книги / Прикладные задачи устойчивости многослойных композитных оболочек

3.4. Трёхслойные и многослойные изотропные оболочки

71

Коль скоро жёсткости заполнителя и несущих слоёв сопоставимы по порядку, то все три слоя становятся равноправными, и трёхслойную оболочку можно рассматривать как частный случай многослойной. Таким образом, результаты, полученные выше, обобщаются на трёх­ слойные оболочки с жёстким заполнителем и многослойные оболочки.

Учитывая сказанное, можно рекомендовать следующие соотно­ шения для расчёта критических параметров в шарнирно опёртых трёхслойных с жёстким заполнителем и многослойных изотропных оболочках.

О севое сжатие:

7Г	7То(1-^					(х2 + п2у				X2
							X2			1 - -чо
										2К
Т $ = ^ л / в Б ;				X l = ^ ^ - -			В = В ( \ - и 2).				(3.72)
Внеш нее давление:
Г£\К р	___ Г£ !Ж			_	к	Пкп =		/	з т г у
				16				v		п ...
									в * /
1>75тг 4 /=				п 2 =		* I B	R 2	^кр		^1 —
№ !2	УЯОЗ;				1.32А		D
						'V		’
Д ли н н ы е оболочки			(ко льц а )
	г р к р	_		3D			2,			D	(3.74)
	2		Д2(1 +Зш) ’ TiKp						K	R 2 '
Кручение:
. - ( 1 -	0 3	4	7 )			( l I	0 .2 7 '4 - j			Л„„ =	Л, = * « /< ;
	=					n i = 2 . 7 1 A				, ^ i .	(3.75)

Д ли н н ы е о болочки :

ЛкР _ 1,52	4/ B D 3	л4	4815
Д3/2	V (1+ 3w)3 ’	кр “	(3.76)
			B R 2 (1 + Зш);

72 Гл. 3. Общая устойчивость изотропных цилиндрических оболочек

Входящие в формулы величины В, D, К, v представляют со­ бой соответственно жёсткости многослойных оболочек на растяжениесжатие, минималвную изгибную жёсткости, жёсткость многослойного пакета на поперечные сдвиги и приведённый коэффициент Пуассона. Соотношения для расчёта этих величин приводятся в Приложении А.

Обычно в многослойных оболочках поправочные члены от учёта поперечных сдвигов малы. Например, такая поправка при расчёте кри­

тических осевых усилий составляет
Гщ	У В Р	Е	h	Eh
кл 4К	2K R	4 V lG l3	R	(3.77)
				’ Gl3R

Здесь h, R — соответственно толщина и радиус многослойной обо­ лочки, Е — характерный модуль упругости слоёв, G \3 — характерный

модуль поперечного сдвига. Даже если отношение E /G \3	достигает
двадцати, поправка от учёта сдвигов имеет порядок 3h/R,	т. е. мала
по сравнению с единицей.

Сказанное позволяет полагать, что изотропные трёхслойные с жёст­ ким заполнителем и многослойные оболочки следуют тем же зако­ номерностям, что и классические оболочки с неизменной нормалью. Это касается и влияния граничных условий, и влияния начальных несовершенств.

Г л а в а 4

МЕТОДЫ РАСЧЁТА НА УСТОЙЧИВОСТЬ

МНОГОСЛОЙНЫХ КОМПОЗИТНЫХ

ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК

4.1. Устойчивость тонкостенных композитных оболочек (классическая модель)

Рассмотрим устойчивость цилиндрических композитных оболочеч­ ных конструкций с позиций классических гипотез неизменной нор­ мали. Эти гипотезы вносят погрешность, не превышающую величины [62, 72]

у/B2D I (\ —V\V2)	0,17 \jE\E<i	h	h	,	(4.1)
2 K l3R	G \3	R	R	<<L

Здесь В 2, D\ — жёсткости на растяжение и изгиб, К \3 — жёсткость многослойного пакета на поперечные сдвиги в осевом направлении, Е\, Е2, Gi3 — модули упругости материала оболочки и модуль попереч­ ного сдвига; h, R — толщина и радиус оболочки соответственно. Как следует из формулы (4.1), классические гипотезы тонкостенных обо­ лочек можно использовать для расчёта широкого класса композитных оболочечных конструкций.

