книги / Общие вопросы теории граничных задач

§ 3. ПРАВИЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

51

зования регуляризации или так называемых операторов осреднения.

Оператор (14)* называют иногда «слабым» расширением

оператора L, а сам вопрос о справедливости равенств (2),

(3) является специальным случаем проблемы эквивалент­ ности «слабых» и «сильных» расширений дифференциаль­ ных операций (см. § 4).

3.3. Существование правильных операторов. В област V будем считать заданной некоторую дифференциальную операцию L (D) вида (1) § 2. Сохраняя обозначения, ис­

пользованные выше,		введем следующее, важнейшее для
дальнейшего,	определение.			L: IH		IH опера­
О п р е д е л е н и е .			Расширение
тора L0 (L0 CZ L) назовем разрешимым, если					существует
оператор L”1, определенный на всем Ш.
Сужение	L: IH	IH	оператора L (L d		L)	назовем
правильным, если существует оператор L”1, определен­
ный на всем !Н.						одновре­
Замкнутый оператор L: 1Н->1Н, являющийся
менно разрешимым		расширением L0		и правильным су­

жением L, назовем правильным оператором, порождае­ мым, операцией L (D).

Центральной проблемой, которая будет занимать нас в основных главах книги, будет проблема нахождения спо­ собов описания правильных операторов, порождаемых общей дифференциальной операцией с постоянными коэф­ фициентами, и изучение зависимости свойств этих опера­ торов от характеристик исходной операции и от условий, задающих область определения правильного оператора.

З а м е ч а н и е . Зачастую разрешимым расширени­ ем, порождаемым операцией L (D), называют оператор L: !Н•->- IH, который мы назвали правильным. При под­ робном рассмотрении соответствующего круга вопросов такая терминология неудобна. Поясним это примерами.

П р и м е р 1.	Пусть	V — интервал (0, &), L (D) =
= Dx и оператор	Т: 1Н	IH задан на © (L) равенством
		ь

4 u = D xu +

О

Тогда Т является разрешимым расширением минималь­

52	ГЛ. II. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
ного оператора L0j			Ь
		ж
		О	о
не являясь сужением L.			снова V =	(0,	6), L (Z?) =		Dx.
П р и м е р 2. Пусть
Оператор	Т: И	IH, определенный как			замыкание в IH
операции	L (/>),	рассматриваемой на		элементах		w E C 1,
подчиненных дополнительно условию
	и (0) = (q,		h(D) и),
(скобки — скалярное произведение в IH), будет						для	лю­

бого элемента { G H правильным сужением оператора L:

X

о

Но этот оператор будет расширением L0 тогда и только тогда, когда q = const. (Приведенный пример является частным случаем рассмотрений п. 1.2 гл. III.)

Как будет показано ниже, правильные операторы, по­ рождаемые операций L (Z)), существуют при весьма широких предположениях относительно этой операции.

Цепочка включений L0 d L d L и приведенные примеры говорят о том, что правильный оператор получается либо снятием части нулевых граничных условий, входящих

в определение L0, либо сужением оператора L, опятьтаки за счет введения некоторых граничных условий. Полное описание правильных операторов, порождаемых обыкновенной дифференциальной операцией (п = 1 ), бу­ дет дано в следующей главе именно в терминах граничных условий.

Классические граничные задачи для уравнений матема­ тической физики также дают примеры правильных операто­ ров. Однако общая теорема о существовании правильного оператора, одно из доказательств которой мы собираемся сейчас привести, устанавливается путем обращения к абстрактным конструкциям функционального анализа и является, вообще говоря, неэффективной в том смысле,

что не дает способов	описания правильных операторов
в терминах граничных	условий. Другое доказательство

§ 3. ПРАВИЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

53

этой теоремы вместе с некоторой ее эффективизацией будет дано в гл. VII.

