книги / Устойчивость упругих тел при конечных деформациях

° в =* «is (У ;

®я — М13Ц12 Ьгпз1

Кп(х у ;

«2s(£s)

(£2 + ^ IS*)^C«+I (**SJ) +

их

'(£2+^1) X

X ^Си (**£*)»

®2Ss a

2*(S*)»

«31 = --^ -К п + 1 К

1) + ( 2 « - ^ —

£?)/С„К1);

(VI.47)

«32(£2) =

- ^ ^ + !

(*£*)-

—

2л - V

1- * « № ) • '

«33=

« 3 2

( £ 3)1

h

— - P l2

* 0*

(°1Э

+

P i s ) .

и

° 1 3 —

°3 3 ^ 1

'

и1

—

c l l P l 3

1

1

Ь

_ . а 13

а 1з + O33V

•

Л

я / ?

* 8

О ц

P i s

“

1

•

В случае осесимметричной задачи получаем характерна стическое уравнение в виде (VI.24) при i, / = 1,2, где вве­ дены обозначения

« и (£2) = 2&I £2X	K I (х £2) + (£2 + Л2) К (*£*)»	« и = « и (£з)>
	(£2 ^£2) К, (х£г); «22=	(VI .48)
« и (£2) =		« и (£з)*

Характеристические определители (VI.24) и (VI.47), а также (VI.24) и (VI.48) значительно упрощаются, если рас­ сматривать тело с потенциалом гармонического типа (1.136).

При вычислениях необходимо иметь в виду, что

9А° - 9А°1А° +	2 A f	(VI .49)
arccos У 2	= Я.
2	2
(Щ -A i).

Все другие вычисления выполняются так же, как и в па­ раграфе 1 данной главы.

§ 8. Бесконечное пространство с круговой цилиндрической полостью (несжимаемый материал)

Рассмотрим задачу предыдущего параграфа для не­ сжимаемого материала. При этом кроме соотношений (VI.45) имеет место соотношение (III.88). Поскольку

151

цилиндрическая полость незагружена, то из выражений (V.35), учитывая (VI.45), получаем граничные условия на круговой цилиндрической полости радиуса R, сформулиро­ ванные для функций ¥ и X:

			т1	дв V +
+ [я		1Цы(-	"	а»	Н-— —		I	д3	+
				дг3	‘ г	дг	г3	<Ю3
+		*Им—^2М1з) Д +				*Mia +		д3	д
									—
(_JL +_LJL+ _L_*_W_									(VI .50)
^	дг3 + г			дг	^ г3	дв3	]
— 2		__1^		д3	X = 0;
		дг г dear,

i s k - v + ( M - ^ j - ^ x = 0-

Рассмотрим только один случай представления решения, соответствующий (V.15), где величины Q определяются из

соотношений (111,90), а величины а1к и	— из (11.50).
Остальные случаи можно исследовать	аналогичным об­

разом. Приняв в решении (V.15) А “п = 0 (t = 1, 2, 3), по­

лучим решение, удовлетворяющее условиям затухания при г -> оо. Для сокращения в решении (V.15) положим m = = 1 и в Afn выделим множитель у- Подставляя решение в гра­

ничные условия (VI.50), после ряда преобразований вы­ ведем характеристическое уравнение в виде (VI.24) при t, / = 1 , 2 , 3 , где введены следующие обозначения:

а и	— — 2Я,		и» к	п^Кп+1 (x £ i) +
+ 2Я-3- ^ - п ( п - 1 ) к - Х к 1);
a i2(£2) =		2Я		к Sa^n+i (xSa) +
+	[Й +	2Я-3Ь £ .„ (п _ 1 )}{-2 +
Н	х-1 iiia4- о»? "1			= ®и (£з);
	х2ц18		J

152

	О я ^ / А Л -1^ ^ ;			«22(^*) =		(VI.51>
	-	— (б +	е^ -3 )/<■«+' №		+
	+	ю г 1	+ х~3) к пW	;	«*з=	а 22 (У ;
	«эх = — 2 & C lKn+i (*Ь) +				12п О -	я) х_2—

«за (&) = ^ х - 1Кп+1 (« У —

— 2п(/г— 1)х~2/С„ К а);

я/?

