книги / Практические занятия по высшей математике. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве
.pdfЕсли же известны прямоугольные координаты х и у точки, ее полярные координаты определяются по формулам
г = ± У х 2 + У2* |
sin ср = ± VХг+ уъ; |
cos ср - |
± / * 2+«/2’ |
(7. 2> |
|||
|
|
|
|
|
|
|
(7, 3) |
Как видно из (7,2), у корня в формуле для определения г |
|||||||
стоят два'знака — плюс и минус, что |
соответствует обобщенной |
||||||
системе полярных координат, а потому и в формулах |
для |
опре |
|||||
деления sin ср и cos <р |
перед корнем стоят два знака |
(рекомендует |
|||||
ся ознакомиться |
в |
учебнике И. И. |
Привалова |
с |
замечанием |
к § И, гл. 1). Два знака в формуле для определения г появи
лись |
потому, что г |
находится из |
выражения |
г2 = х2+ |
У2. Если |
||||||||||
за |
г |
оставляется |
право быть |
только величиной положительной |
|||||||||||
или |
нулем, |
то г = |
-f Y х2+ у2. |
Если же г, как |
это |
имеет |
места |
||||||||
в обобщенной системе полярных |
координат, |
может |
быть и отри |
||||||||||||
цательной |
величиной, |
то |
из |
г2 —х2 -f- у2 |
следует, |
|
что |
г = |
|||||||
= ± Ух2-f- у2. |
укажём, |
как |
вести |
вычисления |
по |
форму |
|||||||||
|
В |
заключение |
|||||||||||||
лам |
|
(7, 2), |
чтобы |
по |
известным |
прямоугольным |
координатам |
||||||||
точки найти ее полярные координаты. Прежде |
всего следует оп |
||||||||||||||
ределить г, выбрав перед корнем любой знак, |
затем |
вычислить |
|||||||||||||
sin ср |
и cos ср, сохранив |
перед корнем в |
формулах (7, 2) |
уже вы |
бранный знак, и по знакам sincp и cosep установить четверть, в
которой находится полярный угол ср. Само вычисление угла ® по таблицам тригонометрических функций следует вести по фор муле (7, 3).
Укажем также, как следует в полярной системе координат построить точку М по ее полярным координатам г и ср. По за данному полярному углу ср строим ось, проходящую через полюс
под углом ср к полярной оси, причем положительное |
направле |
||
ние построенной оси должно совпадать с |
тем направлением, |
ко |
|
торое имела бы полярная ось, если бы ее |
повернули |
против |
ча |
совой стрелки на угол ср. На этой оси откладываем отрезок дли
ной | г | от полюса |
О в положительном |
направлении |
построенной |
|
оси, если г > 0, и |
в отрицательном — |
если г < |
0. |
|
Задача 7, 1. Построить точку М с |
координатами |
^3, + ^-j в |
||
полярной системе |
координат (фиг. 7, |
1). |
|
|
Р е ш е н и е . Проведем через полюс О ось |
ОР1 под углом |
к полярной оси ОР (положительное направление указано стрел кой) и отложим от полюса в положительном направлении оси ОР1 отрезок ОМ, равный трем единицам масщтаба. Конец М этого отрезка и будет искомой точкой.
Задача 7, 2. Построить в полярной системе координат точку
* ( « . т )
Р е ш е н и е . Проведем через полюс |
О ось |
OP^ под |
углом ^ |
|
к полярной оси (положительное направление |
указано |
стрелкой |
||
на фиг. 7, 2) и отложим от полюса |
в |
положительном направле |
||
нии оси ОРх отрезок ОМ* |
равный |
|||
одной |
ед. |
масштаба. Конец этого |
||
отрезка |
М |
и будет искомой точкой* |
Задача 7, 3. Построить в полярной системе координат точку М ( ~ 2,
Р е ш е н и е . Проведем через полюс О ось ОЯ, под углом те
к полярной оси (положительное направление на ней указано стрелкой на фиг. 7, 3) и отложим от полюса в отрицательном на правлении оси 0Рг отрезок ОМ, равный двум ед. масшт. Конец этого отрезка и будет искомой точкой.
Задача 7, 4 (для самостоятель ного решения). В полярной си стеме координат построить точку
Задача 7, 5. Прямоугольные координаты точки А (2, 3). Найти ее полярные координаты.
