книги / Физика

Математическое приложение

Интегральные теоремы векторного анализа

Теорема Остроградского – Гаусса:

	E		dS divE dV ,				(2.16)
S				V
divE r lim			dS E r1
			S1			– скалярная функция.
0			dV
				V1
Теорема Стокса:
	E dl			rotE ds.			(2.17)
l				S
rotE r lim		dS E r1
			S1			– векторная функция.
0			dV
				V1

Линейный дифференциальный векторный оператор набла-

вектор

x i y j z k .

Градиент скалярного потенциала – вектор

grad x i y j z k.

Дивергенция (расходимость) – «поток из точки» – скаляр

divE E Ex Ey Ez .x y z

131

Ротор (вихрь) вихревая точка – вектор

rotE E

i

j

k

x

y

z

(2.18)

Ex

Ey

Ez

E

z

Ey

E

x

E

z

Ey

E

x

i

j

k

.

x

y

z

z

x

y

Дифференциальные операции второго порядка

div rot

0,

A A

rot grad 0.

ЛЕКЦИЯ 22.ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ

Электромагнитные волны – это переменное электромагнитное поле, которое распространяется в пространстве и времени.

Из уравнений Максвелла следует существование электромагнитного поля в виде электромагнитной волны, как решения этих уравнений в вакууме.

Применим операцию ротор к уравнениям для вихрей электрического и магнитного полей в вакууме:

rotE

B

,

t

1

E

rotB

.

c2

t

2

1 2E

rot rotE grad divE

E

rotB

,

t

c2

t2

2

1

2B

.

rot rotB grad divB

B

rotE

t

c2

t2

132

divB	Поскольку в вакууме нет зарядов								и токов divE 0,
	0, получаем два уравнения для электромагнитной волны:
		2			1	2E	0,		(2.19)
			E
					c2	t2
		2			1	2B	0,		(2.20)
			B
					c2	t2
где
	2E	E 2Exi				2Ey j		2Ez k ,

см. формулу (2.18) приложения.

Решение уравнений (2.19)–(2.20) имеет вид единой поперечной электромагнитной гармонической волны (E,B):

E(r ,t) E0e i( t k r ) E0 r exp i t ik r , B(r ,t) B0e i( t k r ) B0 r exp i t ik r .

Если волна плоская и распространяется, например, в направлении оси X, то уравнения имеют вид:

2Ez 1 2Ez 0,

x2 c2 t2

2By 1 2By 0,

x2 c2 t2

а их решения (рис. 2.37):

Ez (x,t) E0cos( t kx), By (x,t) B0cos( t kx),

133

где – циклическая частота, 2 v 2T ; k – волновое число,

	k	2	;		– длина электромагнитной волны,	cT	c	;
							v

С – скорость света в вакууме.

Рис. 2.37. Плоская электромагнитная волна

В среде скорость электромагнитных волн меньше, чем скорость света в вакууме:

	c	.

Энергия электромагнитной волны

Электромагнитная волна имеет объёмную плотность энергии, которую можно записать в виде

w dWm
		DE		BH .
m	dV	2		2

Вектор Умова – Пойнтинга в вакууме (мгновенная плот-

ность потока энергии)

P E H.

Уравнение непрерывности для объёмной плотности энергии divP wt 0.

134

Вместе с энергией электромагнитного поля переносится

импульс электромагнитного поля, плотность импульса g P D B.

c2

Электромагнитные волны открыл Г. Герц в 1888 г., что подтвердило теорию Максвелла. Свет оказался электромагнитной волной. Оптика соединилась с электромагнетизмом.

Шкала электромагнитных волн состоит из радиоволн

8 порядков, оптический диапазон 7 порядков, рентгеновский диапазон 3 порядка, гамма-диапазон 4 порядка, табл. 2.2.

		Таблица 2.2
	Шкала электромагнитных волн
Волны	Диапазон (длина волны)	Источник
Радиоволны	Длинные волны (ДВ) 10–1 км,	Переменные токи
	Средниеволны (СВ) 1 км – 100 м	в проводниках,
	Короткие волны (КВ) 100–10 м	электронные потоки
	Ультракороткие (УКВ) 10–1 м
	Дециметровые 1 3 10 1 м
	Сантиметровые 3 10 1 3 10 2 м
	Миллиметровые 3 10 2 3 10 3 м
Инфракрасное	ИК 3 10 3 8 10 7 м	Излучение нагретых
излучение		атомов
Видимый свет	ВС 7,2 10 7 3,8 10 7 м	Излучение внешних элек-
		тронных оболочек атомов
Ультрафиолетовые	УФ 4 10 7 10 9 м	Излучение атомов, возбуж-
лучи		денных электронами
Рентгеновские	Рентген 10 8 10 11 м	Атомные процессы, элек-
лучи		тронные пучки
Гамма-	Гамма 10 11 3 10 15 м	Ядерные процессы,
излучение		космические процессы

Излучение электромагнитных волн осуществляется электрическими зарядами, движущимися с ускорением.

Пример 1. В случае гармонических колебаний заряда с циклической частотой и амплитудой мощность излучения пропорциональна 4-й степени частоты

N 0q2 A2 4 sin2 t.