«33 “ «88 (£s)> X = ^ •

В случае осесимметричной задачи характеристическоеуравнение имеет при i, / = 1 ,2 вид (VI.24), где введены обозначения

«и (Ы = 2К~3Ь з- к"' СЛх («€*) + Ни

+ [ ё + Я	] ^ W ;	(VI.52)
		«и ^ О ц ^ ) ;
«21(£2) = -- (б + £2^	)^1 (^s)*	«22— «21 (£в)-

Величина X определяется в результате нахождения мак­ симума корней Хкр.

Рассмотрим упрощения, которые возникают для тела с потенциалом Трелоара (1.98). Из выражений (111.88) и

(VI. 13) получаем
йц s Og2=	‘ 2	П33 1 -	2р®Х	)	П|2 ■--Q|3=	flj3 — Oj
						(VI.53)
	Р12 =	P°^2I	Pis “ Раз =		— P°^-
Из выражений (III.88),			(VI. 14)	и (VI.45) выводим
	2С10 =	— Хр°;	озз = р° (Я."2 — X).			(VI .54)
Подставляя выражения (VI.45), (VI.53) и (VI.54) в со­
отношения	(II 1.90),	находим

з

E .= i; = ь 2 - (У1.55)

Значения элементов характеристического определите­ ля (VI.24) при I, / = 1, 2, 3 для несимметричной формы

153

яютери устойчивости в случае тела с потенциалом типа Трелоара можно получить, подставив выражения (VI.53) — (VI.55) в формулы (VI.51):

а и =	— 2лх-1 /С«+1(к) +				2л (и — 1) х		2К„ (х);
а и =	2х“ ‘/C„+i («) +			2[1 +		л (л —-l)x “ 2J/C„ (х);
		___3_		___3_
•ам =	2х-1 Я.		2 /Сп+1 (хЯ		2 ) +
						__з_
+ [Я-3 +		1 +	2л (л — 1) х~2] /С„ (хЯ				2 );
а 21 =	яЯ-3х—’/С„ (и);
-а22= - ( 1		+ Я “3) К п+ 1(х) +				пх -1(1 +	Я-3)^„(х);		(VI.56)
		__9_		_ J»_
cijjg == — 2Я			2 /Сп+1 (хЯ		” ) -f-
+ 2«х“ 'Я'^/С„(хЯ				2 );
аЭ1 =	— 2x_1/C„+i (х) + [2л (1 — л)х-2 — 1]/С„(х);
ам = 2лх-1 /Сп+1 (х) — 2л (л — 1) х“2/С„(х);
			3		з
а8Э = 2лх_1Я			2 /Сп+1 (хЯ			2 ) —
			_	_з_
— 2п(п — 1)/Сп(хЯ				2 ).
Аналогичным образом для симметричной задачи нахо­
дим
ап =	2х	/Ci (х) + 2К (х);
			3	__з_			__3_		(VI.57)
а 12	2х-1Я_ 2 /Сх (>еХ 2 ) + (1 + Я -3) К (хЯ							2 );
а 21 =	— (1 +Я-3 )/С1(х);				а 22= —2Я 2 Кх(хЯ			2 ).

Рассмотрим случай, когда длина волны формы потери устойчивости значительно меньше радиуса полости, т. е. / R, тогда х^> 1. Ограничиваясь первым членом -асимптотического разложения функций Макдональда при большом значении аргумента, из характеристических оп­

154

ределителей (VI.24) и (VI.57) для осесимметричной задачи получаем уравнение

__9_
(1 + %-*)* — 4Ь 2 = 0 ,	(VI .58)

которое дает один корень Якр « 0,44, имеющий физический смысл. Таким образом, при уменьшении длины на 56% по­ является поверхностная неустойчивость цилиндрической по­ лости, причем для формы потери устойчивости характерно неравенство R ^ I.

Аналогично можно решить задачи и для других форм упругого потенциала.

