книги / Метод определения нагруженности упругих целиков произвольной формы
..pdfПоэтому равенство (1,19) здесь сохраняется, а равенство (1,15) следует записать в более общем виде
8,з * |
К + lot Л/, |
dip К-о7 dip №=0. |
<1‘23^ |
||||||
Функцию |
gkCtd^(Х\ у) |
определим из граничных усло |
|||||||
вий Для вектора |
К |
- |
Согласно (1,9), имеем |
непрерьш-^ |
|||||
ность нормальных.составляющих векторов & |
ft |
и А/ |
|||||||
во всем пространстве |
|
|
|
|
|
|
|||
(г3-м)_2 -(13ш |
г =о , |
м - & |
, |
к , л / . |
|
(1 .2 4 ) |
|||
Выражение |
(1 ,1 9 ) |
с учетом (1 ,2 3 ^приводит^к |
скачку |
||||||
тангенциальных составляющих векторов |
ft* и |
Д/ |
|
||||||
ы в ;; |
= ( у |
в |
: , |
) - * |
- |
=(?2в ?,3 |
|
||
- (Ггb'U- 1 8v )+г = fuxJНК У), |
|
(1.25 ) |
|||||||
где через |
|
|
обозначен поверхностный ротор вектора |
ВЛ . Последнее выражение,. согласно представлению (1# 12) вместе с краевыми условиями ( 1 , 8 ), приводит к равенствам (1 .1 3 ) . Отсутствие скачка тангенциальных составляющих tyiaclф(х,У£) следует из равенств (1 .1 9 ), (1 ,1 2 ) и
(1 .1 4 ) при предельном переходе Z-+C |
согласно равенству |
|
(1 .2 5 ). Этот факт следует |
также извнепрерывности первых |
|
производных ньютоновского |
(объемного) |
потенциала, каковым |
и является вектор |
К , при переходе через границу тела. |
На основании |
условия (1,25)' находим (при £ = 0 ) |
2jW(4-}>ftadf(x ;у)- Гг^ (эс;у‘J-T,fy/xpj-jf(х;у).(1-26)
В результате выражение (1 .2 2 ) можно записать в виде
|
4 |
( Ы |
& |
d g - |
А ___ |
j r^ S ■ |
( 1 2 7 ) |
|||||
N - - «srJ, R' |
^ |
~ |
Ssrjne-v) { r |
1 |
’ |
|||||||
Заметим, что на основании |
равенства |
(1 .2 3 ) |
вектор |
|||||||||
$ . |
можно представить |
в другой форме |
|
|
|
|
|
|||||
R" |
- -1_ |
[R‘* |
M |
J.. , |
i |
(R'*RoiB'Ui„ |
|
, |
„ 8 , |
|||
|
|
|
|
|
+ щ |
r w |
~ |
d |
|
|
|
с граничными условиями
21
RotB” =• 2(1 |
, |
( x , y ) c S |
(1 .2 9 ) |
’M o |
, |
(x,y )<t$‘ |
■ |
Следовательно, векторные потенциалы объемного и по верхностного распределений источников поля полностью оп ределяются заданием соответствующих функций V<p(xtyfz!)
И v f(x ',y ).
