книги / Общие вопросы теории граничных задач
..pdf§ 1. ТЕНЗОРНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ И МОДЕЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 101
правилу
(ф* 0 |
ф I 0 Ь ) = ( Ф Ф | ) ( % , ♦«)• |
(1) |
где справа — скалярные произведения в 1Н', И" соот ветственно. Таким образом, относительно нормы, порож даемой скалярным произведением (1), базис {<pfc — ортонормировании®. Произведение (1) распространяет ся обычным образом на конечные линейные комбинации
0 ti- |
(2) |
Пополнение по введенной норме множества конечных ли нейных комбинаций (2) дает (полное) гильбертово прост
ранство |
!Н= |
IH' 0 |
0-Г — тензорное |
произведение |
исход |
||||
ных гильбертовых пространств. |
|
|
|
|
|||||
В соответствии с приведенной конструкцией для лю |
|||||||||
бой пары элементов / = |
2/*Ф* €= И', g = |
|
|
€= М* |
|||||
определено их |
тензорное произведение |
|
|
|
|||||
|
|
/ 0 g |
= |
S/i£>c<Pi0% |
|
|
|
||
|
|
|
|
i, к |
|
|
|
|
|
(поскольку S |
| /i I2 | gk I2 <oo). |
|
|
|
|
||||
Если |
i, fc |
|
A': |
IH' |
Я' — замкнутый |
линейный |
|||
теперь |
|||||||||
оператор |
с плотной областью определения £>(А'), |
ср^- GE |
|||||||
€= SD(А'), для любого к и оператор |
А" : И" |
Н" |
обла |
||||||
дает аналогичными свойствами, то над плотным в |
IH мно |
жеством элементов вида (2) (над множеством конечных
линейных |
комбинаций) определен |
оператор |
|
|||||||
|
А' 0 А" (2 /{*<Р» 0 |
$к) = S |
/iJcA'<Pi0 |
|
||||||
Замыкание в Я заданного таким |
образом |
оператора |
||||||||
А' 0 |
А" |
(с плотной областью определения) |
определяет |
|||||||
оператор |
А' 0 |
А": И |
|
IH. |
И', |
IH" — функциональные |
||||
Если |
Я = Я' 0 Я" |
и |
||||||||
пространства, то IH' может быть естественным образом |
||||||||||
вложено в И за |
счет |
отождествления с |
подмножеством |
|||||||
И' 0 |
1 (состоящим из |
элементов |
вида |
/ 0 |
1, / €Е И'). |
|||||
Имея в виду сказанное, элементы IH' рассматривают за |
||||||||||
частую как элементы Я без |
каких-либо оговорок ,(и без |
|||||||||
перехода |
в обозначениях |
от / к / 0 |
1). Аналогично об |
|||||||
стоит дело с операторами А': Я' —> Я': их |
отождествляют |
|||||||||
с операторами вида А' 0 |
1. |
|
|
|
|
|
102 |
ГЛ. IV. МОДЕЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ |
|
|
|
Приведенная конструкция |
возникает |
естественным |
образом всякий раз, когда |
И" — наши |
стандартные |
гильбертовы пространства функций над некоторыми об
ластями V' a Rn\ V" d |
IRn". Тогда |
IH— соответствую |
|
щее пространство над V' |
При этом операции Ь' (D) (g) |
||
® t" (D) и соответствующий оператор |
записываются в |
||
обычно просто в виде |
|
|
|
Ifla (*ЫУ)В%>Ъ |
|
|
|
т. е. без использования |
Обозначения |
0 |
для тензорного |
умножения. |
|
|
|
Цоскольку в гильбертовом пространстве переход от базиса Рисса к ортонормированному базису и обратно равносилен замене данного скалярного произведения на эквивалентное (см. [1]), ясно, что приведенные выше
рассмотрения |
распространяются |
естественным образом |
||
и на тот случай, когда |
{фД — базисы Рисса в И', IH". |
|||
Переход |
от Н = |
И' 0 |
ВТ к |
случаю произвольного |
числа сомножителей |
И = |
п |
|
|
0 IH* осуществляется автоматн |
||||
|
|
|
ых |
|
чески.
