книги / Устойчивость упругих тел при конечных деформациях

больше работы поверхностных и объемных сил на этом перемещении с учетом изменения этих сил. В качестве рассматриваемого положения равновесия возьмем поло­ жение равновесия деформированного тела, в качестве смежного положения равновесия примем возмущение со­ стояния равновесия. В этом случае можно записать

м; = и? + 8и,;	е « 1 .	(IV.2)
Из выражений (1.8) и (Н.З) получаем
ец = е?у + ее,/ + ~	егии ии .	(IV.3)

Примем, что удельная энергия деформации является функцией компонент тензора деформаций Грина. Пред­ ставим ее в виде ряда по параметру е:

ф ' = ф« +	дФ°	8</+
+ Я ei/er<	дФ°	+ 0(es). (IV .4)
	К

В соответствии с выражением (IV.2) для смежного деформированного состояния можно записать

Рт = Рт + гР'т\ х ; = х;° + ех;

(IV.5)

Работа этих сил на дополнительных перемещениях при переходе от рассматриваемого деформированного состоя­ ния к смежному будет

	8	+ т\Хт) U J V + J (Р* + пК)umdsjdn=
j	{j
=	J (ftC + 4 - X») dV + J (eP*m + ~ P'J)		(IV.6)
	r	S

Выражения (IV.6) верны для всех um = 0 на S8.

Таким образом, дополнительная удельная энергия де­

формации ф ' — Ф° и дополнительная работа	внешних
сил, соответствующие возмущениям перемещений,	опреде­

ляются из формул (IV.4) и (IV.6). С учетом			изложенного
получаем, что достаточным	условием	устойчивости на­
чального деформированного	состояния	является условие
L (е) > О,			(IV.7)

101

где

	L (е) =	е	дФ°	P'°umdS\ +
			де"
			д*Ф°	*lfirt +
	+	ии щ,1 - Х'тит ) ^		+ 0(e8).(lV.8)

Условие (IV.7) должно выполняться для любых до­ статочно малых положительных и отрицательных е и для любых гладких ит, удовлетворяющих условию (11.17), но первый член L (е) (IV.8) в зависимости от е может быть отрицательным и положительнбтм. Следовательно, коэф­ фициент при е в (IV.8) должен обращаться в нуль. Отсюда получаем

I {Щ:е"“	^	1	= °- (IV-9)
Йз выражения (IV.9)	с учетом	(1.70),	(11.3) и преобра­

зования типа (III.14) находим уравнения (1.64) и гранич­ ные условия на S± (1.65) для определения начального де­ формированного состояния при дополнительном услрвии (11.17). В связи с этим необходимо добавить условие (1.59).

Учитывая соотношение (IV.9), из условия устойчивос­ ти (IV.7) и выражения (IV.8) получаем условие устойчи­

вости состояния	равновесия			;
К д!Ф°	„	,	дФ°	V» \ ,,,
де°идв%		ifirt +	дв%	XmU”) dV
		- j p * mumd S > 0.		(IV. 10)

Эго условие должно выполняться для любых достаточно гладких ит, неравных тождественно нулю и удовлетворя­ ющих условию (11.17).

Если в выражении (IV.8) коэффициент при е2 окажет­ ся равным нулю, то необходимо рассматривать коэффициен­ ты при высших степенях е.

102

Условие устойчивости сжимаемых тел с учетом выра­ жений: (1.70), (П.З) и (11.33) представим в форме

J. (<tymapWot1pWmi/ — ХщЦт) dV — J" РmUmdS 0. (IV.11)

Это условие должно выполняться для произвольных до­ статочно гладких ит, неравных тождественно нулю и удов­ летворяющих условию (11.17).

Если возмущения объемных и поверхностных сил от­

сутствуют, то	условие устойчивости	(IV. 11)	приобрета­
ет следующий	вид:
	J a>lmafi^atpum,idy >	0.	(IV. 12)
	V

Выполнив преобразования типа (III. 14), из условия устойчивости (IV. 11) получим линеаризированные урав­ нения (11.52) и граничные условия (11.53) при дополни­ тельном условии (11.17).

