книги / Нелинейные задачи динамики цилиндрических композитных оболочек

Рис. 5.10. Зависимости критической скорости
удара от толщины оболочки. Сплошные линии
соответствуют: Г,-=400	МПа (/),	600 (2),
1200 (3). Штриховая линия —расчетная за­
висимость из [82]; точками отмечены		экспери­
ментальные значения из	[82].
Остальные обозначения см. в тексте

(т. е. остаточного прогиба быть не должно). Это и было установ­ лено в эксперименте. Как показали расчеты, проведенные для других значений h и V*, максимальная величина функции Т в обо­ лочке возрастает по закону, близкому к линейному, с увеличением V* и уменьшением Л.

Будем считать критическим такое значение скорости удара Vkp=V*, при котором в заданных промежутках tœ[0,tc], *œ[0,L],

выполняется условие
maxТ(т, х, z) = Ti.	(5.26)

Таким образом, VKp зависит от Г* как от параметра. Зависимости Vup(h) при различных 7\*, по крайней мере в исследованном нами диапазоне скоростей V* =0,4-1СН —0,7-10_3 и толщин Л=0,09— —0,13 мм, очень хорошо аппроксимируются линейными функциями (на рис. 5.10 изображены сплошными линиями). Штриховая линия соответствует теоретической зависимости, полученной в работе [82], при определении напряжений в невозмущенном состоянии оболочки на основе решения Сен-Венана и последующем исследо­ вании устойчивости движения исходя из линеаризованных урав­ нений. Кружками показаны некоторые из экспериментальных ре­ зультатов, приведенных в [82]. Для скорости удара, обозначенной светлым кружком, динамической потери устойчивости не наблю­ далось, тогда как при скорости, обозначенной зачерненным круж­

ком, была установлена динамическая потеря устойчивости согласно использованным в [82] экспериментальным критериям.

Тот факт, что примененный нами критерий динамической по­ тери устойчивости (5.26) дает заниженное значение критической скорости, вполне объясним. Этот критерий, имеющий локальный характер, позволяет расчетным путем установить величину ско­ рости удара, при которой в местах наиболее интенсивного выпучи­ вания оболочки происходит образование первых локальных плас­ тических зон. За исключением тех ситуаций, когда данный крите­ рий вообще неприменим (если, в частности, процесс динамического выпучивания протекает в условиях упругого поведения матери­ ала), он, естественно, приводит к более низким величинам УКр по «сравнению с экспериментальными значениями, при которых можно визуально установить изменения формы оболочки. Добавим, что путем подбора определенного значения 7\ можно хорошо согласо­ вать полученные теоретические результаты с экспериментальными данными. Этот условный «предел текучести», превышающий ис­ тинный предел текучести материала, соотносится с условиями на­ гружения, при которых кольцевая складка целиком переходит в пластическое состояние.

В заключение отметим, что методика, разработанная в 5.1, не позволяет описать все многообразие экспериментальных резуль­ татов, полученных в [82]. Так, из 17 испытанных образцов 10 по­ теряли устойчивость у нижнего торца, 7 —у верхнего. Расчетным путем нам не удалось получить значения функции Г, большие у верхнего торца, чем у нижнего. Кроме того, на одном из образцов в [82] было установлено образование серии ромбовидных выпучин у нижнего торца, возникновение одиночной вмятины в сред­ ней части оболочки и перемещение этой вмятины к верхнему торцу. Это свидетельствует о наличии процесса неосеснмметрнчного динамического выпучивания, для описания которого следует использовать более общую постановку задачи и специальные ме­

тоды решения.

