книги / Сборник задач по аналитической геометрии
..pdf§14] НОРМАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ 41
314. Точка А (2; —5) является вершиной квадрата, одна из сто рон которого лежит на прямой х —2т/ — 7 = 0. Вычислить площадь этого квадрата.
315. Даны уравнения двух сторон прямоугольника З т - 2 у - 5 = 0, 2х+8у+7 = 0 и одна из его вершин А ( - 2; 1). Вычислить площадь этого прямоугольника.
316. Доказать, что прямая 2х + у + 3 = 0 пересекает отрезок, ограниченный точками А ( - 5 ; 1) и В ( 3; 7).
317. Доказать, что прямая 2я-3?/+6 = 0 не пересекает отрезка, ограниченного точками M i (—2; - 3 ) и М-2 (1; -2 ) .
318. Последовательные вершины четырехугольника суть точки i4 ( - 3 ;5 ) , В { - 1 ; - 4 ) , ( 7 ( 7 ;- 1 ) и 17(2; 9). Установить, является ли этот четырехугольник выпуклым.
319 . Последовательные вершины четырехугольника суть точки
А ( - 1; 6), |
В ( 1; - 3 ) , (7(4; 10) и /7(9; 0). |
Установить, |
является |
ли |
|
этот четырехугольник |
выпуклым. |
|
|
|
|
320 . Даны вершины |
треугольника |
А (-1 0 ; -1 3 ), |
В ( - 2; 3) |
и |
|
С (2; 1). |
Вычислить длину перпендикуляра, опущенного из вер |
||||
шины В |
на медиану, проведенную из вершины С. |
|
|
321 . Стороны А В , В С и С А треугольника АВС соответственно даны уравнениями х+ 21у -22 = 0, 5ж -12у+7 = 0, 4s-33i/+146 = 0. Вычислить расстояние от центра масс этого треугольника до стороны В С .
3 22 . Вычислить расстояние d между параллельными прямыми в каждом из следующих случаев:
1) |
За; — 4j/ — 10 |
= |
0, |
6 х - 8 у + 5 = 0; |
|
2) |
5х - |
12у + 26 = 0, |
5я — 12у - 13 = 0; |
||
3) |
4х - |
Зу + 15 |
= |
0, |
8 х - 6 у + 25 = 0; |
4) |
24х - |
10у + |
39 = 0, |
12т - Ъу - 26 = 0. |
323 . Д ве стороны квадрата лежат на прямых 5х - 12у - 65 = 0, 5х —12у + 26 = 0. Вычислить его площадь.
3 24 . Д оказать, что прямая 5ж — 2т/ —1 = 0 параллельна прямым 5т - 2у + 7 = 0, 5т — 2у — 9 = 0 и делит расстояние между ними пополам.
325 . Даны параллельные прямые 10T +15I/ -3 = 0, 2т+37/+5 = 0, 2 т +32/ — 9 = 0. Установить, что первая из них лежит между двумя другими, и вычислить отношение, в котором она делит расстояние между ними.
3 26 . Доказать, что через точку Р (2; 7) можно провести две прямые так, чтобы их расстояния от точки Q (1; 2) были равны 5. Составить уравнения этих прямых.
327 . Доказать, что через точку Р (2; 5) можно провести две прямые так, чтобы их расстояния от точки Q (5; 1) были равны 3. Составить уравнения этих прямых.
42 ЛИНИИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА [Гл. 3
328. Доказать, что через точку С (7; —2) можно провести толь ко одну прямую тале, чтобы расстояние ее от точки А (4; —6) было
равно 5. Составить ее уравнение. |
В (4; —5) невозможно |
|
329. Доказать, что через точку |
прове |
|
сти прямую так, чтобы расстояние |
ее от точки С ( - 2 ;3 ) |
было |
равно 12. |
|
|
330. Вывести уравнение геометрического места точек, отклоне ние которых от прямой 8х — 15у — 25 = 0 равно —2.
331. Составить уравнение прямых, параллельных прямой Зх —
— 4у — 10 = 0 и отстоящих от нее на расстояние d = 3.
332. Даны две смежные вершины квадрата А (2; 0) и В (—1; 4). Составить уравнения его сторон.
