книги / Методы принятия технических решений

82

Глава 6

цах, установленных ранее на основании его свойств, см. (6 .3 5 ):

Vwv(а) ,• t 1, а также	Vwv(a) | 0 и Vwv(a)	\ 0 .
V-УОО	гь»0	оу->1
ад->юо

Отсюда видно, что при большом объеме выборки v и одновре­ менно большом числе реализаций w улучшенный HL-критерий (6.36) приближается к нейтральному BL-критерию, а в случаях малого объема v выборки и (или) числа реализаций w опре­ деляющим становится ММ-критерий. При этом с учетом (6.36) и (6.42) выражение (6.38) может быть записано в виде

eir = М*а (a) i = £ hw,j,i (а) <?«•/.

(6.43)

/=1

Остановимся на определении границ применимости HL-крите- рия. В самом деле, при наличии информации о вероятностном распределении внешних состояний F\, ..., Fn, даже, например, при малом числе реализаций w (что, кстати, будет отражено в малости величины доверительного фактора, согласно (6.33)], имеет смысл выйти за рамки строгого следования минимаксно­ му критерию, если принимающий решение готов в такой ситуа­ ции пойти на некоторый риск, определяемый величиной едоп. Для некоторых внешних условий, имеющих большую вероят­ ность реализации, могут получиться варианты решения, которые дают заметный выигрыш по сравнению с оптимальным вариан­ том по ММ-критерию. С целью оценки конкурентоспособности таких решений для каждого варианта Е{ введем специальную величину, равную сумме минимального результата mine,;, /=

= 1 , ..., п, и эффекта риска:
min ец + et.	(6.44)
/
Величина etпо своему смыслу должна отвечать	ограничению
е,-=тт(ег возм> еДоп).	(6.45)

Тем самым гарантируется непревышение величиной е* значения

дефекта t-ro варианта решения по отношению к		оптимуму,
полученному по минимаксному	критерию [см. (6.40)],		а также
величины допустимого риска	едоп. Максимальный	риск при
рассмотрении всех вариантов решения Ей i—1 ,		т,	согласно
|б.40) равен
e = max е/ = тах min (вi возм> еДоп) •			(6.46)

ii

Вотличие от выражения (6.42) для HL-критерия, будем теперь

Количественные характеристики ситуации принятия решений			8&
исходить из следующей оценки результата:
= Vw0(a)i h	eijhj+ (1 — У'Ма);)гшп(е,7 +е;).
/=i		/	(6.47)
Обозначим через E*(e)	множество всех	вариантов	решения,,
обеспечивающих .максимум величины ц,:
Е*(г) : = {Etliu=max[ii}, тахц , = ц*.			(6.48)
	i	i

Для разъяснения сути критерия, определяемого выражениями (6.47) и (6.48), рассмотрим два крайних случая. Если еДОп=0^

то, согласно (6.45), и ег= 0 , а		тогда из (6.47) получаем вновь
выражение для улучшенного HL-критерия (6 .3 6 ):
П	eijhj+ (1 — «,)mine,y,		(6.47а)
\и= Щ 2,
/ -	1	/
где U i = V vw {a)		(6.45), е; = егвозм,	а выражение
Если еДоп^е, то, согласно

(6.47) с учетом (6.40) фактически преобразуется в нейтральный критерий Байеса — Лапласа:

\Ki— Ui	П	tli)2 JVIM>
	“Ь ( 1

причем весовой коэффициент щ равен доверительному фактору

Ui=Vvw(a)i.

Продолжая наши рассуждения, рассмотрим случай, когда

Ui=Vvw(a)i=0. Эта величина равна	нулю в случае, когда а = 0,
т. е. нет никакой информации о распределении		вероятностей
реализации внешних состояний Л,	Fn>или	при о ;= 1 , т. е.

когда решение принимается впервые. Тогда выражение (6.47) преобразуется к виду

	Pi|ut=o = min (<?,/+е.) —*• шах!		(6.49)
Приращение	результата вц до величины е^ + е,, которая,		сог­
ласно (6.45)	и (6.40), может достигать ZMM,	позволяет в	соот­
ветствии с (6.48) включить в рассмотрение		несколько дополни­

тельных вариантов решения. Дальнейшим рациональным шагом будет применение BL-критерия для этих вариантов:

ц**: =	шах	S	е,,7г/.	(6.50)
	{ieE.QE*( £ ) }	У	- 1

Тем самым из множества Е*(е) вариантов решения, результа­ ты которых максимизируются выражением (6.49), предпочтение

6*

84

Глава 6

будет отдано вариантам, имеющим максимальный средний результат, а к ним в первую очередь относятся такие варианты Е{, в которых внешние состояния F,, обеспечивающие высокие значения результата ец, характеризуются большими вероятно­ стями реализации. Приведенные здесь рассуждения для случая Ui=Vvw(a)i справедливы и для значений щ, близких к нулю. Если же значение tii=Vvw(a)i близко к единице, то критерий (6.47) и сам по себе приближается к критерию Байеса — Лап­ ласа:

21 ецН; — >- max!

