книги / Теория упрочняющегося пластического тела

§ 11. Характеристические многообразия уравнений теории упрочняющегося жестко-пластического тела с сингулярной поверхностью нагружения

Рассмотрим характеристические свойства общих урав­ нений теории течения упрочняющихся жестко-пластиче­ ских тел с сингулярной поверхностью нагружения. По­ верхность нагружения в окрестности сингулярных точек будем представлять как пересечение к регулярных час­ тей поверхности нагружения

(2.267)

Соотношения ассоциированного закона течения запи­ шем в виде:

[i® > 0 при fifoy > О,

О)

р£ = О при

(2.268)

Пусть в упрочняющемся жестко-пластическом теле с сингулярной поверхностью нагружения существует q- поверхность разрыва. Дифференцируя соотношения (2.267) и (2.268) по нормали к этой поверхности и взяв раз­ ность полученных уравнений с разных сторон от по­ верхности разрыва, найдем

№	[<*«.*] V * = о ,
([^ i.jk l + [Wj.jfc)] Vfc = 2	([!* « .» ] v (c/iy)_bM '»/»M n[<3mn.lc] Vfc).

CO

(2.269)

Подставив в соотношения (2.269) скачки из кинема­ тических и геометрических условий совместности (2.238), получим

“TP(£jVj	LjVi) = 2 (1 Н'шп] /ij* "b H'w/i?'nnT|mn)» (2.270)
	CO

(2.271)

здесь f(Xo>n 1 = [|Afclv/i. К равенствам (2.270) и (2.271) следует присоединить следствия уравнения равновесия (2.240).

Соотношения (2.24Q), (2.270), (2.271) являются систе­ мой (к + со) линейных однородных уравнений относитель­

но (fc+co) характеристических величин L*,	[|а2 ,я1 .
В упрочняющейся жестко-пластической	среде q -по­

верхности разрыва могут существовать только при усло­ вии, что уравнения (2.240), (2.270), (2.271) имеют отлич­

ные от нуля	решения.
Умножая равенство (2.270) на г]iJf после суммирова­
ния по повторявшимся индексам найдем
r]i)Livi = 2		(П*£»1 fff\ i +	МтпЧиЧтп)-		(2.272)
Учитывая,	что	величины	удовлетворяют		уравне­
ниям (2.271)	и (2.240), из (2.272)			получим
	2 ^ /& U i ,* W		=	0.	(2.273)
	О)
Величины	>	0 и /йтпЧгЯт» > 0- Отсюда следует,

что равенство (2.273) может выполняться только при ус­ ловии, что для каждого значения или

или	= 0,	(2.274)
	$SmT|tfT|«m = 0.	(2.275)
При всех	ф 0 равенства (2.275) могут выполняться
только в случаях, когда или все		= 0 , или все к поверх­

ности нагружения в точке нагружения имеют одно или

несколько	общих направлений уплощения.
Если	= 0, то частные производные тензора напря­
жений на	g-поверхности непрерывны.

Покажем, что в устойчивом упрочняющемся жестко­ пластическом теле с сингулярной поверхностью нагруже­ ния непрерывны и производные скоростей пластических деформаций. Дифференцируя каждую из поверхностей нагружения по времени и подставляя скорости деформа-

ций из ассоциированного закона течения (2.268), получим

fijOij +	=	о,	(2.276)
ш
здесь
/9/М	» £ .
0(*г ~ \ де\. +	Агз	] 7г3	“

Продифференцируем уравнение (2.276) по нормали к g-поверхности. Тогда из непрерывности производных

напряжений, деформаций	и параметров	следует
fij 1аг;\7с] Vfc +	^ Ь шг [[А«п] = 0.	(2.277)
	со

Подставив в (2.277) значения (б*/,*] из кинематиче­ ских условий совместности (2.252), найдем

- $ м ис + 2 &-r[|£d = 0.

(2.278)

Так же, как и в случае гладких поверхностей нагру­ жения, на g-поверхности в рассматриваемом случае име­ ет место равенство (2.154), а из соотношений (2.270) после свертки с M tj следует

S Л ] /» > * « = 0.	(2.279)
СО

Умножим равенство (2.278) на Ip?rJ* После суммиро­ вания по г, учитывая (2.279), получим

а (V IА ) [А 1 - 0 .