333. Точка А {5; —1) является вершиной квадрата, одна из сто рон которого лежит на прямой 4х —Зу—7 = 0. Составить уравнения
прямых, на которых лежат остальные стороны этого квадрата. |
|
||
334. Даны уравнения двух |
сторон квадрата |
4х — Зу + 3 = |
0, |
4х - Зу - 17 = 0 и одна из |
его вершин А {2 ; - 3 ) . Составить |
||
уравнения двух других сторон этого квадрата. |
|
|
|
335. Даны уравнения двух |
сторон квадрата |
5х + 12у - 10 = |
0, |
5х+ 12у+ 29 = 0. Составить уравнения двух других его сторон при условии, что точка М\ ( - 3 ; 5) лежит на стороне этого квадрата.
336. Отклонения точки М от прямых |
5х - |
12у - 13 |
= 0 и |
|
Зх — 4у — 19 = 0 равны соответственно —3 |
и |
—5. |
Определить |
|
координаты точки М. |
|
|
|
|
337. Составить уравнение прямой, проходящей |
через |
точку |
Р { - 2; 3) на одинаковых расстояниях от точек А (5; - 1 ) и В (3; 7). 338. Составить уравнение геометрического места точек, равно
удаленных от двух параллельных прямых:
1) |
Зх — у + 7 = |
0, |
Зх — у — 3 = 0j |
2) |
х — 2у + 3 = |
0, |
х —2у + 7 = 0; |
3) |
5х - 2у - 6 = 0, |
10х - 4у + 3 = 0. |
339. Составить уравнения биссектрис углов, образованных дву
мя пересекающимися прямыми: |
|
||||||
1) |
х - |
Зу + |
5 |
= |
0, |
Зх - у - 2 = |
0; |
2) |
х - |
2у - |
3 |
= |
0, |
2х + 4у + 7 = 0; |
|
3) |
Зх + 4у - |
|
1 = |
0, |
5х + 12у - |
2 = 0. |
340. Составить уравнения прямых, которые проходят через точ ку Р (2; - 1 ) и вместе с прямыми 2х - у + 5 = 0, Зх + 6у — 1 = 0 образуют равнобедренные треугольники.
341 . Определить, лежат ли точка М (1; - 2 ) и начало координат в одном, в смежных или вертикальных углах, образованных при
пересечении двух прямых: |
|
|
||||
1) |
2х - у - |
5 = |
0, |
Зх + у + |
10 = 0; |
|
2) |
4х + Зу - |
10 = 0, |
12х - |
5у - |
5 = 0; |
|
3) |
х - 2у — 1 = |
0, |
Зх — у — 2 = |
0. |
§15] |
УРАВНЕНИЕ ПУЧКА ПРЯМЫХ |
43 |
342. Определить, леж ат ли точки М (2; 3) и N (5; - 1 ) |
в одном, |
в смежных или вертикальных углах, образованных при пересече нии двух прямых:
1) |
х - Зу - 5 = |
0, |
2х + |
9у - 2 |
= 0; |
2) |
2х + 7у — 5 = |
0, |
х + |
Зу + 7 |
= 0; |
3) |
1 2 х + у — 1 = 0 , Ш |
+ 2 у - 5 = 0. |
343. Определить, лежит ли начало координат внутри или вне треугольника, стороны которого даны уравнениями 7 х -5 у -1 1 = 0,
Зх + Зу + 31 = 0, х + 8у - 19 = |
0. |
|
344. Определить, лежит ли |
точка |
М ( - 3 ;2 ) внутри или вне |
треугольника, стороны которого даны |
уравнениями х + у - 4 = 0, |
|
Зх - 7у + 8 = 0, А х - у - 3 1 = 0. |
|
345. Определить, какой из углов, острый или тупой, образо ванных двумя прямыми Зх - 2у + 5 = 0 и 2х + у - 3 = 0, содержит начало координат.
346. Определить, какой из углов, острый или тупой, образо ванных двумя прямыми За: — 5т/ — 4 = 0 и х + 2 у + 3 = 0, содержит точку М (2; - 5 ) .
347. Составить уравнение биссектрисы угла между прямыми З х - у - 4 = 0 и 2х + 6у + 3 = 0, в котором лежит начало координат.
348. Составить |
уравнение биссектрисы |
угла |
между |
прямыми |
||
я - 7у + 5 = 0, 5х + 5у — 3 = |
0, смежного |
с углом, содержащим |
||||
начало |
координат. |
|
|
|
|
|
349 . |
Составить |
уравнение |
биссектрисы |
угла |
между |
прямыми |
х + 2 у - 1 1 = 0 и Зх —6у —5 = 0, в котором лежит точка М (1; - 3 ) . 350. Составить уравнение биссектрисы угла между прямыми 2а; — Зз/ — 5 = 0, 6х —Ау + 7 = 0, смежного с углом, содержащим
точку (7(2; - 1 ) .