Уравнение устойчивости многослойных ортотропных пологих ци­ линдрических оболочек в этом случае можно получить из соотношений

( 1.20) :

74 „ „ . . _			n .V 7 4 v 7 4 „ „ ,		д г(1 -ЩУч) д‘ W.
V \qw = D iV|V|w; +						в 2	дх4 ’
д4	д4			д4		д4	д4	д4
V f = дх4 ai дх2ду2 + А ду4’					V*	дх4 - 0>2дх2ду2		А ду4’
m д2		2S	д2		д2 .	D2		В2
q ~ T l d ^			дхду	2ду2 ’		А = Di	А = В,
«1 =	AD	12	+ 2 V2-		B2 ( \ - v xv2)		- 2V 2.	(4.2)
				а 2 = ---------------------- 2
	D\					В 12

74 Гл. 4. Устойчивость композитных цилиндрических оболочек

Для полубезмоментных непологих оболочек разрешающее диффе­ ренциальное уравнение получается с помощью зависимостей (1.29):

д4

д*_ (

&_

2

В\ (1 —и\и2) d4w

_ 1_

W +

w qnW 1)2 дуА 1

ду2 + R 2

д_ Qn

д_

Т

—

Т2

д2

_i_

+ 2 S i r

д2

_i_

(4.3)

ду

ду

1дх2

ду2 +

R 2

дх

ду2 + R 2

В соотношениях

(4.2),

(4.3)

В\,

В2,

В \2

—

жёсткости

оболочки

на растяжение-сжатие и на сдвиги в тангенциальной плоскости; D\,

D2, D i2 —

минимальные [30,

31]

изгибные

и крутильная жёсткости

соответственно; v\, v2 — коэффициенты Пуассона; Т\, Т2, S — безмоментные докритические усилия. Жёсткости многослойной оболочки вычисляются в соответствии с Приложением А.

Представляя решение в виде (1.3), из уравнений (4.2), (4.3) можно получить соотношения для расчёта критических параметров при потере устойчивости тонкостенных многослойных оболочек:

А2Т\ + 2АnS + п2Т2 =	(А4 + оцА2п2 + /Jin4) +
	В2(1 —г^1г^г)А4
	(4.4)
	А4 + « 2А2п2 + (32пА

ТП7ТR

А—-— ; t — длина оболочки.

TiA2 + 2 S ^ (n 2 - l ) + T2(n2 - 1) =

D2(n2 - l )2 B , ( l - n , n 2)A4

“

R 2

+

n*

' (

Соотношение (4.4) удобно записать в виде:

Т, + 2фв + ф2Т2 = D xA2Р(ф)	В2 (1 - щ щ )
К2	\Щ {ф ) ’
F\(i>) = 1 + а {ф2 + /3[ф4; Р 2{ф) =	1 + а 2ф2 + (32фл -,
ф = п/Х.	(4.6)

В соотношениях (4.4)-(4.6) величины т и п представляют собой параметры волнообразования при потере устойчивости: m — число полуволн в осевом направлении; п — число волн в кольцевом направ­ лении.

Заметим, что соотношения (4.4)-(4.6) а также полученные ниже формулы можно использовать для расчёта подкреплённых, вафельных

4.1. Тонкостенные композитные оболочки (классическая модель)

75

и сетчатых композитных оболочек, если подставлять соответствующие жёсткости.

