книги / Нелинейные задачи динамики цилиндрических композитных оболочек
..pdfшем варианте — при использовании одночленной аппроксимации прогиба — необходимо решать нелинейное обыкновенное диффе ренциальное уравнение с переменным коэффициентом. Но даже в этом случае невозможно записать решение в аналитической форме. Лишь при линейной постановке, когда исходная задача сводится к интегрированию линейного обыкновенного дифференциального
уравнения с переменным коэффициентом, решение может быть за писано в квадратурах. Однако и здесь только в отдельных част ных случаях удается определить решение через специальныефунк ции. Примеры тому — уравнение Матье, к которому сводится задача о параметрических колебаниях (см. главу 4) и уравнение с линейно возрастающим во времени коэффициентом, решение ко торого выражается через функции Бесселя. Исследование оболочки при программах динамического нагружения более общего харак тера даже при линейной постановке задачи неизбежно приводит к необходимости численного интегрирования.
Во всех рассмотренных задачах для этой цели использовалась стандартная программа, реализующая метод Рунге—Кутта четвер того порядка точности. Она имеется в математическом обеспечении ЕС ЭВМ. Эта программа, тщательно опробированная нами в ре шениях разнообразных задач, позволяет проводить расчеты в принципе для сколь угодно сложных непрерывных зависимостей внешних нагрузок от времени. Конкретный характер этих зависи мостей влияет только на величину шага интегрирования.
В качестве примера, иллюстрирующего возможности исполь зуемого подхода, рассмотрим результаты расчета оболочки, нагру женной осевыми сжимающими усилиями, изменяющимися во вре мени по следующим законам:
а) |
при т<;т_; |
(5.98) |
|
при т>т0; |
|||
|
|
||
|
при т^то; |
(5.99) |
|
б) |
Р(т) = |
||
|
— P*e-(t-r0) при т>то; |
|
|
в) |
Р(т)=Ро[Я(т) —Н (т—т0)]. |
(5.100) |
Расчет проводился в нелинейной постановке (методика 5.4) на основе одночленной аппроксимации прогиба.
Типичные зависимости w(т) приведены на рис. 5.37. Сплошные линии на рис. 5.37,а соответствуют программе нагружения (5.98); цифры у кривых указывают значение то. Штриховая линия на рис. 5.37,а соответствует (5.99) с тс=7. В той точке оболочки, к которой относятся приведенные зависимости, начальный прогиб а>°=ш|т=0« 0,9ft. На рис. 5.37,6 даны зависимости îcj(t) для не-
Рис. 5.37. Зависимости ку(т) при программах нагружения (5.98), (5.99) (а) и (5.100) (б). Цифры у кривых соответст вуют значениям: рис. 5.37,а — То=3, 5, 6, 7, 8; рис. 5.37,6 — Р0=2 (1), 3 (2, 4, 5), 4 (3) и т0—7 (/, 2, 3) и 4 (4, 5)
Остальные пояснения в тексте.
скольких сочетаний параметров и то в формуле (5.100). Кривые 1—4 соответствуют величине начального прогиба в рассматрива емой точке до°«0,9Л, а кривая 5 —пу°»0,09h. Отметим, что умень шение амплитудного значения начального прогиба в 10 раз при вело к снижению в 10 раз максимальной величины прогиба.
Приведенные результаты иллюстрируют, в частности, тотфакт, что вопрос о динамической устойчивости реальной тонкостенной конструкции вряд ли можно решить без учета присущих этой кон струкции несовершенств.