351 . Составить уравнение биссектрисы острого угла, образо ванного двумя прямыми Зх + Ау - 5 = 0, 5х - 12у + 3 = 0.
352 . Составить уравнение биссектрисы тупого угла, образован ного двумя прямыми х — Зу + 5 = 0, Зх —у + 1 5 = 0.§
§ 1 5 . У р авн ен и е п уч к а прям ы х
Совокупность прямых, проходящих через некоторую точку S, называется пучком прямых с центром S.
Если А\х + В\у + Ci = 0 и А^х + ВгУ + Сг = 0 — уравнения двух прямых,
пересекающихся в точке S, то уравнение |
|
Q (A I X + В\у + C i) + Р (Л гх + Вгу + Сг) = 0, |
(1) |
где а , 0 — какие угодно числа, не равные одновременно нулю, определяет пря мую, также проходящую через точку S.
Более того, в уравнении (1) числа а , 0 всегда возможно подобрать так, что
бы оно определило любую (заранее назначенную) прямую, проходящую через точку S, иначе говоря, любую прямую пучка с центром S. Поэтому уравнение вида (1) называется уравнением пучка (с центром 5).
44 ЛИНИИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА [Гл. 3
Если а ф 0, то, деля |
обе части уравнения (1) |
на а |
и полагая (З/а |
= А, |
получим |
|
|
|
|
A ix + |
В\у + Ci + А (А21 + В2 У + |
С2 ) = |
0. |
(2) |
Этим уравнением можно определить любую прямую пучка с центром S , кро ме той, которая соответствует о = 0, т. е. кроме прямой
А2 Х + В2 У + С2 = 0 .
353. Найти центр пучка прямых, данного уравнением
а (2я + Зу — 1) + 0 (я - 2у — 4) = 0.
354. Найти уравнение прямой, принадлежащей пучку прямых а (я + 2у - 5) + 0 (Зя - 2у + 1) = 0 и
1)проходящей через точку А (3; —1);
2)проходящей через начало координат;
3)параллельной оси Ох;
4)параллельной оси Оу;
5) |
параллельной прямой 4я + Зу + 5 = 0; |
6) |
перпендикулярной к прямой 2х + Ъу + 7 = 0. |
355. Составить уравнение прямой, проходящей через точку пе
ресечения прямых Ъх - 2 у + 5 = 0, |
4х + Зу — 1 = 0 |
и отсекающей |
на оси ординат отрезок b = —3. |
Решить задачу, |
не определяя |
координат точки пересечения данных прямых. |
|
356. Составить уравнение прямой, которая проходит через точ ку пересечения прямых 2х + у —2 = 0, х —5у — 23 = 0 и делит пополам отрезок, ограниченный точками Mi (5; —6) и М2 (—1; —4). Решить задачу, не вычисляя координат точки пересечения данных прямых.
357. Дано уравнение пучка прямых
а (Зт — 4у - 3) + Р {2 х + Зу - 1) = 0.
Написать уравнение прямой этого пучка, проходящей через центр масс однородной треугольной пластинки, вершины которой суть точки А ( - 1; 2), В (4; - 4 ) и С (6; - 1 ) .
358. Дано уравнение пучка прямых
а (За; - 2у - 1) + /3 {4х - Ьу + 8) = 0.
Найти прямую этого пучка, проходящую через середину отрезка
прямой я+ 2у + 4 = 0, заключенного между прямыми |
2я+ З у + 5 = 0, |
||
х + 7у - 1 = 0. |
|
|
|
359 . Даны уравнения сторон |
треугольника х + |
2у |
- 1 = 0, |
Ьх + 4у - 17 = 0, х - 4у + 11 |
= 0. Не определяя |
координат |
|
его вершин, составить уравнения |
высот этого треугольника. |
360 . Составить уравнение прямой, проходящей через точку пе ресечения прямых 2х + 7у - 8 = 0, Зя + 2у + 5 = 0 под углом 45°
§ 15] УРАВНЕНИЕ ПУЧКА ПРЯМЫХ 45
к прямой 2х + Зу —7 = 0. Решить задачу, не вычисляя координат точки пересечения данных прямых.