/i

6.6.Опорные величины для оценки риска

Теперь^ необходимо более глубоко определить понятие риска, которое обычно интерпретируется как возможность получения нежелательного результата. В рассматриваемой нами ситуации принятия решений будем считать риском реализацию случая, когда вариант решения £,• при внешнем состоянии Fj дает результат меньше ожидаемого. Эту ожидаемую величину при­ мем в качестве опорной для оценки риска, причем для большей ясности необходимо разделять опорные величины на завися­ щие и не зависящие от внешних факторов.

В качестве не зависящей от внешних факторов опорной величины ег может фигурировать любая вещественная величи­ на, однако согласно смыслу ее определения она может нахо­ диться только в диапазоне

min min е,/<ег< т а х max ец.				(6.51)
i	i	i	/
Для конкретного варианта Et величина
ег: = ег — min ег/= шах (ег — ец)				(6.52)
	i	i
называется возможным дефектом выбора варианта решения
Так как отрицательные значения		согласно (6.52)		не являются

дефектом, рассмотрим, с учетом обычного обозначения поло­ жительной части х+ вещественного числа х через л;+ :=тах(л:, 0 ), величину

ei+ : = тах(е/, 0 ) = (ег — min ец)+	(6 .5 3 )
/

и назовем имеющим дефект или свободным от дефекта вариант

принятия решения Е*, когда 8г+ > 0		или, соответственно, ег+= 0 .
Тогда при ez>max шах	любой	вариант принятия решения

Количественные характеристики ситуации принятия решений

85

будет иметь дефект, а при ег :minminetj все варианты будут

свободными or дефекта.

Было бы целесообразным определять опорные величины для оценки риска через значения известных критериев принятия

решения. Так, например, обозначим
	ejMMe-2 MM_ mjn вц		(6.54)
и,	соответственно, (е,мм)+ как	возможный дефект	решения
Ei	относительно достижимого	значения оценочной	функции
ZMM по минимаксному критерию.
	По отношению к независимой от внешних состояний опорной
величине ег можно ввести следующее определение:			из двух

вариантов решения Е\ и Ei будем называть вариант £» не луч­

шим по	сравнению с Et (записав это	в виде соотношения
Ei^E i),	если определенные согласно	(6.52) оценки риска ег

и в! удовлетворяют неравенству е,^ег. Раскрывая данное нера­ венство вг= ег—т \ п е ц ^ е г—mine;3- и сокращая в нем подобные

члены, получим min ец, что говорит о независимости

данного выражения от ех. Характер соотношения вариантов принятия решения для всех независимых от внешних факторов уровней отсчета ег будет тот же самый, и, сохраняя суть соот­ ношения, его можно просто записать в виде Е ^ Е ц

В общей формулировке опорную величину ег, зависимую от внешних факторов, можно представить в виде функции от всех m-л значений результатов решения ец :

t	= 1 ........ т,
ег=ч>(ец), /.	—1., .... я.	(6.55)

(Данное выражение включает в себя и тот случай, когда <р вообще не зависит от ец, т. е. является константой.) Тогда де­ фект, возможный при выборе варианта решения Ец согласно '(6.52), определяется выражением

е/=фО</) — min e//=max(<p(e</) — е{}).	(6.56)
Выбор оптимального варианта Ei* дает минимальный	дефект
е*:	(6.57)
e*=e*(=min е/.

Таким образом, разность между дефектом в,- варианта решения Et и минимальным дефектом е* принимает вид

Aei=ei — m inai= (ф(е</) — min ец) —

—т!п[(ф(е,/) — mine,/)].

(6.58)

86 Глава 6

Полученную разность дефектов можно рассматривать как отно­ сительный риск при выборе соответствующего варианта реше­ ния Ei.

В случае, когда опорной величиной является оценочная функция ZMM, соответствующая ММ-критерию, минимальный

дефект e* = min е2= min (ZMM—min ец) =Z MM—max min e,j = 0 , i i i t i

так что в этом случае Ae, = et=ZMM—miney.

Опорные величины могут п внешних состояний Fit ..., Ч* от т переменных:

«*/: = 'F (ei/,

быть определены для каждого из Fn отдельно с помощью функции

.. . , eih . . .

, em/) .

