книги / Физика

Длина волны рассеянного рентгеновского фотона, или гамма-кванта, увеличивается по сравнению с длиной волны падающего фотона на величину

h 1 cos , m0c

где – угол между направлением первичного фотона и рассеянного фотона.

Длина волны Комптона C h / m0c 2,426 10 12м, рас-

стояние, с которого начинаются квантовые релятивистские эффекты.

ЛЕКЦИЯ 27.АТОМНАЯ ФИЗИКА

Атом – наименьшая часть химического элемента, является носителем его свойств. Атом способен самостоятельно существовать. Атом состоит из ядра и электронов. Ядро заряжено положительно. Электроны заряжены отрицательно. Атом электрически нейтрален (заряд атома нулевой). Линей-

о

ный размер атома 10 10 м 1А 1ангстрем, площадь попе-

речного сечения около 10 20м2. Объём примерно 10 30м3. Масса атома сосредоточена в ядре. Момент импульса атома определяется его электронами.

Опыт Резерфорда 1911 г. по рассеянию альфа-частиц (ядра гелия-4) из источника Р на золотой пластинке Ф. Рассеянные частицы ударялись об экран Э и вызывали сцинтилляции (вспышки) света, наблюдаемые в микроскоп М. Вспышки наблюдались при больших углах рассеяния и даже назад к источнику (рис. 3.17). Такой характер рассеяния означает наличие тяжёлого положительно заряженного силового центра внутри атома. Резерфорд предложил планетарную модель атома: положительно заряженное ядро покоится, электроны движутся вокруг ядра.

161

Рис. 3.17. Схема опыта Резерфорда по рассеянию -частиц (ядра атома гелия)

Опыт Франка и Герца 1913 г. показал, что внутренняя энергия атома принимает определённые значения (квантуется). В опыте исследовалась зависимость силы тока от ускоряющего потенциала в области 1 (между катодом и сеткой). В области 2 (между сеткой и анодом) приложен замедляющий потенциал. Электроны, ускоренные в области 1, испытывают соударения в области 2 с атомами ртути, заполняющими трубку. Ток гальванометра, присоединённого к аноду и земле, растёт монотонно с ростом ускоряющего потенциала до 4,9 В. Соударение электронов с атомами носит упругий характер. При больших напряжениях наблюдаются спады. Соударения электронов становятся неупругими. Энергия атомов растёт за счет энергии электронов. Минимальная порция энергии, которую может поглотить атом ртути, равна 4.9 Эв. Опыт показал, что энергия атома имеет дискретный характер (рис. 3.18).

а

б

Рис. 3.18. Установка Франка и Герца: а – схема установки; б – вольт-амперная характеристика анодного тока

162

Полуклассическая теория атома водорода (имеет историческое значение)

Постулаты Бора:

1.Постулат стационарных состояний: существуют дис-

кретные стационарные состояния атома, в которых он не излучает. Состояниям соответствуют орбиты электронов.

2.Правило квантования орбит: момент импульса элек-

трона в атоме движущегося по круговой орбите квантован:

m nrn n , n 1,2,3,....

3. Условие частот Бора: атом излучает квант электромагнитной энергии, если электрон переходит с орбиты с большей энергией на орбиту с меньшей энергией. При поглощении переходы обратны излучению.

h mn Em En .

Атомные спектры – линейчатые спектры излучения и поглощения свободных атомов, возникающие при излучательных переходах между их дискретными уровнями энергии.

Сериальная формула Бальмера – Ридберга

	1		1			1			(3.3)
nm		(En Em ) R						.
	h			2		m	2
		n

Постоянная Ридберга R me2e43 . 8 0h

В формуле (3.3) первое квантовое число n нумерует серию, второе квантовое число m нумерует линию в данной се-

рии (рис. 3.19):

–n 1, серия Лаймана, ультрафиолетовая область;

–n 2, серия Бальмера, видимый свет;

–n 3, серия Пашена, инфракрасная область.

163

–13,6

Рис. 3.19. Схема уровней энергии атома водорода. Переходы между ними группируются в серии. Энергия ионизации атома водорода 13,6 Эв

Квантовая (волновая) механика

Принцип корпускулярно-волнового дуализма: с любой час-

тицей, обладающей энергией и импульсом связана волна частотой и энергией:

E h ,	p
		k.

164

Длина волны де Бройля

hp .

Принцип неопределенности Гейзенберга. В квантовой ме-

ханике отсутствует понятие траектории частицы.

Соотношения неопределенности Гейзенберга для кано-

нически сопряженных переменных: невозможно одновременно с абсолютной точностью измерить координату и импульс

	частицы, т.е. одновременно		невозможно			x 0 px 0
	(рис. 3.20):
	x p	x			.	(3.4)
				2

Аналогично для ширины уровня энергии и времени нахождения на этом уровне

E t 2.

Рис. 3.20. Площадь заштрихованной зоны, равной 2,

не уменьшается при любых изменениях хи рх. Это графическое представление неравенства (3.4)

Постулаты квантовой механики:

1. Состояние квантовой системы полностью описывается вектором состояния, который представляется волновой функци-

ей системы r ,t .