361. В треугольнике А ВС даны уравнения высот AN-. х + Ь у - - 3 = 0, высоты BN : х + у - 1 = 0 и стороны АВ: ж 4- Зу —1 = 0. Не определяя координат вершин и точки пересечения высот тре угольника, составить уравнение двух других сторон и третьей высоты.
362. Составить уравнения сторон треугольника АВС, зная одну его вершину А (2; —1), а также уравнения высоты 7х-10?/ + 1 = 0 и биссектрисы Зж — 2j/ + 5 = 0, проведенных из одной вершины. Решить задачу, не вычисляя координат вершин В и С.
363 . Дано уравнение пучка прямых а (2х+у+8)+(3 (x+i/+3) = 0. Найти прямые этого пучка, отрезки которых, заключенные между прямыми х —у —5 = 0, х - у - 2 = 0, равны -/б".
3 64 . Дано уравнение пучка прямых
а (Зх + у - 1) + 0 (2х - у - 9) = 0.
Доказать, что прямая х + Зу + 13 = 0 принадлежит этому пучку. 365 . Дано уравнение пучка прямых
а (5х + Зу + 6) + Р (Зж — 4у —37) = 0.
Доказать, что прямая 7х + 2 у —15 = 0 не принадлежит этому пучку.
3 66 . Дано уравнение пучка прямых
а (Зх + 2у - 9) + 0 (2х + by + 5) = 0.
Найти, при каком значении С прямая 4х - Зу + С = 0 будет принадлежать этому пучку.
36 7 . Дано уравнение пучка прямых
а (5ж + Зу - 7) + (3 (За; + Юу + 4) = 0.
Найти, при каких значениях а прямая ах + by + 9 = 0 не будет принадлежать этому пучку.
3 68 . Центр пучка прямых а (2х - Зу + 20) + /? (Зх + Ьу - 27) = 0 является вершиной квадрата, диагональ которого лежит на пря мой х + 7у — 16 = 0. Составить уравнения сторон и второй диаго нали этого квадрата.
3 69 . Дано уравнение пучка прямых
а (2х + by + 4) + (3(Зх - 2у + 25) = 0.
Найти прямую этого пучка, отсекающую на координатных осях отличные от нуля отрезки равной величины (считая от начала координат).
3 70 . Дано уравнение пучка прямых
а (2х + у + 1) + /3 (х - 3у - 10) = 0.
Найти прямые этого пучка, отсекающие на координатных осях отрезки равной длины (считая от начала координат).
46 ЛИНИИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА [Гл. 3
371. Дано уравнение пучка прямых
а (21® + 8у - 18) + Р (11® + 3у + 12) = 0.
Найти прямые этого пучка, отсекающие от координатных углов треугольники с площадью, равной 9.
372. Дано уравнение пучка прямых
а (2® + у + 4) + (3 (® - 2 у - 3) = 0.
Доказать, что среди прямых этого пучка существует только одна прямая, отстоящая от точки Р ( 2; —3) на расстояние d = у/ТО. Написать уравнение этой прямой.
373 . Дано уравнение пучка прямых а (2 х - у - 6 )+ Р (х - у - 4 ) = 0. Доказать, что среди прямых этого пучка нет прямой, отстоящей от точки Р (3; —1) на расстояние d = 3.
374. Составить уравнение прямой, проходящей через точку пе
ресечения |
прямых 3® + 2/— 5 = 0, ® - 2у + 10 = 0 и |
отстоящей |
|
от точки |
С (—1; —2) н а . расстояние d = |
5. Решить |
задачу, не |
вычисляя координат точки пересечения данных прямых. |
|||
375 . Дано уравнение пучка прямых |
|
|
|
|
а (5® + 2у + 4) -I- /3 (® + 9у - |
25) = 0. |
|
Написать уравнения прямых этого пучка, которые вместе с пря мыми 2® — 32/ + 5 = 0, 12® Ч- 8i/ — 7 = 0 образуют равнобедренные треугольники.
376. Составить уравнение прямой, которая проходит через точ ку пересечения прямых 1 1 ® + З у -7 = 0, 12® +?/-19 = 0 на одина ковых расстояниях от точек А (3; —2) и В ( —1; 6). Решить задачу, не вычисляя координат точки пересечения данных прямых.
