- •механика
- •материалов
- •РАСЧЕТ УПРУГИХ ХАРАКТЕРИСТИК ОДНОНАПРАВЛЕННОГО ВОЛОКНИСТОГО КОМПОЗИТА МЕТОДОМ СЕЧЕНИИ
- •КРИТЕРИЙ МЕЖСЛОЙНОЙ ПРОЧНОСТИ УГЛЕПЛАСТИКОВ ПРИ ЦИКЛИЧЕСКИХ НАГРУЗКАХ
- •дМху
- •параметр, характеризующий волнообразование вдоль
- •ТЕОРИЯ КОМПРЕССИОННОГО ФОРМОВАНИЯ ИЗДЕЛИЙ ИЗ КОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ
- •СТАТИСТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ВОЛОКНИСТЫХ СРЕД*
- •ТЕОРИЯ ОПТИМИЗАЦИИ РЕЖИМА ОХЛАЖДЕНИЯ ТОЛСТОСТЕННЫХ ИЗДЕЛИЙ ИЗ КОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ
- •V^foip)
- •ГДе rj — вязкость среды;
- •УПРУГОМЕХАНИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА СТЕНКИ АОРТЫ ЧЕЛОВЕКА В ВОЗРАСТНОМ АСПЕКТЕ
- •ПОВЕРХНОСТНЫЕ ВОЛНЫ ЛЯВА В ОРТОТРОПНЫХ РЕГУЛЯРНО-СЛОИСТЫХ КОМПОЗИТАХ
- •В. Л. Бердичевский
- •Я. X. Арутюнян, В. Б. Колмановский
- •Р. Уайт, Т. Джебелл
- •ДАЛЬНИЙ ПОРЯДОК В ТВЕРДЫХ ТЕЛАХ
- •А. Смит
- •ПРИКЛАДНАЯ ИК-СПЕКТРОСКОПИЯ
- •V ВСЕСОЮЗНАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ ПО МЕХАНИКЕ ПОЛИМЕРНЫХ И КОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ
УДК 539.4.001:678.067:678.2
Г. А. Ванин
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ВОЛОКНИСТЫХ СРЕД*
1. ПРОДОЛЬНЫЙ с д в и г
Разрабатывается статистическая теория волокнистых материалов, связывающая их физико-механические и прочностные характеристики со свойствами компонентов с учетом параметров технологии изготовле ния — разброса в свойствах и геометрии волокон и матрицы, распреде ленных несовершенств в фазах среды и на межфазных границах, дефек тов в упаковке материала и других. В предельном случае регулярной структуры и детёрминированных параметров полученные результаты со гласуются с данными теории волокнистых материалов, предложенной ранее [1, 2].
1. Исходные предпосылки. Рассматриваются двухмерные состояния среды. Функция распределения параметров, определяющих размеры, взаимное размещение и физико-механические свойства фаз, с учетом их структурных несовершенств и начального напряженно-деформирован ного состояния строится в предположении ослабленной корреляции между переменными
П
f{x,y,z\ и, v, wy X, У, Z; nk, аа, ■ •)“ П Pi(Xj), i-i
где х, у, г\ и, v, w; X, У, Z определяют геометрические и физико-механи ческие характеристики и несовершенства соответственно для волокон, межфазной области и матрицы; л/i, Oik — начальные значения векторных и тензорных полей.
Учет локальных трещин и аномалий в механических свойствах мат рицы у поверхности раздела компонентов осуществляется введением мо дели приведенного элемента среды, включающей волокно или группу волокон с участком прилегающей матрицы (рис. 1).
Разброс диаметров волокон d согласно данным экспериментов [1] с высокой степенью достоверности описывается нормальным законом рас
пределения |
[ |
( d - ( d ) ) 2 |
|
1 |
( 1.1) |
||
р{й) = —---- ехр |
2а2 |
||
стУ2я |
|
где найдено <с?)=4,2 мкм, а=0,8 мкм. Для усе ченного распределения следует принять dmщ= = 2,8 мкм, dmax=6,6 мкм. Распределение упругих модулей волокон приближенно аппроксимируем гамма-распределением
p (Ga) = Y ^ Ga”- 'e-*G‘ (Р>0; |
|
п= 1 ,2 ...; 0<G a<oo), |
( 1.2) |
Рис. 1. Модель приведен ного элемента.
