книги / Методы и устройства цифрового измерения низких и инфранизких частот

данным [112], в диапазоне измеряемых частот /ма1сс//мип= 1 0 для

обеспечения погрешности аппроксимации 0,1% необходима раз­ бивка кривой ф(7’зс) на 25 участков, что приводит к резкому услож­ нению устройства. Поэтому в работе [112] предложено применение функционального кодирования временного интервала при малом отношении /макс//мин.

Рис. 3-2. Возможная блок-схема цифрового частотомера, основанного на использовании кусочно-линейной аппроксимации.

В работе [72] и авторами при разработке цифрового тахометра предложен метод измерения частоты с воспроизведением следую­ щей зависимости (рис. 3-3):

	К		щ
?' (Т'х) =	f —ZTT 7 ’	(3 6)
	1 in л X
где Тт — максимальная длитель­
ность периода измеряемой частоты
Г *=	Т т -Тх.	(3.7)
При воспроизведении грГ(ТХ) из
интервала Тш вычитается период Тх
и производится	функциональное
кодирование временного интервала,
равного их разности. Прибор дол­
жен содержать те же узлы,		что и	рнс. з-З. График функции ф (Г ж=
описанный выше,	а также дополни-		= К 1 ( Т т — Т ' х ) .

тельные узлы для фиксации интер­ вала Тщ и разности Тт—Тх. Счетчик прибора должен быть выпол­

нен суммирующим, а не вычитающим, как в предыдущем случае. Время измерения постоянно, равно Тт и не зависит от длительно­ сти периода измеряемой частоты.

В обоих описанных случаях [72, 112] приведены лишь обобщен­ ные структурные схемы и изложены некоторые вопросы построе­ ния, требующие более детального исследования и уточнения. Рас­ смотрим более подробно возможные способы кусочно-линейной-

аппроксимации <ç(Tx) ii соответствующие нм схемы цифровых частотомеров с точки зрения практически достижимой точности.

Кусочно-линейная аппроксимация функции <р(Тх) при мини­ мальном количестве аппроксимирующих отрезков позволяет упрос­ тить схемную реализацию прибора.

Неправильное определение требуемого количества участков приводит к переоценке сложности схемы или к ее значительному усложнению [72, 112], поэтому возникает необходимость уточнить

Вис. 3-4. Неолтимальиый способ		Рис. 3-5. Оптимальный способ
проведения	аппроксимирующего	проведения аппроксимирующе-
отрезка	ломаной линии.	го отрезка ломаной линии при
		кусочно-линейной аппроксима­
		ции <р(Тх).

способ проведения аппроксимирующих отрезков ломаной, обеспе­ чивающий получение заданной погрешности при минимальном количестве этих отрезков, определить это количество угловых коэф­ фициентов и координат концов отрезков ломаной [31]. Решение этой задачи выполним для двух случаев, когда задано предельное значение приведенной и относительной погрешностей аппрокси­ мации:

(3.8)	(3.9)
где AN — абсолютная погрешность аппроксимации; NQ — макси­
мальное значение аппроксимируемой функции ф(Тх)\	N — теку­
щее значение функции <р(Тх).

Для выполнения условия (3.8) абсолютная погрешность аппро­ ксимации не должна превышать величины ANm, равной

ANm=ÔmNo. (3.10)

Максимальному количеству аппроксимирующих отрезков соот­ ветствует такой способ их проведения, при котором абсолютная погрешность аппроксимации принимает на концах и в одной точке

внутри каждого участка значения, равные по величине A N m

(рис. 3-4). Однако в этом случае погрешность аппроксимации имеет на концах и внутри участка разные знаки. Если при кусочно-ли­ нейной аппроксимации q>(Tx) необходимо иметь постоянный знак погрешности аппроксимации, то ее отрезки должны быть проведе­ ны так, чтобы они либо были касательными к кривой <р(Тх), либо их концы лежали на этой кривой (рис. 3-5). Совершенно очевидно, что при одинаковом количестве участков линеаризации, абсолют­ ная погрешность при первом способе аппроксимации будет вдвое меньше, чем при двух последних.

