книги / Устойчивость упругих тел при конечных деформациях
..pdfтрансверсально-изотропного тела, ось изотропии которого совпадает с осью ох3, и изотропного тела. Для трансвер сально-изотропного тела упругий потенциал зависит от ал гебраических инвариантов А и Л2 и Л , тензора деформаций Грина и величин Л4= /4 и Л5 зз /5 (1.78), для изотроп ного тела — только от алгебраических инвариантов А и Л2,
Аа |
(1.30). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Учитывая формулы (1.30) и (11.32), для гиперупругого |
|||||||||||
трансверсально-изотропного тела получаем |
|
|
|
|||||||||
А-map = |
(бау + |
«а./) |б/р |
+ |
2«°р-щ |
- + |
Зв?у8ур - щ - + |
||||||
|
+ |
бузбрз |
+ |
- i- ((е?з + |
«31) (бузбр1 + |
бдбрз) + |
||||||
|
|
|
|
OAi |
*• |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
(ей + 8зг) (6/збрг + |
б/гбрз)! - ^ - J |б т |
|
|
+ ^ъ‘п |
+ |
||||||
+ 3eafiln —V |
|
+ |
б/збпз - 4 - + |
4-[(«13 + |
e®i)(б/зб/л + |
блб„з)+ |
||||||
|
|
Oilj |
|
|
ил^ |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
(«23 + |
«32) (бузбпг + бугбпз)] — |
Ф° + |
(ба/ + |
«£./) {(6/убр„ + |
|||||||
+ |
б/лбру) |
|
Н—2~ (бу/ерл + |
буре/л + бяреу/ + |
бд/вур) |
+ |
||||||
|
|
+ |
“£■ 1(бвбл1 + 6у,б„з) (бутбрз + |
б/збр,) + |
|
|||||||
|
|
+ (6узбя2 + бугблз)(б/гбрз + б/збрг)1 ^ |
|
J Ф» |
|
|||||||
|
|
|
|
|
Ф° = |
Ф (Л?, Л°, Лз, Л$, Л5). |
|
|
(11.34) |
|||
|
Из выражений (1.30), (1.70) и (1Г.28) находим формулы |
|||||||||||
для вычисления значений и>утар (11.28): |
|
|
|
|||||||||
|
®/тоР = (бтл “Ь Ыт,л) ^чваР 4* бат |бур ддО |
|
дА% |
|||||||||
+ |
3«?*«tf ~ А г + |
б«збрз ^Ол^ + |
4 - К«13 + |
®3l)(б/збр! + |
бпбрз)+ |
|||||||
|
|
+ |
|
(егз + 832) (бузбрг + бугбрз)]—£jo"J^ |
(П.35) |
51
.-.В формуле (11.35) компоненты Лг„ар определяются из
выражений (11.34).
Для изотропного гиперупругого тела выражения (11.34) и (11.35) упрощаются и принимают вид
Atfnap = (6а/ 4* Ыа,/)|®/Р ^0 + ^0 + Звдв/р ~^о"| х
а |
Ф° + (6а/ + *4*./) X |
|
X |
||
X | (6//6р„ 4" 6/п6р/) |
4---2~ (®</®Рп Ч" б/рб/п + |
|
+ 6„рв°/ + |
6„,4) - А - ф 1; |
(П.36) |
|
дА3 \ |
|
(Oimaр = (6/пп 4* uSi.n) ^-inap + |
|
|
+4”(в'в^-+2*^ г+з^А -4 |
)ф’- <пз7> |
|
где Ф° - Ф (Л?, ЛЗ, Л§). |
|
общего изо |
Вычислим компоненты Я*пар и ю/тар Для |
тропного упругого тела, уравнение состояния которого имеет вид (I.H4). Линеаризируя (I.H4) и учитывая выра жения (II.3), (II.4), (II.26), (II.28), находим
^/nap — (6а/ 4* ,/) (6p/6pi 4* 2ер/бр2 4* Зер„е9;6рз) (6,n6/i 4*
+ 6/п6/2 + е«(е*„6/з) — J 4- (6а/ + ua.;) [(6rtp6,/ 4-
+ 6,р6„/) ф° 4- (6„ре° 4- 6п;е9р 4- 6(/е^„ 4- 6(.pe9n) Ф3],
Ф? = Ф,М?, A lA lY , |
(11.38) |
tO/rnap = (6/nn 4* Um.n) ^*»aP ~Ь 6am (6/РФ? + е?рФ |
+ |
+ «&e>°). |
(11.39) |
Если в (11.38) и (11.39) принять (1.115), то получим вы ражение (11.36) и (11.37) для гиперупругого тела.
