книги / Устойчивость упругих тел при конечных деформациях

§3. Прямоугольная пластина при одноосной нагрузке

Рассмотрим			прямоугольную				пластину (—h < *i < Л;
О <	х2 <	с; 0 < лг3<		6) загруженную вдоль оси оха (о» а
е= 022 =		0). Считая поверхности						= ±Л незагруженными,
из	выражений		(V.21)		находим			граничные условия при
хх =	±Л:
(flu — «12)			+	[ — О,		а*		а»
						а**
	°ii°ia
°is + И13
	d*	4. d2	\ Y	2	d3		Y — Q-
\	дх2^	d%	)		dx1dxsdx3 X			(VII.ll)

аа

дх2дх3

XJ L

д4

	o * 0 , - 2
■м I + И1Э-Д +	°33Л 1
	Q13 + И 13 X

R

Функции Y и X являются решениями уравнений (III.51), величины £/ определяются из формулы (II 1.47), а величины aik и Pi* — из формул (Н.41) и (11.42) с учетом (III.44), (II 1.45) и того факта, что а» as <Тщ= 0. Подставляя ре­ шение уравнений (II 1.51) в форме (V.25) в граничные усло­ вия (V II.ll), получаем в результате обычной процедуры характеристический определитель. Он распадается на про­ изведение двух определителей, первый из которых соответ­ ствует изгибной форме потери устойчивости (иг — четная функция по Aj), второй — потере устойчивости с образо­ ванием шейки («1 — нечетная функция по Jti). Для изгиб­ ной формы потери устойчивости элементы определителя (VI.24) при I, /' = 1, 2, 3 находятся из формул

«п = SPHYI (m -J-) shyjft; Оц (g2, у2) =

= я -J-[~ + «й (m ~г) —

161

_ (и -£-)*		с» (^	+ ° з ^ 2)-		с»с^ 1 shyih;
\	Ь }		^1з +	His	J
«18 — «12 (£з> Ys)>
« 2 1 = [(-^ -) +			Y?] ch yLh;		а и (£2, Y2) =	(V II.12)
= — 2у2т -^ -n -^ -c h y 2h;					= а 22 (£a, Ys);
«31 =	m -jj- П ~		ch Yfi;	«32(С» Ya) =
	°33^1	—й1я ^2Qll			1 “ ' 2
		Q13+ P13		-Ys [n -jr) chy2h;

«33 = «32 (S3» Ys)-

Для потери устойчивости с образованием шейки элемен­ ты определителя принимают вид

« и = 2fi12Yi	(m I f ) ch V i h :	«12	(£2. Y2) = n	X
X [ — fluYi	+ «12 ( m ~ J	— («	-£ ■ ) X

x ----------	^ + w , ------------J ch^			;
«12 =	«12 (£s> Ys)»
«21 =	[(m ~ f) + Yi] sh Yift;		«22 (£2, Y2) =			(VII.13)
= — 2 V i m - y r n J r s h V i h ;			a 23 =	a 22 (£s, Ys)»'
«31 — m a n ь sh YiY>		«32 (£2»Y2) —
	°33^1 2— й1з — Ййи		l It \ 2 u		,
--------------------------------		4 " - r J		811V *
«33 =	«32 (£2» Ys)-
Из выражений[Й (111.52) и (V.25) получаем, что при х2 =
= 0 и х2 — а выполняютсяmo условия
	«1 = Q;	Ua = 0 ;		Pi =	0 .	(VI 1.14)

162

Из выражений (III.52), (V.23) и (V.25) находим, что при х3 = 0 и х3 = Ъ выполняются условия

иг = 0; иъ= 0; Р\ = 0. (VII. 15)

Таким образом, из формул (VII. 14) и (VII. 15) следует, что при выборе решений в форме (V.25) при л* «= 0, х3 =» = а, х3 = 0 и х3 = Ь выполняются в интегральном смысле условия шарнирного опирания.

Аналогично можно получить результаты при другом представлении решений.

§ 4. Прямоугольная пластина при двухосной равномерной нагрузке

Рассмотрим прямоугольную пластину (0 <! хг <! с; 0 <

< х2 < Ъ\	—h <! х3	+h),	загруженную		вдоль осей ох1
и охй,
	Сп =	022	0;	Стзз = 0.	(VII.16)
Считая	поверхности х3 =		± й	незагруженными, из вы­

ражений (V.23) и (VI 1.16) находим граничные условия при

х3 =

±Л, сформулированные для функций

и X,

Y +

и + Оп^-Г2

flls

X

дх3дх3

е

flis +

Им

вй + Им

к)

dr?

. .

д

X =

0;

дху

.