Получим выражения, определяющие кусочно-линейную аппро­ ксимацию <р(Тх) в соответствии со способом аппроксимации, пока­ занным на рис. 3-4. Пусть на i-м участке линеаризации угловой коэффициент равен ku координаты концов отрезка соответственно равны (7\_ь N'f-i) и [Ti'N'i). Значения аппроксимируемой функции в точках с абсциссами 7\_i и 7\- соответственно равны Ni-1 и Ni,

причем
= N't_ x+ AN m; N< = N'. + ДNm.	(3.11)

Уравнение прямой, проходящей через точку с координатами (7\_i, J, может быть записано в виде

(3.12)

где N' — текущее, значение аппроксимирующей функции. Погреш­ ность аппроксимации AN в любой точке участка равна

ДЛГ = N - N' = £ _ kt (Tx - Т,) - лг;_,

(3.13)

*X

иимеет максимальное значение в точке с абсциссой

(3.14)

Подставив значения (3.11) в уравнение (3.13) п решив его относительно £», получим

Д о —(VfM -,-V f2ANj--Al,_,

	К	(3.15)
Подставив в выражение (3.15) значение ku равное
b	N, -	(3.16)
получим
Ni =* ( V Ni-i -	V'2ДЛГт)2.	(3.17)

Имея t = l, 2 ,. . , п , найдем значения ординат N t, Л/3,	. . , N n :
N, = ( У N0 - 2 / Я Ю г;
iv. - ( V N o - п V 2 Ï N J 1-	<318>

Следовательно, требуемое количество участков линеаризации для рассматриваемого способа аппроксимации при изменении функции ф(Г.с) в пределах от /7М1Шдо No равно

	. V N Q- 1	(3.19)
	2АА/„

Определим угловой коэффициент ki i-го прямолинейного отрезка,

вычисленный подстановкой значения (3.17)		в уравнение (3.15)
kt	Ni-\ • N	(3.20)

К

Полученные в [31] выражения (3.19) и (3.20) совпадают, а (3.18) отличается от аналогичных значений, приведенных в работе [24]. Учитывая, что àNm = àmNo, получим

	Wl - W , ( l - i V 2 8 e )*;	(3.21)	(3.22)
	N		У Л *°я»
		диапазон	изменения аппроксимируемой
	где т — — - — рабочий

#ми>«

функции ф (7"ж) .

Применив аналогичное решение при заданном предельном зна­ чении относительной погрешности аппроксимации, получим сле­

	дующие выражения для определения величин N",		п' и k / [31]:
	K l + 5 „ - K 2 o my		(3.23)
	N] = N0	’
	K i + 8; + K2 i j
	lgm		(3.24)
	lg (l/ 1 + 8 « + / 2 S ; ) - l g ( K 1 +	S„ -
			V 2bm) ’
	K		(3.25)

Графики зависимостей количества участков линеаризации от величины бтп и при т = 10 представлены на рис. 3-6.

Если аппроксимирующие отрезки проведены так, что их концы лежат на кривой <р(Т*), то есть, если выполняется условие посто-

янства знака погрешности аппроксимации, то количество участков аппроксимации несколько возрастает по сравнению с выражения­ ми (3.22) и (3.24). В этом случае величины Nu nt N \ и п' при

заданных предельных погрешностях аппроксимации приведенной ôm и относительной Ьт' определяют из таких выражений:

N ^ N ^ X - i V K f ; (3.26) * =	(3.27)
Vmom
N] = No^ V + r - V X ) ^	(3-28)
________ lg т________	(3.29)

^ ^ ( V T + T m - W M)

Прямоотсчетные цифровые частотомере^ основанные на исполь­ зовании кусочно-линейной аппроксимации ф(Тх), в пределах каж-

Рис. 3-6. График зависи­
мостей количества		участ­
ков линеаризации		от	ве­
личины бт	и ô m		при
т =	Ю .

дого г-го участка линеаризации в соответствии с		формулами
(3.12) и (3.20) должны воспроизводить зависимость
N' = N, + N’t_, + k, TX= N, + ЛГ;_,	T„	(3.30)

где fi*=—ki.