Рассмотрим упрощения для случая однородного началь ного состояния (II.7). Уравнения состояния для транс версально-изотропного гиперупругого и общего упругого
52
изотропного тела при этом можно записать в форме
oin = ^inO-ik^iMk.k "Ь (1 — 6,п) рг„ {^kjUi n -f- KnUni), (jSi.n). (11.40)
Учитывая выражения (II.7), (II.11) и (11.40), из соотно шений (11.34) для трансверсально-изотропного гиперупру гого тела находим
йгк= [~щ+^-,>-^+3 (-V-)e
+ 6 аз |
|
+ {К‘ ~ |
1)_^ |
+ 3 ( ~ ^ " ) |
+ |
||||
|
~Та |
||||||||
+ б,3“ ^ ° |
] ф0 + |
6' * [ 2 ^ |
+ |
3(Я' |
- 1 |
) |
ф0; |
||
|
f |
о A?+ ^п— 2 |
а |
|
|
|
(11.41) |
||
Pin : |
“5" (бцб„з + б/зб„| + |
||||||||
|
|
4 |
дАо |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
+ |
6«6пЗ + |
б/зб„2) |
|
I <^>°- |
|
||
|
|
|
|
|
?]' |
|
|
||
Учитывая выражения (II.7), (11.11) и (11.40), из соотно |
|||||||||
шений (11.38) для общего упругого изотропного |
тела полу |
||||||||
чаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ош = Jfipi + |
(А*— 1) 6Р2+ з ( — |
| |
ф |
+ у(А/ — 1)х |
|||||
X 6/2 + ^—-g— | |
б/3] |
+ б,*[ф® + (А/ — 1) <р®]; |
|||||||
|
|
|
|
А/ + А„ |
2 |
„ |
(П.42) |
||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
Рш =-п-ф®-Ь -------- |
4------- |
|
^3- |
|
Заметим, что согласно результатам гл. I при любой по становке задач осуществлен переход в коэффициентах урав нений состояния к алгебраическим инвариантам тензора деформаций Грина. Следовательно, приведенные в данном параграфе коэффициенты уравнений состояния для возму щений являются общими для всех постановок задач.
53
§ 5. Определение коэффициентов уравнений состояния для несжимаемого тела
Для несжимаемого гиперупругого анизотропного тела
с учетом (II.2), (11.29), (11.30) и (1.76) находим |
|
Ртар = ^/лар Ч" P°'vmopi |
(11.43) |
^imap — Фтп Ч* Ыт,п) (^/пар 4“ P°v/naр) Ч" |
|
+ 8 “ [4 -(I ^ - + I |7 ) ® " + '^ ] - |
I»-44) |
В выражениях (11.43) и (11.44) компоненты Л*„ар тен зора четвертого ранга определяются по (11.32), а компонен ты V/nap из формулы
v/nap — Snptfia {(бз^Ч~ 2ез?) [(бей Ч- Ma,2) брр Ч-
4 “ (бар Ч* иа,р)брг] 4“ (бгр Ч" 2е2р) [(баз 4“ иа,з) б<$ -J*
Ч" (бае Ч" ua,q)брз1) — Gnpifol2 {(бзрЧ" 26^) [(6ai -J- Ua i) брр-f-
Ч* (бар Ч" Wa.p)6pi] 4“ (6ip Ч* 2в[р) [(баз Ч* Иа,з) бр^ Ч*
Ч" (бае Ч" ua.q) брз]}Ч~GnpifolZ {(629 Ч" %e2q) [(ба1 Ч" ua.l) брр -f- Ч* (бар Ч~иа.р) 6plJ Ч* (®1р Ч* 2б1р) [(ба24“ Ыа.2) брq Ч~
Ч- (бае Ч" ыа,е) брг]}. |
(11.45) |
Заметим, что величина vinaр определяется |
видом на |
чального состояния, а величины Л/„ар, p»nap |
и и<тар — |
видом начального состояния и формой упругого потен циала.