5.3. РАСЧЕТ НЕОСЕСИММЕТРИЧНОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ

ПРИ ПРОДОЛЬНОМ ТОРЦЕВОМ УДАРЕ

Первая попытка разработать методику расчета, учитывающую одновременно процессы распространения возмущении в срединной поверхности, осесимметричного и неосесимметричного динамичес­ кого выпучивания, была предпринята в работе [37]. Задача реша­ лась с использованием метода Бубнова—Галеркина по окружной координате, метода конечных разностей по продольной координате и в конечном итоге была сведена к интегрированию системы нели­ нейных алгебраических и обыкновенных дифференциальных урав­ нений. Численные результаты, полученные фактически для лолубесконечной оболочки, показали, что в течение некоторого

промежутка времени после приложения нагрузки наряду с рас­

пространением возмущений в срединной поверхности развивается лишь осесимметричная форма выпучивания в окрестности ударяе­

мого торца. По достижении нагрузкой определенной величины осесимметричная форма постепенно трансформируется в иеосесимметричную. Методика, изложенная в [37], получила развитие в. [59] на случай оболочки конечной длины, изготовленной из ортотропного материала.

Уравнения движения оболочки примем в форме (2.36), по­ ложив

X*I=Х*2=X*F*I =F*2= Ф*1 =Ф*2=0; Р*\= —р- • ;

P*2=-|i	à2v	Р*з=—р- d2w
	dt2 ’	‘ °	** dt2
и введя обозначения: T*n=Nx,		T*2i =T*l2=T, T*22=Ny.

С учетом (2.41), (2.45) эти уравнения преобразуются к виду

		dNx		дТ	д2и
		дх + ду ~^~дР
		дТ		дЫу _	d2v
		дх + ду -fl dp ’
Ел -Du		дА(w —wü)		—2(Z)i2+2D66) d*(w—w°)
R		дх*		д ( ïr	dw	дх2ду2
-D3	d*(w —w°)					„ dw \
		dy*		дх	дх
			+~d7\Nx^dT+ J-dy7) +
	,	д l r dw		. a; dw	\	d*w
+d i \ T~dT+Ny~dir)=ildy						-dt2

Согласно (2.41), (2.45), имеют место соотношения

(5.27>

(5.28)

(5.29>

„ Г du

,

1 f

dw Y

1 /

dw° \2 1

N: _Cl,l

4

дх

)2

4

дх

)

+

дх + 2

V\

')

2 V\

_

Г dv

w —w°

1 /

dw

\2

1 /

dw0 \21

+ С‘2 Ldÿ~+

R

+Т\~ду' ) ~~2 ( ~dÿ~) -I ’

„

„ Г du

1 /

dw \2

1 / дш° у 1

+

Af„=C12[ — +у

( —

) - y ( - â r ) J

(5.30)

_

Г dv

w —w°

1/ dw

\2

1 / dw° \21

+ C22L ^ +

R

+Т \ ~dÿ / ~ ~ ï\~ df)

J ’

/ du

dv

dw

dw

dw°

dw° \

66 \ du

dx

dx

du

dx

du /

Начальный прогиб оболочки в общем случае может быть представлен в виде разложения в ряд Фурье по окружной коор­ динате:

w°(x, у) =w0°(x) + ^ [шп°(х) cosM+^n°(*) sinр„0],

n=i

(5.31)

где fin =nlR. Предположим длянаглядности, чтов (5.31) отлично от нуля осесимметричное слагаемое Wo°(x) и один из коэффициентов Фурье адп°(*), соответствующий некоторому фиксированному но­ меру п окружной гармоники (аналогичное допущение сделано в £37]; случай, когда отлично от нуля конечное число коэффициен­ тов Фурье в разложении (5.31), подробно исследован в 5.4). Итак, начальный прогиб оболочки запишем в виде

w°(x, у) =w0°{x)+wn°{x) cospni/.

(5.32)

В аппроксимации прогиба по окружной координате также огра­ ничимся осесимметричной составляющей и одной гармоникой ряда Фурье, соответствующей тому же значению п, что и в (5.32):

W{х}у,t) =w0(х, t)+wn (х, t) cospn0.

