книги / Микропроцессорное управление технологическими процессами в радиоэлектронике

начальная температура
	Т (0, г) — JT*IJ) (г),			(3.86)
где Т * = const;	ф (г) — заданное		распределение тем­
ператур в верхнем сечении луковицы;
условие симметрии
	дТ			(3.87)
	дг
условие теплообмена		на границе
-	К 4£- =	а \Т -	(ж)],	(3.88)

где п — направление внешней нормали к поверхности; а — коэффициент теплоотдачи; Ттт (х) — распреде­ ление температуры источника нагрева вдоль оси лу­ ковицы;

конечная температура

Г (х к,г) = Гв,

(3.89)

где Тв — температура окружающей среды (воздуха); хк — осевая координата нижнего сечения луковицы.

Общее решение ищем в виде линейной комбина­ ции.тепловых потенциалов простого и двойного слоев [28J

Т ( х , г ) = | <р (a) Q*da + j q>t (т|) - ^ - d t | +
+	(3.90)
L>t
Первое слагаемое в правой части уравнения	(3.90)

представляет собой потенциал простого слоя, а сумма второго и третьего — потенциал двойного слоя. Вхо­ дящие в подынтегральные выражения функции G* (х,

r> 1* Tl) и d(j* (х, г,	ri)/d£ — ядра потенциалов
	ill

простого и двойного слоев, зависящие от переменных интегрирования и параметров — координат точек за­ данной области; произвольные функции <р (а), ср3 (ц) и

Фз (т]) — плотности

потенциалов:

do — элемент дли­

ны дуги

заданного контура

L;

dr\ — элемент

длины

заданных контуров

L 3 и

La

(рис.

5).

Потенциал простого

слоя

используется

в дальней­

шем для удовлетворения

гра­

ничным

условиям

на

конту­

ре L, а потенциал двойного

слоя—■ на контурах L x и L2.

Рис.

5.

Схематическое

С

учетом

свойств

просто­

го и двойного слоев

[28] мож­

изображение области лу­

но записать следующее

выра­

ковицы

жение для

производной

от

температуры по нормали в произвольной

точке кон­

тура

дТ

\

1

/ ч ,

Г

/ ч dG*

,

г

,

.

дЮ*

,

157|ь = Т

ч5(0«) +

] ф (о)"айГ do +

i

4,1 (ч) арй7 +

+ W

4)W

<3'91)

и

Подставляя уравнение (3.91) в граничное условие теплообмена на контуре (3.88), получаем следующее граничное интегральное уравнение:

аТ	(*) = ajjq>(а)G*da + ^ q>i(П)-Щ - +
+ { ? ,	to> ip K 7 A i] +	^ - т ф (°») +	[ ф <а > - £ - d 0 +
	Lt	L|	J	(3-92)

112

Граничные интегральные уравнения для конту­ ров L, и L2 имеют вид

Т *1|> (г,) =		£ <р (<т) G*da +		J <Pi (л)	dy\ +
+	~	<Pi (r0 + 1	щ (л) ~~щ~ ^л;		(3.93)
		L
т я =	£ ч> (о) G*da +		|	<Pi (л )- ^ - <*Л +
	L		t,
+	f	щ (Л) ■^	<*Л + 4- Фа ( г 2)-		(3.94)

В уравнениях (3.92) — (3.94) индексы «О», «I» и «2» при символах т]> а, г означают, что рассматриваются некоторые точки Л40, Mlt М% на контурах L, Lx и L2 соответственно. Неизвестные плотности потенциа­ лов можно определить из системы интегральных урав­ нений Фредгольма II рода (3.92) — (3.94). Ядро G (х, г, 6, г|) можно записать в следующем виде:

G* (х, г, I, п) = J A J0 (Ar) J 0(Лг)) g* (х, I, Л) dA, (3.95)

о

где J 0 — функция Бесселя I рода; g * (х, 5, Л) — функ­ циональное решение обыкновенного дифференциаль­ ного уравнения

Л)---- Л) _ дгд* (jt> Д) =	0. (3,96)
Л — некоторый параметр.
Решая систему уравнений	(3.92) — (3.94) отно­

сительно неизвестных плотностей потенциалов ср(а), <Pi (л) и ф2 (п) методом замены интегральных уравнений конечной системой линейных алгебраических урав­ нений [1 2 J и подставляя результаты решения в урав­ нение (3.90), получаем распределение температуры

113

для

вытягиваемого

волоконного

световода вдоль оси (кривая 1)

при

г =

0

и

на

поверхности

(кривая 2) при г =

R, где R —

радиус ВС, а также по попереч­

ному

сечению

(у H G .