*0,-2

dxtdx3д2

I I

- Г

° | | Л 1

■т + (! йм +

Им

йм +

Им

X

(VI 1.17)

дг

ГL

д4

“н+°>г2 „\ Д

сазИм

а*

X

1А

“ “

м +

Им

C“ J A

eis + Им

длс?

X

дх«

X = 0.

Функции ¥ и X являются решениями уравнений (III.51),

величины С? вычисляются из формул (III.47), aik

и

—

из (11.41)

и

(11.42)

с

учетом

(VI.44),

(II 1.45) и

(VII.16),

ofi — из (III.43), а связь между К и Яд определяется из

11*

163

последнего условия (11.16) и (111.43). Подставляя решение (V.24) в граничные условия (VII. 17) и учитывая (VII.16), получаем характеристический определитель. Он распада­ ется на произведение двух определителей, первый из кото­ рых соответствует изгибной форме потери устойчивости (и3— четная функция по х8), второй — потере устойчиво­ сти с образованием шейки (ы8 — нечетная функция по х3).

Для изгибной формы потери устойчивости элементы оп­ ределителя имеют вид

«ц = п с Ь у Л ? 1 « и (У =

	о		« i s	" Г H i s
« н =	otjj (У ;
=	— т		ТСГ* ch yh£Tl;			а 22 (£2) =			(VII.18)
= п	Я	( й 11 + ° М ^ 1 2 ) + й 13				-y % 2 c h y h & '\
	b		йи + Pis
« 2 3 =	« 2 2	(£з)>	« 8 1	= Oi
„		°3aPis—1й3з(й..+О п^Г2) в1»(в13+ Р1зЖ|							X
« 3 2 ( £ 2) =		— ---------	:----------	---------------------------------------------------------------------	Q13 "Ь Pis
x / ^	s h	ygr'h;		«33 =	032(^3).
Для потери устойчивости с образованием шейки элемен­
ты определителя.имеют вид
«п = n - j- у£Г' sh yh£Tl;					<h2 (£2) =
	Я	Й(й11 + °|?^Г^) + в*3				№	2 _и	I.
= т —----------			т—гг!-----------				sh yh& ;
	й		“is + Pis
«18=	«12(£s)*
a 2l =	— m "7" YST1 sh УН Г 1;					«22 ( У	=		(VII. 19)
= tl	n	£2 (йп 4*°n^p2) 4~ gi3 - f & 2shyh& 1;

^“is "t" Pis

? и = « а (Ы > ®iis ®I

ч	й З з И |3 ---- +		-	2)	f l13 ( Й 13 +		Ш *)1 ? 2 . ,
“MIMJ—				—			X •
			a i3	+ P l S
XY8SZ	chvgs h;	a a3 =	a32(£a).
Из выражений (111.52), (V.21) и (V.24) находим, что при
х, = 0 и хг — а выполняются					условия
	«8 .== 0;			и2=	0;	Р\	■О.	(VII.20)
Из выражений (III.52), (V.22) и (V.24) получаем, что
при х2 = 0 и хя =		b выполняются условия
		ия =	0;	«! =	0;	Pi = 0.		(V I 1.21)
Таким образом, из			формул		(VII.20) и (VI 1.21) следует,
что при выборе решений в виде (V.24) при хг =								0, хя = а,

х2 — 0 и jCg = Ь выполняются в интегральном смысле усло­ вия шарнирного опирания.

Полученные характеристические уравнения можно упростить. В результате преобразований для изгибной фор­

мы потери	устойчивости			находим
det||a,s|| =	Y8C	r W	ch yh£Tl11{ E2(Qn +		2)+ °1S		X
				°1 S +	P l 3
X йззИ1з— [й88 (й11 +				2)— й1з (°18 + Pai)l Ез		l	X
			й 13 + 1*13			£з
X ch yhl# 1sh yh& 1				й (йи + °п^1 z)+ й1:
				й 13 + P l3
X йззР18		[°зз(йи +ОцЯ,| 2) — CjS (Cjs -|- Рхз)! Eg
				й 13 + P l 3		^
	X		ch yh£T' sh Y^S"1} = 0.			(VI1.22)
Для потери устойчивости с образованием шейки в выра­
жениях (VI 1.22)		необходимо поменять местами ch и sh.
Рассмотрим уравнения
E r V s r V	ch yhtr' -		0;	£г УЕТ2£-2 sh уК Т1=		0. (VII .23)

Из формул (II 1.47) следует, что первое и второе уравне-

165

ния (VII. 23)	приводятся	соответственно	к	следующим
уравнениям
HI8+ <TUV = 0;		си + (т^Г 2 =	0;	(VII.24)
+	=0; аи -f- СТ1?Я,|2 = 0; р12 -j-сгпЯТ’2 = 0.
				(VII.25)