4 .1 .1 . О севое сж атие. В случае осевого сжатия из уравнения

(4.6) можно получить следующую зависимость для определения		кри­
тических параметров:
Тх А2А ( А § +	Д2 (1 - Щ^)	(4.7)
	лЩ{ф)

Проведя минимизацию по аргументу Л, можно найти:

Т\ = к{ф)Тю\ Тю = ^ J B 2D \ (1 - щг/2) ;

F\ (i>)	,4 _	Ад	4	В2 (\ - v xv2) R 2
к2(ф)	кр В Д ) В Д Г Л° ~			(4.8)
Щ Ф ) ’				А
Здесь Тю — критическое усилие при				осесимметричной форме
(ф = 0) потери устойчивости;		Ао	— соответствующий параметр про­
дольного волнообразования.

Чтобы найти критические значения усилий Т*р и параметров вол­ нообразования Акр и фкр, выражение (4.8) необходимо проминимизировать по аргументу ф. Искомые критические значения существенно зависят от соотношения между показателями анизотропии а\ и а2.

Наиболее типичной для существующих композитных оболочек яв­ ляется зависимость а\ < а 2 (жёсткость В \2 оболочки на сдвиги мала по сравнению с жесткостями на растяжение-сжатие). В этом случае минимизация зависимости (4.8) по аргументу ф приводит к следующим значениям критических величин:

7*р — ь			71 .	ь2	_	F\ {фкр) .		,2	. 1.
± \	““	К 'о р т 10>		Л'орт	—	Р 2 ( Ф	) ’	Л'°Р Т	^
/2 _ \ J (А		- А )2 + («2 - a i ) ( f i i a 2 -					/?2«i) - (А			- А )
* кр_										'
\4		_				Ок|| —Г'крАкр.				(4.9)
^кр			F \ ^ Kp)F2^		f
Обычно в ортотропных оболочках можно полагать
я	~	в	= а = 1?1 .			D 12	~	B l2		(4.10)
1	2			B i'			~	у / в Ж

В этом случае зависимости для расчёта критических параметров при­ нимают вид («1 < а 2):

76 Гл. 4. Устойчивость композитных цилиндрических оболочек

т кР	kOWr ^ y / B 2Dx (1 - v \ v 2) =			1-рг \ / B\2D \(1 + sjv\v2 );
				t>\
А	1	■кр	к		пк, р	'КР .
кр	t ’					W
		(2 + а\/у/ф)(2 + сх2/\/~ Ф )
	ki	2 + O L\jу / ф	2В 12		< 1.	(4.11)
		2+ а 2/у/ф	y / B iB 2(l	— sjv\v2 )
Заметим, что		при анализе	устойчивости многослойных оболочек

с различными слоями некорректно вычислять критическое напряжение сжатия как отношение критической силы к площади поперечного сече­ ния оболочки. В этом случае общими для всех слоёв будут осевое уси­ лие и деформация осевого сжатия, а сжимающие напряжения в каждом слое — свои, зависящие от модуля упругости слоя.

Если оболочка квазиоднородна по толщине, то из зависимостей (4.11) получаются соотношения для расчёта критических напряжений <ткр и соответствующих параметров Акр, пкр волнообразования:

	кр _	к,орт	у/Е\Е 2	h	I	2G \ 2y jЕ \ Е 2 h
	=		vxv2)	R	V 3(1 - y]vxv2) В ’
4	E i-	\4		К					В 1 л 4 .
ф.к р	е 2 ’	^кр	(2 + а \ / д//3)(2 + а2/у/]3)					« к р =	£ Г кр’
А4 12(1			,Е 2 R 2	U2	2Gl2(l + у«1«2 ) ..
	■О—		"■орт				. / К1, /г,.
		4GI2(1 - ь'хщ) ,		0		а 2	Е2	—2г*>.	(4.12)
			--------- +	2г/2;			G 12
			т
Из полученных формул как частный случай								следуют	результа­
ты [21].
Если	структура композита такова,				что выполняется условие а.\ >
> а 2 (жёсткость В \2			на сдвиги достаточно велика), то в зависимости
от соотношения между величинами					и /32 имеют место два исхода:

— при (3\ ф /32 можно показать, что оболочки теряют устойчивость по однозначно определённой осесимметричной форме, и критические