Структурная схема частотомера с кусочно-линейной аппроксимацией <р(7\:) представлена на рис. 3-7. Она состоит из входного устройства Ф, генератора образцовой частоты ГОЧ, ключа К, управляемого делителя частоты УДЧ, вычитающего счетчика ВСч, распределителя Р, блока задания коэффициента деления БЗКД, группы схем совпадения ГСС, схемы ИЛИ, цифрового отсчетйого устройства ЦОУ.

Через ключ /С, открытый в течение одного или нескольких периодов Тх. импульсы образцовой частоты /о поступают на вход УДЧ и далее на счетчик ВСч. Коэффициент деления УДЧ может дискретно изменяться при помощи БЗКД. За каждым из участков линеаризации закреплена одна из схем совпа­ дения, срабатывающая при достижении числом, которое содержится в ВСч, значения, соответствующего концу данного участка линеаризации. На выходе схемы ИЛИ во ©ремя срабатывания любой из схем совпадения появляется импульс напряжения, который подается на вход Р. Количество положений распределителя Р равно количеству участков линеаризации. Распределитель управляет работой БЗКД. При переходе Р из одного положения в другое БЗКД изменяет коэффициент деления УДЧ.

Рассмотрим более подробно работу цифрового частотомера с функциональ­ ным кодированием временного интервала с применением кусочно-линейной аппро­ ксимации <р(7\с).

Перед	началом измерения в вычитающий счетчик ВСч записывают число
(iV j+W )>	а коэффициент деления УДЧ устанавливают равным

			Яудч= 4 “ =	7Г~Г-			<3-31)
			/1	1*»1
Сформированный ^ Ф			импульс напряжения	измеряемой инфранизкой			частоты
открывает ключ А\ и			на вход ВСч подаются	импульсы, следующие с частотой ft.
В	результате	этого	содержимое счетчика	будет	уменьшаться	в соответствии
с	формулой (3.31). Если длительность Тх меньше				длительности	интервала кван­
тования T1, соответствующего концу первого участка линеаризации, то число,
содержащееся		в ВСч	в конце периода Тх, пропорционально измеряемой				частоте

/я. Если же T x ^ T i, то при достижении числом в ВСч значения Nit которое

Рис. 3-7. Структурная схема частотомера с ку­ сочно-линейной аппрок­ симацией ф(7\с).

соответствует концу первого участка линеаризации, срабатывает схема совпа­ дения, закрепленная за этим участком, на выходе схемы ИЛИ появляется им­ пульс напряжения, вызывающий переход Р во второе положение. Благодаря этому устанавливается новое значение коэффициента деления УДЧ, равное

	Кудч— -	Jo_	(3.32)
		14

и уменьшается частота следования импульсов, поступающих на вход вычитаю­ щего счетчика. Число, содержащееся в нем, продолжает уменьшаться, но с меньшей скоростью. Если Тх>Тг (7*2 — интервал квантования, соответствующий

k

концу второго участка линеаризации), то в момент времени t=Tz = — распреде- iVa

литель Р вновь перейдет в очередное, третье, положение. Коэффициент деления частоты УДЧ опять изменится и изменится частота следования импульсов на выходе последнего. Этот процесс будет продолжаться до тех пор, пока не закончится квантование периода Тх измеряемой частоты и не закроется ключ К.

Легко доказать, что после окончания периода Тх число в ВСч будет равно

N ^ N j+ H i - i+ k jT x ,

(3.33)

где / — номер участка линеаризации, при котором был закончен процесс кванто­ вания. Это число пропорционально измеряемой частоте. Учитывая масштабный коэффициент К, получим результат измерения непосредственно в единицах

частоты.

Благодаря описанному выбору и переключению участков линеаризации, уско­ рен процесс измерения. Развивая этот метод путем введения переключателя пределов измерения, который при переходе с одного предела на другой, осу­ ществляемом также параллельно квантованию периода Г*, будет автоматически уменьшать значение частоты /о, можно увеличить динамический диапазон, перекрываемый прибором [41, 53, 54].

Оценим величину относительной погрешности измерения кван­ тования периода и его функционального кодирования с кусочно-

линейной аппроксимацией <р{Тх) и дополнительно уточним сделан­ ные выше выводы. Величина предельной относительной погреш­ ности определяется из выражения (3.1).