1.2. Модельные операторы. Удобным классом опера торов, функции от которых допускают весьма простое определение, являются М-операторы (п. 3.5 гл. I). Дей ствительно, если А: И И есть М-оператор, {<р*} — система собственных функций оператора А, образующая базис Рисса, и можно, следовательно, для любого элемен та и €= £>(А) записать
и s= |
Аи — %икА<рк = |
рк, |
то в предположении, например, что F (z) аналитична в области Q cz С такой, что для всех к , доста точно положить
F (А)и = 2 ^ $*) м*фк. |
(3) |
При этом м е й (*а) всякий раз, когда ряд (3) сходится. Область определения оператора F (А) заведомо плотна (в нее попадают все конечные линейные комбинации эле ментов базиса), и приведенное определение согласовано с конструкциями п. 2.2 гл. I и с требованиями, предъявляе мыми обычно к «операционному исчислению».
§ 2. ОПЕРАТОРЫ НА n-МЕРНОМ ТОРЕ ЮЗ
Трудности, с которыми приходится сталкиваться при попытке применения приведенной идеальной схемы к кон кретным ситуациям, возникающим при анализе гранич ных задач, бывают связаны обычно, с одной стороны, со сложной природой соответствующих функций F (г), а с другой — со стремлением включить в рассмотрения опе раторы, не являющиеся М-операторами (см. рассмотре ния гл. VIII).
Приведенная схема немедленно распространяется на
п
случай, когда И = <g) IH*, А*: Н*— и F (zl9 . . ., zn) — i
функция п комплексных переменных, удовлетворяющая соответствующим, требованиям. Операторы А к предпола гаются при этом, разумеется, коммутирующими.
§ 2. Операторы на n -мерном торе
2.1. Определение П-операторов и их основные свой ства. Простейший «явный» пример описанной выше ситуа ции дают операторы на тг-мерном торе, порождаемые диф ференциальными операциями вида (1) § 2 гл. II с постоян ными коэффициентами. G другой точки зрения это — опе раторы с постоянными коэффициентами, рассматриваемые
в параллелепипеде V а Кл на функциях, подчиненных условиям периодичности по всем переменным. Опишем такие операторы подробнее.
Удобно считать, что V —просто тг-мерный куб с реб рами длины 2я (некоторые замечания о возможном влия нии изменения параметров V мы сделаем в дальнейшем). Пусть 3*°° — линейное многообразие гладких периодиче ских по всем переменным комплексных функций, a IH(F)— наше стандартное гильбертово пространство, в котором
множество |
З500 плотно. |
Полиному А ($) с постоянными |
комплексными коэффициентами |
||
A (s)= 2 |
«oS06, S® = |
s?‘. • •«»", ! а I = Oj-f . . . + а пк (1) |
|а|<т |
|
|
сопоставим дифференциальную операцию А (—iD) таким образом, что
А (— iD) eis x = A (s) eis x, s • x = згх± + . . . -f snxn.
104 |
ГЛ. ГУ. МОДЕЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ |
Соответствующий оператор A: И -> IH определим как замыкание в Н операции А (—Ш), определенной перво начально на функциях, принадлежащих 0>°°. Операторы
Аописанной выше структуры назовем П-операторами.
За м е ч а н и е . По определению, «-мерный тор Т” есть прямое произведение « окружностей Т1 и наше гильбертово пространство Н (F) автоматически имеет структуру тензорного произведения « пространств Н1 над I 1. Соответствующее замечание относится и к нашим П-операторам А, представимым в виде суммы мономов, каждый из которых является тензорным произведением степеней оператора Dx, рассматриваемого на окружности. Это и определяет специфику структура операторов в Н.