ГЛАВА 6
Р а с ч е т н а п р о ч н о с т ь ц и л и н д р и ч е с к и х о б о л о ч е к
и з с л о и с т ы х к о м п о з и т о в п р и д и н а м и ч е с к и х с ж и м а ю щ и х н а г р у з к а х
Изложенные в предыдущей главе расчетные методики позволяют опреде лить значения перемещений, деформаций и напряжений в произвольной точке
оболочки в любой момент времени при заданной программе динамического воз действия осесимметричными нагрузками продольного сжатия и внешнего дав ления. На этой основе можно сформулировать следующуюзадачу: при задан ных прочностных характеристиках материала оболочки определить величину нагрузки (или величину приложенного импульса), при которой хотя бы в од ной точке оболочки нарушается условие прочности материала, и установить местоположение зоны начального разрушения. Вданной главе основное внима ние уделено методам и результатам расчета начального разрушения слоистых цилиндрических оболочек, находящихся под действием динамических сжимаю щих нагрузок. Кроме того, рассмотрена модель, описывающая процесс по слойного разрушения оболочки после момента первого разрушения слоя. Предло жена методика расчета трансверсальных напряжений в слоистых цилиндричес ких оболочках, подверженных динамическим сжимающим нагрузкам. На ее основе для углепластнковых оболочек проведен анализ опасности разрушения от поперечных и межслойных напряжений до начала разрушения в плоскости слоев.
Остановимся кратко на некоторых работах, относящихся к пе речисленным выше вопросам. Прежде всего отметим, что разно образным аспектам проблемы прочности и разрушения волок нистых, слоистых композитов и намоточных изделий из них уде лено значительное внимание в обзорных статьях [71, 93, 108, 215, 220, 226, 237, 238, 255]. Одной из наиболее важных задач оста ется разработка критериев прочности для анизотропных и много слойных композитов в условиях сложного напряженного состояния и сложного нагружения. Фундаментальные исследования в этой области принадлежат А. К. Малмейстеру [184], Цаю, By [443]
и [108], Пуппо, Ивенсену [400]. В последние годы опубликовано много работ, посвященных критериям прочности композитов, их
экспериментальной проверке и определению характеристик проч ности, входящих в эти критерии, для различных материалов. От
метим в этой связи исследования [93, 241, 242, 255, 340, 409, 411]. Критерии прочности, применяемые для отдельного слоя, позво ляют определить лишь нагрузку и форму«начального» разрушения
многослойного композита. В этой связи естествен интерес к экспе риментальному исследованию и теоретическому описанию про
цессов послойного разрушения, развивающихся от момента пер вого разрушения слоя вплоть до макроразрушения многослойного образца. Этой проблеме, впервые исследованной в [341], посвя щены работы [158, 159,226, 231, 255, 394].
В последние годы резко возрос интерес к деформированию и разрушению композитных материалов при высокоскоростных и
ударных нагрузках,хотя число опубликованных до настоящего вре мени исследований еще сравнительно невелико [153, 275, 276, 284, 299, 300, 306, 325, 343, 356—358, 361, 364, 365, 395, 403, 408, 412, 414, 426]. Проведены испытания на растяжение [299, 306, 343, 356, 357, 403], сжатие [275, 276], сдвиг в плоскости армирования [365], межслойный сдвиг [414], а также эксперименты на трех точечный изгиб [358], одноразовое [153, 408, 412, 426] и много кратное [395] поверхностное ударное воздействие. Нагружение осуществлялось на пневматических установках [153, 275, 412], копрах (маятниковом [299] и с падающим грузом [365]), посред ством создания внутреннего давления на кольцо от взрыва в за
полняющей его жидкости [306], по схеме стержня Гопкинсона [275, 276] и др. Испытывались стеклопластики [275, 276, 343, 356, 357, 395, 403], однонаправленные [299, 306, 343, 356, 357] и слоис
тые [153, 358, 408, 412] углепластики.
Выделим некоторые результаты, полученные в перечисленных исследованиях. В [275, 276] отмечено, что прочность стеклопла
стика возрастает с увеличением скорости деформации независимо от угла между направлениями армирования и действующей сжи мающей нагрузки. Для однонаправленного углепластика установ лено [306], что влияние скорости деформации несущественно при нагружении образцов вдоль волокон и резко увеличивается с воз растанием угла между волокнами и направлением нагрузки. Выяв лено [343], что в широком диапазоне изменения скорости дефор мации прочность и вид разрушения однонаправленного углепла стика практически от нее не зависят, тогда как для стеклопластика на тканевой основе модуль и прочность заметно возрастают с ее увеличением. Показано [356, 357], что для стеклопластиков пре дельные напряжения и деформации разрушения существенно воз растают с увеличением скорости деформирования, тогда как для углепластиков изменения этих величин малозаметны. Отметим также, что, согласно [153], углепластик при ударном нагружении
ведет себя как хрупкий материал. В [299, 403, 408, 412] исследо ваны степень поврежденности, характер микроповреждений, формы поверхностей разрушения, а также особенности механизмов раз рушения в угле- и стеклопластиках при ударных нагрузках.