Раскрывая |
векторное произведение в последнем инте |
||
гральном члене выражения |
(1 .2 8 ) |
и интегрируя результат |
|
по Н. , получим |
равенства |
(1 .1 3 ). |
Отсюда следует условие |
Ц&О: tyuxd. Ф(^ГУГ2)~0 * Причем на .основании теоремы о максимуме для гармонических функций,исчезающих на бес
конечности, вектор $" , а, следовательно, |
и вектор j£w |
|||
(постоянную интегрирования положим |
равной нулю, ибо |
на |
||
бесконечности 1%"- 0 )' определяются |
однозначно через |
век |
||
тор |
/У с граничными условиями (1 .2 5 ), |
(1 .2 6 ). |
|
|
|
Заметим, что новое представление гармонического век |
|||
тора |
оказывается полезным при |
установлении электро |
аналогии с соответствующей задачей теории электричества. Решение задачи о произвольном нагружении полупространства представляет суперпозицию двух рассмотренных решений. Очевидно, в этом случае при решении первой задачи скаляр $3 следует заменить на скаляр
в: = в'а-ав-^в*' |
|
(1 .3 0 ) |
ввиду появления компоненты напряжения |
о |
г*о¥ о |
задаче Черрути. |
|
|
Представления решений через скалярный и векторные |
потенциалы позволяют' провести аналогию между задачами теории упругости о полупространстве и соответствующими задачами электростатики и магнитостатики. Так, задача об
определении скалярной функции |
(или В 3 ) аналогична |
задаче об определении электростатического потенциала |
|
простого слоя /3 2 , 5 4 / |
|
__ !_ [?(W> J C |
(1 .3 1 ) |
И' 06 |
|
2 2
(Sa ~ абсолютная диэлектрическая проницаемость), когда в пространстве, занятом диэлектриком по поверхности S'
плоскости 2 = 0 , |
распределены заряды с плотностью |
■S ‘ ?(W ). |
. |
Попе вектора |
c^iad (f - безвихревое, что приводит к |
непрерывности тангенциальных слагающих этого вектора во всем пространстве. Потенциал Ф - функция гармоническая вне поверхности простого слоя и, следовательно, удовлет
воряет в силу симметрии поля следующим граничным усло виям 2 -О:
дЯ> |
_ Ш\ |
£« |
, |
fclf)czS' (1 .32) |
|
|
-г dzl+z I |
о |
(х,Ч)ф$‘. |
||
Сравнивая выражения |
(1,5) с (1 .31) и |
(1,7). с |
(1.32)* |
||
убеждаемся в их изоморфноети, |
|
|
|
|
|
Следова тельно, |
. определяя значения |
Ф в |
электро |
статической модели, можно с учетом масштабных коэффи циентов найти соответствующие значения 3*з . Последние, согласно выражению (1 .6 ), позволяют определить все ком поненты тензора напряжений.
Более удобна в обращении не электростатическая мо дель, а модель переменного электрического поля в прово дящей среде, удовлетворяющего условиям квазистационар
ности и пренебрежимой малости скин-эффекта. |
|
|||||||
В |
таком случае на границе 2 = 0 |
полупространства |
||||||
2 ^ 0 » |
занятого электропроводной средой* с диэлектрической |
|||||||
областью 2 ^ 0 |
(за исключением |
S 1) |
■> следует задать |
|||||
источники тока |
с плотностью |
z ( ОС'У) , Тогда задача об |
||||||
определении потенциала ф |
, |
связанного |
с плотностью тока |
|||||
соотношением |
J = -,\c^tac/ (f, |
где |
Л с |
- |
удельная электро |
|||
проводность среды, эквивалентна рассмотренной электро |
||||||||
статической с заменой в |
выражениях (1 .3 1 ) и |
(1 .3 2 ) £<* |
||||||
на Ла |
/4 6 / |
V*- т л- |
|
|
|
|
|
|
|
|
R' |
dS |
(1 .3 3 ) |
||||
|
|
|
|
|
|
s'
2 3
2= 0 : |
|
|
|
|
|
(Tn |
~&)Тг, (x,y)czS' |
||
|
|
|
' |
U .3 4 ) |
|
о |
, (Х,у)ф3\ |
||
где ,ДП - |
удельная электропроводноетъ пограничной |
среды |
||
(?= 0) ) |
контактирующей, с первой по поверхности |
£!• |
||
Если электропроводная среда (2=0) является электродом, |