* Доклад, представленный на V Всесоюзном съезде по теоретической и прикладной механике (Алма-Ата, май—июнь 1981 г.).
где статистические характеристики (Ga> й а2 опреДеЛйютсй сбоТноше* ниями /z = p<Ga>; p= a2<Ga>. Распределение середин участков совершен ного контакта в виде дуги окружности (см. рис. 1) принимается по нор мальному закону [3]
оо
П= — оо
Встеклопластиках по данным рентгеновской дифракции [4] наимень шие размеры трещины на поверхности раздела составляют в продольном
ипоперечном к оси волокна направлениях соответственно свыше 300 и 40—60 нм. Области с максимальными напряжениями в структуре волок нистых материалов [1] значительно превышают указанные размеры, по этому последние присущи, по-видимому, субмикронеоднородным элемен там полимеров и всецело зависят от их химического состава.
Удлиненность трещин вдоль волокон благоприятствует эффектив ности двухмерных моделей среды. Распределение размеров дуг с совер шенным контактом Ф в поперечном сечении линейно-армированной среды
определяется соотношением
Р(» ) -в 6 (« -2 д )+ ± ^ £ е х р [ - |
2a2 |
(0=е*<2д), |
L |
J |
(1.4)
где е= е(ATI) — концентрация волокон без дефектов в произвольном по перечном сечении монослоя; 6(О) -— функция Дирака.
Распределение центров волокон в плоскости Х\ = const определяется технологией формования материала: в средах типа СВАМ волокна груп пируются вблизи узлов регулярной сетки [5]; материалы, образованные укладкой нитей или жгутов, имеют повышенное содержание связую щего между отдельными нитями и т. д. Строение выбранного материала характеризуется ансамблем структур, отражающих специфику его изго товления. Для описания упаковки волокон в нитях или материалах типа СВАМ вводим псевдорегулярные структуры, в которых центр волокна определяется случайным вектором, присоединенным к узлу регулярной сетки (рис. 2). Известно, что на плоскости возможно ввести пять видов регулярной сетки простой и сложной структуры [1]. Модуль случайного вектора значительно меньше постоянной сетки. Геометрия псевдорегулярной структуры определяется расстоянием между центрами волокон и углами между центрами тройки волокон.
Р 1/pag
Рис. 2. Параметры локального распреде |
Рис. 3. Гистограмма локаль |
ления центров волокон. |
ных распределений углов. |
Пусть распределение разности векторов, присоединенных к любым двум узлам сетки, подчинено нормальному закону, т. е.
где х, у — составляющие разности векторов; р0=
ние <*>, <г/> и дисперсии а*2, ау2 зависят от расстояния между точками и выбранного направления. Для систем с ближним порядком в окрест ности отдельного волокна существуют конфигурации, близкие к регуляр ным. С удалением от выбранного волокна наблюдается рост статистиче ских характеристик разности векторов. Интерес представляют также структуры, у которых статистические характеристики разности векторов изменяются при удалении рассматриваемых волокон по закону, близ кому к периодическому. Изменение распределения разности векторов с удалением от центра выбранного волокна устанавливается путем обра ботки экспериментальных данных, полученных для структур заданной технологии изготовления материала, а в простейших конфигурациях с ближним порядком путем построения решений уравнений типа Фок- кера—Планка [6]. Определим расстояние между центрами включений R,
присоединенных к узлам А и В, полагая |
(dj + dh)max<.2Rjk, где |
(cf,+ |
+ dh)max — сумма наибольших диаметров |
включений / и k ; R jh — |
рас |
стояние между их центрами. Координаты узлов А и В регулярной сетки зависят от номеров ячеек т, п и р, q согласно формулам
Ax+iAv= (>)(m + nbeia) , Вх+ iBv= со (p + qbeia).