Р е ш е н и е . По формулам (7,2) получаем г = ±1^13. Выби раем по нашему усмотрению знак перед корнем, например, плюс.
Тогда г — 1/13, sintp = c°s у = у=^ • Так как sin <р > О
и coscp>0, то угол ср находится в первой четверти. На основа-
нии формулы (7, 3) tg <р= -3J ; по таблицам находим, что ср = 0,98.
Полярные координаты точки А найдены: |
г = УТЗ, |
ср = 0,98 или |
|||||
А ( V 13; |
0,98). Постройте точку. Если бы перед корнем был вы |
||||||
бран знак минус, то тогда |
г = — УТЗ: sin ер = |
— |
; cos ср = — |
||||
2 |
и так |
как sin <р < 0 и cos ср < |
0, |
то угол ср |
находится в |
||
— rp=L, |
|||||||
третьей |
четверти. Зная, что |
з |
получаем |
ср = |
4, 12, а точ |
||
tg <р = у , |
|||||||
ка А |
имеет |
полярные |
координаты |
г = |
— УТЗ, ср = 4, 12; |
А (— УТЗ, 4,12). Постройте точку по этим координатам и убе дитесь, что она совпала с ранее построенной.
Задача 7, 6 (для самостоятельного решения). Найти полярные координаты точки А, прямоугольные координаты которой ( ~ 1, - 1).
С в е т . |
| . ) ИЛИ А ^— У 2, У itj. |
Задача 7, 7 (для самостоятельного решения). Прямоугольные координаты точки А (2, — 2). Найти ее полярные координаты.
Ответ . Л ^2У2, у icj или Л | — 2У 2, -|-itj.
Задача 7, 8. Найти прямоугольные координаты точки Л, по
лярные координаты которой ^2, |
-1 u j . |
Р е ш е н и е . По формулам перехода (7, 1) |
|
x — r cosf, |
y = r sincp |
получаем
* = 2co sy = 2- ^ = У 2; x = V%
у = 2sin-J- = 2. iQ i = Y % у = У 2.
Задача 7, 9. Найти прямоугольные координаты точки, поляр
ные координаты которой Л | — 3, у u j .
Р е ш е н и е .
х — г cos ср, |
у = |
г sin ср, |
|
х = |
5 |
у = |
5 |
— 3 cos у it, |
— 3 sin у it, |
||
X = |
3 / 2 |
У = |
З У 2 |
|
2 . |
» — |
2 |
Задача 7, 10 (для самостоятельного решения). Найти прямо угольные координаты точки Л, полярные координаты которой
(2. f *)*
Ответ , х — 0; у = — 2.
Задача 7,11. Составить уравнение прямой линии в полярных координатах.
Р е ш е н и е . Поместим полюс полярной системы координат в начало прямоугольной системы координат, полярную ось сов местим с положительной полуосью абсцисс (фиг. 7, 4)*.
Возьмем уравнение прямой в нормальном виде
XCOS а + у Sin а — р = 0.
Формулы перехода (7, 1) имеют вид
;c = rcos<p, г/ = г sin <р.
*
Подставив в это уравнение значения х и |
у из формулы |
|
(7,1), получим |
rcostp • cos а + rsincp • sina — р == 0, |
|
или |
г (cos ср• cos a-f-sin ср • sin а) — р = |
0, |
откуда |
г cos (<р — а) = р, |
|
и окончательно |
г — — ■£— г . |
|
|
COS (<р — а) |
|
В этом уравнении постоянными величинами являются р и а, величины же г и ср — переменные: это текущие полярные коорди наты точки на прямой (последняя формула может быть получена
также из |
чертежа). |
|
кривую г — a.cos2ep и найти |
ее урав |
||||
Задача |
7, 12. |
Построить |
||||||
нение в прямоугольной системе координат. |
|
|
||||||
Р е ш е н и е . |
Будем |
давать значения полярному углу ср от |
||||||
ср = 0 до ср = 2~ через |
промежуток a = у |
и |
вычислим |
соответ |
||||
ствующие значения г. |