(5.33)

Используя (5.32) и (5.33), из уравнений (5.27), (5.28) можно ус­ тановить следующие зависимости и и и от координаты у:

и (х, у t)=u0 (х, t)+Un (X,t) cosPny+u2n (x, t) cos2Pny;	'
v(x,y, t)=Vn{x,t) sinpn0+u2n(x, t) Sin2pnt/,

где m0, un, u2n, vn, v2n —функции, подлежащие определению. Под­ ставив (5.32)—(5.34) в (5.30), разделив осесимметричную и неосе­ симметричную части, для усилий получаем

	NX=NX°+NX";		Ny~NJ>+Nf;		Т=Р',		(5.35)
где осесимметричные слагаемые
-г	г ди° + 1 / dwQ)г . ч			dwn \2		1 / ô»0° \2
■Cl' 11ьГ+1Л и г ) + Л				дх 1		2 \	дх '
1 1	дх	\ 21 +Ci2 [	ш0°- w0		г
4 \		) 1	R	+т
.NU^ C 1 Г <Э«о		1J( dw0	) Ч (	dw„ \ 2		11	аюо°
s L“â r +7 '1 дх				дх	/	2 '	дх

4 V дх / J	L
а неосесимметричные имеют вид
Nx'l=N'x cosPnlH-W"* cos2§ny\ Ny"=N'v cosp„*/+N"v cos2pn*/;
Г= Г sin рпг/+ Г"sin2р„г/.		37^

Пренебрежем далее в уравнениях (5.27) и (5.28) инерционными членами, связанными с неосесимметричными составляющими тан-

генциальных перемещений:			д2ип	d2u2v		d2vn	d2v2n	Тогда при
						dt2~’	~dt2
учете (5.35) из (5.27) получаем уравнение
		dNx°-=\i-		д2и0				(5.38)
Для		дх		dt2
	неосесимметрнчных составляющих усилий можно ввести
,	А		д,		д2Фп		д2Фп т	д2Фп
функцию ф„(х, у, О такую, что Nx«=							Т=~~дЩ>

и привлечь известное уравнение совместности деформаций, прини­

мающее с учетом (5.32), (5.33),				(5.36) вид
An^		+iAm+2Ai2)J ^				r+ A ,2		дхА
	ду‘				дх2ду2
Г „ ,/				\				о\	1	0
	<32Ш0	<Э*2			, 1 d2(wn-wn°)
= 1р" \ w*~dxft?				) +~R------- д?					J C0SM+
1 „ J		à2w„		„	д2ш„° /		дшп		\ 2	,
2	Pn LWn	дх2	Wn		дх2	\	дх /			+
		( - ^	- ) 2] cos2m ,							(5.39)
где Ац — податливости ортотропного						материала,			вычисляемые

через Cfj по известным формулам [24]. Представив, согласно виду

правой	части		(5.39),	функцию	Фп	в	форме	Фп (х,у, t) =
=<Рп(дг,/)cos Рп1/+ф2п (х, 0 cos2рпу, получим два уравнения:
	^22—		---Рп2 (Дб6+2Л12) —^			---НрпМпфп —
					d2w0		d2w0°		)■
					дх2			дх2
	^22—		—4Pn2(^66+2^12> ■			---H16Pn4^ll4>2n =			(5.40)
_ 1 „	,Г	d*w„		„ d2Wn	I	dWn	\ 2 , /	cto„° y \

Неосесимметричные составляющие усилий принимают вид: NxU= - Рп2фп cosРпУ-4Рп2ф2п cos2$пУ\

Nи1=~" - cosрпУ+— 'cos2Mî

(5'41>

<5ф2п

Т=рп (- ■sinp n ÿ + 2 - sin2рпу) •

Наконец, подстановка в (5.29) выражений (5.32)—(5.34), (5.35), (5.41) и применение процедуры ортогонализации приводит к двум уравнениям:

d2w0 _	Ny°	d*(w0-w0Q)	, д w
“ 5F“	R— ° n	d?	+ ax x

(5.42)

d2wn

X * < V > - W .. - ... ) + - £ - ( w - % - ) -

Таким образом, задача сведена к решению системы пяти урав­ нений (5.38), (5.40), (5.42), содержащей неизвестные функции

«о, w0t wn, фп, Ф2п. Отметим, что введение функции усилий не яв­ ляется принципиальным, а позволяет лишь снизить число оконча­ тельных уравнении с семи до пяти и записать их в более компакт­

ной форме.

