t. Запишем уравнение теплопроводности (1.4.62) без внутренних источников тепла для тела М1 (i = 1; t > 0; x > 0) и тела М2 (i = 2; t > 0; x < 0):

ωΤ (x, t)	ai	ω2Τ	(x, t)
i		i		,
ωt		ωx2

где ai – коэффициенты температуропроводности тел Мi. Здесь из-за отсутствия конвективного переноса тепла (1.4.64) полная производная температуры по времени, как это записывается в общем виде дифференциального уравнения теплопроводности (1.4.62), заменена частной производной.

Решение поставленной краевой задачи теории теплопроводности (зада-

Рис. 49. Распределение температуры при идеаль9 ном тепловом контакте двух тел

229

1. МЕХАНИКА СПЛОШНЫХ КОМПОЗИТНЫХ СРЕД

ны краевые условия и записано замкнутое относительно θi множество уравнений) выполняется с помощью интегрального преобразования П. С. Лапласа и представляется в виде

KΔθ

+

1

x

θ1(x, t) = θ10

1

erf

;

K

2

ta

+ 1+ K

1

KΔθ

+

1

|| x ||

θ2(x, t) = θ20

1

erfc

,

K

2

ta

+ 1+ K

2

где приращение температуры Δθ = θ10 – θ20; критерий

	K =	κ1c1ρ1
		κ2c2ρ2

равен отношению тепловой активности первого тела (числитель) к аналогичной активности второго тела (знаменатель); ci – удельные теплоемкости тел Мi; ρi – плотность каждого из тел. Интеграл вероятности, называемый функцией ошибок К. Гаусса, в формуле

erf(z) = 2 ∫z e−uz du,

π 0

имеющий частные значения erf(0) = 0, erf(∞) = 1, и связанная с этим интегралом функция erfс(z) = 1 – erf(z) задаются таблично в математических справочниках, связанных с курсом теории вероятности.

Рассмотренная задача может быть использована для приближенного анализа распределения температуры (на рис. 49 – пунктирные линии) в окрестности контакта между нагретым телом и инструментом в процессах ОМД.

Из полученного решения следует, что на поверхности контакта температура θп сразу же после соприкосновения двух тел устанавливается равной

KΔθ

θп = θ1(+0, t) = θ2(–0, t) = θ20 + 1+ K

230