Дальнейшие построения основываются, однако, на «не
посредственном» |
изучении операторов А, без обращения |
||
к терминологии тензорных произведений. |
|||
Удобно для дальнейшего обозначить через i f множе |
|||
ство |
«-мерных |
целочисленных векторов (sl5 . . ., sn), |
|
S]i = |
0, |
± 1 , ± |
2, . . . Совокупность экспонент {еи'х}, |
sG- if, |
s-x= $ ix1-\-... + snxn, образует, очевидно, ортого |
нальный базис в Н и является одновременно набором собст венных элементов для каждого из операторов А. Для задан ного оператора А (порожденного операцией А (—Ш)) каждое из чисел A ( s ) ,s E ^ , является собственным зна чением. Условимся обозначать множество этих чисел через A (if). :>-у>
Ут в е р ж д е н и е 1. Любые два П-onepamopa Ах, А2 коммутируют.
Утверждение немедленно следует из коммутативности соответствующих операций А к (—Ш).
Ут в е р ж д е н и е 2. Всякий П-onepamop А норма лен (п. 3.4 гл. I).
Д о к а з а т е л ь с т в о . Если А*: Ш— ВН— опе ратор, порождаемый в сделанных предположениях опе рацией А* (—Ш), то равенство А'А — АА‘ следует из утверждения 1. Достаточно, следовательно, установить, что А* = А', т. е. что слабое и сильное определения опе ратора А1 эквивалентны. Но для операции с постоянны ми коэффициентами, рассматриваемой на гладких перио дических функциях, A (—iD)Jeu — / еА(— iD)u (где / 8 — стандартный оператор осреднения) и требуемая эквива лентность немедленно следует из рассмотрений §6 гл. I. Ц
§ 2. ОПЕРАТОРЫ НА n-МЕРНОМ ТОРЕ |
105 |
Утверждение 2 может быть получено, очевидно, и из
представления Аи в виде |
|
Аи = 2 A (s) usefc-*, |
(2) |
8 |
|
где |
|
и ( г ) = 2 » / ,* е Э (А ) |
(3) |
8 |
|
(мы использовали «общую схему» п. 1.2).
Представление (2) позволяет немедленно перейти и к рассмотрению операторов F (А), где F (z) — некоторая функция, принимающая конечные значения и на множе
стве |
А (if). |
Соответствующий |
оператор |
определяется |
|
равенством |
|
|
|
|
|
|
|
|
/ ’(A)u = 2SF ( A s)wseis-*, |
(4) |
|
где As — А (s). Как и в п. 1.2, |
« е Э (F), |
если ряд (4) |
|||
сходится в IH. |
|
|
|
|
|
Обозначим оператор (4) просто через F, а множество |
|||||
F (As), s e ^ , |
через F (if). |
|
|
||
У т в е р ж д е н и е 3. Спектр oF определенного выше |
|||||
оператора F: Н |
И состоит из замыкания на комплекс |
||||
ной |
плоскости |
|
множества F (if), образующего точечный |
спектр PoF оператора F. Множество CoF = o F \P o F образует непрерывный спектр оператора F.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Обозначим F (As) через F ($). Если Я = F ($) при некотором s € E if,w (F — Я) X X еи'х = 0, т. е. Я — собственное значение оператора F.
Если же Я ф F (if), то оператор Fx существует. Дейст вительно, в этом случае из F%u = 0 следует м, = 0 для любого s e ^ if, т. е. и = 0 (единственность разложения в ряд Фурье). Кроме того, в этом случае множество
© (F?) плотно в И, поскольку содержит все конечные суммы вида (3).
При этом, если для любого s €z if выполнено условие
| Я — F (s) | > 6 > 0 (т: е. X(£F (if)), то оператор Fix ограничен и задан на всем IH:
(F - я г 1/ = s ( т - ьгч* еь-х
106 ГЛ. IV. МОДЕЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
(предполагается, что элемент / представлен разложением
вида |
(3)). |
Если же X ее F (<У) \ F (<§0, т<> существует |
||
последовательность {$*} такая, что | F (%) — X | = &к |
0 |
|||
при к |
оо |
и соответствующий оператор F^1 будет неог |
||
раниченным |
(поскольку || /гх1ег$г*|| / ||^*^г#ж|| = ej1). |
Щ |
||
Таким |
образам, структура спектра операторов F (А) |
весьма прозрачна. К сожалению, для семейств операторов F (А, г), t ее (0, Ъ), с которыми нам придется сталкиваться при рассмотрении операторных уравнений, изучение со ответствующих вопросов оказывается значительно более сложным.