377 . Даны уравнения двух пучков прямых
<*i (5® + |
Зу - 2) + /?! (3® - |
у - 4) = |
0, |
ос2 (х - |
у + 1 ) + Р2 (2а; “ |
У ~ 2) = |
0. |
Не определяя их центров, составить уравнение прямой, принад лежащей обоим пучкам.
378 . Стороны А В У В С , CD и DA четырехугольника A BC D заданы соответственно уравнениями 5® +у+13 = 0, 2®—7у—17 = 0, 3® + 2у - 1 3 = 0, 3® - 4у + 1 7 = 0. Не определяя координат вершин этого четырехугольника, составить уравнения его диагоналей АС
и BD .
379. Центр пучка прямых а (2® + Зу + 5) + (5 (3® - у + 2) = 0 является одной из вершин треугольника, две высоты которого даны уравнениями ® - 4у + 1 = 0, 2® + у + 1 = 0. Составить уравнения сторон этого треугольника.
§ 16. Полярное уравнение прямой
Прямая, проведенная через полюс перпендикулярно к данной прямой, назы вается ее нормалью. Обозначим буквой Р точку, в которой нормаль пересекает
§ 16] ПОЛЯРНОЕ УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ 47
прямую; установим на нормали положительное направление от точки О к точ ке Р. Угол, на который нужно повернуть полярную ось до наложения ее на отрезок ОР, будем называть полярным углом нормали.
380. Вывести полярное уравнение прямой, зная ее расстояние от полюса р и полярный угол нормали а.
Р еш ен и е . 1-й сп о со б . На данной прямой s (рис. 11) возьмем произволь
ную точку М с полярными координатами р к в . Точку пересечения прямой s с ее нормалью обозначим буквой Р. Из прямо угольного треугольника ОРМ находим:
— Р
Р~ cos (0 —а) '
Мы получили уравнение с двумя перемен ными р и в, которому удовлетворяют коорди наты всякой точки М , лежащей на прямой s, и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на этой прямой. Следовательно, уравнение (1) является уравнением прямой s.
Таким образом, задача решена.
2-й с п о со б . Будем рассматривать декартову прямоугольную систему ко ординат, положительная полуось абсцисс которой совпадает с полярной осью
заданной полярной системы. В этой декартовой системе |
имеем нормальное |
уравнение прямой s: |
|
х cos а + у sin а - р = 0. |
(2) |
Воспользуемся формулами преобразования полярных координат в декартовы:
x = p co s 0, |
y = p sin 0. |
(3) |
Подставим в уравнение (2) вместо х и у выражения (3), получим |
|
|
р (cos в cos а. + sin в sin а) = р |
|
|
или |
р |
|
_ |
|
Р ~ cos (0 - а) '
381 . Вывести полярное уравнение прямой, если даны:
1) угол Р наклона прямой к полярной оси и длина перпен дикуляра р, опущенного из полюса на эту прямую; написать уравнение этой прямой в случае /3 = 7г/б, р = 3;
2) отрезок а, который отсекает прямая на полярной оси, считая от полюса, и полярный угол а нормали этой прямой; написать уравнение этой прямой в случае а = 2, а = —2тг/3;
3) угол Р наклона прямой к полярной оси и отрезок а, который отсекает прямая на полярной оси, считая от полюса; написать
уравнение этой прямой в |
случае р = тг/б, о = 6. |
|
|||||
3 82 . Вывести |
полярное |
уравнение |
прямой, проходящей |
через |
|||
точку М\{рх\0 i) |
|
и наклоненной к полярной оси под углом р. |
|||||
3 83 . Вывести |
полярное |
уравнение |
прямой, проходящей |
через |
|||
точку |
0 i), |
полярный |
угол нормали которой равен а. |
||||
3 84 . Составить |
уравнение |
прямой, |
проходящей через |
точки |
|||
M i (рх; 0i) |
и М2 (р2; 02). |
|
|
|
|
Г л а в а ч е т в е р т а я
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ЛИНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА
§ 17. Окружность
Уравнение |
|
( x - a ) 2 + ( s - ( 3 )2 = K2 |
(1) |
определяет окружность радиуса Я с центром С (а ; 0). |
|
Если центр окружности совпадает с началом координат, т. е. если |