§ 9. Поверхностная неустойчивость сплошного цилиндра из сжимаемого и несжимаемого материалов

Рассмотрим сплошной круговой цилиндр радиуса R, ось которого совпадает с осью охэ. Пусть цилиндр сжимается вдоль оси oxs. В этом случае имеют место соотношения (VI.45). Материал цилиндра будем считать сжимаемым. Ис­ следуем осесимметричную форму потери устойчивости, при этом ограничимся решениями типа (V.15). Граничные условия на боковой поверхности имеют вид (VI.45). В реше­ нии (V.15) положим Y = 0; А ^п = 0; т = 1. Подставляя

указанное решение в граничные условия, получаем харак­ теристическое уравнение в виде (VI.24) при i, / = 1, 2, где введены обозначения

а11(£*) =	/j (x£j) -f- (£> "f"^2) l (*£2)» ®12 = ®22 (£*)»
		(VI.59)
®21 (Cs) ~	(Й 4” ^1^2) 11	®22 S ®21 (£з)-

Аналогичным образом после ряда преобразований для цилиндра из несжимаемого материала выводим

	«и (W = - 2>Г3-^ - х- 1и		х Ш	+
	+ [б+	] ' Ш	:	<»„««„(»	(VI.60)
					I
	®ai (£а) = (Й + £2^	) Л (>сСа)»		а аа== ®21 (£з)*
					I

Исследуем несжимаемый материал с потенциалом типа

155

Трелоара (1.98). По аналогии с предыдущим параграфом, находим I а и = — 2x_1/j (х) + 2/ (х);

_3_ _3_ _3_

а 12------2х“ Ч 2 / г (хк~ 2 ) + (1+	*"*)/(»*	2 );	(VI.61)
_	9	3
а 21 = ( 1-j-Я i ) I l (х); сс22 — 2Х	/^(хЯ	).
1 —3 V

Если в выражениях (VI.58) и (VI.60) принять х ^ 1, то амплитуда возмущений будет быстро уменьшаться при удав­ лении от свободной поверхности, т. е. получим явление по­ верхностной неустойчивости.

Рассмотрим в качестве примера несжимаемое тело с потенциалом типа Трелоара. Ограничиваясь первым чис­ лом асимптотического разложения функций Бесселя от чи­ сто мнимого аргумента при большом аргументе, из выраже­

ний (VI.61)		выводим
	__i_
ап яа 2 (2пх)		2 ехр х;	_з____1_				3
		3)(2яхй.	2	)	2 ехрхЯ		2 ;	(VI.62)
			_1_
а 21 « ( 1	+ Ь -3)(2гос)		2	ехрх;
	_ JL	_ _з		j_	_	з
а 22« 2 Я	2	(2яхЯ 2 )		2	ехрхЯ,	"5” ,
Из выражений (VI.24) и (VI.62)							получаем уравнение
(VI.58),	которое имеет корень А*р «						0,44. Учитывая ре­

зультаты предыдущего параграфа, приходим к выводу, что поверхностная неустойчивость в бесконечном пространстве с цилиндрической полостью или в круговом цилиндре из несжимаемого материала с потенциалом типа Трелоара по­ является при изменении длины на 56%.

** *

Таким образом, в настоящей главе исследована поверх­ ностная неустойчивость и неустойчивость границы раздела двух тел для сжимаемого и несжимаемого материалов с произвольной формой упругого потенциала. Материал счи­ тался в общем случае трансверсально-изотропным, ось изо­ тропии которого совпадает с осью охя. Явление поверхност­

1 5 6

ной неустойчивости было обнаружено возле прямолиней­ ной границы и круговой границы.

Первые исследования поверхностной неустойчивости не­ сжимаемой полуплоскости принадлежат Био 156]. В моно­ графии [131 изложены результаты исследования по поверх­ ностной неустойчивости полуплоскости для различных моделей среды при малыхдокритических деформациях, а так­ же задачи для кругового цилиндра и круговой цилиндри­ ческой полости. Осесимметричная задача об устойчивости изотропного несжимаемого цилиндра при конечных докритических деформациях рассмотрена в работах [85, 92]. Если для случая несжимаемого тела (см. § 9 данной главы) выбрать упругий потенциал, соответствующий изотропному телу, то получим результаты работы [92].