Предельная относительная погрешность преобразования содер­ жит две составляющие: относительную погрешность аппроксима­ ции и относительную погрешность дискретности преобразования [33, 36]

бцр = ôanp 4“бд.пр.

(3.34)

Таким образом, предельная погрешность измерения частоты определяется выражением

Sr = °1 Н----	------ T7Z--- h^anp 4" ^д.пр*	(3.35)
" i	" i / o Т х

Погрешность ôi от нестабильности частоты квантующих импульсов при принятии мер к стабилизации этой частоты пренебрежимо

Рис. 3-8. График кванто­ вания Тх на двух смеж­ ных участках аппрокси­ мирующей ломанной ли­ нии.

мала по сравнению с остальными составляющими и ею можно пренебречь. Поскольку квантование периода производится высокой частотой, которая перед поступлением на вычитающий счетчик делится делителем с большим коэффициентом деления, погреш­

ность — -— по сравнению с остальными составляющими доста- "l to * х

точно мала и его также можно пренебречь.

При равномерном следовании импульсов, поступающих на вход вычитающего счетчика, внутри каждого участка линеаризации погрешность дискретности преобразования в пределах этого участ­ ка имеет один и тот же знак (рис. 3-8). Учитывая это, аппрокси­ мирующие отрезки целесообразно проводить так, чтобы погреш­ ность аппроксимации всегда имела один знак. Обе указанные погрешности должны иметь противоположные знаки. Тогда пре­ дельная относительная погрешность измерения частоты определя-

5,	большей из по-
ется суммой относительных погрешностей —
«1
грешностей 0апр или 0д .Пр.

Следовательно, при синусоидальной форме входного сигнала и наличии помех точность измерения частоты ограничена и опре-

5.> деляется величиной — В этом случае нецелесообразно добиваться

«1 значительного уменьшения погрешности преобразования. Если же

измеряется частота следования импульсов с	крутыми	фронтами,
то погрешностью ^ , вызываемой помехами,	можно	пренебречь,
«1

а для повышения точности измерения частоты необходимо доби­ ваться уменьшения погрешности преобразования путем увеличе­ ния количества отрезков аппроксимации. Количество аппроксими­ рующих отрезков с заданными приведенной и относительной пре­ дельными погрешностями преобразования ôm и 6^, равными 1%,

при рабочем диапазоне измеряемых частот т , равном 10, опреде­

ляемые	в соответствии с (2.18) и (2.20) равны	7	и 12, а при
ôm и 6^,	равных 0,1% — соответственно 22 и 39.	В	связи с тем,

что при дальнейшем уменьшении этих погрешностей, количество участков линеаризации еще резче возрастает, создание цифровых частотомеров с приведенной погрешностью преобразования, мень­ шей 0,1%, в соответствии с описанным методом будет нецелесооб­ разным ввиду резко возрастающей сложности их схемной реа­ лизации.

3.2. Измерение частоты, основанное ма использовгшги кусочно-линейной аппроксимации (р(Гх), при равномерном ступенчатом изменении коэффициента деления образцовой частоты

Оптимальная с математической точки зрения кусочно-линейная аппроксимация функции <р (7*^), обладающей существенной нели­ нейностью, особенно при большом рабочем диапазоне, как было сказано выше, не приводит к простой реализации схемы ЦЧ, осо­ бенно в случаях, когда погрешность измерения не должна превы­ шать 0,1%. Поэтому был предложен новый способ аппроксимации ф(7'х), позволяющий значительно упростить схему ЦЧ.

Кусочно-линейная аппроксимация <р(Тх) с равномерным сту­ пенчатым изменением коэффициента деления образцовой частоты

позволяет упростить схему прибора. При воспроизведении ф(Гх) частота следования импульсов заполнения, поступающих на вход вычитающего счетчика, должна постоянно уменьшаться, то есть коэффициент деления управляемого делителя частоты должен постоянно увеличиваться. Этот коэффициент деления молено увели­ чивать на постоянную величину Д/ед с поступлением кахедого оче­ редного импульса на вход вычитающего счетчика. Выражение для длительности временного интервала, соответствующего поступле­ нию k-ro импульса на вход вычитающего счетчика, может быть представлено в виде

T — Tu4- ka>k’TQ-\- hkz-TQ(\			2 +	3 -j-	-f k) —
=	Tu +	K .k■T0 + fe(fe +	1}	• AVT0 =
=	Т'„ +	А ^ д + ^ Г 0 +	/г= .^ .Т 0,		(3.36)

где Ги — начальное значение длительности временного интервала; кд — начальное значение коэффициента деления; Д£д — прира­ щение коэффициента деления /гд; Т'0 — период следования импуль­

сов генератора образцовой частоты.