	Л е м м а		1. Пусть замкнутые линейные операторы
Т0, Т:		И*—^,1Н2, T0 ciT ,			обладают тем свойством, что
для	Т0	существует ограниченный					обратный оператор
Т^1	: 1Н2	DHj,	а область значений				91 (Т) оператора Т —
все	пространство			1Н2.	Тогда	существует оператор		Т:
Wi -»■ Н2, Т0 d			Т d	Т,	такой,	что оператор Т”1		су­

ществует, ограничен и определен на всем пространстве !H?.

Д о к а з а т е л ь с т в о .	Утверждение	тривиально,
если 91 (Т0) = 1Н2: достаточно	положить Т = Т0. Пусть
91 (Т0) — собственное подпространство 1Н2		и © 0 d Нг—

максимальное линейное многообразие, отображаемое опе­

ратором Т на	91 (Т0). Очевидно,				Кег Т с Э 0 и для Т,
рассматриваемого на		IH \	©0,	существует обратный опе­
ратор, заданный на Ш2 \			91 (Т0). Тогда искомый оператор
Т можно определить,		положив Т =			Т0 на © (Т0) и Т = *?
на IHi \ ©0.	Ограниченность			Т" 1	следует	из теоремы.
Банаха: п. 1.3 гл. I.
Сделаем некоторые замечания. Нас будет в дальнейшем
интересовать	лишь	случай		Иг =	1Н? = IH,	но при за­

писи леммы удобнее оперировать с парой пространств. Нельзя определить Т, просто выбросив ядро оператора

Т: построенный таким образом оператор не будет, вообще говоря, расширением для Т0.

Оператор Т, обладающий требуемыми свойствами, оп­ ределен, разумеется, неоднозначно. Даже в простейших примерах, как мы увидим, может существовать континуум различных операторов Т.

Л е м м а 2. Пусть для оператора Т: 1НХ Н2, обладающего плотной областью определения © (Т) (Z Нх, существует ограниченный обратный оператор Т"1: 1Н2—>*8^1 » Тогда уравнение

Т*и = /

разрешимо для любого элемента / ЕЕ &V

Д о к а з а т е л ь с т в о . Утверждение леммы озна­

чает существование для любого	элемента / ЕЕ	элемента
и ЕЕ Н2 такого, что равенство
(TV, и)2 =	(и. f)x

54 ГЛ. II. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

справедливо при любом у е Э(Т). В в о д я в рассмотрение элемент w: Тv = w, v = Т"1^;, можем записать цепочку равенств

(*>, f)i = <Г*ы>, f)i = (гг;, и)2 = (Ту, ы)2.

При переходе от второго члена к третьему использован тот факт, что скалярное произведение (Т"хгг;, f)x опреде­ ляет при заданном элементе / E IHJ ограниченный линей­ ный функционал над гг; (| (Т"хгг;, f)x| < ЦТ"11| || гг; Ц2 || / Ц*), допускающий представление в виде скалярного произве­ дения (гг;, и)г, где и — некоторый элемент 1Н2 (лемма Рисса, п. 1.4 гл. I). Сравнение первого и последнего чле­ нов цепочки дает утверждение леммы. Щ

Из доказанных лемм и рассмотрений предыдущего пункта немедленно следует

Т е о р е м а . Если операция L (D) с достаточно глад­ кими коэффициентами, определенная в некоторой области

V d [Rn, такова, что операторы L0, Lo обладают огра­

ниченными обратными и справедливо равенство L = (LQ)*, то существует порождаемый L (D) правильный оператор

L: М(F) Н (V).

З а м е ч а н и е 1. Доказательство сформулирован­ ной теоремы для произвольной операции с постоянными коэффициентами, использовавшее идеи работы [С1], бы­ ло впервые получено в [18]. При этом существование огра­

ниченного оператора L^1 следовало из неравенства

l U I K c H M I l ,

(4)

установленного для u c S (L0) за счет использования пре­ образования Фурье. Для наших дальнейших построений (гл. IV—VII) будет характерно использование ряда Фурье, что во многих отношениях более естественно при изучении дифференциальных операций в ограниченной области, приближая рассмотрения к классическим мето­ дам математической физики и позволяя, в частности, зна­ чительно упростить доказательство неравенств типа не­ равенства (4).