(2 .2 8 0 )

Согласно результатам § 9 главы I квадратичная форма (2.280) для устойчивых упрочняющихся жестко-пласти­ ческих тел является отрицательно определенной и обра­

щается в нуль только при [p2>J = 0, откуда следует, что производные скоростей пластических деформаций при г\ц = 0 непрерывны. Таким образом, на д-поверхностях разрыва 1 \и ф 0.

Пусть на g-поверхности выполнены равенства (2.274). Тогда из (2.268) следует, что в рассматриваемом случае скорости пластических деформаций обращаются в нуль на этой поверхности. Однако производные скоростей пластических деформаций по нормали к ^-поверхности

могут быть отличными от нуля, так как величины [р,°п], вообще говоря, могут быть отличными от нуля. Такого рода поверхности разрыва могут иметь место на жестко­

пластической границе.

Из соотношений (2.270) получим

4 - ( V + V ) = 2 1\&*l /if-	(2.281)
СО

Умножая равенство (2.281) на бtj и производя сум­ мирование по повторяющимся индексам, найдем

Lhvk = 0.

(2.282)

После свертки с v*, используя (2.282), получим

- Г А = 2 Л ] / £ Ч	(2.283)
(О

Подставив значения Lt из (2.283), соотношения (2.281) преобразуем к виду:

2П*£«] (/ifv kV; +	= 2	1	$. (2.284)
СО	со

Если с одной стороны от поверхности разрыва мате­ риал находится в жестком состоянии, то величина

2 [H'wn] 1\t пропорциональна скорости пластической де-

со

формации вблизи поверхности разрыва пластической зо­ ны, то есть из (2.284) получим

		+	SjkVkVi =	* i j .	(2.285)
Равенство		(2.285) аналогично		равенству	(2.244),
и при	= 0 получим, что		g-поверхности совпадают с по­
верхностями		скольжения.

Если некоторые из JUL2>=f= 0, то тогда

fijmvXlij^mn = О*

Так же, как в случае гладкой поверхности нагружения, можно показать, что g-поверхности разрыва имеют место

при |х° = 0, если только гладкие куски поверхносги

нагружения / “ (а,у, efj, Хь &f) имеют в точке нагружения тензорное направление уплощения Ац, одно из главных значений которого обращается в нуль. Нормаль к д-по- верхности в этом случае параллельна главному направ­ лению нулевого главного значения тензора Atj.

В ы в о д : В упрочняющемся жестко-пластическом те­ ле в случае сингулярной поверхности нагружения могут существовать q-поверхности двух видов:

а) поверхности скольжения, на которых скорости пла­ стических деформаций обращаются в нуль;

б) поверхности, направление нормали к которым сов­ падает с главным направлением нулевого главного значе­ ния тензора А характеризующего направление уплоще­ ния поверхности нагружения.

§ 12. Характеристические многообразия уравнений теории изотропно-упрочняющейся среды

Поверхность нагружения в изотропно-упрочняющейся среде будем представлять в виде:

	f(Oi, <*2 . °з) =	Xf).	(2.286)
где	— главные значения тензора	напряжений.
Для определения тензора уплощения Дг;- поверхности
(2.286)	необходимо определить величины		производных
d O ild O p q , d 2Gi/dGpq д о ц .
Компоненты напряжений выражаются через главные
значения по формулам
	°ij = <*ihh + ^2mimj +	G3ninh	(2.287)

где ти щ — направляющие косинусы главных осей тензора ои.

Дифференцируя соотношения (2.287) по ард, получим

~"2~ $pi$qj Н" &q$pj) —

=

дЗ\

дб2

дзз

Hin>+

°1

д (lilj)

+

д (т{т^

дГ~ lili +

д<5—

mimi + дз—

дз.

а!