6 c

135

Пример 2. Вибратор (диполь) Герца – короткий провод с одинаково сосредоточенными ёмкостями на концах (металлические шары) и искровым промежутком посередине (рис. 2.38). К проводу подводится переменное напряжение от индуктора I. Ток в вибраторе I I0 sin t – квазистационарный (одинаковый

во всей цепи, так как длина вибратора l много меньше длины волны), длина волны излучения – несколько десятков сантиметров. Когда напряжение на искровом промежутке достигало пробойного значения, вибратор замыкался искрой. В нем возникали затухающие собственные электрические колебания высокой частоты с узлами тока на концах вибратора. Дроссели D (катушки) задерживали уход токов вибратора в индуктор. Приёмником электромагнитных волн, излучаемых вибратором, служил прямой открытый резонатор. В нём электромагнитная волна возбуждала высокочастотные электрические токи, которые вызывали свечение малой газоразрядной трубки, включённой между половинами резонатора.

Рис. 2.38. Вибратор Герца

Мгновенная мощность дипольного излучения по всем направлениям

N 6 0c pe 2 ,

136

где pe l ddIt , pe – электрический дипольный момент пары за-

рядов, pe qr.

Средняя мощность излучения за период

N 0l2 2 I02.

12 c

Открытие радиосвязи А.С. Поповым в 1895–1899 гг. на длинах волн 1 200м. Радиоволны применяются для передачи

информации без проводов на различные расстояния. Состав радиолинии: передатчик, антенна для излучения радиоволн, среда распространения радиоволн, антенна для приема радиоволн, приёмник.

Математическое приложение

Оператор Лапласа (лапласиан) действует на скалярную функцию Ex x,y,z,t :

2Ex 2Ex 2Ex 2Ex .

x2 y2 z2

Оператор Лапласа действует на векторную функцию

2E E 2Exi 2Ey j 2Ez k.

Уравнение Лапласа

2Ex 2Ex 2Ex 0.x2 y2 z2

137

РАЗДЕЛ 3. ОПТИКА. АТОМНАЯ ФИЗИКА. ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА. ФИЗИКА ЧАСТИЦ

ЛЕКЦИЯ 23.ОПТИКА.ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ

Оптика – раздел физики, в котором изучают оптическое излучение (свет), его распространение и взаимодействие света с веществом.

Оптическое излучение – электромагнитные волны с длинами волн от 3 нм до 0,1 мм, частоты 3 1017 3 1011 Гц. Это ультрафиолетовое излучение, видимый свет (0,76 0,38 мкм), инфракрасное излучение (1 ангстрем – 10–10 м).

Спектральный состав видимого света	o
	Длина волны света, A
Красный	7600–6200
Оранжевый	6200–5850
Жёлтый	5850–5750
Жёлто-зелёный	5750–5500
Зелёный	5500–5100
Голубой	5100–4800
Синий	4800–4500
Фиолетовый	4500–3800

Фазовая скорость электромагнитных волн в веществе

c .

Вобласти оптических частот 1.

Отражение и преломление света диэлектриками. При па-

дении световой волны на плоскую границу раздела двух диэлектриков с разными значениями диэлектрической проницаемости волна частично отражается и частично преломляется.

138

Абсолютный показатель преломления среды

	n	c			.
В газах n 1,	в алмазе n 2,4.

Относительный показатель преломления

n21 n2 .

n1

Закон преломления Снеллиуса: отношение синуса угла па-

дения к синусу угола преломления равно относительному показателю преломления двух сред.

sin n2 . sin n1

Геометрическая оптика – оптика с длиной волны 0.

Свет – совокупность световых лучей – линий распространения световой энергии. В оптически изотропной среде световые лучи ортогональны к волновым поверхностям. Пучки световых лучей пересекаются и не интерферируют.

Принцип Ферма – реальный луч света распространяется от одной точки к другой точке по линии, вдоль которой свету требуется экстремальное время, по сравнению с любыми другими мысленными путями, соединяющими эти точки.

S B ndl 0,

A

где S – оптическая длина пути для неоднородной среды, всегда

больше реально проходимого расстояния, S B ndl.

A

Из принципа Ферма следует прямолинейное распространения света для оптически однородной среды и обратимость световых лучей (луч, пущенный обратно, пройдёт по тому же самому пути).

139

Волновая оптика рассматривает свет как поперечную электромагнитную волну.

Интерференция волн – взаимное усиление или ослабление двух волн при их наложении и распространении в пространстве.

Для двух гармонических волн A1 a1 sin( t 1), A2 a2 sin( t 2) квадрат амплитуды результирующей волны

a2 a12 a22 2a1a2 cos 1 2 ,

amax a1 a2 при 1 2 2 m,

amin

a1 a2

при 1 2 (2m 1) ,

где m 0, 1, 2,....

Для интенсивности результирующей волны (I = A2):

I I1 I2 2

I1I2 cos t .

Стационарная интерференция света возникает в случае когерентных световых волн, когда их разности фаз не зависят от времени, а частоты одинаковые.

По способам создания когернтных пучков света разделяются схемы с делением волного фронта и схемы с делением амплитуды.

Опыт Юнга (схема с делением волнового фронта). Свет от точечного источника расщепляется на два источника, дающих две системы когерентных волн. Расстояние между источниками 2b D много меньше расстояния от них до экрана. Расстояние D от середины между источниками до точки M на экране (рис. 3.1).

Расстояние от 1-го источника до точки N на экране

d12 D2 h b 2 .

140