книги / Расчет и оптимизация оболочек с резными срединными поверхностями

2 .2 . Исследование математической модели теории ободочек типа Тимошенко

Проведен исследования свойств математической нодели оболо­ чек типа Тимошенко / 6 0 7 на примере задачи об изгибе пластины, бесконечной в направлении ск^-шлтм. Разрешающие уравнения этой вадачи получают из соотношений /2 . Ю /- /2 .1 2 / в предположении

р „ « р , А, =Аг*1.

Л " Г ,Ш ,

Pl'Pz'O .

вад

К, - Кг -О

.

Урмнения m a n

+ Ш?ЬР:dcC,

fZ-Zi/

- » £ И - к Ь

ОДв

cL^ 0,1

Предположим,

что

на

краях

пластина жестко

защемлена, т .е .

ur=fi =0,

d<"0,1.

/2 .2 2 /

Область

определения

задачи

/2 .2 1 /, /2 .2 2 /

составляет мно­

жество Я дв /Й*

иЧщя), U'E С(й,Ь). U(0)s0,

U(1)a 0j .

Исследуй

свойства

оператора задачи /2 .2 1 /, /2 .2 2 /. _Для

этого рассмотрим на мнокэстев

Дд билинейную форму d(U, №)-

~АЮЛ У .Р е В д .

. Выражение для нее

получим

путем умножения левых частей уравнения /2 .2 1 /:

первого

- на ДО’

piupuiвторогои -" псана

/V

),

^ддо^цшэалплскладывания

ЛД|их,

интегрирования по частям

на

промевугке

/*0 ,

I J и учета

граничных у<словий /2 .2 1 /

* » н { и э » > - в н

а

t L d i 1' K'W

-w

.

—

Из соотношения /2 .2 3 /

водно,

что

билинейная форма

&(UУ)

симметрична относительно своих функциональных аргумунтов.

Сформулируем слепнувшую теорему.

Теорема 2 Л .

Оператор задачи

/2 .2 1 /

является положитель­

но определенным,

т .е .

имеет место

неравенство

а(й.й)»ггцй11г,

/2 .2 4 /

ГАЯ

Г я- О,

!Ш ! = f {w‘ *fi )d d ,.

Доказательство. Используя

нераэзнство

Zar'/v*

*

j г‘ )

, Л»0.

- 31 -

неравенств* йридрихса f t Z j
|	иr '‘ r f o ( , » 2 J u r ' i M , ;						itU < *4 .		/2. 26/
■ учитывая /2 .23/, записываем						оценку pjuj билинейной i
alO,dhG^r)l 'Ur'>+2r,ur,)(ldl*D^i(!t((oC, •
* ф - Л ) г Л 2 / / - j ^ %						C / 2 » U £ d o ( , >
>	min{W-A)*Zd, 2G(h j )} (d r*. y,*)dd,.
Обовнкчяы
		Г*-т1п{С(1-А)+2д, 2G(1- J ) } 9							/ 2. 27/
где			К К 1 + Ш-
		Ф ак т образом,			оператор	вйда<т	/2 .2 1 /,	/2 .2 2 / -	положитель­
но определенный.
		Из доказажой		теоремы следует,			что для рассматриваемой
задачи существует				в внергетчесиом			пространстве, определяемом
нормой
			1 0 Ц - а ( 0 . 0 ) .						/2 .2 6 /
единственное решение.
		Для вняснежя структуры инергетического пространства до­
кажем		оледувщум теорему.
		Теорема 2.2.		Энергетическая норма^/2.28/ операторе						задачи
/2.21/, /2 .2 2 / вквивалентна норме							ftO/h	пространства		Собо­
лева		Н1 .
	Доказательство. Необходимо доказать двойное неравенство
		я Щ			‘ *1 0 Ц < *'1 0 Ц '				/г.29/
ГЯе		о
			неравенства			/2 .2 9 /	доказывается как		и поло­
	Левая часть
жительная определенность с использованием ньравенств									/2 .2 5 /,
/2 .2 6 / . При втом			получа як

тг- т

1

я

( е

ц

- /а.эи/

Выполнив несложные преобразования, докажем правую часть неравенства /2 .2 9 / и определим

М2=тах[2G, Ъ, G+D}.	/г.зу
Следовательно, имеет место неравенство /2 .2 9 /,	т .е . энер­

гетическое пространство топологически эквивалентно пространству Соболева Н\ Оно состоит из функций, имеющих на промежутке [ 0, i ] %интегрируемые с квадратом обобщенные потвые производ­ ные.

