книги / Практические занятия по высшей математике. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве

подставим а = 3 и Ь = 4. Получим искомое уравнение в виде

Задача 3,12 (для Самостоятельного решения). Построить пря­

мые,	заданные	уравнениями				х — Зу + 9 = 0;
1)	х + 2у — 6 = 0;				2)
3)	Злг— г/ =	0;			4)	х + 2 у = 0 ;
5) х — 4 = 0 ;					6) 2у — 3 = 0.
Решим теперь две задачи, связанные с исследованием общего
уравнения прямой.
Задача 3,13. Указать особенности в расположении относительно
координатных осей прямых
1)	2х — 5у = 0;			2)	Зх -г- 2 = 0;
3)	7 у + \2 = 0;			4)	5* = 0;
		5) Зу =		0.		2х — 5у = 0
Р е ш е н и е .		1)	Прямая				проходит	через начало
координат, так		как	ее уравнение не содержит свободного члена.
2) Прямая		Зх— 2 = 0			параллельна оси Оу (ее			уравнение не
содержит текущей координаты у).							оси Ох	(ее уравнение
3) Прямая		Ту +	12 = 0			параллельна
не содержит текущей координаты х).							Оу (ее ■уравнение можно
4) Прямая		5х = 0 совпадает с осью
переписать в виде х =				0).

Задача 3,14 (для самостоятельного решения). Указать особен­

ности в расположении			прямых		0;
1)	5х -I- 3у — 0;		4)	5у =
2)	4у 4- 8 =	О;1'	5)	7х =	0.
3)	Зх — 16 =	0;			начало координат;
От ве т . 1) Проходит через

2)параллельна оси Ох;

3)параллельна оси Оу;

4)совпадает с осью Ох;

5)совпадает с осью Оу.

Задача 3,15.	Уравнение	прямой х + З у — 4 = 0 привести к
нормальному виду.
Р е ш е н и е .	Нормирующий множитель определяется по фор­
муле			1
	N =	±

Здесь Л = 1; В = 3. Перед корнем надо выбрать знак, противо­ положный знаку свободного члена в заданном уравнении, т. е. знак плюс. Тогда нормирующий множитель

N =

N =

/ 12 + За ’

/ ш

после умножения			обеих	частей	уравнения на		N уравнение при­
мет вид
			/ТО* + V\Qy ~V\Q>
	Задача 3,16.		Привести к нормальному виду уравнение пря­
мой 5л:— 12у + 26 = 0.
	Ответ .	—	^ У — 2 = 0.				что р = 2; cos а =
	Из сравнения		с уравнением		(3, 4) видим,
=	5	.	12
	1з > sin а _		13«
	Задача	3,17 (для самостоятельного решения). Уравнение пря­
					мой 7х + У— 3 = 0 привести к
					нормальному виду.
					Ответ .		гтг^* +		5 / 2*у—
					з		5 / 2
					5 / 1	= ° :
					Р =	5 ? 1 ;	cos а		5 / 2 ’
								1
						sin а =
							5 / 2 *		самостоя­
					Задача 3,18 (для
					тельного решения). Привести к
нормальному виду уравнение прямой 6л — 8у— 15 = 0.
	Ответ . ~ х — -g-у — 1,5 = 0; /? = 1,5;					cosa = -|-;
					4
				sin a = — =-.
					О
	Задача 3,19. Найти длину перпендикуляра, опущенного из
начала координат на прямую 8х— 6г/+5 = 0,							а также		коорди­
наты основания этого перпендикуляра.
	Р е ше ни е . Приведем данное уравнение к нормальному виду:
		N =		N = — -±= =			3 / 5 *
			/ з2 + 62 ’		V 45
	После умножения на нормирующий множитель уравнение при­
мет вид			1	. 2	V I
					3
			- у ъ х + Тьу ~ ~ =й-

Vs

Из сравнения с (3, 4) заключаем, что р = — .