||||
го |
9 что приводит к постоянству потенциала |
на по |
||
верхности |
|
|
|
|
Последнее, согласно представлению ( 1 . 1 ), позволяет решать методом аналогии смешанную (контактную) задачу теории упругости о вдавливании жесткого штампа в упругое полупространство при,задании на границе величины внедрения
8 и компонент |
тензора |
напряжений / 3 2 / £ -0 * |
|
|||
T x |
t |
- O |
Чг ~^> |
( Х , У ) C=S ' |
( 1 . 3 5 ) |
|
Покажем, |
что задача |
6-,±о, |
(х,у) |
фй'. |
D , |
|
об определении |
вектора |
|||||
представленного |
через векторные потенциалы |
и Д/ f |
аналогична задаче о нахождении напряженности Й магнит ного поля постоянных: (или квазистационарных) токов в электропроводной среде 2>sQ с заданным распределением на поверхности S fCz=o) поверхностных токов плотностью
J t w
Так, для напряжённости магнитного поля токов имеем (при отсутствии магнетиков) следующие соотношения / 4 6 /•
|
|
d iv f i - 0 , V2H =0 ; |
(1 .3 6 ) |
Н . ± ( Ы А - . , * А ) 4 [ Щ ^ у |
|
||
+ 4 - |
I. |
CR') |
(1 .3 7 ) |
|
'MS ; |
S'
2 4
2 - 0 :
MUrH=Ot Ы Н Ч ' |
, |
(X,y)<zS' |
(1.38) |
' |
* |
||
О |
, |
фс,У)&$', |
|
где А* к А —векторные потенциалы соответственно объемных и поверхностных токов
?. |
м. f 1 У г, у, г) , |
? |
JH, [ 7 (x;y‘j . (139) |
|
А |
( R ' P ф |
’ A |
- w ) ' 7 F F |
elff’ |
JH0—магнитная постоянная. |
|
S |
|
|
Причем в силу однозначности гармонического вектора |
||||
Н при заданных граничных условиях (1.38) из |
(1.37) сле |
дуют равенства
y*(x,y,z)-tpf W- -Л'^ас! <е*(х,ул), f ( x ; r ) ^ЫН--Лс<умс(?(х',у;.
Из |
сравнения выражений |
(1.9), |
(1.10) и (1.28),(1.29) |
с (1 .3 |
6 ) и (1.37), (1.38) |
видно, |
что они изоморфны при |
Ч>*(Х,У,2)~0.
Таким образом, измеренные значения напряженности магнитного поля электрических токов в модели можно по пользовать для нахождения соответствующего вектора В"■ Знание последнего приводит к полному решению задачи Чер рути. Отсюда следует возможность электроаналогового ре шения контактных задач с учетом сил трения по контакту штампа с полупространством.
Кроме того, известная аналогия между решениями задач о штампе и щели дает возможность решения последних электроаналоговым путем. Так, задача о плоской произволь ной в плане щели, находящейся под действием внутреннего равномерного давления £%, и расположенной в плоскости
JT * 0 »формулируется следующим образом.Найти распределение напряжений в упругом невесомом пространстве, ослабленном плоской шелыо, по берегам которой действуют нормальные
напряжения |
- - Ро . Ввиду симметрии поля относительно |
плоскости |
рассматривают задачу о полупространстве |
с граничными условиями /5 2 /
25
Н=0: Т ы -0, %г =0,6г-р0> fcyJcS'; U?0, |
1-41) |
где Т —поверхность шели.
Накладывая однородное напряженное состояние упругой
среды |
6г - Ро 1 |
приходим к следующей смешанной задаче |
|
теории |
упругости |
/ 8 / |
£ - О» |
|
Т ы -О .Ъ г-О , |
<4 =0 , (x,y)<=S' |
(1.42)
и г =0 , (X,У)4 з ’.
Решение последней, на основании указанной. выше возмож ности моделирования смешанных задач, осуществимо с помо щью электрической модели заряженной бесконечной плос кости, снабженной вырезом с поверхностью $ '
Ъ-0: |
ЭН |
= о , Сос,у)с S' |
|
(1 .4 3 ) |
4>=C0ftSf/ '
1.2. Построение кваэианалоговой электрической модели нагруженности упругих целиков
Рассмотрим .задачу о нахождении нагрузок на упругие однородные изотропные целики произвольной формы в плане, механические свойства которых отличны от соответствующих свойств породного массива.