З а м е ч а н и е 2. Отказавшись от предположения

о справедливости равенства L = (LQ)*, можно сформу­ лировать несколько более слабое утверждение: суще­ ствует порождаемое L (D) разрешимое расширение ' L$

§ 4. СЛАБЫР И СИЛЬНЫЕ РАСШИРЕНИЯ

55

оператора Ln такое, что

L0C L s C ( L j f .

Возможность применения лемм 1, 2 для доказательства существования правильных операторов не исчерпывается, разумеется, тем случаем, когда роль оператора Т0.из лем­

мы 1 играет минимальный, а роль оператора Т — макси­ мальный оператор. В дальнейшем встретятся примеры использования этих лемм и в других ситуациях.

Здесь уместно повторить еще раз, что нахождение спо­ собов эффективного описания правильных операторов, порождаемых различными классами дифференциальных операций, и изучение свойств этих операторов в зависимо­ сти от свойств исходной операции и от выбранных «гра­ ничных условий», определяющих оператор, составляют основной предмет данной монографии.

§ 4. Слабые и сильные расширения дифференциальных операций

4.0. Предварительные замечания. Как уже отмеча­ лось, особое место, занимаемое пространством Гильберта среди иерархии линейных нормированных пространств, обусловлено его «самосопряженностью» — возможностью естественного отождествления пространства функциона­ лов с исходным пространством (лемма Рисса). Другим аспектом той же «самосопряженности» является наличие в алгебре операторов над гильбертовым пространством операции инволюции — перехода к сопряженному опе­ ратору, принадлежащему той же алгебре. Фундаменталь­ ная роль этой операции хорошо известна.

Понятие сопряженного оператора неизбежно возникает и в процессе применения методов функционального ана­ лиза к исследованию конкретных объектов — операторов, порождаемых дифференциальными операциями в прост­ ранстве функций с суммируемым квадратом.

Примеры использования этого понятия мы видели в предыдущих параграфах. Уже при рассмотрении этих примеров бросается в глаза различие в способах опреде­ ления операторов L и L*: если оператор L:

порождаемый дифференциальной операцией, определен как замыкание в fH этой операции, рассматриваемой

56	ГЛ. И. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
первоначально на		гладких функциях, то оператор L*:
IH-> 1Н определен		интегральным тождеством, дающим,

как часто говорят, «слабое» расширение операции U (D).

Определение оператора L* с помощью интегрального тождества во многих отношениях неудобно: свойства эле­ мента v ЕЕ Ш, являющегося решением уравнения h*v = = #, зачастую с трудом поддаются изучению. В связи с этим существует специальный аппарат осреднений (или регуляризаций), позволяющий в ряде случаев установить эквивалентность «слабого» и «сильного» (замыканием) определений операторов, порождаемых дифференциаль­ ной операцией.

Рассмотрению соответствующего круга вопросов и пос­ вящены §§ 4—6. В данном параграфе приводятся общие определения «слабого» и «сильного» расширений, в § 5 строится аппарат осреднений, а в § 6 устанавливается ряд упомянутых выше теорем эквивалентности.

4.1. Основные определения. Пусть в области] V d lRn задана дифференциальная операция L (D) вида* (1) § 2, обладающая достаточно гладкими коэффициентами, поз­ воляющими определить операцию L* (D). Пусть первона­ чальная область определения операции L (D) состоит из линейного многообразия $fT гладких функций, подчинен­ ных дополнительно некоторой системе однородных гранич­ ных условий, которые мы символически запишем в виде

		Ти |s =	О,		(Г)
где S — граница V.				уравнению
Функцию	M E f г» удовлетворяющую
		L (D)u =	/,		(L)
будем называть классическим			решением	задачи L — Г.
Оператор	Lp: IH	Н, определяемый		как	замыкание
в И оп ^г/тчи	L (D),	рассматриваемой		на	назовем

сильным расширением операции L (D) при условиях (Г). Выбранное название подчеркивает, с одной стороны, тот факт, что решение и €= !Н операторного уравнения