В последние годы большой интерес вызывает проблема повы шения сопротивляемости конструкций из слоистых композитов специфическим формам разрушения — расслоению по поверхно стям раздела слоев и отслаиванию одного из крайних слоев при действии на конструкцию сжимающих нагрузок. Вопросы роста под нагрузкой первоначально заложенных локальных расслоений
иотслоений в слоистых конструкционных элементах исследованы
В.В. Болотиным [73]. В бездефектной конструкции эти формы разрушения могут реализоваться, если возникающие при ее нагру
жении межслойные напряжения превышают соответствующие пре делы прочности прослойки между слоями композита. Разработан ный в [49] метод позволяет проводить оценочные расчеты меж слойных напряжений в несовершенных цилиндрических оболочках при динамических сжимающих нагрузках, определять величины нагрузок, соответствующие началу расслоения и местоположение зон начальных расслоений.
Немногочисленные работы, посвященные расчету на прочность цилиндрических оболочек из слоистых композитов (отметим [27, 155, 221, 222]), относятся исключительно к простейшим видам статических нагрузок (внутреннее давление, осесимметричный из гиб), при которых не вызывает затруднений первый этап решения
задачи — расчет напряженно-деформированного состояния обо лочки. В работах [55, 56, 58, 59] поставлена и решена задача рас чета «начального» разрушения слоистых цилиндрических оболочек при динамических нагрузках осевого, сжатия и внешнего давления, для которых реализуются существенно неоднородные по коорди натам напряженно-деформированные состояния. В [48] рассмот рена простейшая модель процесса послойного разрушения цилин
дрической несовершенной оболочки при воздействии динамических сжимающих нагрузок.
Отметим также, что методом Монте-Карло решались задачи расчета надежности многослойной цилиндрической оболочки при случайном внутреннем давлении [216]. В [62] разработан метод расчета надежности многослойной цилиндрической оболочки, обла дающей случайным полем начальных несовершенств, при динами ческих нагрузках осевого сжатия и внешнего давления. Надеж ность оболочки определялась по вероятности выброса векторного поля напряжений за поверхность прочности в форме трехмерного прямоугольного параллелепипеда.
В целом можно констатировать, что к настоящему времени сде ланы только первые шаги в решении задач прочности, надежности,
разрушения тонкостенных элементов конструкций из слоисто-во локнистых композитов.
6.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КРИТИЧЕСКОЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ НАГРУЗКИ
ПО МОМЕНТУ ПЕРВОГО РАЗРУШЕНИЯ СЛОЯ
Методики, описанные в главе 5, позволяют рассчитать при всех рассмотренных видах нагружения зависимости деформаций в про
извольной точке {х, у, z} оболочки в любой момент времени ie[0, Г], где Т — продолжительность заданной программы на
гружения.
Пусть многослойная оболочка состоит из N ортотропных слоев; определим посредством индексов 1и 2 главные направления упру гости каждого из слоев. Тогда, если в некотором сечении z дефор
мации, отнесенные к осям оболочки, равны е**, еуи, еху, то дефор мации в главных осях i-ro слоя в этом же сечении, согласно известным формулам преобразования компонент тензора при
повороте системы координат, имеют вид
епИ)=Вхх cos2Oi+Byy sin2 ©i+e^ sin0,-cos0f; |
(6.1) |
e22(i)=Bxx sin2 0*+ewycos2Q{- exy sin0* cos0t; |
|
6i2^= (Sj/y—E.vcc) sin20i-t"6a:j/ COS 20£, |
|
где 0f —угол между главным направлением 1в i-м слое и коор динатной осью х. Деформации ехх, гиу, еху, отнесенные к осям хуу, линейно распределены по толщине оболочки. В то же время при значениях 0,-, различающихся от слоя к слою, линейный закон распределения по толщине деформаций еп, е22, ei2, согласно (6.1), будет соблюдаться только в пределах каждого отдельного слоя. ■Следовательно, деформации, отнесенные к осям 1, 2, на поверх
ностях контакта претерпевают разрыв.