Поверхностная неустойчивость несжимаемого полупро­ странства для тела с потенциалом Трелоара (неогуковское тело) при двухосном сжатии исследована в работе [711.

Г л а в а VII

УСТОЙЧИВОСТЬ ОДНОРОДНЫХ СЖИМАЕМЫХ ТЕЛ

В данной главе рассмотрим устойчивость однородных сжимаемых тел при однородном докритическом состоянии при действии «мертвых» нагрузок. В общем случае тело бу­ дем считать трансверсально-изотропным, ось изотропии ко­ торого совпадает с осью охя. На уравнение состояния ни­ каких ограничений налагать не будем, кроме требования определенного числа раз дифференцируемости функций, входящих в уравнение состояния. Исследования выполним в прямоугольной и круговой цилиндрической системах ко­ ординат, привлекая решения, описанные в § 1—3 гл. V. Приведенные ниже решения справедливы для сжатия и для растяжения.

§ 1. Полоса при одноосной нагрузке

Рассмотрим плоскую деформацию сжимаемого тела в плоскости х,оха. Пусть полоса длиной / (0 <! <; /) и ши­

риной	2A (—А <	< А) загружена вдоль оси ох, (о^ =
= 0).	Границы	полосы (ха = ±А) будем считать незагру­

женными. В этом случае граничные условия при х2= ± А

157

имеют вид (VI. 1). Из всех возможных представлений реше­ ний (V.6) — (V.8) и аналогичных выберем решение в фор­ ме (V.6), в котором

=

=

(VII. 1)

Из выражений (V.l), (V.3), (V.6) и (VII.1) следует, что при хг = 0 и jfi = / имеют место равенства

ы2 = 0; Р\ = 0.

(VII.2)

Из (V. 11) получаем, что на торцах при Xj = 0 и х2 = / выполняются в интегральном смысле условия шарнирного опирания. Подставляя решения (V.6) и (VII. 1) в граничные условия (VI. 1) при х2 = ±Л, получаем характеристический определитель. Он распадается на произведение двух оп­ ределителей, первый из которых соответствует изгибной форме потери устойчивости (Ug — четным функциям по Xg), а второй — симметричной форме потери устойчивости, ког­ да происходит потеря устойчивости с образованием шейки. В результате преобразований характеристические определи­ тели для указанных случаев можно представить в форме (VI.24) при I, / = 1, 2. Для изгибной формы потери устой­ чивости элементы характеристического определителя имеют вид

“ 11(^2)= ^ 1а д 2—(СпЯ2 2—Q12)]charl2; а 12=ац(т13).

“si (‘Пг) =		1022^12^* +	аа («11V 2+			p12)I sh otr]2;		(VII.3)
0^22	_	/*. v.	тяЛ	*
	0&21 (Сз)> СХ—		I
Для получения элементов характеристического опреде­
лителя в образовании				шейки (иг — нечетная функция					по
х2)	необходимо в выражениях					(VI 1.3) поменять местами
ей	и	shan*:
«11 (Ла) =		Л21«ааЛ2 — (CTi?^			— a12)] sh ar\2;		a 12 s= a n (%);
								(VII.4)
«21Ш =		[a22Pi2^ +	«12 («ii^r2 +			p12)l ch ar)s;		a 22 s= a 21 (t]3).
	Заметим, что в выражениях					(VI 1.3) и	(VII.4) величи­
ны ъ и г}3определяются из формул (III.69), а								величины аш
и рн — из формул			(11.41).						оо,
что	Если в выражениях (VII.3) и (VII.4) устремить а
	соответствует потере				устойчивости сколь			угодно тол­

158

стой полосы, получим после преобразований формулы (VI.3)* поверхностной неустойчивости. Таким образом, потеря ус­ тойчивости сколь угодно толстой полосы происходит по­