Здесь Ь > 0; т, п, р, q—0, ±1, ± 2 ...; <о — постоянная решетки. Век торы элементарной ячейки «м и а>2 связаны с введенными величинами coi= со, ©2=со6е*“. В полярной системе координат г, <р разность присоеди ненных к узлам А и В случайных векторов а и b с координатами Za и Z& будет
ve*= Za—Zb; > *'(<P>= <Za> - <Zb>.
Распределение (1.5) преобразуем к координатам г, <р с помощью характеристических функций
Я, 2я
oo
( 0 < u ^ ^ 0; 0 ^ ср ^ 2 я ), |
( 1.6) |
|
где R„ — наибольшее допустимое значение г; |
|
|
Г 1 |
(т = 0); |
|
{I 1/2 |
(т=^0); |
|
g2= r2_2r<^r> cos (<p —<<p)) +'(r)2; 2D= ox2+oy2;
gei't=rei,f —(r)_e4<f).', ox2—<Jy2+ —~ ахОу=2хе2гЧГ;
F l — 2n, 2m +l; |
j M |
= V (~2»)i / g2V. |
11 ' |
2D I |
j ^ { 2 m + l ) i j \ \ 2 D h ' |
|
|
(2m+ l)j= (2m+l) (2m+2) .. .(2m+j).
Геометрический смысл введенных параметров объясняется на рис. 2. Интегралы (1.6) вычислялись с использованием производящей функции
e x p [ T C O S (ф—< ф > ] =/о(т)+2
П“1
/ п ( т ) C O S / г ( ф — ^ ф > ) , |
(1.7) |
где /„ (т) — модифицированная функция Бесселя первого рода, а также равенства [7]
J p<*p/2m(gp)p2m+4ne |
£р5 |
22ng2m(2n+2m) ! |
11 |
' |
—2п, 2m + 1; |
2 |
(2m)\D2m+2n+l |
||||
о |
|
20 F ( |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
i i |
|
|
( 1.8) |
|
|
2D )■ |
|
|
|
Согласно определению получаем |
|
|
|
||
R=^Ro2+2Rof cos (ф—ф) + f2 — |
kj | |
|
j", |
||
|
|
j-0 |
|
|
|
где /?0^ = со(р—m) +ab(q — n)eia\ A,0= l; ^i = cos(<p—ф); |
Яп = Рп(—Я0 + |
||||
+ 2X\Pn-^\{ — k\)+Pnl-2 (—h ) |
{ n ^ 2). Здесь Pn(—M) |
— полином Ле |
|||
жандра первого рода n-го порядка. |
|
|
|
В дальнейшем рассматривается частный случай распределения (1.6), когда ро= 0; х = 0; Ч1*= 0; D = ox2 = ay2 и в двойной сумме сохраняется только слагаемое при т = п= 0. Для обработки опытных данных по раз мещению включений определяем радиальную функцию распределения
2я
Яф= J Яр(Лф)<*ф=-^-ехр ( - Г ^ |
) {/о(т) + |
- ^ - / I (T) COS (ф - |
|
-<Ф>) + - ^ [ /о( т ) - /2(т) соэ2(ф-<ф>)] + |
|
[/8(т) cos 3(ф— |
|
- < Ф > ) —/ i (т) cos (-ф —<ф>] + |
}, |
(1.9) |
т(уу
где т = £ — Функция (1.9) является обобщенным распределением Релея. Среднее расстояние между центрами волокон будет
R m оо
<#> = J ДФ</г~ J Rvdr=R0+(r} cos (ф -< ф » --^ ~ с о 5 2 (ф-<ф>) +
оо
+ | £ « 3 ( ♦ - < , » - |
+ ^ [ |
l + |
« ’ |
<'> |
4D / X |
|
2R0 |
L ‘ ' |
2D |
2Ro ' |
X cos (ф—<ф>) +
Дисперсия в распределении расстояний между волокнами
<тд2=</?2>_-<£>2,
где <^2> —■/?o2+2D + <r>2 + 2#0''cos(i|) —£ср>). Если распределение не зави сит от направления <ф>, то путем усреднения находим