Напряжения в главных осях i-ro ортотропного слоя, согласно обобщенному закону Гука, имеют вид
О,,(О=В, |)е,,W+S12(i)£22(i); <J22(i)=В|2(,)е||0)+В22<')е22('1; .g
где Bjjtw —матрица жесткости i'-го слоя.
Приведенные в главе 2 формулы позволяют рассчитать (при известных функциях м, v, w или w, F) напряженно-деформирован ное состояние в произвольной точке {.v, у, z} слоистой оболочки. При этом на этапах нахождения функций и, к, w, F и определения деформаций eXXt еуу, еху пакет рассматривается как однородный
■ортотропный; последующий расчет деформаций ец('\ е22^\ ei2u' и напряжений огц('), а22(0, ai2(0 проводится с учетом индивидуальных
упругих характеристик каждого слоя и ориентации его главных
направлений относительно осей оболочки.
Следующим этапом исследования является выбор критерия прочности для оболочки. Он может быть сформулирован как для
ортотропной оболочки в целом (при условии, что пакет рассмат ривается как однородный), так и для каждого отдельного слоя. В дальнейшем будем следовать второму подходу, определяя на грузку начального разрушения оболочки из условия, что хотя бы в одном из слоев выполняется заданный критерий прочности. Эту величину динамической нагрузки в дальнейшем будем называть критической динамической нагрузкой (или нагрузкой начального разрушения), а момент времени, в который достигается критиче ская динамическая нагрузка, —моментом начального разрушения.
Анализ прочности оболочки согласно изложенному подходу в принципе может быть проведен с использованием любого из из вестных феноменологических критериев прочности анизотропного тела. Однако при рассмотрении конструкций из композитовнеобхо димо учитывать, что не все такие критерии, как показано в [93, 108, 184, 226, 255, 443], учитывают в достаточной мере специфиче ские особенности, присущие этим материалам. Следует принимать во внимание также, что при решении сложных задач существен ным является требование удобства математической записи исполь зуемого критерия прочности.
Для феноменологического описания поверхности прочности в шестнмерном пространстве напряжений в работе [184] предложено уравнение
Paf)CaP+PaPvô(JaP<Jv6+PaPv6el(ïaP<7vôore6+ ■■• = 1, |
(6.3) |
в котором рар, раруб>рарубе|, • • • —тензоры поверхности прочности*. Как показано в работах [108, 184], практически все известные в
настоящее время феноменологические критерии прочности анизо тропного тела могут рассматриваться как частные случаи крите
рия (6.3) либо как его вырожденные случаи. В детальном теоре тическом исследовании свойств тензорно-полиномиального крите рия [108] показано, что помимо общности и инвариантности относительно выбора системы координат он обладает «макси
мально возможной гибкостью и в то же время не содержит в себе избыточных параметров».