Для определения координат основания этого перпендикуляра из фиг. 3, 9 получим формулы

х= р cos a,

у= psina

(эти формулы верны при любом				расположении		прямой относи­
тельно координатных осей).						1	2
Как видно из уравнения (3, 4),
					cos а = — y*=, sin а = уг=
и искомые координаты основания перпендикуляра равны
		х —	1		2
			з ,		у — 3-
	ЧЕТВЕРТОЕ ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ
С о д е р ж а н и е :		Уравнение	прямой,		проходящей через данную точку в
данном направлении. Уравнение прямой,				проходящей через две данные точки.
Угол между двумя прямыми. Условие				параллельности и перпендикулярности
двух прямых. Определение точки пересечения двух прямых.
	ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ
1.	Уравнение	прямой,	проходящей через			данную	точку
А (*ь	tjj) в данном	направлении,		определяемом		угловым	коэф-
фициентом k:		у — У1 = k(x — *,).					(4,1)

Это уравнение определяет пучок прямых, проходящих через

точку А (лс, ух)у которая называется		центром пучка.		y j
2. Уравнение прямой, проходящей через две точки: А (xlt
и В (JC2, у2)у записывается так:
У — У\	х —		/л	о \
У\	у.	Х 1		**)
	х 2 —
1/2— „		г •

Угловой коэффициент прямой, проходящей через две данные точки, определяется по формуле

k = . (4, 3)

3.Углом между прямыми а и Ь называется угол, на который

надо повернуть первую прямую а вокруг точки		пересечения
этих прямых против движения	часовой стрелки до совпадения
ее со второй прямой Ь.
Если две прямые заданы уравнениями с угловым коэффи­
циентом
y = kix + Ьи		(4.4)
y = k2x + Ьг,
то угол между ними 6 определится по формуле
tgS = 1	--fej	(4.5)
	k-±h%

2 з-co

33

Следует обратить внимание на то, что в числителе

дроби

из

углового коэффициента второй прямой вычитается угловой коэф­

фициент первой

прямой.

заданы в общем

виде

Если уравнения прямых

Агх +

Вгу + Ci = О,

(4, 6)

AfX +

В2у ■+- С2 = 0,

угол между ними определяется по формуле

х

о

А\Вг— А*В\

(4,7)

18

~

АхА,.ф ВхВг

4.

Условия параллельности двух прямых:

а)

Если

прямые заданы

уравнениями

(4,4) с угловым коэф­

фициентом, то необходимое и достаточное условие их параллель­

ности состоит

в равенстве их

угловых

коэффициентов:

(4,8)

=

k2.

б)

Для

случая, когда

прямые

заданы

уравнениями в общем

виде

(4, 6),

необходимое

и достаточное условие их параллельности

состоит в том, что коэффициенты при соответствующих

текущих

координатах в их. уравнениях пропорциональны,

т.

е.

А1 _ В ±

(4,9)

А2

в 2

5. Условия перпендикулярности двух прямых:

а)

В случае,

когда прямые заданы уравнениями

(4, 4)

с

угло­

вым коэффициентом, необходимое

и достаточное

условие

их

пер­

пендикулярности заключается в том, что их

угловые

коэффици­

енты обратны по величине и противоположны

по знаку,

т. е.

(4,Ю)

Это условие может быть записано также

в виде

kxk2 = — l.

(4,

11)

б)

Если

уравнения

прямых

заданы в общем виде

(4, 6),

то

условие

их

перпендикулярности

(необходимое

и

достаточное)

заключается в выполнении

равенства

AXAZ + BXB2 = 0.

(4,12)

6. Координаты точки

пересечения

двух

прямых

находят,

решая

систему

уравнений

(4,6). Прямые (4,6)

пересекаются в

том и только

в том случае,

когда

АХВ2— А2Вг Ф 0.

Задача 4 ,1. Найти уравнение прямой, проходящей через две точки: (—1, 2) и (2, 1).

Р е ш е н и е .	По	уравнению (4,2),		полагая	в нем* х, = — ],
ул = 2, х2= 2,	у2 = 1, получим
	у — 2	x - f 1	у — 2	х ^ I.	;
	Т= 2	= :й П ' или	^ Г Г = —

после упрощений получаем окончательно искомое уравнение в виде

хЗу — 5 = 0.