В вариационной	постановке задача /2 .2 1 /,	/2 .2 2 / эквива­
лентна минимизации	квадратичного функционал	f

L(0 h f J ( r , ♦ S jf d d , * f j f f j j f d d ^ p u r d d ^

Рассмотрим известный в литературе /" 7 9 ./ факт перехода от разрешающих уравнений теории оболочек типа Тимопенко к урав­ нениям Кирхгофа-Ллва. Применительно к нашей задаче этот пере­

ход осуществляется				при дополнительном условии
						аиг		«		/2 .3 3 /
	Условие /2 .3 3 /			выполняется				при наличии в функционале
/2 .3 2 / первого			слагаемого,			которое можно рассматривать как
штрафное слагаемое				при	G~*~ °°
	Уравнениями Эйлера для функционала /2 .3 2 /									со штрафом явля­
ются уравнения			/2 .2 1 / при условии						. Из них следует,
”	”			-йк+у —				л
				id ,		Ь		°-
	Пусть	115 =(иг ,			у	/ )		- решение задачи теории плас­
тин типа Тимошенко,				а		U'iur'rfllfi^lduryddCi))-
решение задачи теории пластин Кирхгофа. Рассмотрим вопрос о
сходимости		и5 «			и*	при		G ~ '° ° .
	Запишем другую [ 6 i,					98 J	вариационную постановку задачи
/2 .2 1 /, /2 .2 2 /,			эквивалентную задаче						о минимуме квадратично­
го	функционала /2 .3 2 /:				найти		0	G lit	, удовлетворяющее
уравнению					т			т
	а(д',8 )=(Р.В),						VtJeU,.			/2 .3 4 /
W	иг={0‘ (ш,г<):							иг.Гг О оря		d,=0;l\

(p Jh jp u rctd ,.

Аналогичное вариационное уравнение теории ..Кирхгофа можно ваписать в виде

ак(д* иНР.д}, U’ eu 1r VUeU,.	/г .з у
ч е и,‘ (й’ 1аг,/■)): ur,jr,£Hf; гкл‘ 0 при	d ,- 0 ;/}.
Обозначим
	/2 .3 6 /

Лса,отря a(e‘ uH(us,5ha(u:uh

Положим е гфеодщ^вй формуле i	и - 6 # Найдем
а(ё\ ё*)*\риг*(1аС,-1риг*й<£1-
® Ш 7	d o t, Л * , " * -

Учтем, что в сяду /2 .3 4 /, /2 .3 5 /

а(ё* es)= fp(urs-vr*J<t<*t-

Воспользуемся неравенством Шварца
^ j p / a ^ - i O f l W , ] * < | p fd	o	i	,	-

* " Г " ’ 1* —		я ё * $ С а 1 * £ б * .
		V *lo*^g M l
Десув часть	неравенства /2 .4 0 / представим кал и
нсменяи /2 .3 9 /,	т .о .	^

(ШИ1))((ГгГ’)г^ * т1(шг,'

/2 .3 7 /

/2 .3 8 /

/2 .3 9 /

,

/2 .4 0 / в соот-

+

< т ° 1 * ,- *Т о + 2 ? 1 рК-

/2 .4 1 /

Отсюда подучим

m*~mn{G{HbD, l ,

f

/ / -

4 j,

4 - }.

ч

Следовательно,

А

л

c

J

К

' »

*

« , ;

»

«

•

/2 .4 2 /

Таким образом,

при

#о

/ / e 5 i , — 0 .

/2 .4 3 /

Полученное соотношение позволяет сформулировать следую­

щую теорему.

Теорема 2 .3 .

Решение задачи

/2 .2 1 /, /2 .2 2 / об изгибе

пластаны тала Тимошенко стремится

по норме пространства

Н к

решению задачи об изгибе

пластаны Кирхгофа-Лява при

G

.