Простота |
операторов |
F (А) и |
самих |
операторов А |
(F (z) = z) |
не мешает |
им быть |
в ряде |
случаев весьма |
«плохими», т. е. иметь пустое резольвентное множество.
У т в е р ж д е н и е |
4. При п |
2 множество рА для |
П-оператора А всегда |
непусто; |
при п > 2 существуют |
операторы А, спектр которых заполняет всю комплексную плоскость.
Д о к а з а т е л ь с т в о . При п = 1 утверждение тривиально; при п — 2 достаточно рассмотреть отобра жение вещественной плоскости (sx, s2) на комплексную
плоскость z = |
х + iy, задаваемое равенствами |
х = |
Re A fo, $2), у = Im A (sx, s2). |
В силу алгебраического характера отображения образ множества целочисленных точек плоскости (sly $2) не мо жет оказаться плотным на z-плоскости.
При п = 3 множество значений полинома
А (s) = + °^2 + i ($з +
где а, (5 иррациональны, плотно на комплексной плоско сти. Это следует из равномерной распределенности в еди ничном квадрате дробных долей пары (as, (3s2) при s = 0,
± |
1, ± 2 , . . . |
(см. [9]) *). |
■ |
величину |
|
Определим |
обычным |
образом для |
|
| s |
|, полагая |
| s |2 — |
5. Оператор |
А"1: И IH, об |
|
У т в е р ж д е н и е |
|||
ратный для некоторого П-опёратора А, |
является ВН-опе- |
*) Приведенное теоретико-числовое утверждение сообщено авто ру проф. А. Г. Постниковым.
§ 2. ОПЕРАТОРЫ НА n-МЕРНОМ ТОРЕ- |
107 |
||
ратором (п. 3.1 гл. I) тогда и только тогда, когда | А ($) | —> |
|||
оо при | $ | |
оо* |
Н е о б х о д и м о с т ь . |
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Если сформулированное условие для А не выполнено, то
для некоторого М > О |
существует бесконечное число |
5 Е < ? таких, что | A (s) | |
М. Если Х$ = A ($)'<— беско |
нечный набор соответствующих собственных значений, то
fis == Xs1 — собственные значения оператора А~* (Xs Ф О, поскольку, по предположению, оператор А*1 существует).
При этом | \is | > |
М*1, что исключает полную непрерыв |
|||||||||||||
ность оператора А*1 (лемма 1, п. 3.2 гл. I). |
утверждения |
|||||||||||||
|
Д о с т а т о ч н о с т ь . |
Пусть |
условие |
|||||||||||
выполнено. Тогда для |
любого |
е > |
0, |
выбрав |
М (е) |
так, |
||||||||
что (2п)пМ~2 < |
г2, и выбрав Щ(М) из |
условия |
| A (s) | ]> |
|||||||||||
> |
М при | s | > N (М), будем иметь |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
А"1 = AN + AR1, |
|
|
|
|
|
(5) |
||||
где |
A jv/= |
S |
(f$ /A (s))^x — конечномерный |
оператор, |
||||||||||
|
*|в|< N |
второго |
слагаемого в (5) |
(остатка |
ряда) |
|||||||||
а для нормы |
||||||||||||||
справедлива оценка |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
||a ’r 1 /,,2 = ! |
£ |
(/jA (s)>eis'jf |
< |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
\S\>N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
I^l2< ^ i ! / l l 2<e2l!/r- |
||||||||
|
|
|
|
|
Is|> N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отсюда и из теоремы аппроксимации (п. 3.1 гл. I) следует |
||||||||||||||
полная непрерывность оператора А*1. Щ |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Утверждение 5 допускает, очевидно, и другую форму |
|||||||||||||
лировку. |
|
|
|
5'. Оператор |
A -1: |
И |
|
Н, |
об |
|||||
|
У т в е р ж д е н и е |
|
||||||||||||
ратный для некоторого Л-оператора |
А, |
является |
ВН- |
|||||||||||
оператором |
тогда |
и |
только |
тогда, |
когда |
для |
любого |
|||||||
N > О множество |
линейно |
|
независимых |
собственных |
функций оператора А, принадлежащих собственным зна чениям Xs, удовлетворяющим условию | Xs\ N, конечно. Д
Таким образом, для рассматриваемого класса опера торов А-1 лемма 1, п. 3.2 гл. I, дает необходимое и доста точное условие полной непрерывности. Следовательно, отсутствие для А"1 свойства полной непрерывности долж
108 ГЛ. IV. МОДЕЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
но быть связано либо с наличием для А бесконечного чис ла собственных значений, лежащих в конечной части плоскости, либо с бесконечномерностью собственного подпространства, принадлежащего тому или иному %s. Как мы увидим в следующем пункте, полная непрерыв ность А-1 теснейшим образом связана с «устойчивостью» оператора А.