Рассмотрим упрощения, которые возникают для транс версально-изотропного тела с осью изотропии, совпадаю
щей с осью ох3. В этом случае ф = |
Ф (/lt / 2, / 4, / 8), так как |
|||
в силу несжимаемости (1.73) / , = |
1. Здесь / ь / 2 и 13 — ин |
|||
варианты |
(1.33) |
тензора деформаций Грина, |
величины |
|
/ 4 и / 6 вычисляются по формуле (1.78). С учетом |
выраже |
|||
ния (1.33) |
можно |
записать |
|
|
|
ф (/lt /2, /4, /6) = W (А1г А2, Л4, Аъ), |
(11.46) |
где А г и А 2— алгебраические инварианты (1.30) тензора деформаций Грина: Л4s= /4; А ъ= / Б.
Таким образом, для трансверсально-изотропного гипер упругого несжимаемого тела величины A./nap (11.43) опре
54
деляются по формуле (11.34), если в последней вместо Ф°
ввести Н7° и учесть, что W* не зависит от А%. В этом случае для нахождения к,тар (И.44) получаем формулу
Я/map — Фтп Ч* ^т,п) (Я|лар Ч* P°'v/пар) Ч* бат |®«р ^0 ь
Ч- 2е%— Ч- 6,з6рз— Ч- 4 - Ке°з Ч- е§|) (бд6р1 Ч- б/^рз) +
Ч- (е°з Ч" 632) (б,з^р2Ч- ^гбрз)]- j y j W° Ч- ^arnffiGo1. (П.47)
В выражении (11.47) величины Я/пор вычисляются по из ложенному правилу, а
W °^W (A °u A l,A lA b . |
(Н.48) |
Вслучае изотропного гиперупругого несжимаемого тела
вприведенных выше соотношениях необходимо учесть, что
W0 не зависит от А° и А\.
Рассмотрим упрощения, которые возникают для транс версально-изотропного гиперупругого несжимаемого тела для однородного начального состояния (11.7). Уравнение состояния в этом случае можно записать в виде
Оin = ^inOlk^ku k,k Ч- (1 — ®/л) Pin Q*iUl.n 4“ Я„Пл./) Ч"
+ 8/пЯ/ 2р, (&,„)• |
(11.49) |
С учетом выражений (II.7), (11.11), (11.13) и (11.49) по лучаем
Шк — |
дА, |
|
|
•“isflbsr |
Ч- W - l J x |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
Г |
л |
, |
|
(IL50) |
|
Pin = I |
"~<f + ~2~ |
Ч- ®1'З^П Ч- ®1'2^пЗ Ч~ |
||
|
Ч- 6 i36n2) - щ |
JW « - |
J f i ( Я Л - - Ял). |
Заметим, что согласно результатам гл. I при любой по становке задач осуществлен переход в коэффициентах урав нений состояния к алгебраическим инвариантам тензора
55
деформаций Грина. Таким образом, приведенные в данном параграфе коэффициенты уравнений состояния для возму щений являются общими для всех постановок задач.
§6. Основные статические
идинамические задачи для сжимаемого тела
Учитывая результаты предыдущих параграфов гл. II, сформулируем основные динамические и статические линеа ризированные задачи теории упругости конечных деформа ций сжимаемого тела.
Уравнения движения запишем в форме |
|
(©imotpWe.p),/ + Х т— рйт — 0* |
(11.51) |
Для статики получаем |
|
(й>йяосрИа.р)./ + Х т = 0. |
(11.52) |
Граничные условия в напряжениях на части поверхнос ти Si
|
t |s, = |
Pm- |
(П.53) |
|
Смешанные граничные условия на части |
поверхности |
|||
5 3 будут иметь вид |
|
|
|
|
(<0/lapUa,pAf/ |s, — ^l) (1 — б/i) = |
0; |
|
|
|
(W(2a0Wa,pA^ |s, |
P2) (1 — 6/2) = |
0; |
|
g ^ |
(e>/3apUa,0^i |s, — Рз)(1 — 6/3) = |
0; |
f>nUi |s, = |
0; |
|
6eUs |s, = 0; |
6<3ы8 |s, = 0. |
|
|
|
Граничные условия в перемещениях на части поверхнос ти Ss
итк, = 0* |
(11.55) |
Граничные условия в случае граничных динамических задач
ит |х=.о = 0; ит|т=г = 0. |
(11.56) |
Начальные условия в случае смешанных динамических задач
ит|т=о — 0; ит|х=о " 0. |
(11.57) |
Компоненты toiinap тензора четвертого ранга опреде ляются по формулам, приведенным в параграфе 4 данной главы.