$ 3. Вывод условий устойчивости равновесия для несжимаемого тела

Для несжимаемого тела должно выполняться условие несжимаемости (1.73). Подставляя выражения (IV.2) в ус­ ловие несжимаемости (1.73), получаем

еб(/в;/ Н—2~®2[2(GoGo — GOGQ)	+	Gjut^Ufj] -f~
+ 0 (e8) = 0.		(IV. 13)
Умножив выражение (IV. 13) на ^p° +		и проинте­
грировав по объему, добавим к (IV.8).		В этом случае

получаем условие устойчивости в виде (IV.7), где выра­ жение L (е) имеет следующий вид:

L (е) = в | j ги + рЮоец — dV —

- | P 2 U J S J+ 4 { j [ - 5 5 5 5 - '< * ' +

103

+ 2p° (GoGo — GoGo) e,jert +		+ Golp”j utJuu +
+ pGo'e,/ -	d V - J / ^ „ d s j + 0 (e3). (IV. 14)

Если выполнить преобразования, аналогичные преоб­ разованиям предыдущего параграфа, то получим условие устойчивости равновесия несжимаемого тела в виде

+ (-Щ - + <*V) U,.i“U —	dV —
— С PmU^dS > 0.	(IVЛ5)

Условие (IVЛ5) должно выполняться для произволь­ ных достаточно гладких ит, неравных тождественно нулю и удовлетворяющих условиям (II.6) и (Ц.17). Кроме то­ го, из (IV. 14) условие устойчивости можно получить в виде

J	l	[	w	+2p "(OS'G{,“iert +®'oi')]e"e
+	+	Go'p°juu ut,i -f pG hu — XmU^dV —
			- j p	; « md S > 0 .	(IV.16)
Выражение		(IV. 15)		можно получить	из выражения
(IV. 16), если	учесть		условие несжимаемости (11.6). Учи­
тывая (11.44),		(11.97) и (11.100), условию устойчивости
(IV. 16) можно придать форму
f		“Н pGо фтп 'Ь Um.n)]Um,l			dV —
V
			~ [ p mu J S > 0.		(IV. 17)
			s

104

Необходимо отметить, что в (IV. 16) и (IV. 17) ит долж­ ны удовлетворять условиям (II.6) и (11.17). Для возму­ щений объемных и поверхностных сил, независящих от возмущений перемещений, условие (IV. 17) можно запи­ сать в виде

J

“Ь рО0 (бтп "Ь Hm,n)]

> 0. (IV. 18)

Выполнив преобразования типа (III. 14), из условия устойчивости (IV. 17) найдем линеаризированные уравне­ ния (11.65) и граничные условия (11.66) при дополнитель­ ных условиях (II.6) и (11.47).

§ 4. Основные соотношения статических и динамических

задач и методов для сжимаемого тела

Рассмотрим основные соотношения статических и ди­ намических задач устойчивости и методов их решения для сжимаемого тела при конечных докритических деформаци­ ях. Основные линеаризированные уравнения имеют вид (III.7):

		LmaMa. — 0-				(IV.19)
Для	динамических	задач	операторы		Lma	согласно
(II 1.7)	имеют вид
Lma —	toimaP Q “Ь Л4та 4~ Л^/па			---- p6ma		• (IV.20)
Операторы Lma для статических задач можно записать
в форме
	Lma —	®	i m	c	$	(IV.21)

Граничные условия в напряжениях на части поверх­ ности S1 согласно (11.53) для статических и динамических

задач принимают вид
®/шарМа,рЛ^; = njriaWaj				(IV.22)
pNi	=	Пта^а *f- Пта	Ua-	(IV.23)
Граничные условия	в	перемещениях	на	части по­

105

верхности S a	для динамических	и статических задач
записываются	в форме
	«я, Is, “ О-	(IV-24)

Таким образом, статические задачи устойчивости при использовании статического подхода (метода Эйлера) сво­ дятся к однородной задаче (IV. 19), (IV.21), (IV.22) и (IV.24). Требуется определить значения параметров на­ гружения, входящих в co/тар, при которых существуют нетривиальные решения сформулированной задачи. Кри­ тические значения параметров нагружения получаются в результате минимизации.

