книги / Устойчивость упругих тел при конечных деформациях

Из выражения (III.38), условий (11.57) и условий ста­ ционарности функционала следуют соотношения (11.55), (11.58), (11.61), (11.62), (11.68) и (11.69).

Заметим, что из вариационных принципов для функ­ ционалов (III.33) — (III.35) можно получить вариацион­ ные принципы для функционалов (III.7) — (III.9). Ана­ логичное положение имеет место и для сжимаемых тел.

§ 4. Представление общих решений пространственных задач при однородной начальной деформации сжимаемого тела

В данном и трех последующих параграфах примем, что возмущения объемных сил отсутствуют и начальное со­ стояние является однородным. В этом случае уравнения в перемещениях для сжимаемого тела (II 1.7) запишем в форме

АщаИ а о?	Аша — WfmaP	а»	«.	д*
		дХ[дхр	P°ma	,
	WimaB = Const.			(III.39)

Общее решение системы (III.39) можно представить в одной из трех форм или в виде линейной комбинации

и!П-

ф</>» (&>•

(III.40)

При этом функции Ф(Л определяются из одного и того же уравнения

d et|L re|a>(/)= 0 .

(III.41)

Рассмотрим трансверсально-изотропное тело, ось изо­ тропии которого совпадает с осью ох9. В случае начального состояния в виде (II.7) уравнения (II 1.29) принимают вид

Ama^a =	Lma = КтК« [oma + (1		* ®та) Рта] яг av--- Ь
"Ь	[(1 ®im) Pim -]- Оц Ха ]	а»		•та	аа	I (^т,а).
		dxj

(III.42)

В формуле (III.42) величины ата и [Лт« определяются из выражений (11.41) и (11.42). Заметим, что из выражений

6 3-1365

81

(11.7) и (11.70) для трансверсально-изотропного гипер­ упругого тела получаем

Подробно рассмотрим следующий случай
Он	022 Ф 0;	о3з ф О; %1 = \ Ф 0;		%g Ф 0. (Ш.44)
До конца	настоящего		параграфа будем	рассматривать
только этот случай.
Из выражений (11.41) и (11.42) находим следующие со­
отношения:
	Оц = Й221	йц = йя! Шз — Ргз>		(Ш.45)
	2^12 “	®п	йц!о.ц -— ац.

Вначале исследуем форму представления решений уравнений (III.42) для статических задач, учитывая (III.44) и (III.45). Для этого случая уравнение (III.41) преобразуется к виду

(III.46)

Вуравнении (III.46) введены обозначения

^Г 2) р

rn V 2) J ; (Ш.47)

His+ °i 1^32 “и + °ii^i 2

(Дц+ НиУ (яц + 2) (Им+ О ц\

82

Решение уравнения (II 1.46) представим в форме ком­ бинации решений двух следующих уравнений:

( V V -H S - H - ) * , - » .

(III.48)

[(VV)2 + (Й + Й) W - щ + Й ё

Х1 = °-

Для определения перемещений поступим следующим об­ разом. Положим в (111.40)

Ф'	1= Ф(2) =	Vjj	Ф(3) =	X,;	ul ~ u l l)- u ? ) +		u?'.	(Ш.49)
	Кроме того, введем			следующие функции:
	V = (а1а + !*„) (р18 +			O u V ) Л.?Л|		^	{ w +
					I
	+ р?зз+ °ззЧ~2________ (Си+ И1з)2______1—						!	•
	Ььж + °п^з 2		(°ia + Ни) (Ии + о,?Яз 2) J й*з /					(III.50)
X — (й13 + р13) (р12						-j- £i	^i*
¥	В силу	(III.48) и (111.50) для				определения		функций
	и X получаем уравнения
								(III.51)
	[(W )2 + (Й + й) VV				+ Й Й ^ ] х = 0.
	В результате из выражений (111.40), (II 1.42),							(III.45),
(III.47) — (III.51) после ряда преобразований выводим
			дхгдха ■Xj		U2 —	¥■		X;
	и, = £ -	--1l + ,°?°Xl 2 ( VV + ^ 3+				-gg-V		(Ш'52)
	^з	ais +	Ии	\	Оц +	О ! ] 2 дх^ )

Если тело имеет произвольный контур поперечного се­ чения, перейдем к дифференцированию по нормали и

6 *

83

касательной в выражениях (II 1.52). После ряда преобра­ зований, аналогичных. [13], получаем

■W-		-X;		и2 —	дп	W-	а»		X;
	дпдх.						dsdx%		(III.53)
и, = Х^_аи +			21	Pis + азз^12Ч			a* ^ V
		^13						’
'^3 °Х* +			\	а	11 + а°ХТ* д 4 )

где ы„ и us — перемещение соответственна по нормали й касательной к контуру поперечного сечения.