Пусть напряженное состояние нетронутого массива опре деляется компонентами, напряжений
е-г = кН, б-х =б-„~к.уН , T x v =T n = % y = o > (L44)
где У —объемный вес пород, Па/м; Н — глубина разработ ки, м; К - коэффициент бокового давления. Модуль упру гости и коэффициент Пуассона для вмещающих -пород и цели ков обозначим соответственно через Е п, Уп» В и, , V и, •
Сначала рассмотрим задачу 6 нагруженности упругих це ликов, подкрепляющих двоякопериодическую систему полостей, расположенных на большом расстоянии от свободной (днев ной) поверхности. Тогда данную задачу можно считать сим метричной относительно плоскости, проходящей через среднее поперечное сечение целиков.
26
Будем пренебрегать величиной касательных напряжений на контакте целиков с упругим массивом. Это допущение справедливо оправдано существованием слабых прослоек, на пример, глинистых между боковыми породами и рудным те лом. Наличие таких прослоек приводит к значительному сни жению величины касательных напряжений на контакте цели ков с кровлей и почвой. Напряженное состояние самого упру гого целика принимается однородным, .что несущественно сказывается на суммарной величине вертикальных напряжений в среднем поперечном сечении целика. '
Из совместности перемещений целика с упругим породным массивом получим систему уравнений
|
|
£ , W 4 |
( P j i - W {f o } , i- |
0,i, |
(1.45) |
|
где |
W -j |
( Pj J - |
вертикальное смещение массива над i це |
|||
ликом от реакции |
j |
целика; Wt (Pi) |
~ вертикальное сме |
|||
шение |
(укорочение) |
целика в результате действия на .него |
||||
давления |
. |
|
|
|
|
При переходе к дополнительным .напряжениям и учету разгрузки целика с боковых сторон укорочение последнего
выражается известными |
равенствами: |
|
|
W l ( P i ) - i n ^ 0 |
1 (P: |
* Н ) |
(1.46) |
для ленточных и |
|
|
|
~ 2 & ( Я |
+ |
2 К * у Ю |
(1.47) |
для столбчатых целиков, |
где |
P'L ~ |
_ дополнительные |
напряжения в целике, находящемся в условиях однородной плоской деформации или одноосного напряженного состояния;
fl • —высота целика.
Тогда система уравнений (1 .45) получает вид, анало гичный используемому при определении нагрузок на целики расчетными методами
Ю - £ W ^ j - W i ( P i ) , i = 0 ,l,2 ,...,~ ,(l.4 8 )
27
где W i (-yH) -смещение под действием первоначальных
напряжений. |
|
|
|
|
Граничные условия на поверхности 2 - 0 f |
совпадающей |
|||
с плоскостью контакта целиков, соответственно будут |
||||
2-0: |
Wt(Pt) -С4(Р; + С0) |
, |
( 1 4 9 ) |
|
|
|
, (X,4)4Si |
, |
|
где Wi , а с ним |
Ci и Ca определены равенствами |
|||
(1 .46) |
и (1.47). |
|
|
|
Условия (1.49) |
аналогичны условиям (1 .3 5 ), |
если по |
следние записать в дополнительных напряжениях, т.е. .наложить ' однородное напряженное состояние 6"г = - ^ Н.