В дальнейшем при определении момента начального разруше ния г'-го слоя оболочки будем использовать критерий (6.3), запи
санный для случая плоского напряженного состояния, при удер жании членов до вторых степеней включительно:
^ (^ (,‘0=/?11(%11(г')+Р22(%22(1Нр1111(%11<^Чр2222(г^ ) Ч |
(6.4) |
+2pii22(I)aii(i)a22(î)+4p12i2(i)ai2(l)5= 1. |
Для практического использования критерия (6.4) необходимо знать величины компонентов тензоров поверхности прочности. Их можно вычислить либо непосредственно через значения характер-
ных прочностей, полученные для различных простых путей |
нагру- |
* При динамическом нагружении величины рав, рвцув, РацУве> |
являются |
функциями скоростей деформации. |
|
жения, либо в результате аппроксимации поверхности прочности поверхностью второго порядка при числе экспериментальных точек, превышающем число неизвестных параметров в (6.4). Приво димые в литературе экспериментальные данные позволяют полу чить надежные значения всех входящих в (6.4) компонентов тен зоров поверхности прочности, за исключением риггТрудности, свя занные с нахождением ри22, анализировались в работах [108, 226, 242, 255, 459]. Отмечено, в частности, что компонента рц22 для определенных структур композитов проявляет высокую чувстви
тельность к способу аппроксимации совокупности эксперименталь ных данных поверхностью прочности второго порядка. В работах [242, 459] показана сильная зависимость точности определения
/?П22 от соотношения между напряжениями ац и о22 в эксперимен тах на двухосное нагружение.
Анализ с целью оценки влияния рц22 на значения нагрузок начального разрушения углепластиковых цилиндрических оболочек
при некоторых видах динамического нагружения [56] позволил сделать вывод, что при осевом динамическом сжатии величина Pi122практически не влияет на результат расчета момента началь ного разрушения для всех углов армирования (кроме армирования под малым углом, 0<5° к образующей оболочки). В случае на гружения динамическим внешним давлением величина рц22 за метно сказывается на расчетном значении момента начального разрушения лишь в узком диапазоне углов армирования
0«75—85°.
6.2. АНАЛИЗ НАЧАЛЬНОГО РАЗРУШЕНИЯ ПРИ ОСЕВОМ ДИНАМИЧЕСКОМ СЖАТИИ
Рассмотрим ортотропную цилиндрическую оболочку, нагружен ную продольным сжимающим усилием Р(х) = VpP*x. Пусть т* — момент времени, в который хотя бы в одной точке оболочки вы полняется условие прочности (6.4). Координаты x—x*t у=у*, 2=2* точки, в которой при т=т* выполняется критерий (6.4), оп ределяют местоположение зоны начального разрушения. Их будем называть в дальнейшем координатами начального разрушения (для однородной оболочки) или координатами первого разрушения слоя (для многослойной оболочки). Величину нагрузки Рд*=
= VpP*x* будем называть критической динамической нагрузкой, а р+
отношение Кд=-рг =Vpx* —коэффициентом динамичности.
Примем, что все слои оболочки имеют одинаковые упругие и прочностные характеристики, а также одинаковую толщину. За дадим следующие значения характерных прочностей монослоя:
г(>'>юо=9,56-10аН/м2; г(‘>02о=5,76• 107 Н/м2; г«>0М=4,57-10* Н/м2;
/ïoo<i)/'Yoo(i,= 1.5; Го2о(1>/Го20<1>=4- |
(6.5) |
Компоненты тензоров поверхности прочности Pu{i), Р22{iK
piiii(l), p2222{i), р1212с,) определяем через характерные прочности по формулам, приведенным в [184]. Для компоненты рп22(,) ггримем
Pll22{i)=0,265 YPi111(г)/?2222(г) •
Рассмотрим результаты, полученные из решения численным методом осесимметричной задачи о продольном динамическом сжатии. Осесимметричный начальный прогиб ад°=0. Ось I слоя направлена вдоль образующей оболочки. Геометрические пара метры оболочки и упругие характеристики материала даны в 5.1.