Найденные |
значения |
поместим в таблицу. |
|||||
Примем произвольный |
отрезок |
за единицу масштаба, |
которой |
|||||
мы будем |
пользоваться при |
построении |
г. |
По значениям г и 9 |
||||
из таблицы построим точки, |
соответствующие каждой паре чисел |
|||||||
г и ср, и соединим их плавной кривой. |
|
|
|
|
2? |
0 |
0 |
тс |
тс |
8 |
4 |
тс |
тс |
т |
т |
Зтс |
Зтс |
“8 |
Т |
тс |
|
т |
тс |
|
|
5тс |
5тс |
тг |
т |
Зтс |
Зтс |
4 |
т |
7тс 7тс
Т4
тс |
| |
2тсs |
г = a cos 2ср
а
. / 2 2
0
—а
V 2
~“ а 2
rv
и
e V T
а
<Р |
2<е |
г = а cos 2ср |
|
9тс |
9тс |
а / 2 |
|
Т |
4 |
а ~ |
|
5тс |
5тс |
0 |
|
Т |
Т |
||
|
|||
Итс |
11тс |
V2 |
|
Т |
4 |
2 |
|
Зтс |
Зтс |
—OL |
|
Т |
|||
|
|
||
1 Зтс |
13тс |
Y2 |
|
8 |
4 |
а ~ Т |
|
7тс |
7тс |
0 |
|
Т |
т |
||
|
|||
15тс |
15тс |
„ / 2 |
|
8 |
4 |
2 |
|
2тс |
4тс |
а |
Построение кривой показано на |
фиг. 7, 5—7, 12. |
|
На |
фиг. 7, 13 кривые, построенные на различных этапах, сое |
|
динены |
одну. Полученная кривая |
называется четырехлепестко |
вой розой.
Теперь найдем уравнение четырехлепестковой розы в прямо угольной системе координат, причем напоминаем, что начало
прямоугольной системы координат помещено |
в полюс |
полярной |
|||||||
системы координат, а ось абсцисс направлена вдоль |
полярной |
||||||||
оси. |
|
что cos 2<р = cos2ср— sin2ср, |
|
|
|
|
|||
Учитывая, |
уравнение четырехле |
||||||||
пестковой |
розы |
г = |
a cos 2ср |
перепишем |
в |
виде |
г — a (cos2ср — |
||
— sin® ср). Подставляя |
сюда |
формулы перехода |
(7,2), |
получим |
|||||
ИЛИ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
± t f F |
T |
P |
- « |
£ £ |
|
|
|
|
|
Отсюда
± V х 2+ у2 (х2+ у2) —
— а (х2— у2).
Возводя обе части последне го уравнения в квадрат, полу чим окончательно
(х2 + У2)3 = а2 (я2 — У2)2.
Задача 7,13 (для самостоя тельного решения). Построить кривую
г= 4 cos Зср
инайти ее уравнение в прямоугольных координатах при условии, что начало прямоугольных координат совпадает с полюсом поляр ной системы координат, а положительная полуось абсцисс совпа дает с полярной осью.
Ук а з а н и е . Углу ср придавать значения от 0 до тс через про
межуток а = |
т. е. значения |
Постройте, точки с координатами (г, ср) и соедините их плавной кривой (фиг. 7, 14—7, 18). Точки кривой для значений тс < ср < 2тс (фиг. 7,16 и 7,17) совпадут с построенными на фиг. 7,14 и 7,15.
Кривая г = 4 cos Зср называется трехлепестковой розой (фиг. 7,18). Для преобразования уравнения этой кривой к прямоугольным ко ординатам надо выразить cos Зср через cos ср:
cos Зср = cos (2ср + ср) = cos 2ср • cos ср— sin 2ср |
• sin ср |
(использовать, что cos 2ср = cos2ср— sin2ср, sin 2ср |
= 2sin ср• cos <р, |
и учесть, что sin2ср= 1— cos2cp). Окончательно |
|
cos Зср = 4 cos3 — 3 cos ср. |
|
Фиг. 7,17. |
Фиг. 7,18. |
Уравнение кривой r = 4cos3cp перепишется теперь в виде г = 4 (4 cos2<р— 3 cos ср),
или
г = 16 cos3<р— ] 2cos ср. Применить формулы (7, 2).
Ответ , (х2+ у2)2 = 4х (х2— 3у2).
Задача 7, 14 (для самостоятельного решения).