Следовательно, переходя к полным напряжениям в (1 .4 9 ); имеем задачу теории упругости, которая эквивалентна первой частной задаче для полупррстрднства, когда на границе по-^ следнего действуют нормальные силы
|
P f - f |
ЯЛ > |
(1 .5 0 ) |
|
|
|
|||
где |
прижимающая штамп, сила; P ^X i 1Ус) - давление |
|||
под ним; |
р. |
- среднее давление под штампом. |
|
|
Однако здесь давления |
Р* являются неизвестными ве |
личинами и зависят как от упругих свойств полупространства и целиков, так и от геометрии целиков и полости. Зависи мость ■определяется однозначно посредством равенств. .(1 .4 6 )- (1.48). Поэтому при определении неизвестных сил, прижи мающих штампы к упругому полупространству, необходимо совместное решение задачи для полупространства и системы
неоднородных уравнений |
(1 .4 8 ) с правой частью^определен |
ной равенствами (1 .4 6 ), |
(1 .47). |
Таким образом, задача о нагрузке на упругие целики сводится к задаче о полупространстве с действующими на его границе нормальными усилиями, удовлетворяющими системе неоднородных уравнений. В дальнейшем, если противное не оговаривается, решение задачи будем вести в дополнительных
напряжениях. |
|
На основании выражения (1.48) |
с учетом ’ равенства |
(1 .1), (1.4) и ( £ $ ) представим в |
»шде системы уравнений |
2 8
% ( - \ ( H f - £ %■ ( f y - % ( Ю , L |
1.5 i) |
с граничными условиями
г*0-. |
f |
Pi[(x i,iU) |
|
jfrlvyW f ( = |
2jw |
’ ( * < , ^ = S £ (1.52) |
|
где |
“ потенциал, обусловленный первоначальными |
напряжениями; Г <Й,(А.) - потенциал, обусловленный
действием штампов; (р.) -г потенциал результирующего поля, который, согласно‘равенствам (1.5), (1,43) и (1.44), имеет вид
hifi-tf) |
-для ленточных целиков |
Y p. + KA 7 L/\- |
|
h a -мм.. |
|
■Ш«)Еч |
|
Ш ) * \ |
(1.53) |
lie |
для столбчатых целиков. |
|
В последнем (выраже:нии использована связь потенциала простого слоя с вертикальным перемещением границы упру гого полупространства W = 2 fN /„)f • Выражения (1.51)- (1 .5 3 ) представляют решение задачи о нагруженности. уп ругих целиков, подкрепляющих•двоякопериодическую систему полостей через одну гармоническую функцию - потенциал простого слоя.
Для решения задачи о нагруженности целиков,1подкреп ляющих одиночную полость, обратимся к работе /1 6 /. Анализ результатов, указанных в этой раб.оте, приводит к следующим выводам.
L Нагруженяость целиков, подкрепляющих одиночную по лость, мало отличается от их нагруженности в случае не скольких одинаковых полостей, разделенных между собой широкими ленточными целиками. Так, при отношении ширины целика, относящейся к ширине узкого ленточного как
29
А/(X =50, нагруженность последних отличается от их нагруженности’ в одиночной полости не .более, чем на 5,3%
|
Ct-f- £ |
полного веса вышележащих пород р =•—— уН. В случае |
|
П |
Сч |
столбчатых целиков для аналогичного отношения ширины широкого ленточного к диаметру первых соответствующее отличие в нагрузках составляет не более 6 %.
2. Эта разница быстро убывает при удалении от края, полости. Так, разница в нагрузках для второго от края уз кого ленточного целика составляет около 2%, для столбча того - около 1 % полного веса вышележащих пород.
3. Дальнейшее увеличение размеров широкого ленточного целика нецелесообразно, так как отличие в разгружающем действии одного от другого при отношениях А /а =50 и
А /а ^ЮО даже для крайних целиков полости около 1%. Исходя из этого, решение задачи о нагруженности упру
гих целиков в одиночной полости можно заменить решением соответствующей двоякопериодической задачи с учетом вно симых погрешностей. Очевидно, что система уравнений (1.51) здесь будет иметь аналогичный вид
Д'-M |
|
|
|
Ус (- if Н) - £ |
а |
-У сСЮ , 1s |
(1 .54) |
j~° |
|
|
где индексы Q и Jl/+i относятся к окружающим полость широким целикам.
Представление решения задачи о нагруженности упругих целиков в виде системы уравнений для потенциала, простого слоя позволяет перейти к соответствующей электрической модели, которую можно построить следующим образом. Обра тимся вновь к электрической модели для задачи о нормальном нагружении полупространства. К ее электродам, расположен ным на границе полубесконечной проводящей среды, подсое
диним электрические сопротивления ^ * |
(рис. 1) |
Ж |
(L 5 5 ) |
г А Л "
где ьг» S •—соответственно высота и площадь поперечного сечения области электропроводной среды с сопротивлением ^ •
3 0