6).

Точка

х =

5

см

соответствует

макси­

муму

температуры.

т;с

Преобразование урав­

нений Навье — Стокса в

*5 е м

5SSD8 0 /

интегродифференциаль -

Г

ные

соотношения

для

5 7 0

стационарных течений

ньютоновской жидкости

с переменной вязкостью.

Рассмотрим

уравнения

Навье — Стокса

(3.83) и

Рис. 6. Распределение

темпера­

(3.84) для

задачи

о вы­

тяжке

волоконных

све­

туры для ВС вдоль оси и

на

товодов.

На

произволь­

поверхности (а)

и

по

попереч-

ной

бесконечно

малой

ному сечению (б)

для

различ­

ного отношения

rlR

площадке dS поверхнос­

ти 5

с внешней по отно­

шению к рассматриваемому объему

V нормалью п —

= е% (|е1) —- декартов

базис

правой

ориентации),

действуют напряжения

Р п =

{— Fn + М- f(/*V) v -f- V (vn)] }s.

(3.97)

Сопоставим с уравнениями (3.83), (3.84) и (3.97)

аналогичные

соотношения

X(х) Аи +

(VA.V) и +

V {11Щ — Vq (х) +

+ £ (*) =

0;

(3.98)

Qn = {— qn +

k [(«V)и -{- V (кл)]}з

114

и запишем равенство

vg — uf = V {qv — ри + р (aVo -f Vvu) —

— 1 {vVuJr Vnu)) + 2 {X — p) {sp('Vw D* [o])), (3.99) где sp (у u D* lyl) — след. произведения тензоров;

{sp <V«	D* [D])} = D* [u] ... и = -J- £	U l r f i r +
	i=l /=1		i \	i
+	D* [v[ — тензор с компонентами ^		-f
Зафиксируем внутри объема V произвольную точ­
ку с	радиусом-вектором у = ег1у1,	выберем		шар
VHмалого радиуса е с центром в точке у и сферу, огра­
ничивающую этот шар, S e. Обозначим г =			| к — у |;

dV — элементарный объем, равный dxx dx2 dx9l Поло­

жим в уравнениях (3.98)		и (3.99) \			(х) = р W. и ®
= ^ ( т -); Я =	О- При этом для х £ (V \Ke)U S будут
справедливы	равенства
- i = (V ^ V )v (i-) + w ( i - ) v y
Q„ = n[rtVv(-L) +			w	( 4	я)];
	Г1Г1 I	5	f	дц	3( Г )

	- I T )		д" ( т )
QnP = 2|i 2		= 2n 2 0| - ЩM
	S v‘ni dxfiXj	* _I	*
1 -1	l-l	{-1	115

Проинтегрируем равенство (3.99) по объему V\VB и» воспользовавшись формулой Остроградского — Гаусса, получим

	(*< — Уд Ifi W — 2vt (х)			(х) —
— 2erl (VpVn)] dV — div^ я			Рп (*) + 2» (*)		Ф (х)
					дп
	— 2 ц (x )v (x )-^ -		dS	=
- 5 5	ДО-%Н	*	+* )+*‘и *]-
+	-J- ^ (*) 0*(-*)) п,	+	- J	(х) dS =
	I		8 s e
		+	Зи( (у) ^ - } Я		ntn,dS +
				i > So

+4яр(р) + 0(в).

Впоследнем выражении, полученном формулы Тейлора, учтем, что

2	dVjiy)	= 0;
	дУ{
i=i

(3.100)

с помощью

1 = /

* * ■ / , '

При в —► 0 объемный интеграл в левой части ра­ венства (3.100) оказывается равномерно и абсолютно сходящимся, при этом правая часть равенства (3.100)

имеет предел 4я 1р (у) — 2 v (у ) grad р (й1.

Ив

В результате получаем следующее выражение для гидродинамического давления:

Р (у) = ~ sr div | Ш			If to — 2 (О M Дц (*) +
+ Vn(*)Vo(x))]'-4			?«<*) + й (*) Ф М	I
		+ift
— 2ц (х) v (х) -jj- [ - j- ) | dS[ + 2о (у) grad ц (у).				(3.101)
	■(+)]•
В соотношениях (3.98) и (3.99) примем
fc = м-о = const >	0;	g =	e~k6(х — у)\
ч—ч*(*• Ш)= **4^.у* ;				(3.102)
Qn = OS = (— V	+	Цо («Vit* + Vu*n)}j,xes>

здесь б (x — у) — обобщенная функция Дирака; б* —

символ	Кронекера; положительная постоянная р0
задана	произвольно.
Интегрируя выражение (3 .99) по объему V, запи­
сываем для k =		1 , 2 , 3:
	< Ш = ^ Ц ( х ) й ( х , у ) -
— v (х) 2ц0 fsp (V«* D* [ti D) dv + j j {/’л W			(*iF)—
	_	— 0 Й(ж. £ )?(*)) <*$.	(3-l03)

rge v (x )- (i»(x) — mj/ц,.

