книги / Остаточные напряжения в полимерных композиционных материалах

G1, Gg , B1, Bg – сдвиговые и объемные модули в высокоэластическом и стеклообразном состояниях соответственно; εˆT (t ) =

T(t )

=αˆ (T )dT (τ); αˆ – тензор коэффициентов линейного температур-

	TH	ˆ	ˆ
	ˆ
			E – единичный тензор второго ранга.
	ного расширения, α = αE ;

Следуя рассуждениям разд. 2.1, запишем удельную свободную энергию материала в состоянии, соответствующем степени застеклованности N(t):

F (ε(t )) = F1	(ε(t )) +	N(t )	(ε(t ) − ε(τ))dN (τ).
		F2
ˆ	ˆ		ˆ	ˆ
		0

Физические соотношения строятся известным образом [78]:

σij =	1		∂F	+	∂F		,
	2		∂εij
					∂εji		T
откуда с учетом (3.1) получается:

σij (t ) = B1	(T (t )) − 2 G1 (T (t )) θ(t )δij + 2G1 (T (t ))εij (t ) −
	3
–3B1 (T (t ))εT	(t )δij + B2 (T (t ))		− 2 G2	(T (t )) T (t )		θ(t ) − θ(τ)	×
			3
					T
					H
		T (t )
×δij dN (T (τ)) + 2G2 (T (τ))
			εij (t ) − εij (τ) dN (T (τ)) −
		TH
−3B2 (T (t ))T (t )		εT (t ) − εT (τ) δij dN (T (τ)),					(3.2)

TH

T (t )

где εT (t ) = α(T )dT (τ).

TH

101

Такие же соотношения можно получить на основе гипотезы о единой кривой, когда вид связи напряжение–деформация в одномерном случае (2.5) обобщается на зависимости девиаторных и шаровых частей тензоров напряжений и деформаций:

				T (t )	(t ) − eij (τ) dN (T (t ));
sij (t ) = 2G1 (T (t ))eij (t ) + 2G2 (T (t )) eij
				TH
		σ(t ) = B1	(T (t )) θ(t ) − 3εT		(t) +
+ B2	(T (t ))T (t )	{ θ(t ) − 3εT (t )		− θ(τ) − 3εT (τ) }dN (T (τ)), (3.3)

TH

где eij (t) = εij (t) − 13θ(t)δij ; sij (t ) = σij (t ) − σ(t )δij ; σ(t ) = 13 σkk (t ). (3.4)

Совпадение результирующих выражений (3.2), (3.3) для разных подходов говорит о том, что применение энергетического способа получения определяющих соотношений в трехмерном варианте тождественно использованию гипотезы о единой кривой. Сокращенная запись (3.3) имеет вид

σij (t ) = Cijke1	(T (t )) + Cijke2 (T (t ))N (t )		T (t )
		εke (t ) −		αke (τ)dN (τ)	−
			T
			H

−Cijke2 (T (t ))	N(t )		T (τ)
		ε*ke (τ) −		αke (ξ)dT (ξ) dN (τ),	(3.5)
	0		T
			H

где Сijkem = 0, αke = 0 , кроме: Сiiiim = Bm + 4 / 3Gm , Ciijj = Bm − 2 / 3Gm , i ≠ j ;

Cijijm = 2Gm , i ≠ j , m = 1,2 ; αii = α.

Для полной идентификации физических соотношений (3.3) не требуется большого числа экспериментов. Необходимо установить температурную зависимость термомеханических характеристик B1, B2 , G1, G2 и α, а также количественное описание функции N(T).

102

3.2. ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ СООТНОШЕНИЯ ТЕРМОМЕХАНИЧЕСКОГО ПОВЕДЕНИЯ СТЕКЛУЮЩЕГОСЯ ПОЛИМЕРА ДЛЯ СЛОЖНОГО НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ. ВЫВОД В ПРИРАЩЕНИЯХ

СУЧЕТОМ ВЯЗКОУПРУГИХ СВОЙСТВ СТЕКЛООБРАЗНОГО СОСТОЯНИЯ

Построение определяющих соотношений будем производить в предположении, что изотропный однородный полимер в высокоэластическом состоянии имеет характерные времена релаксации намного меньше характерных времен внешних воздействий, сопровождающих процесс охлаждения, что позволяет использовать для описания упругую модель. В полностью застеклованном состоянии поведение полимера описывается в рамках линейной вязкоупругости. Предполагается также малость деформаций. Относительное увеличение жесткости полимера в процессе стеклования будем, как и прежде, характеризовать параметром 0 ≤ N ≤ 1 – «степенью стеклования» (см. гл. 2.). Напряженное состояние полимера в процессе стеклования, происходящего в интервале температур Tg2 ≤ T ≤ Tg1 ,

где Tg1 – температура начала стеклования, Tg2 – температура конца

стеклования, представим следующим образом.