д з,

pq

pq

Pq

д {n.rij)

pq

pq

+

а2

(2.288)

дз,

pq

Сворачивая равенство (2.288) с тензорами Z*Zy, т(т^

пгП], определим первые производные главных

значений

дЗ\

1 -

д32

= mpmg>

дз3

npnq.

/п ппл\

= Iplqj

^

=

(2.289)

Р9

Р9

Р<7

Умножая

(2.288)

на

и Z*7ij, после

суммирования

по повторяющимся индексам найдем

d l.

d m .

____ i_

+

62^,7 aa

)

’

7 д<5

pq

pq

(2.290)

d l,

d n .

J

+

63Zy

J

pq

dcpq ’

=

Так как векторы т}, пj ортогональны

lj,

то

Ijirij =

IjTij = 0,

откуда

S L

д т .

т

л

Э/,

д п 4

^ pqZ m i + ^ pqt l i = 0 '

^ Vpqa ni + ^ pqt h =

И равенства (2.290) преобразуются к виду:

dl,

m i d a ’pQ ~

2 (6i — G2)

(2.291)

dl

2 (Gi — os)

n i

dapg

~

+

l 4n p)-

Так как вектор lt единичный, то

Решая уравнения (2.291) и (2.292) относительно dlildopq, получим

= 2 (JI—а~) У?™* +	1ятр) mi + 2(oi — Оз)(1Рп* + 1«Пр)"*•
РЧ	(2.293)

Теперь, дифференцируя (2.289) по o tj и подставляя произ­ водные от направляющих косинусов из выражения (2.293), определим вторые производные главных направлений

ао^аз”. =	2(31-02)		+ 1чтР) <1*т>+ 1’ тд +
	+	2(о! —оз) (lpn<1 + 1*Пр)		+ Z^i)*	(2.294)
После аналогичных вычислений получим
dZpqdSii	3, —дТ\(ZP^9 + Z9mp) (hm) + ljmi) +
	2(02 —6i)
		+	2(02 —0^) (" V 1» +	m«Rp)
ao^ao.. =	2(03—Oi)		+ Z9reJ>) (ZireJ + Z^ ‘) +
PQ U	x	7
		+	2 (S3*-^) (mPR« +	m«” p) (mlni +	mini)-
					(2.295)

Определим условия существования характеристических элементов в изотропно-упрочняющейся среде. Предва­ рительно рассмотрим характеристические элементы, на которых скорости пластических деформаций равны нулю.

В изотропно-упрочняющейся среде главные направ­ ления тензора и тензора напряжений совпадают. По­ этому из соотношений (2.244) — (2.246) следует, что в

изотропно-упрочняющейся среде при = 0 действи­ тельные характеристические элементы существуют, если главные напряжения удовлетворяют уравнению

Жi = 0’ Ж 7+ ШК- - 0 (' + / + % (2.296)

здесь /(<?!, а2, сг3) — левая часть равенства (2.286). Эти элементы совпадают с площадками, на которых касатель­ ные напряжения достигают максимального значения*

Равенства (2.296) тождественно выполняются только при условии пластичности Треска. В случае других условий пластичности напряженное состояние должно

быть таким, чтобы эти условия были	эквивалентна ус­
ловию Треска.		при
Рассмотрим характеристические многообразия
efj 0. Для этого определим условия,	при которых	по­

верхность нагружения имеет направления уплощения, характеризуемые тензором Д^.

По определению тензор уплощения удовлетворяет ра­

венствам
— 0,	f ijpq&ij&pq — 0*	(2*297)

Используя выражения (2.289), (2.294) и (2.295), вы­ ражения (2.297) для функции нагружения (2.286) преоб­

разуем к виду:
		/| Д |		=	о ,
05Ж ~д А	+	Р з ^ А ^ у )2 +	р2 (AiA«y)2 + Pi (А{
i к								(2.299)
Здесь	введены следующие			обозначения:
Ь = I		^uhlj,	A 2i=Д =		Д	{у	3	=
h - h		h - h		’	p8 =	h - h		'
Pi = 202 —аз		’ Pa = 2 (Ji—<3s				2 Cl	— G2
В изотропных телах сдвиг происходит в направлении
действия	касательного напряжения,					поэтому величины
В пространстве ст* поверхность /(ах,							а2,	а3) = const
не вогнутая,		и квадратичная форма

при значениях Дь удовлетворяющих равенству (2.298).