D |
<г>2 |
£)2 |
+ |
D<r>2 |
/ Г) 4 |
( 1.10) |
|
W |
+ |
+ |
|
+ |
+ |
||
4Я0 |
8Я03 |
’ |
8Я03 ’ |
64/?о3 |
|
||
< Г > 2 |
D |
|
|
|
3<Г>4 ^ £>2<Г>2 |
X |
|
«СТя2>Х = Д + |
2Яо2 |
|
|
|
W |
||
|
|
|
|
|
|||
V |
/ 3 |
5<г>2 |
|
<г)4 |
\ |
|
|
х |
\ 4 + |
16Z) + |
|
32D2 |
/ |
|
|
Распределение, углов между центрами смежных волокон устанавли вается с помощью функции (см. рис. 2)
в ‘х = ( R a b R a с )—*[ R A B R A C &' ^a c ~ ^’■л + R A B l ' a c & ^ ac~ ' ^ A-B ^ "Н |
( 1. 11) |
+ R A C r a b e i ^ A C - ’» * b ) + Г а ь Г а с е ^ а - Ч а ь ) ] , |
Функцию распределения строим с учетом нормального закона распреде
ления СОСТаВЛЯЮЩИХ p ( r a b i фаЬ) Гас., фас) = р(ЛгЬ> фаб)р(Гас> фас). ОрОИЗВОДЯ-
щая функция моментов случайного угла %будет
оо2л
Р {/abi фab\ Гас, фас) ё^&Гaij(trac,cttyab^ф ас) |
( 1 1 2 ) |
О о
Опуская громоздкие преобразования и вычисление интегралов, вы полняемых согласно формулам (1.11) и (1.12) с учетом соотношений (1.7) и (1.8), и производя усреднение по <ф> для равномерного распре деления, найдем
£<е*х'>У= е^лс-'ЬлВ) ( 1 - |
|
[1 - cos (ф л с -ф л в )]- |
|
|||
/ . |
<f>? \2 |
D2 |
< r >2 |
< r >4 |
+ |
|
4#04 \ |
2D I |
+ RJ |
2D |
} 8i?04 ‘ |
||
(1.13) |
Раскладывая левую часть равенства (1.13) в ряд по степеням %, находим статистические характеристики
|
<г>2 |
D2 |
7D<r>2 |
51 |
<г>4 |
)= |
||
<Х> = (Фас - Фав). ( |
1 - -Jj ~ W |
+ ^ |
+ |
4У?о4 + |
64 |
Rq<+ |
||
|
<г>2 |
£>2 |
7£><г>2 |
35 |
<г>4 |
(1.14) |
||
if>-= (Фас-Ф ав)2 |
|
|||||||
( l - ~~ “ W |
+ |
4 ^ 04 + |
4Я 04 |
+ 64 |
^ 04 |
+ |
+); ах2=<Х2>-<Х>2-
Гистограмма распределения углов (рис. 3), построенная для стекло пластика, изготовленного методом протяжки [1], определяет сложное распределение. Максимум достигается при углах, меньших 2я/6, т. е. когда включение окружено шестью, семью или восемью соседями.
Результаты экспериментальных измерений механических характерис тик зависят от преобладания в структуре той или иной конфигурации волокон. Поэтому количественно они для таких упаковок волокон при нимают промежуточные значения между теоретически найденными характеристиками для гексагональной и тетрагональной структур. Об рабатывая данные рис. 3 с помощью соотношений (1.14) и (1.10) и учи тывая опытные данные по радиальному распределению волокон в [1], на
ходим <r>= 0,11б/?о; у/)=0,173Яо; Яо=4,99 мкм. При вычислениях рас сматривалась структура, близкая к гексагональной, когда £х) = 58°, а максимум на кривой радиального распределения находился по гистог
рамме.