Пусть в момент времени t1 в некотором объеме материала за счет снижения температуры произошло образование новых связей пропорционально N1 (t1 ). Согласно принципу суперпозиции Больцмана [37], напряжения, возникающие в этой части полимера в момент вре-

мени tk > t1 ,			являются суммой напряжений, возникших в ней в мо-
менты времени t1,t2 ,...,tk				от соответствующих приращений деформа-
ций ε(t1 ),			ε(t2 ), ..., ε(tk ).
			sij (tk ) = 2		G	(tk − t1	, t1 − t1 ) eij (t1 ) +
				N1 R
+R		(tk − t1, t2 − t1 )		eij (t2 ) + ... +			eij (tk )R			, (3.6)
	G							G	(tk − t1,tk − t1 )

103

					B	(tk − t1	, t1 − t1 ) θ(t1 ) +
			σ(tk ) = N1 R
	+R		(tk − t1, t2 − t1 ) θ(t2 ) + ... +				θ(tk )R			(3.7)
		B						B	(tk − t1,tk − t1 ) ,
где RG (t, τ) = R12 (t, τ) − G1 ,				G1	– модуль сдвига полимера в высоко-
эластическом состоянии,				R12 (t, τ) – функция сдвиговой релаксации
[37] полностью застеклованного материала;									RB (t, τ) = R11 (t, τ) − B1 ,
B1	– модуль сдвига полимера в высокоэластическом состоянии,
R11	(t, τ) – функция объемной релаксации материала в стеклообраз-

ном состоянии.

Вид соотношений для шаровой и девиаторных частей тензора напряжений (3.6), (3.7) аналогичен, поэтому дальнейшие выкладки для примера представлены только для соотношений, связывающих шаровые части.

Пусть в момент t2 произошло изменение степени стеклования на величину N2 (t2 ), причем возникшие в момент t2 связи являются

ненапряженными, тогда для этих связей можно записать следующее выражение для напряжения в момент времени tk :

σ2 (tk ) =		B	(tk − t2 ,t2		− t2 ) θ(t2 ) + R	B	(tk − t2 ,t3 − t2 ) θ(t3 ) +
	N2 R
			+ ... + R					(3.8)
				B
По аналогии для образовавшихся в полимере в момент времени
tk связей, количественно пропорциональных величине								Nk (tk ),
			σk (tk ) =		Nk RB (tk − tk , tk		− tk ).	(3.9)

Осуществляя предельный переход в выражениях (3.7)–(3.9), для момента времени t > tk можно записать

σ1 (t ) = N1 t RB (t − t1, τ− t1 )dθ(τ),

t1

104

σ2 (t ) = N2 t	RB (t − t2 , τ− t2 )dθ(τ),		(3.10)
t2
…………………………………….
σk (t ) = Nk t		RB (t − tk , τ− tk )dθ(τ).
tk

Сучетом (3.10) выражение для напряжений, возникающих

всистеме новых связей, образовавшихся при стекловании полимера, в момент времени t примет вид

σc (t ) = N1 t			RB (t − t1, τ− t1 )dθ(τ) +
		t1
+ΔN2 t	RB (t − t2 , τ− t2 )dθ(τ) + ... +
t2
+ΔNk t		RB (t − tk , τ− tk )dθ(τ).		(3.11)
	tk

Осуществляя в выражении (3.11) предельный переход, получим

N(t ) t
σc (t ) =	RB (t − ω, τ
0	ω

− ω)dθ(τ) dN (ω).