Следующее утверждение дает описание «дифферен циальных свойств» элементов, являющихся решениями уравнений, содержащих П-операторы.
У т в е р ж д е н и е 6. Пусть А, В — П-операторы и существует оператор А”1. Тогда для того, чтобы опе ратор ВА*"1 был ограниченным оператором, допускающим расширение на все пространство IH, необходимо и доста точно выполнение условия
\B (s )/A (s )\^ M <^оо для любого |
(6) |
Д о к а з а т е л ь с т в о . Условие, очевидно, |
доста |
точно, поскольку обеспечивает почленную применимость оператора В к ряду, представляющему элемент и = А”1/, и одновременно ограниченность оператора ВА-1. Посколь ку область определения оператора А~1 заведомо плотна в !Н, оператор ВА**1 допускает расширение на все прост ранство.
Необходимость условия (6) следует из того, что эле менты базиса {е™х}, S E <^, являются собственными функ циями оператора ВА”1, а числа В (s)/А (5) — соответствую щими собственными значениями. Оператор не может быть ограниченным при наличии неограниченно возрастающей последовательности собственных значений.^
Утверждение 6 может быть, очевидно, переформули ровано в терминах принадлежности решения и — А~г/ тому или иному пространству типа W (§ 7 гл. II).
Уместно отметить также следующее специфическое обстоятельство. Хотя при В (s) Ф const оператор В заве домо неограниченный, оператор ВА”1 может быть огра ниченным и при неограниченном операторе А '1. Тривиаль ный случай: В = А. Несколько менее тривиальный:
А = АХА2, причем А^1 — ограниченный оператор, а не
ограниченность А”1 вызвана неограниченностью А23 (нап ример, А2 (s) = sx + as2, где а иррационально). Тогда ВА" 1 ограничен при В = Д2.
§ 2. ОПЕРАТОРЫ НА n-МЕРНОМ ТОРЕ |
109 |
2.2 Некоторые дополнительные свойства П-операто ров. Продолжим рассмотрение П-операторов и установим еще ряд их свойств, полезных для дальнейшего.
Во многих случаях удобно рассматривать A (s) как сумму
A (s) = R (s) + iQ (s), |
(7) |
где R, Q — полиномы с вещественными коэффициентами. Такое расщепление A (s) соответствует, очевидно, расщеп лению нормального оператора А: —>1НХ на симметричную и кососимметричную части.
Сохраняя обозначения предыдущего пункта,, рассмот рим для вещественных полиномов R (s) соотношения
|
lim |R (s)| = oo, |
(С) |
inf R (s) > |
— М^> — оо, sup R (s) М |
+ оо. (В) |
sSS» |
S&C |
|
Будем говорить, что R обладает С-свойством (В-свойством), если для него выполнено соотношение (С) (одно из соот ношений (В)).