а = О, |
0 = 0, то уравнение (1) принимает вид |
|
x2 + y2 = R2. |
(2) |
385. Составить уравнение окружности в каждом из следующих случаев:
1) центр окружности совпадает с началом координат и ее ра диус Д = 3;
2) центр окружности совпадает с точкой С {2; - 3 ) и ее радиус
R = 7;
3)окружность проходит через начало координат и ее центр совпадает с точкой С (6; - 8 ) ;
4)окружность проходит через точку А (2; 6) и ее центр совпа дает с точкой С ( - 1 ; 2);
5)точки Л (3; 2) и В ( —1; 6) являются концами одного из диа метров окружности;
6)центр окружности совпадает с началом координат и прямая
Зх — 4у + 20 = 0 является касательной к окружности; |
|
|
|||||
7) |
центр окружности |
совпадает с |
точкой С (1 ; - 1 ) |
и прямая |
|||
Ьх — 12т/ + 9 = 0 является |
касательной |
к |
окружности; |
|
|
||
8) |
окружность проходит через |
точки |
А (3; 1) и В ( - 1 ; 3), а |
ее |
|||
центр |
лежит на прямой За; - у - |
2 = 0; |
|
|
|
||
9) |
окружность проходит через |
три |
точки А ( 1; 1), |
В (1; - 1 ) |
и |
||
С ( 2; 0); |
|
|
точки: Мг ( - 1 ; |
5), М2 ( - 2 ; |
|||
10) |
окружность проходит через три |
||||||
- 2 ) и Мз (5; 5). |
|
|
|
|
|
|
§17] |
ОКРУЖНОСТЬ |
|
49 |
|
386 . Точка С (3; - 1 ) является |
центром |
окружности, |
отсекаю |
|
щей на |
прямой 2х - 5у + 18 = 0 |
хорду, длина которой |
равна 6. |
|
Составить уравнение этой окружности. |
|
|
||
387. Написать уравнения окружностей радиуса R = \/б", каса |
||||
ющихся |
прямой х —2у —1 = 0 в |
точке М\ (3; 1). |
|
|
388. Составить уравнение окружности, |
касающейся |
прямых |
||
2х + у - |
5 = 0, 2х + у -I- 15 = 0, |
причем |
одной из них — в точ |
|
ке А ( 2; |
1). |
|
|
|
389 . Составить уравнения окружностей, которые проходят че рез точку 4 (1 ; 0) и касаются прямых 2 х + 1/+2 = 0, 2 х + у - 1&= 0.
390. Составить уравнение окружности, которая, имея центр на прямой 2х+ у = 0, касается прямых 4 х —Зу+10 = 0, 4а:—Зт/—30 = 0.
391. Составить уравнения окружностей, касающихся прямых 7х - у - 5 = 0, х + у + 13 = 0, причем одной из них — в точке Mi (1; 2).
392. Составить уравнения окружностей, проходящих через на чало координат и касающихся прямых х + 2 у -9 = 0, 2 х - у + 2 = 0.
393 . Составить уравнения окружностей, которые, имея центры
на |
прямой |
4х — Ъу —3 = 0, касаются прямых 2х —Зу —10 = 0, |
Зх - |
2у + 5 |
= 0. |
394. Написать уравнения окружностей, проходящих через точ ку ^4 ( —1; 5) и касающихся прямых 3x+4i/—35 = 0, 4х+Зу+14 = 0.
395 . Написать |
уравнения |
окружностей, касающихся |
прямых |
4х —Зу — 10 = 0, |
Зх - 4у —5 = 0 и Зх - 4у — 15 = 0. |
|
|
396. Написать |
уравнения |
окружностей, касающихся |
прямых |
Зх + 4у - 35 = 0, |
Зх - 4у - 35 = 0 и х - 1 = 0. |
|
397. Какие из нижеприводимых уравнений определяют окруж ности? Найти центр С и радиус R каждой из них:
1) |
(у —5)2 + |
(у + 2)2 = |
25; |
|
2) |
(х + 2)2 + у2 = 64; |
|||
3) |
(х —5)2 + |
(у + 2)2 = |
0; |
|
4) |
х2 (у —5)2 = 5; |
|||
5) |
хг + у2 |
- |
2х + 4у - 20 = |
0; |
6) |
х2 + у2 |
- 2х -h 4у + 14 = 0; |
||
7) |
х2 + у2 + 4х - |
2у + 5 = 0; |
8) х2 + у2 + х = 0; |
||||||
9) |
х2 + у2 |
+ 6х - |
4у + 14 = |
0; |
10) |
х2 + у2 |
+ у = 0. |
398, Установить, какие линии определяются следующими урав
нениями: |
|
|
2) |
у = - у / 25 —х2 ; |
|
1) |
у = + V 9 - х2 ; |
|
|||
3) |
х = - у /4 - у2 ; |
|
4) |
х = + у/ 16 — у2 ; |
|
5) |
у = 15 + V 64 - |
х2 ; |
6) |
у = 15 — V 64 — х2 ; |
|
7) |
х = - 2 |
- у /9 - |
у2 ; |
8) |
х = - 2 + \/9-2/2 ; |
9) |
у = - 3 |
— V 21 - |
4х — х2 ; |
10) |
х = - 5 + v/40- б у - у 2 . |
Изобразить эти линии на чертеже.