Заметим, что в случае малых относительных

значений толщи­

ны пластины

tl << 1

постоянная

(g*K GЛ

значительно

пре­

восходит постоянную

d=Etl5/(12(1~v)}

. Тогда множитель (j

в функционале

L(U)

можно рассматривать как штрафной. Сле­

довательно,

в норме

пространства

Н

решение

задачи /2 .2 1 /,

/2 .2 2 / достаточно

близко

к решению задачи об изгибе пластины в

рамках модели

Кирхгофа. Причем степень

близости

тем больше,

чем

меньше значение толщины

tl

2 .3 .

Разрешающие уравнения для

оболочек, пологих

относительно резных поверхностей

Как уже было

сказано

/см . параграф 1 .4 /,

координатные ли­

нии на поверхностях,

пологих относительно резных поверхностей

отсчета, в

общем случае

ортогональны,

но не сопряжены.

В свя­

зи с этим выведем соотношения теории оболочек

тала Тймошенко

в ортогональных, несопряженных координатах / “5 0 ./.

Цусть

Uf, U.2, Ш

- компоненты вектора перемещений точки

срединной поверхности,

-

углы поворота нормали,

вы­

званные перемещениями			U4f U2f Uf			• Имеем fZAj
в<"	” 3 7 l * 7	+ a<	' “ « * « • '		et”	Tt jiZ t *U* K* ~U<K,‘ -
Примем для		перемещений		произвольной тонки ободочки закон
/ 2 . i A	Тогда* следуя работе			/ 7 9	J,	выражения для сдвиговых

деформаций представим как

Исходя из принятого закона для перемещений и выполняя пре­ образования аналогично £ ZAj%записываем выражения для дефор­ маций а оболочке так:

р - 4 - д	и * ...	-	(	dAj
С.* ** * “	*

-и4к4+и2кг , и

Ъ=Т1^ + 7 & Ж е - ,ГаК,‘ '	1.2

^ №)+ % щ Ш +

			* ' - * * * )				+
(1	ди<	1	dAt			)	I		\
+ Ч Ъ 1 Г г									т « -
ГД* jfn -	угол упругого		поворота	окрестности				точки вокруг
норш» Гя - (//2At A,)(ldA! Ut/d<£l i-(dAt u,}e<t.2)).
Учягамл, ч м		мера неоотряженности				jL =			для	пожогах
оболочек является		величиной первого			лорядк^1малости /см . пара­
граф 1 .4 /»	опустим	в выражениях для			(Sf ♦	2Cg и			Жц	слагаемые
второго порядка «алооти			Kit	и		Ев)		tf/f	. Полученные

соотношении рассмотрим как геометрические соотношения теории ободочек типа Тимошенко для оболочек, пологих относительно рез­ ных поверхностей.

Запишем их в матричном ei^e, аналогично соотношению /2.21/

СН~

/

л

f

»

Cf4 * < С / з в

0 ,

£ f f

=

д

д f t M

i h

d*

Cts - 0 .

A i * <

£ * з =

< 2 .

^24 “

c «

e

3 7 ^

7 7 *

С з г *

А Л

^

.

iСзз*~2 к#,

C j 4 *

C3 5 -O,

Ч

^

7

7

- *

<

t

'-Км, C43* ^

f

,

<?44e

it

< 4 $

• о .

Csi~

i

.

c53 “

»

^54 - о .

С55

= / .

a

£

«

=

^63

“ 0

»

“

ч

.

CgS~

д

A *

Gri~cn~cT3

Л,1

СГ* °

С”

"

^2

'

гсч ш7 ^ " $ 4 ^ ’

2 с * з ” 4 ^ » /iff

~

"д ” ’

2 c « j = :

^ а7 '

Уравнения равновесия, соответствующие выбранному варианту геометрических соотношения, построим так, чтобы удовлетворить основное интегральное тождество /2 .1 4 /, а следовательно,для рассмотренного варианта теории оболочек выполнить основные в а ­ риационные теоремы. Интегрируя по частям в левой части соотно­

шения /2 .1 5 /	с учетом формул /2 .1 3 /, получаем выражения для
----лвментов--------	Су	матрицы	Ц	уравнений равновесия