117

Очевидно, что постоянную р0 > 0		целесообразно
выбрать такой, чтобы	функция v (х)	оказалась (в
некотором условном смысле) минимальной.
Функции ыА(х, у) можно расписать в виде
И* (*. У) =	rot rot («"Н

при этом удобно отнести обе операции rot к независи­ мой переменной 'у. Три вещественные формулы (3.103) объединим в одну векторную

Snv {у) = — rot rot	Ш 1 - — ч(х) ((VrV) v +
	( Д о -
+ V (oV r))|dK +	-o -|--n (w V r)Jd sJ +
	(3.104)

Можно показать, что последняя формула эквива­ лентна комбинации из двух равенств

8яо (у) = — rot r o t j j j j ((VrV) о + V (t»Vr)) dV —

— J J [5 1 T -+-»(Vr3)] dS +	2 grad J $ - 2 - dS	;
S	5	'

rot rot I ff f [/ (x) r — p (я) (VrVu H- VyVr)J dV +

+ J J ^ W r d s ] = 0 ,

111

Отсюда видно, что выбор значения р0 не может влиять на результаты расчетов с помощью получен­ ных формул (3.103) и (3.104). Поэтому справедливо утверждение: система уравнений Навье — Стокса рав­ носильна системе интегродифференииальных уравне­ ний (3.101) и (3.104).

Уравнения (3.101) и (3.104) преобразованы для осесимметричных течений. Вследствие громоздкости соответствующие выкладки опущены. Предельным пе­ реходом в выписанных урав­ нениях при стремлении точ­

ки у к произвольной точке
на	границе рассматривае­
мой области получается си­
стема ГИУ. Граничные ус­
ловия на Lj и L2 приводят
к интегральным		уравнени­
ям Фредгольма 1 рода, а на			ростн для ВС вдоль оси и на
L — к интегральным урав­			поверхности (а) и по по­
нениям Фредгольма II рода			перечному	сечению (б)	для
с	особенностями	в ядрах	различного	отношения	о (х,
			г)/о (х)
потенциалов.

Можно рекомендовать следующий алгоритм реше­ ния этих уравнений. Первоначально решить задачу для процесса с постоянной вязкостью (х0, обеспечиваю­

щей минимальность функции v (х). При этом можно

пренебречь членом с множителем v (х). Далее, предпо­ лагая постоянство напряжений на контурах L, и L2, можно перейти к системе интегральных уравнений II рода относительно неизвестных скоростей течения. Решение этой системы аналогично решению уравне­ ния энергии. Найденные скорости течений подставить

119

в отброшенный член, а распределение скоростей уточ­ нить с учетом переменной вязкости. Наконец, на основании кинематического условия на L (vn = 0) скорректировать контур и процесс повторить.

Распределение скорости для вытягиваемого воло­ конного световода вдоль оси (кривая /) при г = 0 ина поверхности (кривая 2) при г = R, где R — радиус ВС, а также по поперечному сечению показано на рис. 7 (v = / (х) — средняя скорость).

3.6. МОДЕЛИ ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО ПРОЦЕССА ФОРМОВАНИЯ СТЕКЛЯННЫХ ТРУБ

При анализе процессов формования стеклянных труб необходимо учитывать следующие факторы: поток стекломассы, тепловое движение по периметру стекло­ массы, распределения формовочного давления и уси­ лия вытяжки с учетом собственной массы стекломас­ сы и поверхностного натяжения стекломассы. Рас­ чет вязкого трения жидкого стекла сложен, требует большого времени и не дает точных зависимостей в широком диапазоне формования. Более прост и точен метод, описанный в работе [43], согласно которому процесс формования можно выразить простой зависи­ мостью между напряжением при растяжке и скоростью деформации вязкого тела при следующих упрощаю­ щих предпосылках: толщина стенки вытягиваемой трубы в ходе формования по сравнению с внутрен­ ним диаметром мала; напряжение при растяжении, вызванное формовочным давлением, по периметру трубы равномерно; стеклянная труба не ограничена ни в направлении вытяжки, ни по периметру; в про­ цессе формования трубы удельный вес уменьшения внутреннего диаметра равен удельному весу уменьше­ ния толщины стенок; формовочное давление в направ­ лении формования является постоянным; усилие вы-

ISO