Задача 4,2. Найти уравнение

прямой,

проходящей

через

точки

Л (2,1) и

В (—5, 1).

не

отличается от предыдущей. Под­

Р е ш е н и е .

Эта задача

ставляя

координаты

точек Л и 5 в уравнение

(4, 2),

получаем

х — 2

у — 1

—5— 2~ 1— 1’

или

*~ 7~ =

.

а

отсюда

заключаем,

что

у — 1 = 0,

или

у =

1

(см. объяснения в

учебнике И. И. Привалова

«Аналити­

ческая

геометрия»,

1957,

гл. III, § 12).

Задача 4, 3 (для самостоятельного

решения).

Найти

уравне­

ния сторон треугольника,

вершины которого

Л (1, —1);

5(3,5),

С ( - 7 , 11).

задача решается точно

так

же,

как

и две

У к а з а н и е . Эта

предыдущие. Используя формулу (4,2), получим

уравнения

сто­

рон:

{АВ) Зх—

у —

4 = 0 ,

(ВС)

Зх +

5у — 34 = 0,

(ЛС)

Зх + 2у —

1 =

0.

Задача 4, 4. Стороны треугольника заданы уравнениями:

(АВ)

2х +

4у +

1 =

0,

(ЛС)

х -

у +

2 =

0,

(ВС)

Зх +

4*/ — 12 = 0.

Найти

координаты вершин треугольника.

решая систему

Р е ш е н и е .

Координаты вершины Л найдем,

составленную из

уравнений сторон АВ и ЛС:

2х + Ау + 1 = 0)

х — у -(-2 = 0)

Систему

двух

линейных

уравнений с двумя

неизвестными

ре­

шаем способами,

известными из элементарной

алгебры,

и полу­

чаем

* Безразлично, какую точку считать первой, а какую — второй.

Вершина А имеет координаты

Координаты вершины В найдем, решая систему из уравнений сторон АВ и ВС:

		2х +	4у +	1 =	0]
		Зх	4у	12 =	0|
получаем дг =	13;	у = — Ц \	В ^13,		—
Координаты	вершины С получим,				решая систему из уравне­
ний сторон ВС и АС:
		Зх + 4у — 12 = 0 )
		х —	у +	2 — 0}*
Вершина С имеет		координаты

Задача 4,5 (для самостоятельного решения). Найти коорди­ наты вершин треугольника, стороны которого заданы уравне­ ниями:

(AB) х + у — 5 = 0, (ВС) 2х — у + 4 = 0 , (AC) 5х — Зу+ 14 = 0.

О т в е т . А ^ , f ) ;	С(2, 8).
Задача 4, 6 (для самостоятельного решения). Найти коорди­

наты вершин треугольника, стороны которого заданы уравне­ ниями:

(АВ) 2х+

у —

5 = 0,

(ВС) 2х —

у +

4 = 0,

(АС)5х — 8 у+ 14 = 0 .

J8 _8\

Отв ет .

■ 4 ( 1 .1 ) ;

в ( г - 1)-

с ( -

11’

llj*

Задача

4,7.

Найти

уравнение

прямой,

проходящей

через

точку А (2, 5) параллельно прямой Зх — 4у +

15 =

0.

Р е ш е н и е .

Докажем,

что если две

прямые параллельны, го

их уравнения

всегда можно представить

в таком виде, что они

будут отличаться

только

свободными

членами.

Действительно,

и з условия

(4,9)

параллельности

двух

прямых

следует,

что

1

Т г 'В Г

Обозначим через t общую величину этих отношений. Тогда

		А\ _____	1
а отсюда	следует, что	А2 ~ Вг ~	’
	A 1 = A2t , B 1 = B2t.					(4,13)
Если две прямые
и	А\Х + Byj -f- Сг = О
	А2х -f- Вуу -f- С2= О
параллельны, условия (4, 13) выполняются,				и,	заменяя в	первом
из этих	уравнений А л и	по формулам		(4, 13), будем		иметь
	A 2(х -)- B jy -f- Ci = О,
или, разделив обе части		уравнения	на t Ф 0,		получим
	А 2х + В2у + ^		= 0.			(4,14)