	1		i
41	А4А201 At , c i’		АЛ W *),
с1-	4	4*	i
LH	№
Cnm		dgAiki *	M J K * »
		Cn =		^zAj, с / з =	diA\f
^**~“ АЛИ*1**				C25s Ct7s O*
tit* if c ^ * * * + jf c dilAt)Ku
c43*-Kf			cL = T r d<A >
		J		n 1nZ
Сэ5я		СмлСз7 ~о,		CjB^KjglKi+Kg),
	~ C+z = C43 mO,		C±4 = ~ /,	C45 - 0 ,

c « ’ A

с^ т- щ д Ш

C51* CstMi3mii*0,	tis —1, C456~~ J L
	A4At
C f 7 * y j ^ d2A4t	JL
	c3t * A At dlAg
	A4A\

ЭВ -

Для ободочек ш па Тимошенко,		пологих относительно реаиых
поверхностей, матрицы	, Gf ,	фигурирующие в соотноаекиях
/ 2 .6 / , и матрица упругих постоянных			В сохраняют свой преж­
ний вид.
2 .4 . Условия упругого сопряжения податливых
на	сдвиг оболочек

Построение условий упругого сопряжения податливых на сдвиг оболочек применительно к задаче расчета пересекающихся цилиндри­

ческих оболочек описано в работах Г 95, 114 7 *	Здесь ети	условия
даны для произвольных пересекающихся оболочек.	Допускаем,	что

срединные поверхности пересекающихся оболочек отнесши к орто­ гональным криволинейны! координатам /см . параграф 1 .5 /.

РасО!озрим сечение узла сопряжения двух оболочек плос­ костью, нормальной к линии пересечения их срединных поверхнос­ тей /рис. 2 .4 /. Для построения геометрических условий упругого

Рис. 2 .4 .

сопряжения ободочек предположим, что средним* поверхность в области пересечения оболочек является гладкой, т .е . не содержит точек излома. Следы срединных поверхностей Oj , Og гладко со­ пряжены некоторой окружностью радиуса R .

Геометрические условия сопряжения оболочек свидетельст­ вуют о том, что векторы перемещений и поворотов сопрягаемых обо­ лочек равны между собой. Равенство векторов перемещений сопря­ гаемых оболочек в точках их линии сопряжения обеспечивают пу­ тем приравнивания трех проекций их компонент на оси некоторой

сиотемы координат._В частности,		можно выбрать	систему коорди­
нат с ортами Г , И , М	/см .	параграф 1 .5	/. Поскольку в тео­

рии оболочек.типа Ъшошенко вектор поворотов имеет только две независимые компоненты Yl * Тг ♦ довольно трудно определить две оси, на которые необходимо их проектировать. Для этого вве­

дем на	части оболочки,		соответствующей дуге		сопрягаемой окруж­
ности,	полярную	систему координат с		началом	в центре окруж­
ности. Полярный		угол	if отсчитаем	от радиуса, проходящего че­
рез точку пересечения			следов срединных поверхностей /рис. £ .4 /.

Базисные векторы этой системы выражены через базисные век­ торы на срединных поверхностях оболочек по формулам

f p	si n( i f -	t
jf-= p- s in ( 6 i- 0 i ♦ cosfdf-i/jm,
гдо r 0 i	- угол между векторами /fy	и Гр (0) .

Приравнивая компоненты вектора перемещений при ортах Тр *Jtlp , а также компоненты вектора углов поворотов при

Г, имеем соотношения

o^sin(S^if}*u^m(S^if)-u.^sin(Sf,-ifhu,‘,cos(dpr if)l

Г,'" cos(Sf-ifj=Гг'cos(Sp - if), r W у (2)

		Im	- a m	. D
Если теперь устремить				К к нулю, то пслучим_рассматри-
веемый узел сопряжения			оболочек. При этом				вектор	Гр (О)			с т р е -
мится	к некоторому	вектору		/? *	, которы й		можно	з а п и с а т ь			в
	* V . - T		в .		в е к т о р Гр(0)/р			-	к	р е к то р у
виде n ‘ s ( l i * i t ) / l h ' ' i al											П *, а
М щ ,	которы й с о с т а в л я е т правую				тройку	с	век тор ам и		А	Г ,
fif "*■	, г д е	-	зн ач ен и е		у г л о в	6f	в то ч к е
С л е д о в а т е л ь н о ,		ге о м е тр и ч е с к и е у сл о ви я					со пряж г-нил			гю д атл и -
»'ых н а	с д в и г обол оч ек		можно	п р е д с т в в и т ь		как