книги / Операционное исчисление и обобщенные ряды Лагерра

Таким образом, при Я # 0, — 1, —2 , ...
J	и1- 1dit =		— 2х.		(4.1.8)
(0)
	8(f)	2	1		1
Следствие 1. Имеем		1		но
		] ü ï--------*Г,			8'(t),

(0)

т. е.

= _ 8'(f).

(4.1.9)

Справедливость (9) можно проверить следующей проце­ дурой |(не связанной с понятием регуляризованного инте­

грала): — z-hr — — -s- S(ÿ), т. e. — fS'(î)=8(f).

Замечание. Тем же методом легко убедиться в справед­ ливости

	0,	0 < А < — п — 1, п— —1, —2,,	(4.1.10)
г"	Щ+пр №к+яК*)* (во всех других случаях п — целое

число, ft=0, 1, 2,...).

Следствие 2. Продифференцируем п раз равенство (8)

по Я:
f в^Ча* udu =	z ^ (-1 )" -* (* ) lnkz	. (4.1.11)
(0)	*=0

Положим, здесь К = —т + 1, что приводит к регуляризации интегралов вида

6

d u		(n—k)\ 1n k z	т > 2.
J Ыпи^Ж	_m—1			(4.1.12)
(0)

Таким образом, в рассмотренных случаях (8) и (11) за регуляризованное значение соответствующих несобственных интегралов принимаются первообразные этих интегралов, аддитивная постоянная которых полагается равной 0.

Рассмотрим теперь случай Л.=0. Справедливо разложение

						оо		a+ n)è
					г \+ п	_ 2	In k Z			(4.1.13)
								и •
						»=0
Имеем
					1			гх+*-1		(4.1.14)
					г			А+п
Учитывая (13), функцию (14) представим в виде
			гх+д—1		1		1 у	In i+ 1 Z	(М-в)*	. (4.1.15)
			“ Â+Ï	:
					г(Х+»)	"Г	г	fe+l	М
							A =U
Следовательно,
J	_	J	Г	х + »	_ _L _					(А+в)*
г			в	в	г(А+в)					kl
		(0)								(4.1.16)

Здесь a * пока что неопределенные аддитивные слагаемые

интеграла от функции ~-\пкг, В силу3(16)

Последний ряд представляет разложение функции 2х j{%+ +1)« в ряд Лорана в окрестности точки Я = — п. Используя

(17) и ряд Г(Л +л+1)= 2 с* > где с к = Г* (1), А-0

разложим в окрестности точки Я = —и в ряд Лорана функ­ цию

3 Здесь и ниже применяется обозначение (а)п= а (а+1)*... (а+п_1),

Г(Х -f 1)2Х= Г(Х + п + 1 ) (Х+1)„ — (в-1)!(А+п)гп +

Для того чтобы обобщить правило последовательного

деления на t оригинала ln*f и учесть соответствие (5), необ­ ходимо, чтобы й-й член последнего ряда представлял «-крат­

ный интеграл вида (~Г	) Ck-m 1пти
Для этого необходимо положить

2 ( i ) e^ “e« e 4 + r * * = 0 , 1 , 2 , . . .	(4.1.19)
m=0'

Таким образом, за регуляризованное значение интеграла

Z	du
С		о,1, 2 , . . .	(4.1.20)
J	1пвв ~ , т =
(0)
	j	т+1«
следует принять первообразную		-f- ат,

где постоянные интегрирования а т определяются из рекур­ рентных соотношений (19).

Теперь разложение (18) можно переписать в виде:

Г(Х + 1)гх =	K l) " " 1	+
	(п-1)Г(*+»)гп
71		(4.1.21)
		(Х+л)й
		А! •

Следовательно, в силу соответствий (3), (5), (10) и правила

(1) заключаем, что разложению (21) в пространстве о. о. отвечает разложение функции {ix} в ряд Лорана:

(4.1.22)

{ ' (в—1)! (!+»)

Получена известная формула из теории обобщенных функ­ ции [31]. Таким образом, показано, что пространство о. о. содержит функции вида {£_п1п*£}. Их изображения могут быть определены из разложения (21). С этой целью разло­ жим в окрестности точки 1 = —п в ряд Лорана функцию.

Г(Х + l)zx=	Г(Х+л+1)гх _		1	2 а д ( Х		+ п)й,
где		(Х+1).	гп0<Лт])п k*=0
	h (z) = 2		ск—т	Ытг		(4.1.23)
				т\
Далее, так как
1	_	(—l)"-1	, V	(л)	(X+n)fe
(Х+1).		(л-1)1(Х+л) “Г		*	(Л-1)!	’
где
						(4.1.24)
то					k
Г(Х + 1)2* = 1 /		( - l)" - 1		А!
					2 a in M 2) +
Zn \ (л-ШМ-л)				(л-1)!	r = 0	(4.1.25)

|(Х+я)*

Â!