параметры	определяются соотношениями:
Т|Кр =	Т\о = — у/В 2D\(1 —v\v2) ; Акр = Ао; пкр = 0;	(4.13)

— при (3\ < /32 критические параметры определяются зависимос­ тями:

4.1. Тонкостенные композитные оболочки (классическая модель)				77
т кР	глг'г);	фкр^оо-, А,кр	0.	(4.14)

Второй случай (А < А), видимо, всё-таки невозможен даже фор­ мально, так как критический параметр Акр при этом устремляется к нулю, а величина Акр = 0 не является собственным числом рассмат­ риваемой задачи, поскольку она даёт тривиальное решение уравнения (4.2) для прогиба (w = 0).

В случае, когда од > а 2, однородные по толщине ортотропные обо­ лочки теряют устойчивость по осесимметричной форме, а критические параметры определяются следующим образом:

к Р __	у / Е \ Е 2
'	Акр —AQ; икр —0;
	л/3 (1 - V \ V 2 ) R
	\ J E \E2
	(4.15)
	2(1 + s/щ щ )

Вчастном случае, когда од = «2, можно показать, что при А > /?2 оболочка теряет устойчивость по осесимметричной форме, и критиче­ ские параметры определяются зависимостями (4.13). Если же А < А , то критические параметры определяются зависимостями (4.14).

Втом случае, когда при условии од = «2 имеет место также равен­

ство А = А = А можно получить:

	а д	=	а 2 =
В Д ) = W	)	= 0	+ V ^ 2)2; * M	= i.
Тогда критические усилия и напряжения с помощью зависимости
(4.7) определяются, как	и	при	осесимметричном	волнообразовании,

формулами (4.13) и (4.15). Но в этом случае форма волнообразования не определена однозначно: возможны любые из бесконечного множе­ ства значений параметров Акр и пкр, удовлетворяющих соотношению

^кР + V ii »кР = Ао

(4.16)

Геометрическим местом этого множества на плоскости переменных

(Акр, пкр = у/]3пкр) служит верхняя полуокружность радиуса А0/2, центр которой смещён из начала координат по оси Акр вправо на длину радиуса (рис. 4.1).

Конструкции, ДЛЯ которых ВЫПОЛНЯЮТСЯ условия Од = «2, А = А = = А можно назвать квазиизотропными. Если оболочки ещё и однород­ ны по толщине, то из условия од = «2 следует соотношение

у / т

2(1 + фУ\У2 ) ’

4.1. Тонкостенные композитные оболочки (классическая модель)

79

Длинные оболочки теряют устойчивость как стержни:

	7Г
4 .1 .2 .	О севое сж атие: теория и эксперимент. Известно, что во

многих случаях теоретические расчёты несущей способности оболо­ чечных конструкций приводят к завышенным результатам. Особенно существенно это проявляется при расчётах на устойчивость при осе­ вом сжатии изотропных цилиндрических оболочек и в сферических оболочках при действии внешнего давления [10, 12, 45]. Различие между результатами теории и эксперимента в этих случаях достигает нескольких раз. Многолетний опыт исследований позволил предложить для металлических оболочек поправочные экспериментальные коэффи­ циенты, которые обеспечивают надёжное проектирование конструкций. Вопрос о соответствии теоретических и экспериментальных результа­ тов для композитных оболочечных конструкций во многом открыт, так как отсутствуют систематические исследования по сравнению теорети­ ческих и экспериментальных значений несущей способности.

Ниже такое сравнение проводится для широкого класса цилин­ дрических композитных оболочек, нагружаемых осевыми силами. Вы­ явленные при этом закономерности позволяют по-новому осмыслить проблему влияния начальных несовершенств в оболочках на значения критических нагрузок.