165

2. Каждой физической величине f соответствует линейный эрмитовый оператор fˆ. Собственные значения этого

оператора являются возможными значениями этой физической величины, а собственные функции оператора соответствуют собственным состояниям физической величины. Другими словами, оператор принимает собственные значения на базисе собственных функций.

3. Вероятность обнаружить систему в объёме dV dw r ,t 2 dV.

Условие нормировки

r ,t 2 dV 1.

V

Уравнения Шредингера

Временное уравнение Шредингера

i Hˆ ,

t

где i – мнимая единица, i 1 ; 2h , h 6,63 10 34 Дж с,

оператор Гамильтона (гамильтониан)

							Hˆ			2	U x, y,z ,
										2m
	где		2		2		2		– оператор Лапласа.
			x2		y2		z2

Стационарное уравнения Шредингера

Hˆ E .

166

Уравнение Шредингера

i E

t

имеетрешениеввидеволновойфункциистационарногосостояния.

t 0 exp i Et .

Векторный оператор импульса имеет вид pˆ i i x i y j z k .

	Решение уравнения
	pˆx x i	x	px x	(3.5)
		x

даёт собственные функции оператора х-компоненты импульса частицы:

x 0 exp i px x .

Пример 1. Полная волновая функция свободной частицы, движущейся по оси Х:

x,t 0 exp i Et i px x –

это решение параболического уравнения

i 2 2 2 .

t 2m x

Пример 2. Электрон в атоме водорода. Поведение элек-

трона в атоме полностью описывается уравнением Шредингера в сферических координатах:

Hˆ r, , 2 r, , U r r, , E r, , . 2m

167

Для атома водорода потенциальная энергия взаимодействия ядра с электроном равна кулоновской энергии:

	U r	e2		.
		4 0r
				r

Волновая функция разделилась на радиальную часть и угловую часть и зависит от трёх квантовых чисел n, l, m:

nlm r, , Rn r Yl m , .

Восновном состоянии при главном квантовом числе n 1 волновая функция

	r, ,	1	exp			r		,
100		a3
						a

где радиус первой боровской орбиты

a 4 2 0 . e m

Вероятность обнаружить электрон в основном состоянии в окрестноститочкискоординатами r, , вобъёме dV (рис.3.21):

nlm r

2

1

2r

2

dW

dV

exp

4 r

dr.

a

3

a

Рис. 3.21. Зависимость вероятности обнаружить электрон

восновном состоянии в атоме водорода от расстояни от ядра.

Вцентре атома вероятность нахождения электрона равна нулю

168

Энергияэлектронаватомеводородаквантована(см.рис.3.19):

E	n		e4m		1		.
			32 2	02 2		n2

Квантовое состояние электрона в атоме полностью описывается четвёркой квантовых чисел (n,l,m,ms ).

Главное квантовое число n 1,2,3,... нумерует уровни энергии электрона в атоме En .

Орбитальное квантовое число l 0,1,2,3,..., n 1 нумеру-

ет орбитальный момент импульса электрона Ll	l l 1 .
Магнитное квантовое число m 0, 1, 2, l	(всего 2l 1

значение) нумерует z-проекцию орбитального момента импульса электрона в атоме Lz m.

Спиновое квантовое число ms 12 нумерует z-проекцию

спинового момента импульса электрона Ls,z ms .

В многоэлектронных атомов заполнение электронных оболочек от ядра наружу происходит в соответствии в двумя принципами. Электроны распределяются по состояниям.

Принцип минимума энергии: электрон стремится перейти в состояние, когда его энергия наименьшая.

Принцип Паули: в каждом квантовом состоянии может находится только один электрон.

Периодическая таблица элементов Д.И. Менделева объясняется квантовой механикой.

Индивидуальные состояния электронов в атоме группи-

руются по значениям n 1,2,3,...	(оболочки K, L, M , N,...)
и l 0,1,2,3,..., n 1 (подоболочки	s, p, d, f , g, h,i, k ) соответ-

ственно. На рис. 3.22 показаны возможные состояния атома водорода при значениях n = 1, 2, 3, … и ниже ориентации орбитального и спинового моментов.

Общее число электронных состояний в атоме при данном n

n 1

2 2l 1 2n2.

l 0

169

Примеры:

1) основное состояние (n 1,l 0, m 0, ms 12),

атом водорода имеет один электрон в состоянии 1s;

	2) состояние (n 2,l 0,m 0,m								1	)	2s
							s	2
			1										1
	(n 2,l 1,m 1,m			),			(n 2,l 1,m 0,m							),
	s		2									s	2
					1
	(n 2,l 1,m 1,m					).
		s	2
	Атом лития: три электрона в состояниях 1s2											2s1

Рис. 3.22. Состояния электрона для первых трёх уровней энергии

Спонтанное излучение – самопроизвольное излучение атомами, находящимися на возбуждённых уровнях энергии.

Мощность спонтанного излучения двухуровневой системы

Pсп N2 A21h 21.

170