Сравнивая разложение	(21),	(22), (25),	получаем (А=0, 1,
2 , ... ; п —1, 2,...)
2	« ï i	r W *	) +	w	= -4я,*(г).
Г= 0
					(4.1.26)
где ûftn), Ъг (г) вычисляются		соответственно		по	формулам
(23), (24).
В частности, при к = 0 , используя равенство

2 ( Г ) ^ = 1 + 4 + - - - + я Ь - > < " Н с

Ш=1
(С — постоянная	Эйлера), получим	соответствие
{^г} 4(0 +	» (и) + In*],	л = 1, 2 , . . .	(4.1.27)

Наконец, методом математической индукции может быть доказано, что введенная регуляризация интегралов вида (12) и (20) корректна [18].

Следствие. Справедливо равенство
т | т ? ) “ { - ? £ } . * - 0 , 1 , 2 , . . .	(4.1.28)

Замечания, 1. Коэффициенты аш, вычисленные по (19), связаны с коэффициентами Qm, введенными в [173], равен­ ством

rno-m-i = ( - l ) m- 1ô m.

(4.1.29)

2. В связи с операционным соотношением (27) интересно отметить следующее: согласно (3.3.12), имеем

(—1)” ■Кп+1)-Цпг		(4.1.30)
в!	2в+1

о

где несобственный интеграл от о. о. понимается в ранее ука­ занном обобщенном смысле.

	СО
Поскольку	Г(Я)= fertfi-W t, ReÀ>0, то, полагая в (30)
z = l , получим

Г(— n)= f	+	» “ 0,1, 2 , . . .
b		(4.1.31)

Это значение Г-функции в точках К = —п совпадает со зна­ чением, полученным в работе [218] с помощью так назы­ ваемой Н а-регуляризации, представляющей собой обобще­ ние метода Адамара.

Этот факт указывает на то, что введенное выше опреде­ ление обобщенных несобственных интегралов достаточно общо и охватывает различные способы суммирования рас­ ходящихся интегралов. Отметим, в частности, что рассмат­ риваемый здесь метод позволяет пойти дальше результатов работы [218] и получить регуляризированные значения производных Г-функции в точках %=—п.

Так, учитывая (26), получим

00

Г»)( - и) = J o

( - l)nr tft+1>(l)

+(h+l)\

In d t = -*Г 2 ® i-r’•^ T T +

L'=o

(4.1.32)

= i l	h+1		r (r)(l)
	y	e(«»+i)i^
n!	JU	k—r	r !
	r-0

§2. Операции над о. о. типа

п.1. Интегрирование и свертка. Имеем

t
jV }d x - Г(/. + 1 )	г>'+1>
О
т. е.
t
j W ’ “ ïix t(M )-	(4.2.1)
О

Разложим функцию (1) в ряд Лорана в окрестности точки

(Ч+1} _ (—l)n_1 5(n—2) (t) V (*+»)* [ v P ^ V

*■+1

(п -«! (И-в)

ft!

U j(B -D fe t+1

		in‘t }	,	( - 1 ) ” m<a~S)(t)
		fn-lj ~T		(a _ I)t	•
			t		t
Согласно (1.22), имеем			I и * = (£		a£li) 1*IMI	+
	t		о		о
+2fc=0		ft+n)6
	. f { - >
		kl

Сравнивая эти разложения, получаем формулу интегриро­ вания

			(ft—Qt			(—i)rafe/atra~2>(t>
		(a-l)*~ i+1				(п- l)! (n -l)*+1 *
Далее, при	любых	X,	—1, —2 , . . . ,			согласно		(4.2.2)
								правилу
	t
свертки, и м е е м J		{хх} {(f —		**■ Г(Х + 1 ) Г (и- + 1) 2Х+^ ,
Отсюда	О
				Г(Х-Ц )ГЫ -1)			jXj.,t	(4.2.3)
				Г(Л+^+1)
Для X, ц, равных целым отрицательным числам, указанная
свертка вычисляется аналогично [13].								£>{tx} =
п. 2. Обобщенное дифференцирование. Имеем
= X {fx-1}.	Аналогично п. 1, исходя из сравнения соответст­
вующих разложений в ряд Лорана в						окрестности точки
X = —п, получаем :
		п		i»+i} +	(-1)	-S(")(f),
					ni			(4.2.4)
						. .	к
				( » “	1,2,			•••)
		=к	[la6”1 * )		/laH 1
	1>{-рг\ =		1	*B+l /” *1		tB+1i *
Легко видеть, что Dlnkt			• г г *		)•

л. 3. Правило подобия. Изображению Г(Х+1)(а2)х,	где
а — произвольное комплексное число,—я ^ а г ga-<n,	пос­

тавим в соответствие о. о. {(aî)x). Очевидны следующие свой­ ства этого о. о. :

а) {(crf)A совпадает с функцией (at)1 для Е е Я > —1,

б) {(at)A}= ax{t*}, \Ф —1,— 2,...