Сравнивая полученное уравнение с уравнением второй прямой А2х В2у + С2 — 0, мы замечаем, что эти уравнения отличаются только свободным членом; тем самым мы доказали требуемое. Теперь приступим к решению задачи. Уравнение искомой пря­ мой запишем так, что' оно будет отличаться от уравнения данной прямой только свободным членом: первые два слагаемые в иско­ мом уравнении возьмем из данного уравнения, а его свободный член обозначим через С. Тогда искомое уравнение запишется в виде

Зх — 4у + С = 0,

(4,15)

и определению подлежит С.

величине С всевозможные дей­

Придавая

в уравнении

(4, 15)

ствительные значения,

мы

получим

множество

прямых,

парал­

лельных данной. Таким образом,

уравнение

(4, 15)

представляет

собой уравнение

не одной

прямой,

а целого

семейства прямых,

параллельных

данной

прямой

Зх — 4у + 1 5 = 0.

Из

этого

се­

мейства

прямых

нам

следует

выделить

ту,

которая

проходит

через точку А (2, 5).

через

точку,

то

координаты

этой

Если

прямая

проходит

точки должны удовлетворять

уравнению

прямой. А поэтому мы

определим С,

если в

(4, 15)

подставим

вместо

текущих

коорди­

нат х и у координаты

точки

А , т. е,

х = 2,

у = 5.

Получаем

3 . 2 — 4 - 5 +

С = 0 и С =

14.

и искомое урав­

Найденное значение С подставляем в (4,15),

нение запишется так:

Зх — 4у+ 14 = 0.

Ту же задачу можно решить и иначе. Так как угловые коэффициенты параллельных прямых между собою равны, а для

данной

прямой

Зх — \у +

15 = 0

угловой

коэффициент k =

=

то и угловой

коэффициент

искомой

прямой

также равен j3.

Теперь

используем

уравнение

(4, 1)

пучка

прямых.

Точка

А (2, 5), через которую проходит

прямая, нам известна, а потому,

подставив в уравнение

пучка прямых

у — уг = k (x — хх) значе­

ния k =

I*;

хх =

2;

r/i = 5,

получим

у — 5 =

(х — 2);

4у — 20 = Зх — 6,

или после упрощений

Зх — 4у +

14 =

0,

т. е. то же, что

и

раньше.

Задача

4, 8 (для самостоятельного решения). Найти уравнение

прямой,

проходящей

через

точку

(3, —4) параллельно

прямой

2х + Ъу — 7 = 0.

У к а з а н и е .

Задача

решается

так же, как и предыдущая.

Решение

проведите двумя

способами/

Ответ .

2х + Ъу +

14 =

0.

прямой,

проходящей через точ­

Задача

4, 9.

Найти

уравнение

ку А (5, —1) перпендикулярно к прямой

Зх — 7у + 14 = 0,

Р е ш е н и е .

Мы знаем,

что если две

прямые

Агх +

Вху +

Сх = 0,

А2х +

В2у + С2= 0

перпендикулярны,

то

выполняется

равенство

(4, 12)

А ХА 2+ ВгВ2 =

0,

или, что то

же,

а отсюда

следует,

что

АХ 2 — — ВХВ2>

A j

Ва

Ж ’

Т г

Общее значение этих отношений обозначим через t.

Тогда

^2 _

и

Bjj

откуда следует,

что

Вг

Т х “

А2 = Bxty В2 = — Axt0

Подставляя

эти

значения

Аг и В2 в

уравнение второй пря­

мой,

получим

Bxtx — A\ty-\- С2= О,

или,

деля

на t обе

части

равенства, будем иметь

ВтХ — А гу - \ - ^

= 0.

Сравнивая

полученное уравнение с уравнением первой прямой

А\Х + Вуу +

Ci = О,

замечаем,

что у них

коэффициенты

при х и у поменялись мес­

тами,

а знак

между

первым

и вторым слагаемым переменился

на противоположный, свободные же члены различны.