Подробный вывод формул типа (III.53) приведен в мо­ нографии [13], поэтому здесь его повторять не будем.

Проанализируем второе уравнение (II 1.51). Из выра­ жений (II 1.47) следует, что возможны следующие случаи:

1) й и £з действительны и разные

	X = X8+ XS;	^ V V + g - I ^ X ^ O ;
	( w + d ^ ) * , = o ;			(III.54)
2)	й и (в комплексно-сопряженные
	X = RcX2 + ImX2;	(v v + g -£ Л Х2 =	0;	(III.55)
3)	й и й действительны и равны между собой
X = (iC1 + 2iC2)X2-		/Сх,	/С2=	const;
	z = x1 + iyx = гёе,			(III.56)

где t — мнимая единица. Для третьего случая возможны и другие представления решения.

Таким образом, для рассматриваемого начального со­ стояния (11.7) в любом случае решение статических урав­ нений для трансверсально-изотропного тела представля­ ется через функции, являющиеся решениями уравнений второго порядка.

Опуская промежуточные выкладки, запишем представ­

ление общего ранения для		динамических задач транс­
версально-изотропного	тела	при	начальном	состоянии
(II 1.44). Это решение	построено по		аналогии	со статиче-

84

сними задачами, в справедливости его можно убедиться в результате непосредственной проверки. Для тела с криво­ линейным контуром поперечного сечения это решение запишем в форме

	д1	X; и ,=	дп	0»
	дпдх.			dsdxa
	__ °ii + °n^i2 /	^18+ рзз^1 2		аа	(III.57)
	X* «is + Pis	\	ахх -f- q’jjXJ-2 0л|
		Р^Г2	0* \ v
	« ii + c t f V

Функции ¥ и Х в этом случае определяются из следую­ щих уравнений:

( v v	I	Р18+ °зз^1 2		0а		—2	а»
					р*т			) ^ =	0;
\		Pia +	tru^i 2 0*з		Р18 +а;?ХГ2 дх*
к-VV +	Pis + °33^1 2 0*				Р^Г2		0» V	VV +
	аи + °n^i 2 0*|			а2	яи + °;?хГ2 * * А				(II1.58)
	.	a S3 +	с 3 3 ^ 3 2		рягЙ2		а2 ^
		Pis +	а 11^3°* -2 0*1		Pis +	а 11^з
						о'гК2 ™ )
		________ (а13 +		Pis)a________		v v - ^ j x - c .
		(а11 +	Р п ^ Г 2) (Pl8 + « И ^ 2>

Если в (III.57) и (II 1.58) принять, что функции ¥ и X не зависят от времени, то получаем представление общего решения для статических задач (III.51) и (III.53).

Преобразуем граничные условия на части поверхности Sx (11.53) к виду, удобному для тела с криволинейным кон­ туром поперечного сечения. Учитывая предыдущие ре­ зультаты, перейдем к дифференцированию по нормали п и касательной s. Опуская промежуточные выкладки, при­ ведем окончательные результаты.

Граничные условия на цилиндрической поверхности,

когда ось ох3 совпадает с осью цилиндра,			имеют вид
^>1 (**Ц Ч"	) (Мп,п — UXN 1_п — « 2^ 2.n) Ч-		(Uj,s —
— U2N itS -J- uxN2iS) -f- X1X3a13U3i3— Pn;
^l(*12К1 Ч-	(*12) (Wj,n -j- UXN2,n	i_n) -J- un>$—

85

4jN1>S « 2^ 2,s] — Ps,
Шз 1^’1^'з^п.з -}- ^ з (1 ■}■ О11Я.3 Ц1з ) Щ,nl = P 3I
P'n = P\NX+ PlN2; Pl = -	P'tNa+ PlNlt
	(III.59)
где N± и N2 — косинусы углов,	которые образуют нор­

маль к контуру поперечного сечения с осями охг и ох2; ин­ дексы п и s—соответственно нормаль и касательная (диф­ ференцирование пб нормали и касательной обозначено индексами п и s после запятой).