Построить кривую r = 5sin3cp и найти ее уравнение в прямо
угольной |
системе координат |
полагая, |
что |
начало прямоугольной |
||||||||||
системы |
координат |
совпадает с |
по |
|
|
|
|
|
|
|||||
люсом полярной системы |
координат, |
|
|
|
|
|
|
|||||||
а положительная |
полуось |
абсцисс — |
|
|
|
|
|
|
||||||
с полярной осью. |
|
самостоятель |
|
|
|
|
|
|
||||||
Задача |
7, 15 |
(для |
|
|
|
|
|
|
||||||
ного решения). Построить лемниска |
|
|
|
|
|
|
||||||||
ту Бернулли |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
г2= |
6sin 2ср |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
и найти ее уравнение в прямоуголь |
|
|
|
|
|
|
||||||||
ной системе координат при распо |
|
|
|
|
|
|
||||||||
ложении осей координат, |
указанном |
|
|
|
|
|
|
|||||||
в предыдущей задаче. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
О тв е т . |
Кривая |
изображена |
на |
|
|
|
|
|
|
|||||
фиг. 7, 19. |
7, 16. |
Построить |
кривую |
|
|
|
|
|
|
|||||
Задача |
(а > 0). |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
(х2+ у2)2^2ах* |
|
|
|
|
||||||
У к а з а н и е . |
Найти полярное |
уравнение |
кривой. |
Поместить |
||||||||||
полюс в начало прямоугольной системы координат, |
а |
полярную |
||||||||||||
ось совместить с положительной частью оси |
абсцисс. Воспользо |
|||||||||||||
ваться формулами (7,1). Уравнение данной кривой |
в |
полярных |
||||||||||||
координатах имеет |
вид |
г = 2а cos3ср. |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Из рассмотрения |
данного |
уравнения мы заключаем, |
что при лю |
|||||||||||
бых значениях х, и у его левая часть не |
отрицательна, так |
как |
||||||||||||
она содержит квадрат суммы х2+ у2. Значит, |
и правая |
его |
часть |
|||||||||||
2ах? (а > |
0) не может быть отрицательной, |
т. |
е. х не может при |
|||||||||||
нимать отрицательных значений. Это говорит |
о том, |
что вся кри |
||||||||||||
вая будет |
расположена |
вправо от оси Оу. |
на —у |
не |
изменяет |
|||||||||
Так как замена в данном |
уравнении у |
уравнения, то очевидно, что кривая расположена симметрично
относительно оси абсцисс. Значит, достаточно |
построить |
кривую |
||
в первой четверти, а |
затем симметричную ей часть — в четвертой |
|||
четверти. Эти соображения говорят о том, что |
полярному |
углу ср |
||
в уравнении данной |
кривой r = 2acos3cp |
следует придавать зна |
||
чения только от ср = |
0 до ср = у . Таким |
образом, это |
простое |
исследование помогло нам значительно упростить вычисления, так как теперь, вместо того, чтобы придавать полярному углу <р зна чения от <р = 0 до «р = 2ic, мы ограничимся значениями для ® только из первой четверти (кривая изображена на фиг. 7,20).
Задача 7,17 (для самостоятельного решения). Построить кри вую
хв = 4 (х4— у4). |
|
У к а з а н и е . Прежде всего усматриваем, что замена х на |
—я |
и у на —У не изменяет уравнения кривой. Это говорит о |
том, |
что кривая |
расположена симметрично относительно координатных |
||||
осей. Поэтому достаточно построить |
кривую только |
в |
первой |
||
четверти, а |
потом, учитывая симметрию ее |
относительно |
коорди- |
||
я |
натных осей, |
построить |
ее |
в трех |
|
|
остальных |
четвертях. |
|
|
Фиг. 7,20. |
Фиг. 7,21. |
Перейдем к полярной системе координат, расположив ее так, как было указано в предыдущей задаче. Используя формулы (7, 1), получим уравнение кривой в полярной системе координат
_ 2 У cos 2?
^’ cos* ср
Так как полярный радиус г может принимать только действительные значения, то cos2<p, стоящий под знаком корня в полу ченном уравнении, не может быть отрицательным, т. е. должно быть cos2<p>0. Эго значит, что угол 2ср должен находиться или в первой, или в четвертой четверти. Но мы уже выяснили, что достаточно построить кривую только в первой четверти, а поэтому будем рассматривать значения 2ср, удовлетворяющие условию
0 < 2<р < у . Отсюда следует, что для построения кривой в пер вой четверти углу ip следует придавать значения от <р= 0 до <р= = у . Эскиз кривой показан на фиг. 7, 21.
Задача 7.18 (для самостоятельного решения). Построить спи раль Архимеда г = аср (а > 0).