При п = 1 каждый полином обладает С-свойством и обладает В-свойством тогда и только тогда, когда его старший член имеет четную степень. При п ]> 2 не всякий полином обладает С-свойством. Специфика рассматривае мого «компактного» случая, связанная с использованием ряда Фурье (а не интеграла Фурье) и дискретностью
множества Sf, находит свое отражение в |
справедливости |
|||||||||||
следующего |
утверждения. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
У т в е р ж д е н и е |
7. ПрйГп*>[2 введенные свойства |
||||||||||
полиномов R (5) |
независимы,. |
То, что (В) не влечет, вооб |
||||||||||
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
|||||||||||
ще говоря, (С), |
достаточно очевидно (например, R (s) = |
|||||||||||
= |
(% — s2) 2)- Примером полинома, |
обладающего С-свой |
||||||||||
ством и |
не |
обладающего В-свойством,^ может |
служить |
|||||||||
R (s) = |
+ |
1/2)(sz + |
1/2).'5' Он^не |
обладает,^ очевидно, |
||||||||
В-свойством, |
но, поскольку |
| Sjc + |
V2 I > I sjc |
|/2 |
и |
од |
||||||
новременно |
| |
+ V2 ! > V2, s k |
— |
0, |
± 1 , |
± |
2, . |
. ., |
||||
наличие С-свойства следует |
из |
неравенства |
1R (s) | > |
|||||||||
> |
| sfc|/4, |
влекущего |
неравенство |
| R (s) I > (|«i |
I + |
+I «2 |)/8. ■
З а м е ч а н и е . Бели в (С) отказаться от условия
S E ^ , допуская'произвольные значения s ЕЕ IR", то (С)
110 |
ГЛ. IV. МОДЕЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ |
влечет (В) при п > 2 , поскольку в этом случае С-свойство
эквивалентно существованию предела lim R (з) — ± оо#
|s|—**oo
Это следует из того, что вещественный полином, прини мающий значения разных знаков вне некоторого шара, принимает вне этого шара и нулевое значение, поскольку при п > 1 дополнение к шару связно.
Наличие В-свойства у одного из полиномов, R или Q, в (7) сразу обеспечивает наличие полуплоскости, свобод ной от точек спектра оператора А. Но, как мы сейчас увидим, это не обеспечивает каких-либо (даже весьма сла бых) свойств «устойчивости» спектра относительно воз мущений оператора. Введем соответствующее определе ние.
О п р е д е л е н и е . Оператор А устойчив относи тельно оператора А0, если для любого z ее рА существует
б = б (А0, |
z) > 0 |
такое, |
что |
условие |
| в | < |
б |
влечет |
||||||
z ЕЕ р (А + |
еА0). |
|
|
|
|
|
существуют |
у > 0 и |
|||||
У т в е р ж д е н и е 8 . Если |
|||||||||||||
М = М (у) такие, что для любого s ЕЕ |
|
выполнено требо |
|||||||||||
вание: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| s | > М |
влечет |
|
| А (з)/А0 (з) |
| > |
у, |
|
(8) |
|||||
то оператор А устойчив относительно А0. |
|
|
следо |
||||||||||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Пусть |
z ЕЕ рА и, |
|||||||||||
вательно, существует г |
0 такое, что для любого |
|
|||||||||||
|
|
| z — A (s) |
| > |
г > 0. |
|
|
|
|
|
||||
Предполагая требование (8) выполненным, найдем |
|||||||||||||
прежде всего условия на 8, при |
которых z ^ P a ( A . + |
||||||||||||
+ еА0). Допустим, |
что z E |
Per (А + |
еА0), т. е. при не |
||||||||||
котором s €= & выполняется равенство А (з) + |
еА0 (з) = |
||||||||||||
= z. Оно возможно |
лишь |
при А0 (з) Ф 0, |
и мы можем |
||||||||||
тогда записать |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
8 = |
\ z |
— A ( s ) \ ^ |
г |
|
|
У |
в |
|
(9) |
||
|
|
|
I А0 (s) | |
^ \ A 0 ( s ) \ ^ |
2 |
|
|
||||||
Выберем |
теперь число |
|
0 |
столь |
большое, |
что, во- |
|||||||
первых, |
при | з | |
М выполнено |
условие |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|А 0 (з)|< Л Г |
|
|
|
|
|
(10) |