При использовании динамического метода в перемеще­

ниях выделим	множитель ехр/йт,		а для амплитуд пе­
ремещений оставим те же обозначения, что и для				переме­
щений. Тогда операторы (IV.20) для			динамических и ста­
тических задач	принимают вид
Lma = - j - o w p		+ Л4& + «ОМ® +		(IV.25)
Lma. —		®<ineЭ	Ч* рП^та-	(IV.26)

Для динамических задач граничные условия на поверх­ ности Sx запишем в форме

«Wp«o,pW( Is, =	+ ® П ^и а,		(IV.27)
а для статической задачи граничные условия		на	оста­
ются в форме (IV.22).
Таким образом, динамические задачи устойчивости при
использовании динамического метода сводятся		к однород­
ной задаче (IV.19), (IV.25),	(IV.27) и (IV.24).	Требуется

определить значение Й как функцию параметров нагру­ жения, входящих в со^р, из условия, чтобы существо­ вали нетривиальные решения сформулированной задачи. Условие устойчивости в этом случае записывается в виде Im Q > 0, а граница области устойчивости определяется из-условия Im Q — 0.

Статические задачи устойчивости при применении ди­ намического метода сводятся к однородной задаче (IV. 19), (IV.26), (IV.22) и (IV.24). Дальнейшее рассмотрение та­ кое же, как и для динамической задачи при динамическом методе исследования.

106

Аналогичным образом можно записать основные соот­ ношения и при использовании тензора напряжений Кирх­ гофа, учитывая результаты, приведенные в § 6 гл. II.

§5. Основные соотношения статических

идинамических задач и методов для несжимаемого тела

Рассмотрим основные соотношения статических и дина­ мических задач устойчивости и методов их решения для несжимаемого тела при конечных докритических деформа­ циях. Основные линеаризированные уравнения, включаю­ щие уравнения движения (равновесия) и условия несжи­ маемости, согласно (IV.81) запишем в форме

N таИ<х = О, a, т = 1, 2, 3, 4; н4 = р. (IV.28)

■Операторы Nma для динамических и статических за­ дач имеют вид

N ma — | 'gX[ Himafr	4" М-\па 4~ Alma	P^/na	j X
X (1 — fW) (1 -- Sa4) -f- 6a4 (1 — Sm„) ^		Go (6mn 4* Um,n) "Г
4" Sm4 (1 — ^a4) Go (&an 4* Ua,n)		^ , ($jm,a)>	(IV.29)

Nта — ^ Q— Kimaf, ^ 4* Mnmj (1 — ^m4) (1 — ^al) 4“

4“ ^a4 (1 — Q— Go (Smn 4* um,n) 4"

4- Sm4 (1 - Ы Go (6an 4- U°a,„) -A . .

(I V.30)

Граничные условия в напряжениях на части поверх­ ности S L для статических задач согласно (11.66) и (IV. 1) запишем в форме

[Xfmo'pHa.p 4" Go	Фтп 4" Um.n)	=
= Il/na^ai т, a, i= 1, 2, 3,		(IV.31)
а для динамических — в форме
[XjmapWa,p 4" Go (Smn 4" Um.rt)^4] N{		=
r- UmaWa 4* Пта	Ha, M, OC, t = 1, 2, 3. (IV.32)

107

Граничные условия в перемещениях на части поверх­ ности S2 остаются в виде (IV.24).

Таким образом, статические задачи устойчивости для несжимаемого тела при использовании статического мето­ да (метода Эйлера) сводятся к однородной задаче (IV.28), (IV.30), (IV.31) и (IV.24). Требуется определить зна­ чения параметров нагружения, входящих в nimap и

Go" (f>mn + Hm,n), при которых существуют нетривиаль­ ные решения сформулированной задачи. Критические зна­ чения параметров нагружения получаются в результате минимизации.

При	использовании динамического подхода								в переме­
щениях ив р выделим множитель ехр Й2т, а для									амплитуд
перемещений			и р оставим те же			обозначения, что и для
перемещений и р. В этом случае						операторы		(IV.29) для
динамических и статических задач принимают вид
N ma — ^-^7 Xjtnap ^				4~ М \п а -}- iQM jrxx. 4~					X
X (l -	м	(1 - б«о + ба4(1 -			6m4) -JL С(? (бта +				и°т,п) +
		+	бт4 (1 -	ба4) Go"(6^ +			«“.„) ~	;	(IV.33)
	N т	а —	^ f a j Х /тар Q ™		"Т Л ^ т а "Т ® т ар П 2| X
X (1 — бт4) (1 — 6а4) 4" ®о4 (1 — бт4)							Go (6тп -р ыт,л) 4*
		4~ &т4(1 — 6а4) Go" (6<хл 4“ ыа.п) ^						•	(I V.34)
Для динамических задач граничные условия на
запишем в форме
[Х/тарПа.З 4"			Фт п 4" и т,п) П4] N /				= IlmaWa 4* ®Птаыа-
									(IV.35)

Для статических же задач при применении динамического метода граничные условия на части поверхности Si ос­ таются в виде (IV.31).