Уравнения (VII.24) и (VII.25) ие дают решений, имею­ щих физический смысл, что следует из соотношений (VII.24), (VII.25), (11.41) и (III.43). Учитывая изложенное, находим характеристические уравнения в упрощенной фор­ ме

lais + Й (Пц + °п^1 2)1 {й [Оаз (аи + <*и^Г2)—Ям(вм+ |*и)]*—

— ^юНаз} С ch yh£T sh yft£3 1— [aM -f- й (au -}- ст*?Я| 2)J X

X {J>2[a83 (^11 + °ll^ l ) OjM(ais "Ь Им)! — йззМтз} X

X £3ch уй£з sh уй£а = 0.

(VI1.26)

При потере устойчивости с образованием шейки харак­ теристическое уравнение можно записать в форме

1°м + й (аи + ° '11^1 2)] {й[«зз(ап + стп^Г2)—«м^м+Им)]—

— «азИм) С2 sh уК ? ch уЛ£Г‘ — К 8 +	й («ц + А -2)] X
X {£2 [^зз (Пц ~Ь ОцК\ ) dls (^13 +	Раз)]	ОззИм} X
X £3sh yh£ach уК 2-	0.	(VII.27)

Если в уравнениях (VII.26) и (VI 1.27) устремить yh -► -> 00., то получим уравнения для потери устойчивости сколь угодно толстой пластины, что совпадает с уравнением для поверхностной неустойчивости.

§ 5. Круговая пластина при осесимметричной нагрузке

Исследуем круговую пластину (—h < ха < -J-ft; 0 -< + х\ < R), загруженную осесимметричной нагруз­

кой в плоскости xtox2. В этом случае имеют место соотноше­ ния (VII. 16). Считая граничные поверхности xa — ± h не­ загруженными, из выражений (V.14) и (VI 1.16) получаем

166

граничные условия при ха — ±Л, сформулированные для функций Т и К,

1 а*		( * n - K V А		й 13		X
г	двдх.- * + ( •\		й 13 + И18	йи + Ии
		=	0;
	д*	йп 4- °иК~2 А		Й13	J L		\ X
	дгдха		й 13 + His	°1 3 + И1з	д4		)	(VII.28)
Г(a33			\д +	*		1
|_ \	йи + Ии		/	Йм + Ии дл|		J

Ограничимся рассмотрением осесимметричной задачи. При этом согласно (V.17) можно записать

? з 0 ;		Х = У ^ -^ -г^ Л и ,е х р -^ -л :а + Лмехр х
X (---- *8) + Аы ехр -Щ - д а +					А% ехр (---------- ж,)];
			J ’ Ы	=	0.			3(VI 1.29)
Граничные условия (VII.28) принимают вид
	[(Gn + CTn^i 2)Д — ala- £ j - ]						^ =	0;
	L .				*3		^	(vii.30)
j 1°зз (аи	+	°11^1 *)	а1я(а19+ Иха)! А ~Ь «ззИм					j X
			дх„	х =		о.
Выбрав решение в форме (VI 1.29), из выражений (V.9)
и (V.13)	получим		при г = R
			«1 = 0;	дия =		0.		(VII.31)
				дг

Таким образом, на торцах при г = R выполняются в интегральном смысле условия жесткостной заделки. Под-

167

ставляя решение в форме (VI 1.29) в	граничные условия
(VI 1.30), выводим характеристическое	уравнение. Для из-

гибной формы потери устойчивости оно имеет вид (VII.26), если в нем у заменить на xk!R. Для потери устойчивости с образованием шейки характеристическое уравнение прини­ мает вид (VII.27), если в нем заменить у на xk/R.

		В случае потери устойчивости пластины при х/(				^ 1
			можно	приближенно		при­
	V.4	г	нять
			,	ft	h	,
	0.3	/ j
			sh	щ -ц	*k ~R +
	Ц2 у
			+
	.0.1	f			(VII.32)
		to го зо оо so во	1йЯн ch к*	«	1 -f j (к*	.
			о
		Рис. 4	Для материала с потен­
			циалом гармонического ти­

па выражения (VII.26) и (VII.27) значительно упрощаются. При вычислениях необходимо иметь в виду, что для дан­ ного примера

9Л3° - 9 Л ° Л ° + 2 <		= 0.	(VI 1.33)
arccos У 2
(3А ° - А?У
Рассмотрим ниже пример для материала с потенциалом
гармонического типа.			ех =	1 — Я,
На рис. 4 показана зависимость величины
при v = 0,3 от параметра ^хк	для	изгибной		формы

потери устойчивости, вычисленная в результате решения уравнения (VII.26), (VII.32), (VII.33) (кривые 1 и 2 соответ­ ствуют теории толстых и тонких пластин) [78]. Заметим, что этот результат, как было указано, в равной мере отно­ сится и к задаче предыдущего параграфа. В этом случае

вместо (хк следует понимать величину yh.