Приведем условия на торцах оболочки, для которых будут про­ водиться последующие численные расчеты. Принимая, что во всех случаях к обоим торцам приложены одинаковые, равномерно рас­

пределенные сжимающие усилия Р(0> для составляющих осевого усилия имеем

Nx° | x~o,L=-P{t)\	(5.43)
MchU-o,l=0,	(5.44)
причем (5.44) приводится к виду
фп I п:—0,L=ф2п | .r-.0,L==0.	(5.45)

Будем считать, что окружное перемещение v на торцах равно нулю; это условие формулируется в виде

а2<р»	|	=0.	(5.46)
дх2	I *=.0,1,	дх2 I .%•—0,1,

12-ПИ

Для прогиба будем задавать один из следующих трех типов гра­ ничных условий:

		d2w0	|	=wn	I
')	W° I .v-O.Z.=	dx2	1x=0,I.		х—0,1.
2)	I ,-ОД. ‘	dw0		=Wn	x=0,L
		dx
3)	dw0	d3w0			dwn
	dx	~dx3~			dx

Начальные условия зададим в виде

d2wn	1X«0,jL=0;	(5.47)
dx2
dwn	Ix—0,1. =0;	(5.48)
dx

	d3wn	=0.
	dx3
		(5.49)

I	dwn I	I	dwn	=0.
	- â r L 0=°:	“4< -°=“’n	àt
				(5.50)

Следует отметить одну важную особенность поставленной за­ дачи. В линейном приближении она распадается на две независи­

мые. Осесимметричная деформация описывается системой урав­ нений

d2u0	duo	+ C12	w0—w0°
dt2	dx		h
d2w0	W0—Wo°		(5.51)
			-) -D n-d^ W°~Wo^
~ W ------И С12^ Г	+Си'		dx*

с неоднородными граничными условиями на торцах (5.43). Неосе­ симметричная деформация описывается уравнением

d2wn	1	d \n	d4(wn—wn°)	+2рп2(/)12+27)6б) X
dt2	R	dx2 ~Dn	dx4
	X	d2(wn-wn°)	-D22$nA{Wn-		i,	(5.52)
		dx2

очевидным решением которого при любых вариантах осесиммет­

ричного закрепления торцов и начальных условиях (5.50) явля­ ется

cpn{x, t) =0; wn(x,t)=wn°(x).

(5.53)

Следовательно, информация об осесимметричном нагружении тор­ цов оболочки поступает к неосесимметричным формам деформи­ рования лишь посредством группы нелинейных членов

NXQ	dwn	1 PnW	d2w0
	dx		рп2фп —
			dx2

входящих в уравнение (5.42). Ясно поэтому, что при численном интегрировании задачи их необходимо вычислять с особой точ­ ностью. Даже небольшие погрешности в определении, например,

усилия Nx° могут сильно исказить результаты расчета процесса

неосесимметричного деформирования оболочки.

Численное решение смешанной краевой задачи проводится, как и в 5.1, согласно продольной схеме метода прямых. Конечно-раз­ ностная аппроксимация прогиба и его производных описана в 5.1. Дополнительно отметим, что при граничных условиях (5.45), (5.46) имеют место соотношения:

срЛо=фА(*+‘)=0; фА(-1)=-фЛ(1); фА(Л'+2)= _фк<л> k=n,2n,

а неоднородное граничное условие (5.43) с учетом (5.36) записы­ вается в виде

1 ( dwn0 \ 21 „ Г “'о-о'о0		Рп2 ч,
~ ~ \ ~ д Г ) \~ Cin —	R-------- г _х
X (а»»1- » .01)!}	=-Р(/).	(5.54)
J3x=0,L

Получаемая в конечном итоге система разностных уравнений интегрируется по времени в следующей последовательности.