урав­

Приступим теперь к решению задачи. Желая

написать

нение

прямой,

перпендикулярной

к

прямой

Зх — 7у + 1 4 = 0,

мы на основании только

что

сделанного

заключения поступим

так: поменяем местами коэффициенты

при х и у,

а знак

минус

между

ними заменим знаком

плюс,

свободный

член

обозначим

буквой

С. Получим

7х +

Зу +

С = 0.

Это уравнение

есть

урав­

нение семейства	прямых,	перпендикулярных				прямой Зх — 7г/ +
+ 14 = 0. Мы определим С из				условия, что искомая прямая про­
ходит через точку А (5, —1). Известно,					что если прямая прохо­
дит через точку,	то координаты этой точки					должны	удовлетво­
рять уравнению	прямой.		Подставляя в последнее уравнение 5
вместо х и —1 вместо у,		получим
	7 . 5 + 3 • (—1) + С = 0;
			С = — 32.
Это значение С подставим			в	последнее	уравнение		и получим
	7х +		Зу — 32 = 0.

Решим ту же задачу другим способом, использовав для этого уравнение (4, 1) пучка прямых

У ~ У\ = k(X — Xi).

Угловой коэффициент искомой прямой мы найдем из условия (4,10), т. е. он должен быть обратен по абсолютной величине и противоположен по знаку угловому коэффициенту данной прямой.

Угловой коэффициент данной прямой Зх — 7у + 14 = 0

тогда угловой коэффициент прямой, ей перпендикулярной,

Подставив в уравнение пучка				прямых k2 = — j ,				а «место хг
и f/j координаты данной точки					Л (5,	—1),	найдем у — (—1) =
= — j (х — 5),		или	Зу + 3 = — 7х + 35, и				окончательно		7х +
+ 3у — 32 = 0,		т. е. то же, что			и раньше.			Через	точку
Задача 4, 10 (для			самостоятельного			решения).
А (—3,	2) провести		прямую,	перпендикулярную				прямой	7х +
+ 4# — 11 = 0*.
О т в е т . 4х — 7у + 26 = 0.
Задача 4,11		(для	самостоятельного			решения).		Через	точку
пересечения прямых
		х + у — 1 = 0 и 2* + 3# + 4 = 0
провести	прямую: 1)		перпендикулярно			прямой Зх— # + 7			= 0;

2) параллельно этой прямой.

О т в е т . 1) х + Зу + 11 = 0 ; 2) Зх — у — 27 = 0.

Задача 4,12 (для самостоятельного решения). Сторонами тре­

угольника	являются координатные			оси	и прямая,		проходящая
через точку	А (3, 4). Найти уравнение этой прямой при условии,
что площадь треугольника равна 9 кв. ед.						прямых,		прохо­
У к а з а н и я . 1.		Написать уравнение			пучка
дящих через точку		А (3, 4).
2. Найти величины отрезков, отсекаемых этой прямой на ко­
ординатных осях. Получится
		3h— 4	,	.	л.
		а = —£— , о = 4 — 3к.
3. Использовать формулу для определения						площади		прямо­
угольного треугольника S = ± j ab,				где а и b — катеты,				и для
определения k получатся уравнения
	9k2 — 42k+ 16 =		0 и 9k2— 6k+ 16 =				0.

Корни второго уравнения комплексны и должны быть отбро­ шены. Подставляя найденные из первого уравнения значения k в уравнение пучка прямых, полученное в п. 1, окончательно найдем, что требованию задачи удовлетворяют две прямые:

1) # = - + р ? (л — 3) + 4 и 2) # = 7- f			3 (x — 3 ) + 4 .
Задача 4,13. Даны две противоположные			вершины	квадрата
А (2, 1) и С (4, 5). Найти две	другие	(фиг. 4, 1).		вершины:
Р е ш е н и е . Обозначим буквами		В и D	искомые
В (х2, #а) и D(xt, y j. Надо	найти	числа х2, уа и xit yt. Для*

* Это условие следует понимать так же, как и условие задачи 4, 9.