Граничные условия при х3 =						const будут
Шз 1^Т (1 Ц- <Тз3^1			P’13 ) ып.З -f- ^’1^'з^з.п] — Р nl
P l3 (1	+ 033^1		Р13 ) Ug.3 + ^1^3^3,51 — P s i						. . . .
	_								(lll.oU)
div u -f- Я| (Ogj — 0 13^1^ 3					*+	Пзз^з 2) Мз,з =			Рз1
P'n = PiNx +		PlN2;		P] = -	P\N2+		PlNv		1
Заметим,		что	величины		P'„,	P j	и Pj в		выражениях
(III.59)	и (III.60)			отличаются		друг от		друга, поскольку
в первом случае они выражаются							через	возмущения		по­
верхностных сил на цилиндрической поверхности, а										во

втором — через возмущения поверхностных сил при х3 = ■ const.

Необходимо отметить, что представления решений (III.51), (III.53) для статических задач и (III.57), (III.58) для динамических задач получено в плоскости х1ох2 в инвариантной форме.

§5. Представление общих решений плоских

иантиплоских задач при однородной начальной деформации сжимаемого тела

Рассмотрим		однородное начальное состояние в виде
(11.7) и тело		будем	считать трансверсально-изотропным,
ось изотропии		которого совпадает с осью ох3.			Исследуем
представление		общих	решений	для плоской	деформации
в плоскости	хгох2.
и3=	0; Uj =		Ил (хц х2);	u2 = u2 (xv х2). (III.61)

80

Уравнение состояния согласно (11.40) запишем в сле­ дующем виде:

ап =

a ^ u i.i +

°22 =

+ о22^2«2.2;

0*2 =

(KUlfi + M2.l);

°Ч =

°1‘> °12= °21*

Величины ац и |Л12 определяются

по

формулам (11.41)

и (11.42). Из (III.42) и (III.61) получаем

уравнение движе­

ния в форме

L J J UJ -J- L 12U2 = 0 ;

^ 21^1 ~Ь ^22°2 =

0»

^12 =

^21»

( Ш .6 3 )

где

= ^i ^(Оц+опХГ2) - ^ +(Mi2 + a22^i 2) ^ |] —

^1^2 (И12 +

а1г)

52

’

(III.64)

^12

дхгдхг

^22 =

^ ^

12+ ^ 1%

2)'£ 2+ (° 22+ {Т22^2 2] - ^ | — Р ^ '

Общее решение системы (III.63) представим в виде

«! = | а| | ^

12+ 0 ^ 2 2) -Щ

+ (а2»+ ОюМГ2)

—

— Р IF^rJ

“ г = — ^ 1^2 0 * u + ° i2 )

dXjdXa

(IH .6 5 )

Для определения функции X получаем уравнение

||^ 1

(Р12 +

° u ^2 2) ~~2“ +

^2 (°м + °22^2 2) "~ 2" —

— Р _^а | ^ 1 (°И +

°*1% 2) дх2 ' +

(Pl2+

°22^-1 *)

-----

-

p

^

-

^ ^

+

^

l ^

-

}

^

0'

(1П-66)

Уравнение (II 1.66) при соответствующих заменах сов­

падает со вторым

уравнением

(II 1.58). Для

статических

задач уравнение (111.66) упрощается и принимает вид

||^1 (Ри + °u% 2) -щ - +

(о22 -f 0^X2 2)

j х

87

К |Л| (Оц +	0*1% 2)	(^12 + ° 2%	2) ~~ |~j —
-	^ ( р «	+ «и)2- ц ^ г } * =	0-	(III.67)

Уравнение (III.67) при соответствующей замене совпа­ дает со вторым уравнением (III.51), поэтому запишем его еще в одной форме

				(III.68)
где
,	г	1 Гг®	(flu + °Г% 2) Фи + °*% 2) 1 .
Чю	*	L	fa-+ ^%-2)fa»+ <4V) J ’	(III.69)
faal + °22^2 2) fall + а1% ”2) + fan + а22^1 2) fall +				2) —
2С =			— fall ~ЬPig)8

fall + а2% 2) fa ll + °22^Г^

Для уравнения (III.68) можно рассмотреть различные случаи представления решения по аналогии с (III.54) — (III.56).