2. Приближение одномерных распределений. Рассматривается за дача о продольном сдвиге линейно-армированной неограниченной среды с учетом статистических характеристик компонентов материала, крае выми эффектами в напряженном состоянии у продольных границ тре щины пренебрегаем. В локальной системе координат, связанной с цен тром /-го включения, разрешающие функции, построенные с учетом тре щин на межфазной границе, имеют вид [8]
фа (Zj) = |
г |
A |
[Q m (Z j)+p,(Z j)i?m (Z 3) ] |
( | z i | < !^ j) ! |
Ф; (Zj) = |
„ |
p |
[G Q m (Z j) — Gjp,(Zj)i?m (Z j)] |
( | z j | > ^ j ) > |
ui + u m^n
где функции ф0 (zj) и <pj(zj) описывают поле смещений в приведенном элементе; z=x2+ix3;
|
|
— / X 2 \т |
|
|
ТП |
||
|
|
i |
Rm{Zj) = |
жн |
|||
Qm(2j) —CmZjm Ст, ^ |
|
у |
Р771—А(СОS 'frj/2) X |
||||
|
[ |
|
|
|
|
|
A « 1 |
|
.771—A-f1 |
/ |
1 . 2 |
\ А |
_ |
1 |
|
|
|
||||||
X |
|
|
( |
z “ ) |
C™-Z°jm~hZih~lCm J- |
Здесь Xj — радиус /-го включения; z0=Xje'e’ — координата середины границы с совершенным контактом; Ст — комплексные постоянные; Рт(cos bj!2) — полином Лежандра первого рода; Х/О1,- — длина участка границы с полным контактом;
l*(zi)= V te -a j) (Zj-bj),
где aj=Xjel^a, bj=Xje‘*b — координаты концов трещины. Средние напряжения сдвига будут [8]
w
<012>_ - |
13> = <012°) - i<CTl30) + -j4r y^i Ф [Gjфо(Zj) - G(PJ (Zj ) ] dzt |
|
j= 1 Lj |
где /=a>i<B2sina; N^> 1 — число включений в рассматриваемом сечении; <0ч2°>, (ои0) — усредненные напряжения взаимодействия включений; Lj — границы волокон. В принятом приближении, пренебрегая корреля циями между введенными величинами, получаем:
/ J - l j ^ “ < s> = ^ -« d > 2+(i2); < л ) - 1 - < Е > ,1 Д |
sin2■e,j/2<=bi |
«<Ga(G„+ G)-«> ф <e~2i0> <sin2 m>.
ит. д. Используя распределения (1.1) — (1.4), находим
<е*р°>=ехр ( — !Р- ~ - + ip<0> ) ; 2<sin2 Ф/2>= ( 1 - е ) ;X
X [ l - ехР ( ~ \ ) cos <fl> ];
2<sin2 -0-/4) = 1+ е—(1 —е) exp { - - ~ ) (cos <0>/2Н-/); ,<Ga(Ga + G)-i>.
Здесь а2 определяет дисперсию той случайной величины, которая усред
няется, далее
оо
dO cos 0/2 X
[ (О+<0>)2
X exp
2сг2
Приведенные модули сдвига определяются соотношениями
в к т |
G\z = |
dKU> |
12 |
|
^<Oi3>2 |
где <(£/> — средняя упругая энергия. Доминирующие слагаемые в разло жении модулей будут
|
« T i > + 2<7<g><sin20 /4 » 2—[l/2qQ)<sin20/2> x |
|
|
Gl2~G ____________ X exp(-2g02)]2_____________ |
+ |
||
|
|
L + <7<|><sin20/2> <cos 20> |
|
|
_ |
<sin20/2><sin 20) |
|
|
^23 |
L —7<|) <sin2 0/2) <cos 20) + |
|
Gz=G |
(<T]) + 2q,(ig)<sin20/4))2—[l/2<7<|Xsin20/2> exp(—2CT02)]2 e> |
||
|
L — q(V>{sin2 0/2><cos 20> |
|
|
|
|
|
|
Здесь L = l- ( l- 2 ^ < s in 20 /4 » 2<i>2 + [l/2(7<iXsin20/2>exp |
(—2a02)]2- |
B предельном случае малых дисперсий о2—*-0 из первой формулы (2.1) непосредственно вытекает асимптотическая формула для модуля Gи армированных сред с регулярной структурой [9]
Q (l-gcosO/2+T]G/Gtt)2- (1/2-1 sin20/2)2
l + l2 (-^ sin4 0/2-c o s2 0/2 ) +2(1 —£2cos0/2)G/Ga+
+ (1 - I2) (G/Ga)2+ (1 + G/Ga)l sin20/2 cos 20
Puc. 4. Влияние статистических характеристик |
несовершенств стеклопластиков на |
G12/G (а) и Gis/G (б) |
при (0) = О. |
Рис. 5. Влияние статистических характеристик несовершенств стеклопластиков на модули сдвига при (0) = я /4.