Таким образом, динамические задачи устойчивости для несжимаемого тела при применении динамического метода сводятся к однородной задаче (IV.28), (IV.33), (1V.35) и

108

(IV.24). Требуется определить значение Q как функцию параметров нагружения, входящих в x,mctp и Go" (6m„ +

+ ит.п), из условия, чтобы существовали нетривиальные решения сформулированной задачи. Условие устойчивости при этом записывается в виде I m Q > 0 , а граница об­ ласти устойчивости находится из условия Im Q = 0.

Статические задачи устойчивости для несжимаемого тела при использовании динамического метода сводятся к од­ нородной задаче (IV.28), (IV.34), (IV.31) и (IV.24). Даль­ нейшее рассмотрение такое же, как и для динамических задач при динамическом методе исследования.

Аналогичным образом можно записать основные соот­ ношения и при применении тензора напряжений Кирх­ гофа, учитывая результата, приведенные в § 7 гл. II.

$ 6. Самосопряженность задач. Достаточные условия применения метода Эйлера для сжимаемого тепа

В § 4 и 5 г л . III изложены основные соотношения дина­ мических и статических задач, а также динамического метода и метода Эйлера. Для динамических задач очевид­ но следует использовать только динамический метод. Для статических же задач можно применять динамиче­ ский метод и метод Эйлера. Поскольку метод Эйлера зна­ чительно проще динамического, важно указать достаточ­ ные условия использования метода Эйлера. Заметим, что в случае малых докритических деформаций достаточные условия применения метода Эйлера получены в моногра­ фии [10].

Предварительно выведем условия самосопряженности статических задач для сжимаемого тела при динамическом методе исследования (IV. 19), (IV.26), (IV.22) и (IV.24). Пусть 1ит и йит — компоненты двух произвольных дваж­ ды дифференцируемых векторов, удовлетворяющих усло­ виям (IV.22) и (IV.24). Соответствующие им возмущения поверхностных и объемных сил обозначим следующим об­ разом:

X	= AC V ;	2х'т=
•р*	•	(IV.36)
		2Р* П(1)2и
* т— Alma wa>		г т — Alma и(Х-

109

Учитывая принятые обозначения, условие	самосопря­
женности запишем в виде
J ( Ч Ч * Ч — Ч ^ Ч ) dV = 0.	(IV.37)
v

Условие (IV.37) должно выполняться для любых Ч и 2ит, удовлетворяющих сформулированным условиям. Под­

ставляя выражения (IV.26)			в условие (IV.37),		учитывая
(III.3), (IV.22) и (IV.24) и			применяя	формулу	Гаусса —
Остроградского, после		преобразований получаем
j|"	— ^UmLma}ua) dV = J			(tO/map Ma,p)>f
~ ( ® < m a p 1W«,p),( -f- lUmMma?Ua				2UmMma ual dV =
— J l(1Mm£0<"iap2t<a.P — 2Unjt0/map1U«,p)>«
“	®iniap C'1		aWm,/^Mo!,p) Ч-
-p (1итМтз.2иа —				dV —
= I	iv( ( v ^ p - v « A P ) ® < ”»p(!S+
S.+S,
+ J		- Ч Х ^ И а ) ^ =
	V
= J (Ч П & Ч - Ч П {£ а Ч ) dS +
	s,
+	J( \ С	^ а	— 2UmM(JicUa) dV■		(IV.38)
	V
Из выражений (IV.37) и (IV.38) находим условие само­
сопряженности в форме
S (Ч П ^ Ч - Ч П £ а Ч ) d S +
S,
+ I { \ пМ(^ и а -			*итм № и а) dv = 0.		(IV.39)
v
Используя обозначения (IV.36), условие самосопряжен­
ности (IV.39) запишем в виде
f ( Ч 2Х ; -	Ч '* т ) d V + \ ?и^Р 'т-			Ч 1^ ) dS = 0.
*		*			(IV.40)

1 1 0