Предполагая совместность деформаций старых и вновь образовавшихся связей, напишем выражение для напряжений, возникающих в стеклующейся системе:

N(t ) t
σ(t ) = B1θ(t ) +	RB (t − ω, τ
0	ω

− ω) dθ(τ) dN (ω).	(3.12)

С учетом температурных деформаций выражение (3.12) можно представить следующим образом:

105

	σ(t ) = B1	θ(t ) − 3εT (t ) +
N(t ) t
+	RB (t − ω, τ− ω)d (θ(τ)		− 3εT (τ)) dN (ω).	(3.13)
0	ω

Полученные путем аналогичных выкладок соотношения для девиаторных частей тензоров напряжений и деформаций примут вид

N(t ) t

sij (t ) = 2G1eij (t ) + 2 RG (t − ω, τ

0 ω

) ( ) ( )

− ω deij τ dN ω . (3.14)

Релаксационные свойства полимеров сильно зависят от температуры, поэтому в соотношениях (3.13), (3.14) необходимо учесть это влияние. Если материал при T < Tg2 проявляет термореологиче-

ски простое поведение в опытах на сдвиговую и на объемную релаксацию (или ползучесть), то возможно использование принципа тем- пературно-временной аналогии с двумя независимыми функциями температурно-временного сдвига (для функции объемной релакса-

ции aT(RB ) и для функции сдвиговой релаксации aT(RG ) ) и, как следствие, введение двух различных модифицированных времен:

t′

t

a(RB )d

τ

,

′

τ

a(RB )d

τ

,

′

ω a(RB )d

τ для уравнения

(3.13);

1

=

T

τ1

=

T

ω1

=

T

0

0

0

(3.15)

	t	a(RG )d ,
t′	=			′
2		T	τ	τ2
	0

= τ a(RG )dτ, ω′

T 2

0

ω

= aT(RG )dτ для уравнения (3.14).

0

С учетом (3.15) соотношения связи напряжений и деформаций преобразуются к виду

			σ(t ) = B1		θ(t ) − 3εT					(t ) +
N(t1 ) t1			1	− τ1	(θ		τ1		− εT			τ1		)		ω1
+						(		)			(		)		dN (		),
			RB (t′	′ )d					3									(3.16)
0		ω
		1

106

	(t )			(t )			N(t2 ) t2				RG (t′
s		=	2G e		+	2
ij			1 ij								2
							0		ω	2

′	)de	(				). (3.17)
			τ2	) dN (	ω2
− τ2	ij

Существенным преимуществом подхода является возможность описания поведения материала в условиях релаксационного перехода на основе физических уравнений, содержащих материальные функции и константы, определенные из хорошо методически отлаженных экспериментов на образцах из материала в стабильном состоянии вне релаксационного перехода: в полностью застеклованном или полностью размягченном состоянии. Для использования полученных физических соотношений при прогнозировании механического поведения стеклующейся полимерной среды необходимо

знание следующих зависимостей и констант: RB (t ), RG (t ), aT(RB ) (T ), aT(RG ) (T ), α(t ), T (t ), B1 , G1 .

Если пренебречь релаксационными эффектами в стеклообразном состоянии, то из (3.13), (3.14) следуют физические соотношения (3.3), (3.4) для стеклующегося полимера в упругом приближении.

3.3. ТЕРМОДИНАМИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ ОПРЕДЕЛЯЮЩИХ СООТНОШЕНИЙ. ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ ОГРАНИЧЕНИЯ

НА МАТЕРИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ И КОНСТАНТЫ

Воспользуемся основными термодинамическими соотношениями для определения функции рассеяния (скорости диссипации энергии) для стеклующейся полимерной системы при термомеханических процессах, характеризуемых деформациями и температурой.

В этом случае основное термодинамическое соотношение может быть записано в следующем виде [101]:

dψ+ SdT + W *dt = σij dεij ,	(3.18)
где ψ – свободная энергия системы; S – энтропия; T – абсолютная
температура; W * – функция рассеяния (W * ≥ 0);	t – время; σij , εij –

компоненты тензоров напряжений и деформаций соответственно.

107

В [101] показано, что функция рассеяния W * однозначно определяется видом функции свободной энергии ψ, которая является

функционалом температуры Т и компонент тензора деформации εij .

Согласно подходу, изложенному в [101], функция свободной энергии в рассматриваемом случае может быть представлена в виде суммы

ψ = ψ0 (T ) + μij2 μij2 + μ1ijμ1ij ,

(3.19)

где μ1ij , μij2 – линейные функционалы для высокоэластического и стеклообразного состояний, вид которых аналогичен по своей форме фи-

зическим соотношениям μ1ij =				+ 1	δijμ1kk , μij2 =		+ 1 δijμkk2 .
			μ1ij			μij2
3					3
С учетом (3.19) соотношение (3.18) может быть записано в виде
	dψ0	dT + 2μ1ij dμ1ij + 2μij2 dμij2			+ SdT + W *dt = σij dεij .			(3.20)
	dT

Представление линейных функционалов μij в форме, аналогичной

форме определяющих соотношений (3.13), (3.14), приводит к тому, что неизвестные постоянные множители, входящие в выражения для μij , при их определении получаются зависящими от температуры, т.е.