В табл. 6.1 приведен коэффициент динамичности, координаты начального разрушения х* и максимальная величина прогиба w* в момент начального разрушения т* для шести различных условий закрепления торцов оболочки при нескольких скоростях нагруже ния. Как видно, во всех случаях начальное разрушение произошло на внутренней поверхности оболочки в зонах краевого эффекта. Лишь для условий свободного края определить точные значения координаты х* не удалось, поскольку критерий прочности прак тически одновременно выполняется для весьма протяженной об ласти в окрестности торца. Среди остальных граничных условий наиболее близкое расположение первого дефекта к торцу дают ус ловия свободного опирания. Этим же условиям соответствует мини мальная величина критической динамической нагрузки. Макси мальное значение прогиба в момент начального разрушения при близительно одинаково для всех типов граничных условий, кроме (5.15), (5.16). Что касается влияния скорости нагружения, то при увеличении ее в 25 раз критическая динамическая нагрузка для условий свободного опирания возрастает почти в 3 раза, а расстоя ние от места разрушения до торца уменьшается вдвое. Заметим, что при высоких скоростях, когда не происходит сколь-нибудь за-
Таблица 6.1
КОЭФФИЦИЕНТДИНАМИЧНОСТИ, КООРДИНАТЫНАЧАЛЬНОГОРАЗРУШЕНИЯ |
|||||
II МАКСИМАЬНАЯВЕЛИЧИНАПРОГИБАВМОМЕНТНАЧАЛЬНОГОРАЗРУШЕНИЯ |
|||||
ДЛЯРАЗЛИЧНЫХГРАНИЧНЫХУСЛОВИИ |
|
|
|
||
Ур |
Граничное условие |
*д |
2*//l |
x*IL |
la>o*l |
h |
|||||
5 |
(5.11) |
8,75 |
-0,5 |
0,04; 0,96 |
0,31 |
5 |
(5.12) |
9,0 |
-0,5 |
0,07; 0,93 |
0,29 |
5 |
(5.13) |
12.0 |
±0,5 |
0-1 |
0,30 |
5 |
(5.14) |
9,0 |
-0,5 |
0,93 |
0,29 |
5 |
(5.15) |
8,75 |
-0,5 |
0.94 |
0,19 |
5 |
(5.16) |
8,6 |
-0,5 |
0,96 |
0,21 |
1 |
(5.11) |
4,44 |
-0,5 |
0,05; 0,95 |
0,82 |
25 |
(5.11) |
12,5 |
-0,5 |
0,025; 0,975 |
0,02 |
50 |
(5.11) |
13,0 |
-0,5 |
0; 1 |
0,005 |
Г w*/h 2+0.5
Рис. 6.1. Зависимости момента первого |
|
|
|
|
||||
разрушения |
слоя |
(------ ) и макси |
|
|
|
|
||
мальной |
величины |
прогиба |
двухслойной |
|
|
|
,0 |
|
оболочки |
в |
момент |
первого |
разрушения |
0 |
30 |
60 |
|
слоя (------) от угла укладки слоев |
90 |
метиого развития изгибных деформаций до начала разрушения, величина /Сд перестает зависеть от скорости нагружения. Значение /Сд«13 для рассматриваемой оболочки является предельным. Условие прочности при этом выполняется практически одновре
менно для всех значений координаты 2.
В качестве следующего примера рассмотрим двухслойные обо лочки с укладкой моиослоев под углами ±0 к образующей (тол щина двухслойного пакета та же, что и для однослойной оболочки в рассмотренном выше примере). Особенность этого случая со стоит в том, что, несмотря на осесимметричность нагрузки и гео метрическую осесимметричность оболочки, перемещение v в ок ружном направлении отлично от нуля. Система уравнений движе ния дополняется еще одним уравнением и принимает вид
N'x=[l- - “р- ■; C6Bv"-Ki6w"0=11-^- ;
N |
, w |
à2Wo |
— ---DliWo1*' JrK\üV"~^ {^xw о) |
=Ц ^2 » |
|
где /С,6 — компонента матрицы |
мембранно-изгнбнои жесткости, |
равная нулю только при 0=0 и 0=я/2. Выражения (5.9) для Nx и Nv остаются в силе. Необходимое дополнительное граничное условие на каждом из торцов зададим в одном из двух вариантов:
» |,..,= ° |
<6-7> |
или |
(6.8) |
Т\ v=0L= (C66^-^i6^"o).v=ox=0, |
где Т —касательное усилие. Численное интегрирование уравнений (6.6) проводили по схеме, описанной в 5.1. На рис. 6.1 представ лены зависимости момента первого разрушения слоя т* и макси
мальной величины прогиба Доо* в момент т* от угла укладки