Соотношения настоящего параграфа остаются в силе и для кольцевой пластины ( ^ < r < R2), если в качестве хк выбрать корень уравнения, состоящий из функций Бес­ селя и Неймана.

1 6 8

Необходимо отметить, что поскольку кривая зависимость

Ej от

П0 трехмерной теории имеет асимптоту,

то для тела с потенциалом гармонического типа существу­

ют такие нагрузки (значение коэффициента удлинения

/2Л при достижении которых сколь угодно толстая плита I——►

-> ooj теряет устойчивость. Этот вывод справедлив и для дру­

гих задач для тела с потенциалом гармонического типа, что следует из числовых примеров настоящей главы. Для других упругих тел могут наблюдаться и эффекты противо­ положного характера. Таким образом, выводы не Только количественного характера, но и качественного характера зависят от формы уравнений состояния.

§ 6. Сплошной цилиндр при осевой нагрузке (стержневая форма потери устойчивости)

Исследуем устойчивость стержня кругового поперечного сечения (0 < *s < /; 0 <! г ■< R) при действии нагрузки вдоль оси оха. В этом случае имеют место соотношения (VI.45). Принимая цилиндрическую поверхность незагру­ женной, граничные условия на ней получаем в форме

(VI.46). Величины £? определяются		из формул (III.47),
а величина aik и	— из (11.41),	— из (III.43)	с уче­
том (VI.45), (III.44)	и (III.45). Решение выберем в		форме

(V.15), положив в нем А„п = 0 и n = 1, а также выделив

в A„i множитель у. Такое решение соответствует потере ус­ тойчивости в плоскости xtoxs. Подставляя это решение в граничные условия (VI.46), после ряда преобразований вы­ водим характеристический определитель в виде (VI.24) при i, / = 1, 2, 3, где введем обозначения

с£ц =	2b1£i«~ Ч2(x£i)i			®12 (Sa) =	2b1t.2x 1х
X /а (и£а) +		(£2 +	k i )	(*£2)» a i8 =	a i2 (£з);
®ai =	HisHia		1 1 (x£i)i <*22 (£2) =		£2 (£2 ~b ^1) X
X 12 (х £г) "Ъ x			(£2 ~b ^1) ^1 (х £а)> а 2з = a 22 (£з)>
as i=	2£]X	12(x£i) — £i/i (x£j);			(VI 1.34)

16&

®S8 (£2)			/ 2 (X£2)I		®83 = ®8a(ts)»
Ъ	M12 (Q13 + Hia)		.	k	gt8—< ^ Г 2 .
*		e..u..	’	^		a..		1
h — °18		•Q. -. 2				nR
		g 13 + ° 3 3 ^ '
Ki ~	n..	His			К	= - Г
Выбрав решения в указанной форме, из выражений
<V.9) и (V.14) получаем, что при ха — 0 и х3 =										/ выполня­
						ются	условия
						и, =	0 ;	«е =	0 ;	Р'з = 0 .
										(VI 1.35)
						Таким		образом при изло­
						женном выборе			решений на
						торцах цилиндра выполняют-
	4					ся условия шарнирного опи-
0		6	!б	Ш )		рания.
				‘ *'		В случае потери устойчиво-
		Рис‘ 5				сти, если я-у- <£ I, в выраже­
ниях (VI 1.34) можно приближенно принять
		'” ( " т	) ^	- т т	П	' + ( - т т		- Ш	-	<V I1 -36)

Рассмотрим пример для материала с потенциалом гар­ монического типа. При v = 0,3 в [781 получены числовые

результаты, которые приведены на рис. 5 в виде зависимо- D

•сти параметра е8 = 1 — Я3 от параметра я — = к (кри­

вая 1 соответствует теории толстых стержней, кривая 2 — теории тонких стержней). Из рис. 5 следует, что существу­ ет такая нагрузка, при которой сколь угодно толстый ци­ линдр теряет устойчивость.

§ 7. Полый цилиндр при осевой нагрузке (осесимметричная задача)

Рассмотрим полый цилиндр (0 < х3 < /; Rh < г < -< R + h), загруженный нагрузкой вдоль оси оха. В этом случае имеют место соотношения (VI.45). В настоящем па­ раграфе ограничимся исследованием осесимметричной за­

1 7 0