Lги = /

сильное решение задачи L — Г) является лишь обобщен­ ным, т. е. не обладает, вообще говоря, всеми производны­ ми, входящими в операцию L (/>), понимаемыми в обычном

§ 4. СЛАБЫЕ И СИЛЬНЫЕ РАСШИРЕНИЯ

57

(классическом) смысле, и может не удовлетворять усло­ виям (Г). С другой стороны, расширение (или решение) названо «сильным» постольку, поскольку зачастую ис­ пользуются более «слабые» определения расширений клас­ сической операции L (D) или решений задачи L — Г.

Такие «слабые» расширения Lp ID Lr определяются чаще всего следующим образом. Пусть

*yy|s = 0

(ty)

— некоторая система однородных граничных условий та­ кая, что для гладких функций и, v, подчиненных условиям (Г), (£у) соответственно, справедливо равенство

(L (D) и, v) = (и, V (D) v).

(1)

Пусть L*v: Н IH — оператор, порождаемый опера­ цией L* (D) и условиями (ty) так же, как оператор Lr по­ рождался операцией L (D) и условиями (Г) (т. е. замыка­ нием операции L*(D), определенной первоначально на ли­ нейном многообразии ty гладких функций). Тогда из равенства (1) немедленно следует включение

LrC(LJv)*	(2)
(ср. § 3), т. е. оператор (L^)* может	быть взят в качестве

оператора Lr Ц) Lr , о котором шла речь выше.

В большинстве наиболее интересных случаев оказы­ вается возможным указать некоторую «минимальную» систему у однородных граничных условий такую, что для

гладкой функции и выполнение равенства
y u \ s = 0	(у)

необходимо для справедливости (1) при любой гладкой г,

удовлетворяющей условиям (ty). Тогда оператор (L/v)* называется слабим расширением операции L ф ) при усло­ виях (у).

Наличие включения (2) означает, что выполнение усло­ вий (Г) влечет выполнение условий (у) (F r Cl Fv)-

В ряде важнейших случаев удается доказать равен­ ство

Lr = (Lty)*.

(3)

58 ГЛ. II. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

Естественно при этом было бы ожидать совпадения усло­ вий (Г) и (у). Но это не обязательно так. Условия (Г) могут содержать «излишние» требования, которые не ока­ зывают реального влияния на свойства элементов из Ь (Lr) («не удерживаются в замыкании»).

зие	Если, например,	V = (0,	b), L (D) = Dx, многообра­
	состоит из элементов и ЕЕ С°° (V), удовлетворяю­
щих дополнительно условиям
	и\0 = и \0 =	. . . =	и<*> |0	= 0,	к > 1,
а многообразие		состоит	из	элементов w ЕЕ С1 (F),

удовлетворяющих требованию w 10 = 0, то, как хорошо известно (и как это будет следовать из наших дальнейших рассмотрений), операторы Lr», Lr, совпадают, и если условия (ty) имеют вид v |*=ь = 0, то для каждого из этих операторов может быть установлено равенство (3).

Записанные нами выше равенства (2), (3) § 3 являются частными случаями равенства (3). При этом, если (Г) — условия, определяющие минимальный оператор, a (ty) — отсутствие условий, то, как и в приведенном выше при­ мере, наличие равенства (3) не означает совпадения усло­ вий (Г) и (у).

Если вместе с условиями (Г), (у), (ty) могут быть введе­

ны условия (£Г) (связанные с (у) так же, как	(*у) связаны
с (Г)), причем
г = v, ty = г г ,	(4)

то условия (Г), (tT) называются сопряженными. Пример, в котором

и\ о = 0, (Г) и |х=ь = 0, (*Г)

1>|*=ъ = ^1*=ь = 0, (ty)

v\ 0 = 0, (у)

показывает, ~что справедливость первого из равенств (4) не гарантирует справедливости второго.