1. На каждом шаге по времени решаются две линейные отно­

сительно фп>фгп системы N алгебраических уравнений, полученных при конечно-разностной аппроксимации уравнений (5.40). Для этого используется метод пятидиагональнон прогонки; значения функций фп и фгп в узлах сетки выражаются через значения w0

и wn:	фА(г)==ф/4(г)[а,0(1)>Wo(2)f	W0(N\ Шп(1), . . . ,	;	(5.55)
	k=n,2n;	i= l,...,iV.

2. Выражения (5.55) подставляются в систему 3iVнелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, по­ лученную при конечно-разностной аппроксимации уравнений (5.38), (5.42). Сформулированная задача Коши интегрируется методом Рунге—Кутта четвертого порядка; в результате находятся функ­

ции «o(i,(0» &n(i)(0-

3. С использованием выражений (5.55), а также формул (5.35), (5.36), (5.41) вычисляются усилия, а затем при необходимости — напряжения и деформации в любой точке оболочки в произволь­

ный момент времени.

Рассмотрим оболочку с темн же параметрами, что и в 5.1. Осе­ симметричную составляющую начального прогиба w0° будем считать равной нулю, неосесимметричную составляющую для фик­ сированного п зададим посредством ряда

приняв распределение коэффициентов Фурье Wmn° в виде

	Wmn°=0,2h	(-1У	(5.57)
		т 2
f т	. т +1	—при нечетном.Для проведения
где 1=~2	ПРИ111четном и 1=~2—

расчетов по описанной методике необходимо предварительно вы­ числить функцию доп0(*)> просуммировав ряд (5.56).

Осевое сжимающее усилие на торцах, как и в 5.1, будем счи­ тать линейно возрастающим во времени (5.20). В дальнейшем, если специально не оговорено, принимается VP =5.

Рассмотрим некоторые результаты численных расчетов, прове­ денных для варианта граничных условий свободного опирания:

ш0=	d2w0	=wn=	d2wn	=0 при х=0, L.	(5.58)
	дх2		дх2

Принимается, что начальный прогиб отличен от нуля только для окружной гармоники п=3.

Сходимость результатов расчета прогиба проверялась измене­ нием числа узлов разностной схемы N. На рис. 5.11 показано, как изменяются значения о>3 в нескольких сечениях оболочки с уве­ личением N от 99 до 299 (результаты, обозначенные точками, об­ суждаются в 5.5). Все численные результаты настоящего пара­ графа получены при N—299.

На рис. 5.12 приведены зависимости ге0 (а:) и ку3(а') в несколько последовательных моментов времени. Как видно, в оболочке па­ раллельно протекают два процесса: осесимметричное выпучивание в краевой зоне и неосесимметричное — в средней. Интенсивное развитие осесимметричных изгибных деформаций в непосредствен­ ной окрестности торцов объясняется стеснением их подвижности в радиальном направлении. В свою очередь, главным фактором, определяющим местоположение зоны интенсивного развития не­ осесимметричных деформаций, является вид функции wn°(x), за­ дающей начальные несовершенства формы оболочки.

Рис. 5.11. Иллюстрация сходимости разностной схемы (N —число узлов). Цифры у кривых со­ ответствуют значениям координаты .v: 1—0,36L; 2 —0.42L; 3 —0.48L; 4 —0.54L; 5 —0,661

0.3	w0/h
0

Рис. 5.12. Процесс развития во времени осесимметричной и неосесимметричной составляющих прогиба. Штриховые ли­ нии соответствую решению задачи неосеснмметрнчного динамического выпучивания методом Бубнова—Галеркнна

Влияние условий закрепления торцов на зависимость неосесим­ метричной составляющей прогиба от координаты х иллюстрирует рис. 5.13, где помимо граничных условий свободного опирання (5.58) рассмотрены также условия защемления

		dw0	ÔWn л	л г	/с
	w0=----- -=»„=----—=0,			при л =0, L	(5.59)
		ох	ох
и условия свободного края			d3wn= 0,
dw0	d3w0	dwn		при л*=0, L.	(5.60)
дх	дх3	дх	дх3