книги / Теплофизика в металлургии
..pdfТепло от внутренних источников заданной мощности
d{?2 = 9V / d x dx. |
(2.16) |
Внутренняя энергия контрольного объема изменяется во времени,
д и |
д(о ct) |
(2.17) |
dU = |
dx = - v — i f dx dx. |
|
dx |
dx |
|
В частном случае при постоянных значениях плотности и тепло емкости соотношение (2.17) принимает вид
d t/ = рс— f dx dx. |
(2.18) |
дх |
|
Подставив (2.15), (2.16), (2.18) в (2.9) и поделив полученное выра жение на / dx dx, получим уравнение переноса энергии:
dt , |
а л |
Э |
(2.19) |
рс -----1- и — |
dx x s ! + «'- |
||
dx |
dx t |
|
Предполагая постоянным коэффициент теплопроводности и по
делив уравнение (2.19) на произведение рс, получим
dt |
dt |
d 2t |
qy |
(2 .20) |
— + и — = a — r + — |
||||
dx |
dx |
dx2 |
pc |
|
где a - коэффициент температуропроводности;
X |
Вт M2 кг-К M2 |
a — — |
м • К кг Дж |
P |
Физический смысл полученного уравнения заключается в следующем: тепловаяэнергия, подведеннаяк контрольному объему внутренними ис точниками заданноймощности, атакжетеплопроводностьюиконвекци ей, идет на изменение внутренней энергии этого объема.
Производная dt/dx характеризует локальное или местное измене ние температуры, a udt/dx - изменение температуры, связанное с пе реносом (конвекцией) контрольного объема со скоростью и. Их сумма дает полное изменение внутренней энергии и называется полной или
субстанциальной производной:
dt _ d t ^ d t dx _ d t ^ ^ d t
dx dx dx dx dx dx
Уравнение (2.19) можно обобщить на трехмерный случай:
— = a V 2/ + - ^ , dx pc
— = а div V |
t + ^ ~ . |
(2.21) |
dx |
pc |
|
В частности, в прямоугольной декартовой системе координат вхо дящие в уравнение (2.21) полная производная, операторы Лапласа V 2f и дивергенции div имеют вид:
|
dt |
dt |
dt |
|
|
dt |
|
dt |
|
|
|
— = ----- |
1- u------ |
|
1- v----- |
1- w— , |
|
||||
|
dx |
dx |
dx |
|
|
dy |
|
dz |
|
|
V 2/ = |
d 2t |
. d 2t |
. d 2t |
|
.. |
|
d |
d |
d |
|
■+ |
+ |
2 |
’ |
div = |
-----dx |
1------- |
1-----. |
|||
|
d x2 |
dy2 |
dz |
|
|
dy |
dz |
Приведем также выражение оператора Лапласа и дивергенции для цилиндрической системы координат:
d 2t . 1 д t _ 1 d 2t . |
d 2t |
||||
V 2/: |
+ - |
|
r 2 d <p2 |
|
d z 2 |
d r2 |
r d r |
|
|||
A- |
d |
l l |
d |
d |
|
div = |
—• -I---- I - - - ----- h |
d |
z |
||
|
dr |
r |
r d ф |
Отметим, что частным случаем уравнения переноса энергии (2 .2 1 ) для неподвижной среды (u=v=w=0 ) является уравнение тепло проводности,
— = a V 2t + ^ ~ , — = a d iv V t + ^ ~ |
(2.22) |
||
дх |
рс дт |
pc |
|
2.3.Дифференциальное уравнение движения
Вуравнение переноса энергии входят компоненты скоростей вяз кой среды. Следовательно, для нахождения поля температур необхо димо знать поле скоростей. Такое поле описывается уравнением дви
жения, являющимся частным случаем второго закона Ньютона. Мож но выделить следующие основные причины движения контрольного объема вязкой среды:
•сила тяжести;
•перепад давления в направлении движения;
•силы внутреннего (вязкого) трения.
Рассмотрим одномерное течение с изменением скорости в попереч ном направлении. Для выделенного на рис. 2.3 контрольного объема запи шем второй закон Ньютонана:
- d W = d /,+ d / 2 + d /3. |
(2.23) |
dx |
|
В правой части уравнения записаны соответственно равнодействую щие сил тяжести d/j, внешнего давления d/г и вязкого трения d/з. По скольку масса контрольного объема d/fl=P*4/> сила тяжести
d f ^ p g W - |
(2.24) |
Равнодействующая сил внешнего давления
« . - ( р . - Р , . * ) * * - |
P M ) |
где z - координата, перпендикулярная плоскости рисунка. Раскладывая давление в ряд Тейлора
dp dx Рх+ь — Рх + - ^ г ' 7 Г + -
и учитывая два члена разложения, получим
4/1 |
« —— дх dy dz — —— dV |
(2.26) |
|
J2 |
дх |
дх |
|
Знак минус свидетельствует о том, что сила действует в направле нии падения давления.