являются переменными величинами. Поэтому относительно вида μij выдвигается следующее предположение: форма представления функционалов μij , μii в отличие от предложенной в [101] дополняется в качестве сомножителей функциями температуры ψ1 (T ), ψ2 (T ), ψ3 (T ), ψ4 (T ). С учетом сказанного можно записать

		N(t ) t
μij2 = ψ1						M1
		(T )					(t − ω, τ− ω)deij (τ) dN (ω) ,
			0	ω

			N(t ) t
μii2 = ψ2
		(T )					(M2 (t − ω,τ− ω))d (θ(τ) − 3εT (τ)) dN (ω) , (3.21)
				0	ω
			(t ) = ψ3 (T )Aeij (t ), μ1ii (t ) = ψ4					(T )B θ(t ) − 3εT (t ) .
	μ1ij

108

Вычислим dμ1ij , dμij2 , фигурирующие в соотношении (3.21), учи-

1 δij dμ1kk ,

1

тывая, что dμ1ij

= dμ1ij

+

dμij2 = dμij2 +

δij dμkk2 .

3

3

dψ1

N(t ) t

dμij2 =

dT

M1

(t − ω, τ− ω)deij (τ) dN

(ω) + ψ1

×

dT

0

ω

	N(t) t			M		α(t)
× dt					1 (t − ω,τ− ω)deij (τ) dN (ω) + deij		M1	(t − ω,t − ω)dN (ω) ;
	0		ω			0

		dψ2		N(t ) t
	dμii2 =		dT		M2	(t − ω, τ− ω)d (θ(τ) − 3εT (τ)) dN (ω)+ (3.22)
		dT		0	ω

N(t ) t

+ ψ2 dt

M2

(t − ω, τ−

ω)d (θ(τ) − 3εT (

τ)) dN (ω)+

0

ω

N(t )

+ ψ2 (dθ− 3αdT ) M2 (t − ω,t − ω) dN (ω);

0

d

(t ) =

dψ3

dTAeij (t ) + ψ3 Adeij

(t ),

μ1ij

dT

dμ1ii (t ) =

dψ4

dTB θ(t ) − 3εT (t )

+ ψ4 B dθ(t )

− 3αdT ,

dT

где, например, M

1 (t − ω, τ− ω) =

∂M1 (t − ω, τ− ω)

.

∂t

Подставляя (3.22) в соотношение (3.20) и приравнивая к нулю выражения при независимых вариациях dT , dεii , deij ,dt , можно по-

лучить следующие соотношения:

109

dψ0

dψ1

N(t ) t

+ S + 2

μij2

M1

(t − ω, τ−

ω)deij (τ) dN (ω)+

dT

dT

0

ω

2

dψ2

N(t )

t

+

μii2

M2

(t − ω, τ− ω)d (θ(τ) − 3εT (τ)) dN

(ω)+

3

dT

0

ω

dψ3

2

1 dψ4

1

+2μij

Aeij

(t )

+

μii

B θ(t ) − 3εT (t ) − ψ4 B3α

= 0 ;

(3.23)

dT

3

dT

N(t )

M2 (t − ω,t − ω)dN

(ω) + 2μ1ii ψ4 B ;

σii

= 2μii2 ψ2

(3.24)

0

N(t )

M1 (t − ω,t − ω) dN

(ω) +

sij

= 2μij2 ψ1

μ1ij

ψ3 A ;

(3.25)

0

N(t ) t

W * = −2μij2 ψ1

M1 (t − ω, τ− ω)deij (τ) dN (ω) −

0

ω

N(t ) t

−

2 μii2 ψ2

M2 (t − ω, τ− ω)d (θ(τ) − 3εT

(τ)) dN (ω).

(3.26)

3

0

ω

Соотношения (3.24) и (3.25) будут удовлетворены, если, с учетом (3.13), (3.14) и (3.21), принять, что параметры A и B – это модуль сдвига и объемный модуль высокоэластического состояния соответственно, М1, М2 – функции сдвиговой и объемной релаксации

(см. (3.6), (3.7)):

A = G1 ; B = B1 ; M1 (t − ω, τ− ω) = RG (t − ω, τ− ω) ;

M2 (t − ω, τ− ω) = RB (t − ω, τ− ω) ;

ψ1 (T )2 =		1	;
	N(t )
	2 RG (t − ω,t − ω) dN (ω)
0

110