Разлагая о. о. {(af)A в ряд Лорана (1.22), получим функции вида

{(af)-»ln*(af)}. (4.2.5)

Очевидно, изображениями этих функций будут изображения (1.26) с заменой г на аг. Представляет интерес установить

связь функций (5) с функциями вида					f}.
Приемом, изложенным в п. 1, получим
	1пй—г a			5(д~ 1) (t) 1п*+1а
				(-1)"-1 (*+1)(п-1)! ’
						(4.2.6>
В частности, при й=0 имеем
1 |=	_1_ |_1_1	,	lnaô^-»^)			(4.2.7)
(at)n J	an \ tn J	'			an (n—1)1*
Отсюда, например, при a = — 1 получим
			iic		S(«-D(f).	(4.2.8)
			(»—1)!

Вышеприведенные формулы указывают на необходи­ мость соблюдать определенную степень осторожности при различного рода операциях над рассматриваемыми «сте­ пенными функциями». Эту мысль также подтверждает сле­ дующий пример :

{^ р } = (т| + {т}+ tXlnÀ + № - (X + P»n(X + p)]«(f).

(4.2.9)

Замечание к правилу деления о. о. на t. Пусть f(t) — це­ лая функция экспоненциального порядка роста. Тогда

00	fk	00
— ^ ak	ы •*-F (z) =	2 akzk•
Л-0		A=0

В этом случае вопрос об определении о. о. {t nf(t)} и от­ вечающего ему изображения может быть решен в обход

ранее сформулированному правилу деления о. о. на t п мето­ дом выделения особенностей.

Предположим, что существуют пределы F(0), F'(0 ),...»

i?(n—1)(о)ф Тогда, используя соотношения	(3.2.9), (3.2.14),
t	Z
имеем („_*)|(» J ((—,)•-■ jjs / (')* *

- 2k=0 * " « > £ J] £ •

Здесь предполагается, что интеграл в правой части не требу­ ет регуляризации. Отсюда, учитывая равенство

t			л—1
(п—1)! J (*	Ъ)П—1	{ f со} d * = {/w }— 2 F {k)(0)k\			Ш»
0			k=0
получим
cs=wl<г-		[*-> - 2	* в<) ж ]•+£
(_1£ * У (~ 1)^ (Й)(0)^			Шп-k)	. 1пг1
^	г»	(H)s (л- f t - l ) !	LT	-t-m zj.
Пример . «7o(21/Я^)-7-е-Хг.
Следовательно,	|Jn	Jч- — j*- i — —-		du. -{- \nz—C
Хг
= — [1пХг — f	du — C— lnX) = ~ [Ei (—Хг) —2С-1пХ].
о
Итак,
	j	[Дг(_Хг) -	1пХ —2С].		(4.2.11)

§ 3. Функции со степенной особенностью в произвольной точке

Включение функций типа	в пространство обоб­
щенных оригиналов было дано в §	1. Ниже будет пока­

зано, что указанное пространство содержит также функции типа (f—a)~Blnft(f—a)?](f), If—a|-nlnfc|f—a | 7 }(f), f_nlnftfi7(a—f) и что отвечающие им изображения могут быть построены на базе регуляризации некоторых расходящихся интегралов.

п. 1. Функции типа f-nln*f. Учитывая (1.23) и (1.24), со­ отношение (1.26) представим в виде:

2 (*+>»■-"*2 (Г)г'"-'дах

'• ’ т=0 4 ' 1=0 '

(4.3.1)

“■г >

где ti(f) — единичная функция Хевисайда.

Отсюда как частные случаи (при ft=0, 1, 2,) получаются соотношения, выведенные в работе [173].

Действительно, полагая в (1) ft=0, 1, 2, используя равен­ ства

+	2 2 - W .
выражая Г(*)(1) через	(^(2)—Г'О^ЛХз)) и учитывая,
что

Фан - с + 2 т » ww(»+1)=ф<*>(1)+(-1tu 2 -fer,

k~l	£=l
получаем

["^r} 4W (n—i)izn

s -^я, о (2)i

(4.3.2)