книги / Равновесие анизотропных полых сферических и цилиндрических тел под действием массовых сил
..pdfR(θ) |
|
θ= |
π = R (θ) |
|
θ= |
3π = 0 , |
|
|
(3.49) |
||
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2π |
|
|
|
R(θ), |
π < θ < 3π ; |
||||||
σrr cosθ dθ = −π (b2 − a2 )γ , σrr |
|
|
2 |
|
2 |
|
|||||
= |
|
|
|
||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
0, |
3π |
≤ θ ≤ |
π |
. |
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 3.8. Тяжелый ортотропный цилиндр, находящийся под действием неравномерного бокового давления
Ограничения (3.49) вызваны тем, что неравномерно распределенное давление является реакцией основания на действие собственного веса тяжелого цилиндра с радиусами a и b внутренней и внешней боковой поверхности. Здесь γ – удельный вес.
Представим решение задачи для бесконечно протяженного тяжелого толстостенного ортотропного цилиндрического тела со свободной от нагрузок внутренней поверхностью, которое находится на грунтовом основании, в виде суперпозиции решений (рис. 3.9): классической задачи Ламе ( i = 0 ), задачи о равновесии тяжелого цилиндра с жестко закрепленной внешней и свободной
111
от напряжений внутренней боковой поверхностью ( i = 1), и, наконец, с жестко закрепленной внутренней и заданным неравномерным давлением на внешней поверхности ( i > 1).
Рис. 3.9. Суперпозиция решений задач
Предположим, что площадь контактной поверхности и реакция основания известны и неизменны, а сама реакция
распределена по закону R (θ) = Aθ2 + Bθ + C. Тогда, восполь-
зовавшись условиями (3.49), можно определить коэффициенты уравнения параболы и записать частный вид реакции следующим образом [31, 32]:
R(θ) = 161 (b2 − a2 )(8π θ − 3π2 − 4θ2 )γ .
112
Закрепление цилиндров по внутренней или внешней поверхности приводит к появлению на этих участках дополнительных реакций, интегральный вклад которых определяется по формуле:
2π |
(i>1) |
|
|
|
|
|
|
π |
|
Ra = |
|
|
cos |
θ + |
(3.50) |
||||
σrr |
|
|
|
dθ , |
|||||
0 |
|
|
r=a |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2π |
|
|
|
|
|
|
|
|
Rb = σ(rr1) |
|
r=a cosθ dθ. |
|
||||||
|
|
||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Поскольку исходная задача не предполагает каких-либо условий закрепления, то необходимо скомпенсировать реакции (3.50). Для этого предположим, что неоднородные реакции на закрепленных поверхностях могут быть заменены эквивалентными равномерно распределенными нагрузками интенсивностью: qa = Ra π и qb = Rb π . Тогда граничные условия для рас-
сматриваемой суперпозиции краевых задач (см. рис. 3.9) можно представить следующей группой равенств [31]:
|
|
|
|
σ(i=0) |
|
|
|
= − p |
− q |
a |
, |
|
σ(i=0) |
|
|
|
= − p |
− q , |
(3.51) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
rr |
|
|
r=a |
a |
|
|
|
rr |
|
|
r |
=b |
b |
|
|
b |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
u(i=1) |
|
|
= v(i=1) |
|
= 0 , |
|
σ(rri=1) |
|
|
|
= 0 , τ(riθ=1) |
|
|
= 0 , |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
r=b |
|
|
|
|
|
|
r=b |
|
|
|
|
|
|
r=a |
|
|
|
|
r=a |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
u(i>1) |
|
r=a |
= v(i>1) |
|
r=a |
= 0 , |
σ(rri>1) |
|
r=b |
= Pi |
cosi θ , |
τ(riθ>1) |
|
= 0 , |
|||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r=b |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
где Pi = (−1)i (a2 − b2 )γ i2 |
– |
коэффициенты разложения реак- |
ции грунтового основания в тригонометрический ряд по окружной координате. Эти условия позволяют записать выражения
для постоянных интегрирования C1 , C2 , a1(i) , a2(i) , a3(i) и a4(i)
общих решений, которые представлены вторым уравнением
(3.10), формулами (3.28) и (3.35).