За числовую меру сравнения примем отношение экспериментально­ го значения критической силы Р*р к её теоретическому значению Р*р. Это отношение принято называть коэффициентом устойчивости (А;уст):

(4.18)

Таким образом, коэффициент устойчивости kycT является поправоч­ ным коэффициентом при расчётах на устойчивость при осевом сжатии композитных цилиндрических оболочек:

ркр _ г		ркр	(4.19)
J	—'Ъуст	1т

Здесь Р Кр — расчётное значение критической нагрузки, Р*р — теоре­ тическое значение критической нагрузки, полученное с помощью одной из формул п. 4.1.1.

Для сравнительного анализа использованы результаты испытаний на осевые сжатия в общей сложности 270 цилиндрических оболочек, изготовленных из стеклопластиков и углепластиков различными мето­ дами намотки или укладки. При этом 194 стеклопластиковые оболочки получены намоткой стеклотканей и продольно-поперечной намоткой стеклонитей в заводских условиях, 54 оболочки из стеклопластика изготовлены с применением ручной укладки, 22 оболочки изготовлены методом намотки углепластиковой ленты.

80 Гл. 4. Устойчивость композитных цилиндрических оболочек

Геометрические размеры оболочек варьировались в следующих пре­ делах:

	40 мм < R ^ 400 мм;	0,5 мм < h ^ 5 мм;
	30 < R /h < 500;	\ A < £ / R < 6.
Характеристики упругости имели следующие порядки:
Ei =	(0,1 -г 0,73) • 105 МПа;	Е2 =	(0,17 -г-0,55)	• 105 МПа;
G12 =	(0,035 -г 0,15) • 105 МПа;	щ =	(0,09 4-0,37).

Ряд оболочек [57, 82] испытывались в нагретом состоянии. В этом случае физико-механические характеристики определялись с учётом влияния температуры.

Из 194 результатов испытаний стеклопластиковых оболочек, из­

готовленных в заводских условиях,		39 принадлежат А. А. Буштырко-
ву	и А. И. Отвечалину [11], 100	— В. И. Смыкову и			О. Н. Ивано­
ву	[57], 17 — Н.А. Иванкову, В.И. Смыкову и О.Н.				Иванову [25],
7	— Ю. Ф. Крашакову и А. Л. Рубиной [39],		31	— Л.	Г. Белозерову
и	А. Л. Рубиной [6]. В работе В. С. Гуменюка		и	В. С.	Кравчука [20]

представлены результаты испытаний на осевые сжатия 54 цилиндри­ ческих стеклопластиковых оболочек, изготовленных с применением ручной укладки стекломатериала. Наконец, в работе А. Е. Ушакова и В. А. Киреева [82] представлены результаты испытаний 22 углепла­ стиковых многослойных оболочек, изготовленных заводским способом.

Расчёты на устойчивость перечисленных выше оболочек проводи­ лись по формулам п. 4.1.1 [4] для многослойных или квазиоднородных конструкций. Статистический анализ, проведённый по результатам ис­ пытаний на устойчивость при осевом сжатии указанных 270 композит­ ных цилиндрических оболочек, показал, что значения коэффициентов устойчивости kyCT (4.18) расположены в интервале 0,30 4- 1,16. Среднее значение куст = 0,73; среднеквадратичное отклонение сг = 0,18; коэф­ фициент вариации г = 0,25.

Можно попытаться, как это сделано для изотропных оболочек [12, 79, 83], установить соответствие между значением коэффициента устойчивости куст и отношением R /h радиуса к толщине оболочки. На рис. 4.2 нанесены 270 значений коэффициентов куст в зависи­ мости от значения R/h. Как видно из рис. 4.2, явной зависимости куст от R /h не наблюдается. На рис. 4.3 для сравнения показана зависимость куст ~ R /h для изотропных оболочек [12]. Если для изо­ тропных оболочек наблюдается некоторая тенденция снижения мини­ мального значения коэффициента куст с ростом величины R/h, то для композитных оболочек такая закономерность отсутствует. Мало того, строго говоря, из рис. 4.2 следует повышение минимальных значений коэффициентов куст в композитных оболочках с ростом отношения R /h (в исследуемой области 30 < R /h < 500).