Таким образом, уравнения (2.298), (2.299) будут вы­ полнены, еслн

f £ i = о,	4	^	^	= ° ’	(2.300)
					(2.301)
Д iihmi =		=	д	= ° -

Из соотношений (2.301) следует, что главные направления тензора Д^- совпадают с главными направлениями тен­ зора напряжений, а величины Д* являются главными значениями тензора Д

Для несжимаемых сред поверхность /(а1? а2, а3) = const в пространстве at представляет собой цилиндр с образу­ ющими параллельными прямой аг = о2 = а3. Поэтому одна главная кривизна хх поверхности нагружения в пространстве а* обращается в нуль, и в любой точке по­ верхности нагружения существует направление уплоще­ ния, характеризуемое тензором

Д,j = Д6,7.

(2.302)

Действительно, подставляя значения (2.302) в соотноше­ ния (2.300), (2.301), получим тождества, откуда и следует, что тензор (2.302) определяет направление уплощения поверхности нагружения.

Из условия невогнутости поверхности нагружения в пространстве ot следует, что вторая главная кривизна

х2> 0.

Если поверхность нагружения выпуклая, то х2 > 0 и

дз.гдз,к. А*Дк > °*

если Дij=f= Д&ij, откуда следует, что при х2 > 0 нап­ равлений уплощения, отличных от (2.302), на поверхно­ сти нагружения не существует. А так как тензор Ди = = Дб/у- не имеет нулевых главных значений, то в рас­ сматриваемом случае уравнения теории изотропного упрочнения не имеют характеристических многообразий.

Еслн х2 = 0 (точка уплощения), то без ограничения общности можно считать, что поверхность нагружения является плоскостью в пространстве а*, а второе уравне­ ние (2.300) будет удовлетворено при любых Д*. Тогда

5 Д. Д. Ивлев, Г. й. Быковцев

направление уплощения поверхности нагружения оп­ ределяет любой тензор, главные оси которого совпадают с главными осями тензора напряжений, а главные зна­

чения	удовлетворяют первому	уравнению	(2 .3 0 0 ).
Очевидно, что в ^том случае можно		положить,	что или
А1 =	0, или Д2 = 0, или Д8 — 0. И нормаль к характе­

ристическому элементу уравнений теории изотропного упрочнения может совпадать с любым из главных нап­ равлений тензора напряжений.

Рассмотрим изотропно-упрочняющуюся среду с ку­ сочно-гладкой поверхностью нагружения. Если эта среда пластически несжимаемая, то без ограничения общности поверхность нагружения в окрестности сингулярных то­ чек можно представлять в виде пересечения двух неза­ висимых гладких поверхностей, уравнения которых запи­

шем в	виде:
/ (1) К .	°2, а3) =	/ (2) (alt о2, <т8) = к2(е%,хк).
		(2.303)

Тензоры dfJdOij и dfjdou в изотропных телах имеют одинаковые главные направления, которые совпадают с главными направлениями тензора Otj. Если вторая главная кривизна х2 одной из поверхностей нагружения отлична от нуля, то обе поверхности (2.303) имеют толь­ ко одно общее направление уплощения, характеризуемое тензороми (2.302). Отсюда получаем, что при х2 > 0 урав­ нения теории изотропного упрочнения при сингулярной поверхности нагружения не имеют характеристических

элементов, на которых fij =f= 0 и р,2 =£= 0.

Аналогичный	результат ^получаем и при условии, что
х2 = 0 на обеих	поверхностях нагружения. В этом слу­
чае обе поверхности нагружения имеют направления

уплощения, характеризуемые тензорами Аи,	главные
оси которых совпадают с главными осями тензора	напря­

жений, а главные значения удовлетворяют уравнениям

/i1)A(i1) = 0, / f Д({2) = 0. (2.304)

Поверхности нагружения (2.303) имеют общее нап­ равление уплощения, если уравнения (2.304) имеют ре­ шение At = Д ^ = А?\