113
Постоянные C1 и C2 определяются равенствами:
C1 |
= − |
( p + q |
|
)an+1 − |
( p + q |
)bn+1 |
|
||||
a |
|
a |
|
b b |
|
, |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
(K11n + K12 )(a2n − b2n ) |
|
|
|
|
|||||
C2 |
= a |
2nb2n |
( pb + qb )a − ( pa + qa )b |
. |
|
||||||
|
|
||||||||||
|
|
|
(K11n − K12 )(a2n − b2n ) |
|
|||||||
Константы интегрирования a(1) , a(1) , |
a(1) |
и a(1) |
при i = 1 |
||||||||
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
были вычислены ранее из решения системы линейных алгебраических уравнений (3.45) с коэффициентами (3.32). Эти по-
стоянные имеют вид (3.47). При i > 1 константы a1(i) , a2(i) , a3(i)
и a4(i) являются корнями системы линейных алгебраических уравнений:
|
|
|
|
|
a |
(i) |
a |
ξ |
+ a |
(i) 1 |
+ a |
(i) |
a |
ϕ |
+ a |
(i) |
1 |
|
= 0 , |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 aξi |
|
|
4 aϕi |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
(i) |
ψ |
|
ξ |
+ a |
(i) ψ2i |
+ a |
(i) |
ψ |
|
ϕ |
+ a |
(i) |
ψ4i |
= 0 |
, |
|||||||||||||||||
|
|
a |
|
a |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
a i |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
2 aξi |
|
|
|
aϕi |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
1i |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
3i |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
||||||||||||
a(i)S |
bξi −1 |
+ a(i) |
S2i |
|
+ a(i)S |
|
bϕi −1 + a(i) |
S4i |
= (−1)i |
γ |
(a2 − b2 ) , |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
i2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
1 1i |
|
|
|
2 bξi +1 |
|
|
3 |
|
|
3i |
|
|
|
|
4 bϕi +1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
a(i) N |
bξi −1 |
− a(i) |
N2i |
+ a(i) N |
|
bϕi −1 − a(i) |
N4i |
= 0 . |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
1i |
|
|
|
|
|
|
|
2 bξi +1 |
3 |
|
|
3i |
|
|
|
|
4 bϕi +1 |
|
с коэффициентами (3.34), (3.36) и (3.47), представляются после преобразований следующим образом:
|
|
|
|
a(i) |
= − |
b |
(−1)i |
γ |
(a2 − b2 )× |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
T1 |
|
|
|
i2 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
×{aξi +ϕi bϕi [i + ψ2i (1+ ξi )](ψ3i − ψ4i ) − bξi + 2ϕi [i + ψ3i (1− ϕi )]× |
|||||||||||||||||
×(ψ |
2i |
− ψ |
4i |
) + a |
2ϕi |
b |
ξi |
(ψ |
2i |
− ψ |
3i |
)[i + ψ |
4i |
(1+ ϕ )] , |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i } |
114
|
|
|
|
|
|
|
a2(i) = − |
aξi b1+ξi |
(−1)i |
γ |
|
(a2 − b2 )× |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
×{aϕi bξi +ϕi [i + ψ1i (1− ξi )](ψ3i − ψ4i ) − aξi b2ϕi [i + ψ3i (1− ϕi )]× |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
×(ψ |
|
− ψ |
4i |
) + a |
ξi +2ϕi |
(ψ |
− ψ |
3i |
|
)[i + ψ |
4i |
(1 |
+ ϕ )] , |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
} |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a(i) |
|
= |
b |
(−1)i |
γ |
(a2 − b2 )× |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
T3 |
|
|
|
|
|
i2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
×{b2ξi +ϕi [i + ψ1i (1− ξi )](ψ2i − ψ4i ) − a2ξi bϕi [i + ψ2i (1+ ξi )]× |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
×(ψ |
|
− ψ |
4i |
) |
+ a |
ξi +ϕi |
b |
ξi |
(ψ |
− ψ |
2i |
|
)[i + ψ |
4i |
|
(1+ ϕ )] , |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
} |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
a(i) = |
aϕi b1+ϕi |
(−1)i |
γ |
(a2 − b2 )× |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
T4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
×{a2ξi +ϕi [i + ψ2i (1− ξi )](ψ1i − ψ3i ) − aϕi b2ξi [i + ψ1i (1− ϕi )]× |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
×(ψ |
2i |
|
− ψ |
|
3i |
) + a |
ξi |
b |
ξi +ϕi |
(ψ |
2i |
− ψ |
|
)[i + ψ |
3i |
(1− ϕ )] , |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1i |
|
|
|
|
|
|
|
i |
} |
|
|
|
||||||||||
|
T = T |
+ T |
|
− T |
|
|
+ T + T + W , T = −T |
|
− T |
+ T |
− T + T + W , |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
1 |
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
3 |
4 |
5 |
|
2 |
|
|||||
|
T = −T − T |
|
+ T |
− T |
|
+ T + W , |
|
T = T |
|
− T |
+ T |
− T |
+ T + W . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3 |
|
1 |
|
2 |
|
|
3 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