56
Выражения (11.51) — (11.57) исчерпывают постановку статических и динамических линеаризированных задач для
сжимаемого тела. Так, статические задачи сводятся к |
вы |
||||||||||
ражениям |
(11.52) — (11.55), |
динамические граничные |
за |
||||||||
дачи — к (11.51), |
(11.53), (11.56), а динамические смешан |
||||||||||
ные задачи — к (11.51), (11.53), (11.55) и (11.57). |
|
||||||||||
Можно сформулировать линеаризированные задачи, ис |
|||||||||||
пользуя |
несимметричный |
тензор напряжений |
Кирхгофа. |
||||||||
Уравнения движения записываются в |
форме |
|
|
||||||||
|
|
|
|
Um,t + Х т— рйт = |
0. |
(11.58) |
|||||
Для |
статики получаем |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
Um,l -Ь Х т — 0. |
|
(11.59) |
||||
Уравнение состояния |
|
имеет вид |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
tim — tfymap^ap. |
|
(11.60) |
||||
Здесь введен |
тензор |
{оар} по следующим |
формулам: |
||||||||
|
|
|
|
|
fap = |
На,р. |
|
(11.61) |
|||
Si |
Граничные условия в напряжениях на части поверхности |
||||||||||
будут |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
ttmN, Is, = Р'т. |
|
(11.62) |
||||
Смешанные граничные |
условия можно записать в виде |
||||||||||
( t n N |
t |s , - К ) ( 1 - б « ) = 0 ; |
|
( t a N |
, \ s , - P |
l ) ( \ - b a ) = |
0 ; |
|
||||
( t i 3 N |
< \ s |
, - P |
l ) ( l - |
6 n ) |
= |
0 |
; |
|
|
(П.63) |
|
6/iUi |s, = |
0; |
6<2Ы2|s, = |
0; |
|
8/3u3|s, = 0. |
|
|
||||
Условия (11.55) — (11.57) остаются |
без изменения. Вы |
||||||||||
ражения |
(11.55) — (11.63) |
также исчерпывают постановку |
статических и динамических линеаризированных задач
для сжимаемого |
тела. Так, статические задачи сводятся |
|||
к выражениям |
(11.59) — (11.63) |
и (11.55), динамические |
||
граничные |
задачи — к |
(11.58), |
(11.60) — (11.63), (11.55) |
|
и (11.56), а |
динамические смешанные задачи — к (II.58)* |
|||
(11.60) — (11.63), (11.55) |
и (11.57). |
§7. Основные статические
идинамические задачи для несжимаемого тела
Учитывая результаты предыдущих параграфов этой главы, сформулируем основные статические и динамиче ские линеаризированные задачи теории упругости конеч ных деформаций несжимаемого тела.
57
Уравнения движения запишем в следующей форме:
[*^та0Ыа,0+ Со” фтп + ыт.л) P\,i + Х т pUOT= |
0. (П.64) |
Для статики получаем |
|
[*<imOpUa,p + Go (6mn + Ыш.п) р\,1 Ч* Хт — 0- |
(И.65) |
Граничные условия на части поверхности Sx в напря жениях запишем в форме
[KimapWa,p Ч* Со (6ran Um,n) р] N[|s, = Рт- |
(11.66) |
||
Смешанные граничные условия на части поверхности S3 |
|||
►имеют вид |
|
|
|
■{[ИНарЫа,Р + |
Со" (6in + |
Wi,„) р] Nt|$, — Pi} (1—6<i)=0; |
|
{[И/2орЫа,р + |
Со" (62n+ |
«2,n) p\ ^ iIs, — P 2HI—6/2)= 6; |
|
>{[Ki3apUo,p + |
Co" (83n |
u%n) p] N i |s, — P 3} ( 1— 6/3) = 0; |
|
S/i«i|s. = 0; 6t2u2 |S, = 0; |
6/3ы|s, = 0. |
|
Условие несжимаемости (11.6) |
|
|
a l ^ni + u°nj)un,i = 0. |
(П.68) |
|
Условия (11.55) — (11.57) остаются без |
изменений, ве- |
|
личины ximat1 определены в параграфе 5 гл. II. |
||
Соотношения (11.64) — (11.68) |
и (11.55) — (11.57) под |
лостью исчерпывают постановку основных динамических и статических линеаризированных задач для несжимаемого тела. Так, статические задачи сводятся к (11.65) — (11.68) л (11.55), динамические граничные задачи — к (11.64), -(11.66) — (11.68), (11.55) и (11.56), а динамические смешан ные задачи — к (11.64), (11.66) — (11.68), (11.55) и (11.57). Заметим, что линеаризированные задачи для сжимаемого тела (11.51) — (11.57) сводятся к задачам для трех функций ит, а линеаризированные задачи для несжимаемого тела (11.64) — (11.68) и (11.55) — (11.57) — для четырех функ ций и1г и2, «8 и р.