(6.59)

В этом случае в соответствии с (6.51) значения eZj имеют смысл только в диапазоне

min	шах е,/.	(6.60)
i	i
Величину
е /: = max (е2/ — «у)		(6.61)

будем называть возможным дефектом выбранного варианта ре­ шения Ei или оценкой риска, сопутствующего такому решению; при этом, в соответствии с (6.53), заслуживают внимания толь­ ко положительные значения:

e+i: = [max(ezj — ву)]+.	(6.62)
/

Ограничение значений опорной величины ег$ диапазоном (6.60) мотивируется тем, что при ег,->тахеу любой вариант реше­

ния имеет дефект, а при e2j^ m in ey все варианты бездефектны.

/

Примерами зависимых от внешних факторов опорных вели­

чин являются граничные значения диапазона			(6.60):
eZj : =	max е,у		(6.63)
и
ег!: =	min еу,		(6.64)
а также среднее значение
1	т	eU•	(6.65)
вг/ = —	2
от	i= 1
Оптимальный выбор варианта	решения Ei*		^ает минимальный

Количественные характеристики ситуации принятия решений

87

дефект, который для величин, не зависящих от внешних факто­ ров, аналогично (6.57) и (6.61) равен

e*= e*i=mine(,	(6 .6 6)
i

а разность между возможным и минимальным дефектами для варианта решения Et составит, аналогично (6.58):

Де,-= е« — min ы —max [ег/ — ец] — min {max [eZj — ец] }. t / i f

(6.67)

Эту величину, в свою очередь, можно рассматривать как отно­ сительный риск при принятии варианта решения Ей

Более наглядная интерпретация свойств зависимой от внеш­ них факторов опорной величины получается в случае использо­ вания S-критерия (3.7) с оценочной функцией

Zs = min [max (max ец — ец) ].			(6 .6 8)
i	I	l
Действительно, если	принять	в качестве опорной величины,
зависящей от внешних	состояний, eZj:=m axetJ- [см.		(6.63)],

то, согласно (6.52), риск, сопутствующий решению Ец опреде­ ляется выражением et=m ax(m in ец—ец), а оптимальным, сог­

ласно (6 .6 8), будет вариант решения Е{* с оценочной функ­ цией

Zs =mine, = : е*«, i

т. е. вариант с минимальным риском.

6.7. Пример оценки значимости параметра для некоторой простой функции при различных его вероятностных

распределениях

В примере, предлагаемом ниже, будут рассчитаны значи­ мость, энтропия и коэффициенты влияния, понятия о которых были даны в разд. 6.2 и 6.3. Дальнейшее применение они полу­

чат в разд. 9.5. Расчет величин доверительных	факторов	из
разд. 6.4 будет рассмотрен в разд. 7.2.
Вопросы принятия решения при наличии риска (разд. 6.5)
и выбора опорной величины для оценки риска	(разд. 6 .6 )	не

нуждаются здесь в дальнейших пояснениях. Для этого в разд. 7.2 будут даны методы их расчета.

8 8				Глава 6
В качестве примера рассмотрим простую функцию
			е (У, х) =у2/х1 + 2 *2.		(6.69)
Здесь	у — зависимая переменная возможных вариантов				реше­
ния, а	х\	и х2— независимые		переменные, описывающие	неиз­
вестные		влияния	внешних состояний. В табл. 6.5 приведены
		Таблица 6,5. Дискретные значения переменных
			[уравнение (6.69)]
	Зависимая			У{<= [1. 2, 3]
	переменная у
Независимые			хх: распределена равномерно G (0,1; 0,9)
переменные х			х17е [0,1; . . . ; 0,9]
			х2: распределена нормально N (10; 0,44)
			x2j 6= [8,	, 12]

дискретные значения переменных, выбранные для данного при­ мера. Границы значений параметров у и х\ определяются ус­ ловиями задачи, а для параметра х2 они подчиняются правилу За.

Сначала выполним расчет коэффициентов влияния независи­ мых параметров, значения которых приведены в табл. 6.5, используя формулы (6,5), (6 .6 ) и (6.7). Результаты вычисле­ ний сведены в табл. 6 .6 .

Таблица 6.6. Релевантности и коэффициенты влияния независимых параметров из выражения (6.69), распределенных согласно данным табл. 6.5

	Я„°	(6.5)	Rltb (6.6)			Rt (6.7)
уi		Ra
	«И		Ri\	Hi2	Ri	Ri
		Hi2
у ‘= i	0,404	0,364	0,526	0,474		0,474
у%=2	1,270	0,286	0,876	0,184	0,909
1/з=3	2,105	0,210	0,909	0,091

Из таблицы видно, что максимальный коэффициент влияния Ri для параметра х\ почти вдвое выше, чем для параметра х2. Отсюда лицо, принимающее решение, может извлечь указание о необходимой в данном случае дополнительной информации относительно условий задачи либо имеющихся результатов. Если, например, получение дополнительной информации для снижения уровня неопределенности в условиях задачи связано