2 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
3 |
4 |
6 |
|
2 |
|
|||||||
Здесь |
W1 = i2K12 (a2ξi b2ϕi + a2ϕi b2ξi )(ψ2i − ψ3i )(ψ1i − ψ4i ) + |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
+2aξi +ϕi bξi |
+ϕi ( |
ψ |
− ψ |
2i |
)( |
ψ |
3i |
− ψ |
4i |
) − |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
− (a2(ξi +ϕi ) + b2(ξi +ϕi ) )(ψ1i − ψ3i )(ψ2i − ψ4i ) , |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
W2 = i2K12 (a2ξi b2ϕi + a2ϕi b2ξi )(ψ2i − ψ3i )(ψ1i − ψ4i ) + |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
+2aξi +ϕi bξi |
+ϕi ( |
ψ |
− ψ |
2i |
|
)( |
ψ |
3i |
− ψ |
4i |
) − |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
− (a2(ξi +ϕi ) + b2(ξi +ϕi ) )(ψ1i − ψ3i )(ψ2i − ψ4i ) , |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
T |
= a2ξi b2ϕi |
[(1+ ξ |
)(K + K ϕ ) |
ψ |
2i |
+ ( |
ϕ − 1)(K + K ξ |
)ψ |
3i |
+ |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
12 |
|
|
|
|
|
11 i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
12 |
11 i |
|
|
+ i (ξi + ϕi )(K11 + K12ψ2iψ3i )](ψ1i − ψ4i ) ,
115
T |
= b2(ξi +ϕi ) |
[(ξ |
i |
− 1)(K + K ϕ )ψ |
|
|
− (ϕ − 1)(K + K ξ |
) |
ψ |
3i |
+ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
11 |
i |
|
|
|
1i |
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
11 |
i |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
+ i (ξi − ϕi )(K11 + K12ψ1iψ3i )](ψ2i − ψ4i ) , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
T |
= a2ϕi b2ξi |
[(ξ |
i |
− 1)(K − K ϕ )ψ |
|
|
+ (1+ ϕ )(K + K ξ |
) |
ψ |
4i |
+ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
11 |
i |
|
|
|
1i |
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
12 |
|
|
11 |
i |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
+ i (ξi + ϕi )(K11 + K12ψ1iψ4i )](ψ2i − ψ3i ) , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
T = a2(ξi +ϕi ) |
[(1+ ϕ )(K − K ξ |
)ψ |
4i |
|
− |
(1+ ξ |
i |
)(K − K ϕ )ψ |
2i |
− |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 |
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
12 |
|
|
11 |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
11 |
i |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
− i(ξi − ϕi )(K11 + K12ψ2iψ4i )](ψ1i − ψ3i ) , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
T = aξi +ϕi bξi |
+ϕi {K [(2 − ξ |
i |
− ϕ ) |
ψ |
|
|
ψ |
3i |
− |
(2 + ξ |
i |
|
− ϕ )ψ |
2i |
ψ |
3i |
− |
|||||||||||||||||||||||||||||||
5 |
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
1i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
− (2 − ξ |
i |
+ ϕ ) |
ψ |
ψ |
4i |
+ ( |
2 + ξ |
i |
+ ϕ ) |
ψ |
2i |
ψ |
4i |
] − T |
+ T } , |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
i |
1i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
T |
|
= aξi +ϕi bξi |
+ϕi {K [(ξ |
i |
+ ϕ − 2) |
ψ |
|
|
ψ |
3i |
+ |
(2 + ξ |
i |
|
− ϕ )ψ |
2i |
ψ |
3i |
+ |
|||||||||||||||||||||||||||||
5 |
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
1i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
+ (2 − ξ |
i |
+ ϕ ) |
ψ |
ψ |
4i |
− ( |
2 + ξ |
i |
+ ϕ )ψ |
2i |
ψ |
4i |
] + T |
− T } , |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
i |
1i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
T = aξi +ϕi bξi |
+ϕi {K [(ξ |
i |
+ ϕ − 2) |
ψ |
|
|
ψ |
3i |
+ |
(2 + ξ |
i |
|
− ϕ )ψ |
2i |
ψ |
3i |
+ |
|||||||||||||||||||||||||||||||
6 |
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
1i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
+ (2 − ξ |
i |
+ ϕ ) |
ψ |
ψ |
4i |
− ( |
2 + ξ |
i |
+ ϕ ) |
ψ |
2i |
ψ |
4i |
] − T |
+ T } , |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
i |
1i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
T |
|
= K |
{ξ |
[ξ |
( |
ψ |
− ψ |
2i |
)(ψ |
− ψ |
4i |
) − |
( |
ψ |
|
+ ψ |
2i |
)(ψ |
3i |
− ψ |
4i |
)] + |
||||||||||||||||||||||||||
7 |
11 |
i |
|
|
i |
|
1i |
|
|
|
|
|
3i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
+ ϕi (ψ1i − ψ2i )[ϕi (ψ3i − ψ4i ) − ψ3i − ψ4i ]} , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
T |
|
= 2i{K [ϕ |
(ψ |
|
− ψ |
2i |
) + ξ |
i |
(ψ |
3i |
|
− ψ |
4i |
)] + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
8 |
|
|
|
|
11 |
|
|
i |
|
1i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ K12 [ξi (ψ3i − ψ4i )ψ1iψ2i + ϕi (ψ1i − ψ2i )ψ3iψ4i ]} .