Граничные условия в напряжениях при х2 = const имеют вид

(022^2 + о'гЫг.г) = Р%1 (021^1 + 022^1,2) — Pi< (III.70) а при x! = const

(01% + ou«u) = PI; (of% + 0n«2,i) = P i (HI-71)

Рассмотрим представление решений для антиплоской деформации в плоскости хгох2:

% s Uj == О, U] = U3(Xj, х2).

(III.72)

Согласно (11.40) получаем формулы для определения отличных от нуля напряжений

01*3 = Pi3^3U3.1,' 023 = 1*23^3^3,2.

(III.73)

88

Для определения и3 из (III.42) и (III.72) находим урав­ нение

|*з ^(р18 + °ГАз 2)

(Ргз +

~ ^ - j — Р

0.

(Ш.74)

Граничные условия в напряжениях на цилиндрической поверхности можно записать в виде

(ри + Стц% 2)Щх -f- N2X%(pgg Ои^з 2) и3.2 = Г*з.

(III.75)

Из анализа выражений (III.74) и (III.75) можно сде­ лать вывод, что для определения перемещения и3 в линеа­ ризированной задаче об антиплоской деформации доста­ точно в формуле для определения перемещения м3 в ли­ нейной задаче об антиплоской деформации ортотропного тела произвести замену

Gi3~ ^J(Pi3 +	^3 2)>	6т —				(Ргз + °22^3 2);
							(III.76)
	р =	р ;	P I		~	P i.
В соотношениях (II 1.76)				для		линейной	задачи	орто-
		«ч1			Ы		сдвига;	р —
тройного тела обозначены G1S					и GM модули

плотность; Рз — правая часть граничных условий в на­ пряжениях (111.73).

Установленная аналогия (II 1.76) дает возможность ис­ пользовать готовые решения линейных задач для орто­ тропного тела.

Существует еще один класс линеаризированных задач,

для которых	можно		установить		аналогию		с		линейными
задачами. Это задачи о плоской деформации в									плоскости
XjpXi при условии, что
			Он =	022 =	0.				(II 1.77)
Учитывая (III.44) и (III.45), из формулы (III.64) на­
ходим
,	—	,2	а» .	,2	а»	в*	;	1
Lu			+	A’lp.u-grj		р ^			I

6 9

Из выражений (III.62) и (III.70) получаем граничные условия в напряжениях при ха = const:

[XiauU2,2 + Л-1 («ц 2ри) «l.ll = Pi', ^1^12 («1.2 + «2.1) == Pi.

(III.79)

Из формул (III.62) и (III.71) определяем граничные условия в напряжениях при хг = const:

I^i«u«i.i + Л-i («11— 2^^) Ы2.2] = Pi;

(«1^ + «2,0 = Р2.

(ШЛО)

Из выражений (III.78) — (III.80) следует, что для на­ хождения перемещений и и2 в линеаризированной зада­ че о плоской деформации в плоскости xtоха при условии (III.77) достаточно в формулах для определения переме­ щений для линейной плоской задачи изотропного тела произвести замену

2[х12); Р^Р » Рт Рт. (III.81)

Для линейных плоских задач изотропного тела в (III. 81) введены обозначения А, и р — постоянные Ляме; р — плот­

ность; Рт — правые части граничных условий в напря­ жениях линейной плоской задачи.

Установленная аналогия (III.81) дает возможность ис­ пользовать готовые решения линейных задач.

Следует отметить, что подобную аналогию можно полу­ чить и для случая всесторонней равномерной деформации.

§ 6. Представление общих решений пространственных задач при однородной начальной деформации несжимаемого тела

Рассмотрим однородную начальную деформацию’несжимаемого тела, определяемую выражением (II.7), и примем, что возмущения объемных сил отсутствуют. В этом слу­