Привыкший к операторному формализму читатель за­

метил, конечно, что в равенстве (3) оператор (L*v)* иг­ рает роль «второго сопряженного» по отношению к Lr , т. е. мы имеем дело с вариациями на тему классического равенства Т = Т**.

§ 5. ОПЕРАТОРЫ ОСРЕДНЕНИЯ	59
§ 5* Операторы осреднения
5.0. Предварительные замечания. Операторы	осред­

нения представляют собой аппарат, позволяющий сопоста­ вить элементу того или иного функционального простран­ ства его регуляризацию, т. е. элемент того же простран­ ства, обладающий большей гладкостью (регулярностью) и в то же время близкий к нему в соответствующей норме.

Оператор осреднения определяется обычно как сверт­ ка данного элемента с функцией, дающей ту или иную глад­ кую аппроксимацию дираковской 6-функции (играющей роль единицы в алгебре с операцией умножения — сверт­ кой). В зависимости от характера изучаемых задач к ис­ пользуемой регуляризации могут предъявляться некото­ рые специальные требования, которые и определяют выбор оператора осреднения.

В §§ 5, 6 мы будем считать, как это принято при рас­ смотрении соответствующих вопросов, пространство И вещественным гильбертовым пространством. Переход, в случае надобности, к комплексному случаю осущест­ вляется автоматически.

5.1. Осреднения на прямой. Пусть		а> (£) ЕЕ С°° — чет­
ная неотрицательная функция такая,		что <а (£) = 0 при
| | | > 1 й j (й(1)	= 1 (если пределы интегрирования

не указаны, то интегрирование ведется по всей вещест­ венной прямой). Простейшим примером функции о> (£), обладающей требуемыми свойствами и называемой ядром

осреднения,		является		функция		о (£) =	а (£)/$ а		(£)<?£,
где	а (|) =	ехр ( ^ _ Л		при	I i	I < 1 и	а	(|) =	0	при
И	» 1-
	Обозначим		через	©8 (х,	х')	функцию		е-1©		j •
Для любого е >			0 будем иметь
	| ©8 (х , х') dx = $ ©8 (х, *') dx’ =							1
и ©8- (х, х')		= 0 при | х — х’ | >				е.
	Пусть теперь V = (0, Ь) — конечный интервал веще­
ственной прямой и и б Н =					Н (F). Для		любого		е	0
определим		оператор / 8: И			Н равенством

J &u (х) = \ ©£ (х, х ) и (х') dx'.

60 ГЛ. II. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

Оператор J z (и его различные модификации, с которыми мы встретимся ниже) будем называть оператором осред­ нения. Установим некоторые основные свойства подобных операторов.

J A . Для любого	элемента и ЕЕ ОН		ЕЕ £>*, причем
D™Jzu =	^ [D™o)z (ху х)] и (х) dx.			(1)
	V '
Д о к а з а т е л ь с т в о		может быть	проведено	по
индукции. Если для т — 1		равенство (1) верно, то доста­

точно заметить,	что цри вещественных б > 0
б'1 [Dm^ J zu (х +	6) — Dm^ J zu (х)] =
= б"1 [Dx^1^	(z + 6, х') — D T 104 (х >х')\и (zf)dx =

=J [D?0)е (х + q, х')] и (х') dx\ v

азатем оценить разность между последним членом этой

цепочки равенств и правой частью (1) при б				0, пользуясь
гладкостью функции со (£). Щ
J-2. Для любого е >		0	|| / 81| ^ 1.
Вместо доказательства /-2 удобно установить несколь­
ко более общий	результат.				опе­
Л е м м а 1.	Пусть	К: И 1Н — интегральный
ратор
	К и — ^ К (ху х ) и (х) dx',
ядро которого непрерывно и удовлетворяет условиям
j j Я (я, *')!<& < Л/,
V			V
Тогда j| К || ^ М .			Достаточно	заметить,	что
Д о к а з а т е л ь с т в о .

|| К и ||2 = П СК (Ху х ) и (x')dx' |2 dx

VV

<$ К (х, х' | dx' j | К (х, х') П и (х) р dx') dx <