Обратим внимание на то, что граничные условия (3.51) позволяют скомпенсировать дополнительные реакции только в радиальном направлении. Несмотря на то, что при закреплении внутренней или внешней боковой поверхности возникают усилия еще и в окружном, и осевом направлениях, попытка компенсации этих реакций привела бы к получению решения с точностью до константы, отвечающей за движение тела как жесткого целого (вращение тяжелого цилиндра вокруг оси симметрии или либо за перемещение в вертикальном направлении).
116
В качестве примера рассмотрим горизонтальный толстостенный монолитный железобетонный цилиндр, наполовину погруженный в грунтовое основание. Будем предполагать, что внешняя поверхность цилиндра, находящаяся выше грунта, и внутренняя поверхность свободны от напряжений ( pa = 0 МПа и
pb = 0 МПа). На рис. 3.10 представлены распределения радиальных u и окружных v перемещений, а на рис. 3.11 и 3.12 – радиальных σrr , касательных σrz , окружных σθθ и осевых σzz напряже-
ний в точках поперечных сечений железобетонного цилиндра на внутренней, внешней и серединной поверхности вдоль окружной θ иобезразмеренной радиальной ρ = (r − a)(b − a) координаты.
Рис. 3.10. Распределение радиальных ( u,10−6 м) и окружных ( v,10−6 м) перемещений в монолитном
железобетонном цилиндре на внутренней, внешней и серединной поверхностях
117
Особо тяжелый монолитный железобетон, из которого изготовлено тело внутренним радиусом a = 3,0 м и внешним b = 5,5 м, предполагался ортотропным, имеющим удельный вес
γ = 40 кН/м3 и следующие упругие модули: Err = 4 105 МПа,
E |
= 8 105 МПа, E |
zz |
= 5,33 105 , G |
= 5,65 104 МПа, μ |
θr |
= 0,15 |
, |
θθ |
|
rθ |
|
|
|
||
μrz |
= 0,075 и μ zθ = 0,375. |
|
|
|
|
||
|
Распределения |
перемещений |
по окружной координате |
носят немонотонный характер (рис. 3.10). Радиальные перемещения u на внутренней поверхности цилиндра всюду положительны, на серединной поверхности принимают положительные
значения до θ = 166 с максимумом при θ = 118 и минимумом
при θ = 180 . На внешней поверхности зависимость u от окружной координаты такова, что отрицательные значения имеют ме-
сто при 0 ≤ θ ≤ 18 и 158 ≤ θ ≤ 180 , а максимальные значения
достигаются при θ = 115 .
Окружные перемещения v являются нулевыми в точках на внешней поверхности верхнего свода при θ = 0 и нижнего
свода, принадлежащих при θ = 129 , θ = 115 и θ = 96 внутренней, серединной и внешней поверхности соответственно. Свои максимальные значения перемещения v достигают при
θ = 90 , θ = 62 и θ = 52 на внутренней, серединой и внешней поверхностях верхнего свода. На нижнем своде при θ = 125 ,
θ = 115 и θ = 125 происходит смена знака, а точки минимума для окружных перемещений на внутренней, серединой
ивнешнейповерхностисоответствуют θ = 125 , θ = 115 и θ = 96 . Характер зависимостей перемещений точек, принадлежащих верхнему своду тяжелого цилиндра в направлении радиальной координаты ρ , существенно изменяется при увеличении угла θ .