Количественные характеристики ситуации принятия решений

89

Таблица 6.7. Значимость В\

параметра х\ функции (6.69) в зависимости от числа интервалов дискретизации /zt

Равномерное распределение (0,1; 0,9) Максимальный коэффициент влияния Ri=0,909

П1	Al	Иг	Bi
2	0,40	0,693	0,630
3	0,27	1,099	0,999
4	0,20	1,386	1,260
5	0,16	1,609	1,463
6	0,13	1,792	1,629
10	0,08	2,303	2,093
20	0,04	2,996	2,723
50	0,02	3,912	3,556

Таблица 6.8. Значимость В2

параметра х%функции			(6.69)
в зависимости		от числа интервалов
	дискретизации п2
Нормальное распределение			(10; 0,44)
Максимальный коэффициент влияния
		Я ,-0,474
«1	As	Иa	B2
2	2,00	0,320	0,152
3	1,33	0,725	0,344
4	1,00	1,014	0,480
5	0,80	1,237	0,586
6	0,67	1,419	0,673
10	0,40	1,930	0,915
20	0,20	2,623	1,243
50	0,08	3,539	1,678

с неоправданными затратами на дальнейшие измерения или наблюдения, то для решения задачи целесообразно ограничить­ ся наличной информацией и сосредоточить внимание на пара­ метрах с большими коэффициентами влияния.

Для вычисления значимости Bi необходимо определить еще энтропию заданных параметров. Из выражения (6.13) в разд. 6 .3 в качестве приближения для вычисления энтропии равно­ мерно распределенного параметра получим выражение

Нрлвн (А/) — In (Xi — Xi) /Дlf

(6.70)

90

Глава 6

где xi — верхнее граничное значение параметра xi, х;— нижнее граничное значение параметра хи Дг— шаг дискретизации па­ раметра Хи а для параметра, распределенного по нормальному закону, — выражение

Я„орм(А/) =7а In 2ле(о2/Д,2),		(6.71)
где о — среднеквадратическое	отклонение нормального	зако­
на распределения.
Параметры распределения хи xi и о приведены в табл. 6.5.
Теперь, используя выражения	(6.70) и (6.71), произведем рас­

чет энтропий обоих независимых параметров Х\ и х2 в зависи­ мости от шага дискретизации. Результаты вычислений приведе­ ны в табл. 6.7 и 6 .8 , где, кроме того, даны величины значимо­

стей В\ и	В2 параметров, определенные по			формуле (6 .8 ) из
разд. 6 .2 .
На больших интервалах дискретизации соотношение значи­
мостей В\	и В2 параметров х\ и х2 за счет их энтропии лучше
для параметра		хи чем на	малых интервалах дискретизации.
С ростом	числа	интервалов	дискретизации	отношение BJB2

стремится к величине R\/R2.

В разд. 9.5 показано, как необходимо выполнять объектив­ ный выбор величин значимости и числа интервалов дискрети­ зации заданных независимых (неизвестных) параметров с уче­ том взаимосвязи этих величин.

7

ГИБКИЙ КРИТЕРИЙ ВЫБОРА РЕШЕНИЯ

7.1. Свойства

Проведенные в гл. 6 рассуждения составляют основу для такого критерия выбора решения, который гибко сочетается с качественными характеристиками исходной информации и числом предстоящих реализаций решения, что характеризуется, соответственно, эмпирическим и прогностическим доверитель­ ными факторами. Кроме того, проводится учет возможного риска, ограниченного его допустимой величиной. С помощью пяти требующих обязательного выполнения условий Gb G2, G3, G4, G5, формулировки которых будут даны ниже, опишем множе­ ство Е0 оптимальных согласно данному гибкому критерию ре­ шений Я*еЕо в виде

E0={E«|GIA(G2VG3)AG4AG5}. (7.1)

При этом условия формально характеризуются следующими соотношениями:

G,:	Я ,еЕ				(7.2)
G2:	К(а); = Едет;		Е (а ),— доверительный фактор		(7.3)
	Vvw(a)i	или	Vv(a),• или Vw(a),,
	Kaon — максимально допустимый доверительный фактор
G3:	2мм	min ег/<еДОп *			(7*4)
G4:	Zr=p* = max{K(a)«			£ е./Л/Ч-(1 — E(a);)X	(7.5)
		i		j = l
	X (min eij+e,)}; Zr — гибкая оценочная функция
	i
GB:	p** =	max		£ ецй/.	(7.6)
		i : B te E	* ( e )	i

Условие Gi говорит о том, что при выборе оптимального варианта решения рассмотрению подлежат все возможные ва­ рианты из множества Е. Условия G2 и G3 определяют границы величины допустимого риска при использовании гибкого кри­ терия G4. При этом лицо, принимающее решение, может огра­ ничить величину риска по собственному усмотрению путем выбора условия G2 или G3; в то время как условие G2 с ростом доверительного фактора V(a)j из сочетания минимаксного