Благодаря тому, что в выражение (3.36) наряду с членом, со­ держащим k в первой степени, входит также член, содержащий А2, этот способ аппроксимации может эффективно применяться для воспроизведения функций, обладающих существенной кри­ визной. График аппроксимирующей функции (без учета дискрет­ ности) представляет собой кривую с переменной кривизной.

Исследования показали, что изменение коэффициента деления управляемого делителя частоты достаточно производить после поступления на вход вычитающего счетчика каждых нескольких импульсов. В этом случае выражение для длительности временно­ го интервала в зависимости от количества импульсов, поступивших на вход вычитающего счетчика, может быть записано в виде

71= Г,, 4- \{тп' — \) q + р\ЬлТц-\- 'm' (т! — 1) ■q + ж'^ААдТ;.

где q — количество импульсов, после поступления которых на вход вычитающего счетчика коэффициент деления частоты увеличи­ вается на Д£д; т' — количество изменений коэффициента деления, начиная с момента времени t= T n\ р — количество импульсов, по­ ступивших на вход вычитающего счетчика после последнего уве­ личения коэффициента деления (p^ q).

При воспроизведении ф(7’.-с) мгновенное значение частоты сле­ дования заполняющих импульсов должно быть

	(Тх)	d(KlTx)	(3.38)
	dTx	dTx

Из равенства (3.38) следует, что если некоторому значению пе­ риода T = 7V соответствует значение частоты заполнения fau, то

удвоенному значению периода Т"х = 2 Т' соответствует уменьшенное

в четыре раза значение частоты заполнения -^-.Поэтому целесооб­

разно предусмотреть в составе прибора с таким видом аппрокси­ мации функции <р(Тх) устройство для функционального кодиро­ вания в сравнительно узком диапазоне временных интервалов

7оЧ-270| соответствующем диапазону изменения аппроксимируе­ мой функции No—Nol2 и рабочему диапазону измеряемых частот ^макс//мип=2} а функциональное кодирование в последующих диа­

пазонах 270-j-47o, 4ГоЧ-8Го, 870-М 670 осуществлять тем же устрой­ ством путем уменьшения частоты следования заполняющих им­ пульсов при каждом переходе из диапазона в диапазон в четыре раза. В связи с этим ниже рассматривается аппроксимация отрезка АВ кривой <р(7*), соответствующего диапазону временных интер­ валов 7оЧ-270 (рис. 3-9).

Рис. 3-9. Основные уча­ стки функции ф(Гх) при функциональном кодиро­ вании временного интер­ вала.

Так как в цифровых частотомерах результат измерения обычно представляется в десятичной системе счисления, вычитающий счет­ чик выполняется двоично-десятичным, а номинальное значение аппроксимируемой функции No=iOd представляет собой степень десяти, то целесообразно с целью упрощения схемы устройства отрезок АВ кривой <р(7ж) разбить на пять равных участков, раз­ ность ординат которых является степенью десяти

С = _ ______?. = 1 0 " - '.

5

а коэффициент деления частоты увеличивать на Д/гд каждый раз после поступления в вычитающий счетчик количества импульсов, являющегося степенью десяти. При таком решении коэффициент деления УДЧ в пределах каждого из пяти участков отрезка АВ функции ф (7ж) определяется выражением

^дуе= Лду-!- Д^ду* Е,

(3.39)

где у= 1, 2, 3, 4, 5 — номер участка отрезка АВ\ е=1, 2... — номер аппроксимирующего отрезка на каждом у-ом участке; £Ду — на­ чальный коэффициент деления на у-ом участке; ДЛду — прираще­ ние коэффициента деления при переходе от одного прямолинейного

юо