Можно сформулировать задачи, используя несимметрич ный тензор напряжений Кирхгофа. Соотношения (11.58), (11.59), (11.68), (11.61) — (11.63) и (11.55) — (11.57) остают ся в силе, однако необходимо иметь в виду, что все входя щие в них величины определяются по формулам, приве
.58
денным в § 5 гл. II. Уравнения состояния для этого случая запишем в форме
U m ~ И/торПаР + @0 ф т п 4 “ U m , n ) Р - |
(11.69) |
Таким образом соотношения (11.58), (11.59), (11.61.) — (11.63), (11.55) — (11.57), (11.68) и (11.69) полностью исчер пывают постановку основных статических и динамических линеаризированных задач для несжимаемого тела. Так, статические задачи сводятся к соотношениям (11.59), (11.61) — (11.63), (11.68), (11.69) и (11.55), динамические граничные задачи — к (11.58), (11.61) — (11.63), (11.68), (11.69), (11.55) и (11.56), а динамические смешанные за дачи — к (11.58), (11.61) — (11.63), (11.68), (11.69), (11.55) и (11.57). Заметим, что в этом случае условие несжимаемости следует брать в виде
Со7 («„у + «£./) |
= 0. |
(П.69а) |
§ 8. Упрощения для случая малых деформаций. Классификация задач
Рассмотрим упрощения, которые возникают при малых деформациях, и проведем классификацию линеаризирован ных задач по степени упрощения основных соотношений. Поскольку возмущения значительно меньше соответствую щих величин начального состояния, то, говоря о малых де формациях, автоматически следует считать начальные де формации малыми.
Вначале исследуем упрощения для сжимаемых тел. Если предположить, что малыми являются удлинения и сдвиги (первый вариант теории малых начальных деформа ций), то имеют смысл упрощения (1.118). В этом случае соотношения, приведенные в § 4 и 6 гл. II, остаются в силе, если убрать в них индекс «*» и не учитывать изменение раз меров тела до и после деформации. При дальнейших упро щениях, кроме предположения о малости удлинений и сдви гов, принимаем предположение, что начальное состояние можно определить по геометрически линейной теории (вто рой вариант теории малых начальных деформаций). Для второго варианта теории малых начальных деформаций необходимо во всех соотношениях § 4 и 6 гл. 11опустить ин декс «*» и не делать различия между размерами тела до
59
и после деформации. Кроме того, во всех этих соотноше ниях необходимо принять
2е?/» ы°/ + u<j,i> &ij + ии |
Й/у- |
(11.70) |
Дальнейшие упрощения заключаются в том, что, кроме предположения о малости относительных удлинений и сдвигов о возможности определения начального состояния по геометрически линейной теории, предполагается, что углы поворота также являются малыми величинами по сравнению с единицей (третий вариант теории малых начальных деформаций). Для получения основных со отношений в рамках третьего варианта теории малых на чальных деформаций необходимо, кроме упрощений пер вого и второго вариантов, ввести еще упрощения типа (1.119) — (1.123).
Рассмотрим упрощения для несжимаемых тел [11. Огра ничимся первым вариантом теории малых начальных деформаций, поскольку переход ко второму и третьему вариантам аналогичен соответствующим переходам для сжимаемого тела. Для несжимаемого тела упрсхцение по становки задач усложняется тем, что для теории малых деформаций изменение объема уже не определяется третим инвариантом тензора деформаций Грина, а первым ин вариантом (1.118). Условие несжимаемости записывается для возмущенного состояния в виде
|
елп = о. |
|
(11.71) |
Линеаризированные условия несжимаемости |
запишем |
||
в форме |
|
|
|
|
Фп1 + и°Пш1)и п<[ = |
0. |
(11.72) |
Линеаризированное уравнение состояния в этом слу |
|||
чае принимает вид |
|
|
|
Ош |
Ощ — |
“Ь &lnPi |
(II.73) |
tim = |
os,P “Ь Фтп |
Ыт.л) Р- |
(11.74) |
Здесь величина hnap, определяется по формулам (П.32), (11.34) и (11.36), причем в двух последних необходимо иметь в виду, что для рассматриваемого варианта упроще
ний упругий потенциал не зависит от А° в силу условий
60