топу поверхностной потери устойчивости.			в выражениях.
Для тонкостенной полосы (h/l		1)
(VII.3) и (VII.4)	можно принять
sh ar\ » ах\	+ -g- (arj)3; ch arj »	1 +	-i- (at])8. (VII .5)-

Рассмотрим пример для тела с потенциалом типа. (1.136), когда докритическое состояние определяется также- в рамках плоской деформации. В этом случае имеют место-

соотношения	(VI.5) — (VI.8).
Решение для изгибной формы потери устойчивости вы­
берем в следующем виде:
,	тл	,	тл	. тп	\	тп
Л1 sh - J —Xt +			—J— А2 хаch - j —xsJ cos —j— xv
						(VII.6)
Для потери устойчивости с образованием шейки реше­
ние выберем таким образом:
,	тл	.	тл	. тл	\	тл

А\ ch —j —ха-1— j— А2 x2s,h—j —xa)co s—j—x1.

(VI 1.7)-

Подставляя решения (VII.6) и (VII.7) в граничные усло­ вия (VI. 1), находим характеристические определители для полосы в случае материала с потенциалом гармоническоготипа.

§ 2. Полоса при двухосной нагрузке

Исследуем задачу предыдущего параграфа, когда полоса

загружена		в двух	направлениях	(ап ф 0 и Ощ Ф 0). Бу­
дем считать, что нагрузки «мертвые» (Р\ =					0 и Р\ — 0).
Из	выражений (VI.4) получаем			граничные	условия	при
х2 =	±h:
j^is (flss +		° 22?уГ2)	-------а12(р12 +	сгпХГ2) - £ j - j -g|—X =		0;
					(VII.8).

159-

(°П^2 2-- «ц) + «22(M-12 + O lV 2)] -£*g +
+ A 2+ «$(«22 + O£X72) - ^ - J - £ - y . = 0.	(VII.8)
Решение выберем в форме (V.6) и (VII.1). Заметим, что
величины г)2 и ц» определяются из формул (II 1.69),	вели­

чины alk и pls — из (11.41), а сту — из (III.43). Подставляя решение в виде (V.6) и (VII. 1) в граничные условия (VII.8), в результате обычной процедуры получаем характеристи­ ческий определитель. Он распадается на произведения двух определителей, первый из которых соответствует изгибной форме потери устойчивости (щ — четная функция по лга), а второй — потере устойчивости с образованием шейки (ия— нечетная функция по л 2). Для изгибной формы потери ус­ тойчивости элементы определителя (VI.24) а(/ («' = 1, 2) имеют вид

«11 Ы	=	{Т)2 (^1|J-12 +		«22) («22 +	«22^2 2) ---
— [^12 («*iV2— Ois) +				«22 (Pi2 +	«’1V2)]} ch от^;
«12 = «11 ("Os)»					(VII.9)
«21 Ы	=	lP l2(«22 +	«22^2 2) Т12+ «12(ри +
Ч~ «п^>i		)I sh ttT]2;	«22 s	«21 (Пз)-

Для потери устойчивости с образованием шейки элемен­ ты определителя (VI.24) ati (t, / = 1,2) имеют вид

« и (Из) = Иг {'П2(^iPi2 +	«и ) («22 +	«22*2 2) —
— [^Pi2(«11^2 2 — «12) +	«22 (Ри +	«п^Г2)]} sh ат]а;

, (VII. 10)

«12 = « п (Пз)>

« 2 i ( Tl 2 ) = [ l li2(fl2 2 + a 2 2 ^ r 2)ri2+ a i 2 ( P i 2 + « * i ^ r 2) ]c h a r ia;

«22— «21 ('Пз)*

Заметим, что при выборе решения в форме (V.6) и (VI 1.1) на торцах полосы при хг = 0 и хх = I выполняются условия (VI 1.2), т. е. в интегральном смысле выполняются усло­ вия шарнирного опирания.

Аналогичным образом можно получить результаты при выборе решения в форме (V.7) и (V.8) и аналогичных фор­ мах.

J60