Перемещения u монотонно убывают при θ = 0 , монотонно возрастают при θ = π2 и имеют точку локального минимума при
118
ρ = 0,55 и θ = π4 . Зависимости v ρ имеют локальные макси-
мумы, положение которых смещается к внутренней поверхности цилиндраприувеличенииокружной координаты.
Обратим внимание еще на одну закономерность распределения радиальных u и окружных v перемещений [31]. Производные u по окружной координате θ
|
∂u = − a(1)rβ |
+ a(1) |
1 |
|
+ a(1)ln r |
+ a(1) |
+ Br |
2 |
sin θ − |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
∂θ |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
rβ |
|
3 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
∞ |
|
|
(i) |
|
ξ |
|
(i) 1 |
|
|
(i) |
|
ϕ |
(i) |
1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
− i |
a1 |
|
|
r |
i + a2 |
|
|
|
|
+ a3 |
|
r |
|
i |
+ a4 |
|
|
|
|
sin i θ |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
ξ |
i |
|
|
|
|
ϕ |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
i=2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
r i |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
и v по радиальной координате r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
∂v |
|
|
|
|
(1) |
|
|
|
|
β−1 |
|
|
(1) |
|
α2 |
|
|
|
|
(1) α3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
= |
β a1 |
α1r |
|
− a2 |
|
|
|
|
|
+ a3 |
|
+ |
2Ar |
sin |
θ + |
|
|||||||||||||||||
|
∂r |
|
|
|
r |
β+1 |
r |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
∞ |
|
(i) |
|
|
|
1 |
|
|
|
(i) |
ψ |
2i |
|
|
|
|
|
(i) |
|
|
1 |
|
|
(i) ψ |
4i |
|
|
||||||||
+ ξi a1 |
ψ1irξi − |
|
− a2 |
|
|
+ ϕi |
a3 |
|
ψ3irϕi |
− |
+ a4 |
|
sini θ |
||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
||||||||||||||||||||||||||||
i=2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
rξi + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
rϕi + |
|
|
принимают нулевые значения:
∂u |
|
|
= |
∂u |
|
|
= |
∂u |
|
r=(a+b) 2 |
= |
∂u |
|
r=(a+b) 2 |
= |
∂u |
|
= |
∂u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
∂θ |
r=a |
|
∂θ |
r=a |
|
∂θ |
|
|
∂θ |
|
|
∂θ |
r=b |
|
∂θ |
|
|||||
∂v |
θ=0 |
= |
∂v |
θ=π |
= |
∂v |
|
θ=0 |
= |
∂v |
|
θ=π |
= |
∂v |
|
θ=0 |
= |
∂v |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
∂r |
|
r=a |
|
∂r |
|
r=a |
|
∂r |
|
r=(a+b) 2 |
|
∂r |
|
r=(a+b) 2 |
|
∂r |
|
r=b |
|
∂r |
|
|
|
θ=0 |
|
|
|
θ=π |
|
|
|
θ=0 |
|
|
|
θ=π |
|
|
|
θ=0 |
|
|
|
r=b
θ=π
r=b
θ=π
=0 ,
=0
в точках поперечных сечений тяжелых горизонтальных ортотропных цилиндров, принадлежащих вертикальной диаметральной плоскости. Этот результат не зависит от расстояния, на котором от оси вращения находится рассматриваемая точка.
Распределения радиальных σrr , окружных σθθ , осевых σzz и касательных σrθ напряжений по окружной θ и обезразмеренной
119
радиальной координате ρ имеют немонотонный характер (см. рис. 3.11 и 3.12). На внутренней поверхности зависимость σrr от окружной координаты обладает следующими закономер-
ностями: отрицательные значения имеют место при 0 ≤ θ ≤ 60
и 142 ≤ θ ≤ 180 , а максимальные по абсолютной величине положительные и отрицательные значения достигаются в точках
внутреннего свода при θ = 112 и θ = 180 соответственно. На серединной поверхности ( ρ = 0,50 ) радиальные напряжения
принимают положительные значения при изменении окружной координате в интервале от θ = 35 до θ = 145 , а на внешней поверхности – при 142 ≤ θ ≤ 180 .
Рис. 3.11. Распределение радиальных и касательных напряжений в монолитном железобетонном цилиндре на внутренней, внешней и серединной поверхностях
120