50 |
|
СВОЙСТВА ЛИНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА |
|
[Гл. 4 |
||||||
|
399. Установить, как |
расположена точка Л (1; —2) |
относитель |
|||||||
но |
каждой |
из следующих |
окружностей— внутри, |
вне |
или |
на |
||||
контуре: 1) |
х2 + у2 = |
1; |
2) |
х2 + у2 = |
5; |
3) х2 + |
у2 = |
9; |
||
4) |
х2 + у2 - 8 х - 4 у - 5 |
= 0; |
5) |
х2 + у2 - |
10х |
+ 8 у = |
0. |
|
|
400. Определить уравнение линии центров двух окружностей,
заданных уравнениями: |
|
|
|
|
||||
1) |
(х - З)2 + у2 = |
9 |
и |
(х + 2)2 + (у - I) |
2 = 1; |
|||
2) |
(х + 2)2 + |
(у - |
I) 2 = |
16 |
и (х + 2)2 + |
(у + 5)2 = 25; |
||
3) |
х2 |
+ у2 - |
4х + 6у = |
0 |
и |
х 2 + у2 - 6х = 0; |
||
4) |
х2 |
+ у2 - |
х + 2у = 0 |
и |
х2 + у2 + 5х + 2у - 1 = 0. |
401. Составить уравнение диаметра окружности х2 + у2 + 4х -
— 6у - 17 = 0, перпендикулярного к прямой 5х + 2у - 13 = 0.
402. Вычислить кратчайшее расстояние от точки до окружно сти в каждом из следующих случаев:
а) Л ( 6 ;- 8 ) , х2 + у2 = 9;
б) |
В (3; 9), |
х2 + у2 - 26х + |
30у + 313 = 0; |
в) |
С ( - 7 ; 2), |
х2 + у2 - 10а? |
- 14у - 151 = 0. |
403. Определить координаты точек пересечения прямой 7 х —у + + 1 2 = 0 и окружности (х — 2)2 + (у — I) 2 = 25.
404. Определить, как расположена прямая относительно окруж ности (пересекает ли, касается или проходит вне ее), если прямая и окружность заданы следующими уравнениями:
1) |
у = 2х —3 |
и |
х2 + у2 - Зх + 2у - |
3 = 0; |
|
|
и I 2 + к2 — 8х + 2у + 1 2 = 0; |
||
3) |
у = х + 10 |
и |
х2 + у2 — 1 = 0. |
|
4 05 . Определить, |
при каких значениях углового коэффициен |
|||
та к прямая у = кх: |
|
|
||
1) |
пересекает окружность х2 + у2 - |
10х + 16 = 0; |
2)касается этой окружности;
3)проходит вне этой окружности.
406. Вывести условие, при котором прямая у = кх + b касается окружности х 2 + у2 = R 2.
407. Составить уравнение диаметра окружности (х — 2)2 + + (у + 1)2 = 16, проходящего через середину хорды, отсекаемой на прямой х - 2у — 3 = 0.
408 . Составить уравнение хорды окружности ( х - 3 ) 2 + ( у - 7 ) 2 = = 169, делящейся в точке М (8,5; 3,5) пополам.
409 . Определить длину хорды окружности ( х - 2 ) 2+ ( у - 4 ) 2 = 10,
делящейся |
в точке |
А (1; 2) пополам. |
||
4 1 |
0 . Дано уравнение пучка прямых а (х - 8 у + 30) + (3 (х + 5у - |
|||
— 22) |
= |
0. |
Найти |
прямые этого пучка, на которых окружность |
х2 + у2 - |
2х + 2у - |
14 = 0 отсекает хорды длиною 2\/з". |