Аналогично согласуются предельные переходы и для других постоянных. Закон Гука в приближении одномерных распределений имеет вид
<е12>_ |
+ |
< 0 1 3 ), |
|
<ei3>= М2(Oia) + М3 |
|||
М2 |
G13 |
Результаты исследования влияния статистических характеристик не совершенств на величины модулей продольного сдвига линейно-армиро ванных стеклопластиков для объемного содержания волокон £= 0,7 представлены на рис. 4 и 5. Здесь на оси абсцисс отложена величина угла отслоения компонентов 2я —ft. Кривые 1, 2, 3 соответствуют концен трации волокон без дефектов е= 0, 0,5 и 0,9; сплошные кривые построены для материалов с детерминированными размерами межфазных трещин, когда а2=0 и центры расположены в точках <0> = О (см. рис. 4) и <0> = = я/4 (см. рис. 5). Штриховые кривые отражают влияние дисперсии в размерах трещин на величину средних модулей при стандартных откло нениях а=0,3(2я —'&) и ао=0,05я. Заштрихованная область включает эволюцию средних значений упругих постоянных при изменении статис тических характеристик трещин в указанных выше интервалах. Учет дисперсии ведет к снижению модулей при малых углах отслоения воло кон и к повышению их при развитых трещинах. Влияние дисперсии в распределении размеров трещин наиболее существенно для Gi3/G и уси ливается с ростом концентрации повреждений 1 —е.
Начальное разрушение полимерных материалов характеризуется по явлением множества трещин [10], поэтому соотношения (2.1) позволяют при известном изменении интегральных постоянных оценить размеры и число трещин в армированных материалах.
3. Второе приближение. Найденные соотношения уточняются на ос нове многомерных распределений, связывающих взаимные размещения двух, трех и более волокон с распределением их диаметров и дефектов на границах. В упрощенных решениях задачи, построенных по ранее предложенному методу учета взаимодействия компонентов в [2], ан самбль конфигураций волокон строится при детерминированных взаим ных размещениях включений.
СП И С О К Л И Т Е Р А Т У Р Ы
1.Ван Фо Фы Г. А. Теория армированных материалов. Киев, 1971. 232 с.
2.Ванин Г. А. К теории волокнистых сред с несовершенствами. — Прикл. меха ника, 1977, № 10, с. 14—22.
3. Мардиа А. Статистический анализ угловых распределений. М., 1978. 240 с.
4.Орлов Л. Г., Лексовский А. М., Регель В. Р. О роли процесса микрорасслоения
вмеханизме разрушения полимерных композитов. — В кн.: Физика прочности компози ционных материалов. Л., 1979, с. 74—79.
1966. |
5. Андреевская |
Г. |
Д. Высокопрочные ориентированные |
стеклопластики |
М |
370 с. |
|
|
’ |
|
|
1947. |
6. Чандрасекар |
С. |
Стохастические проблемы в физике |
и астрономии. |
М., |
168 с. |
|
|
|
|
7.Снеддон И. Преобразования Фурье. М., 1955. 668 с.
8.Ванин Г. А. Продольный сдвиг многокомпонентной волокнистой среды с дефек тами. — Прикл. механика, 1977, № 8, с. 35—41.
9.Ванин Г. А. Взаимодействие трещин в волокнистых средах. — Механика компо зит. материалов, 1979, № 2, с. 305-312.
10.ТамужВ П„ Куксенко В. С. Микромеханика разрушения полимерных материа лов. Рига, 1978. 294 с.
Институт механики |
Поступило в редакцию 15.02.82 |
|
АН Украинской ССР, Киев |
||
|