Силы вязкого трения возникают на боковых гранях выделенного элемента. Скорость движения среды у левой грани элемента по данной схеме меньше, чем в самом элементе. Поэтому сила вязкого трения тор мозит движение и направлена вверх. У правой грани поток ускоряет дви жение элемента, сила трения направлена вниз. Равнодействующую этих сил найдем по аналогии с равнодействующей сил давления:
, ч 9S
V ,= { S y+i y - S y ) d x 6 z = - ^ - & V
В соответствии с гипотезой Ньютона касательное напряжение Sy (Па) между слоями вязкой среды пропорционально градиенту скорости в поперечном направлении:
S У |
(2.27) |
где |т - коэффициент динамической вязкости,
N Па — м=>Па-с
м
он характеризует касательное напряжение при единичном градиенте скорости. На практике применяют также коэффициент кинематической вязкости
Ц |
П ас |
Н-с м з |
м2 |
— |
— 1— |
— ;------- г м |
=>■— > |
Р |
(кг/м3 |
м2 Н-с2 |
с |
размерность которого совпадает с размерностью коэффициента темпера туропроводности. Отметим, что вязкие среды, подчиняющиеся уравне нию (2.27), называются ньютоновскими. После подстановки (2.27) в (2.26) получаем
.. |
д [ ди dV |
(2.28) |
Вязкость в значительной степени зависит от температуры |i = поэтому раскрывая производную произведения в уравнении (2.28), имеем
3 ду КО |
ди |
|
дУ> |
' ду2 ду dt ду |
т.е. неоднородное температурное поле может быть одной из причин дви жения вязкой среды.
В частном случае постоянной вязкости сила вязкого трения прини мает вид
d/з |
dV |
(2.29) |
Подставляя найденные силы в исходное уравнение (2.23), получим
dи
(2.30)
dx
Поделив это уравнение на плотность р и раскрывая полную произ водную в его левой части, получим окончательное уравнение движения для выбранной одномерной схемы:
ди |
ди |
1 др |
д 2и |
дх |
дх |
р дх |
(2.31) |
ду2 |
Составляющие правой части уравнения (2.31) характеризуют соот ветственно силы тяжести, внешнего давления и вязкого трения, а левой части - инерционные силы. Физический смысл полученного уравнения
заключается в равновесии указанных сил для элементарного объема вяз
кой среды.
В трехмерном случае в левой части уравнения (2.31) появляются до полнительные конвективные члены, характеризующие пространствен ный перенос среды, а также добавки к силам трения, действующим по всем граням контрольного объема в форме параллелепипеда. В результа те уравнение движения в проекции на ось х принимает следующий вид:
|
— = & |
- I ^ |
+ W 2«, |
(2.32) |
|
|
dx |
р дх |
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
dи |
ди |
ди |
ди |
ди |
, |
— = ----1- и -----1- V------(- W |
|||||
dx |
дх |
дх |
ду |
dz |
|
|
|
д 2и |
д 2и |
|
|
|
|
ду2 + |
d z2 ' |
|
Аналогичный вид имеют проекции уравнения движения и на две другие оси у, z. Полученную систему трех уравнений движения, назы ваемых уравнениями Навье-Стокса, можно представить в векторной форме:
— |
= g - - V p + vS72W, |
(2.33) |
dx |
р |
|
где W (и, v, w) - вектор скорости; V /?- градиент давления.
2.4.Дифференциальное уравнение теплоотдачи
впограничном слое
Теплоотдачей называется теплообмен между твердой поверхностью и вязкой средой, обтекающей эту поверхность. Практика показывает, что плотность теплового потока при теплоотдаче прямо пропорциональна раз ности температур вязкой среды (/с) и поверхности твердого тела (*п), назы ваемой температурным напором. Примем для определенности tn>tc, тогда уравнение теплоотдачи (уравнение Ньютона) будет иметь вид
? = a ( ' " - ' c ) ’ |
(2-34) |
где a - коэффициент теплоотдачи (Вт/(м2 К), равный плотности теплового потока на твердой границе при единичном температурном напоре. Ко эффициент теплоотдачи может изменяться от нуля до бесконечности. Действительно, как следует из (2.34), при a=0 q=0 (адиабатная поверх ность), а при a —»оо q!a=0 и tn=tc(изотермическая поверхность). Решить уравнение (2.34) относительно неизвестного коэффициента теплоотдачи без привлечения дополнительной гипотезы не удается, так как не извест на плотность теплового потока у твердой границы.
Для |
формулировки |
|
|||
этой |
гипотезы |
рассмот- |
у |
||
рим |
понятие |
гидродина |
«с |
||
мического |
пограничного |
|
|||
слоя, введенное Л. Пран- |
|
||||
дтлем в 1904 году, на при |
|
||||
мере |
обтекания |
плоской |
|
||
поверхности потоком вяз |
|
||||
кой |
среды, движущейся |
|
|||
с постоянной |
скоростью |
|
|||
ис параллельно |
этой по |
Рис. 2.4. Схема к понятию динамического |
|||
верхности (рис. 2.4). Час |
пограничного слоя |
||||
тицы |
среды |
у |
твердой |
|
поверхности тормозятся, что является причиной искажения профиля скоро сти. Это искажение можно характеризовать градиентом ди/ду, который об ращается в нуль на некотором удалении от поверхности в невозмущенном потоке. Динамическим пограничным слоем называется слой заторможенной вязкой среды толщиной 8Ду твердой поверхности, в пределах которого
д и /д у^0 .
Аналогично понятию динамического пограничного слоя Г. Кружилин в в 1936 году ввел понятие температурного пограничного слоя (рис. 2.5). При движении у твердой поверхности частицы вязкой среды, имеющие температуру tc, при торможении у поверхности нагреваются до температу ры этой поверхности t„. Температурным пограничным слоем называется слой вязкой среды толщиной 8 гУ твердой поверхности, в пределах которого d t/d y ^0 .
У |
На |
практике |
толщины |
||||
пограничных |
слоев |
опреде |
|||||
|
|||||||
|
ляют как расстояния от твер |
||||||
|
дой стенки до поверхностей, |
||||||
|
на которых скорость и темпе |
||||||
|
ратура составляют 99 % от их |
||||||
|
значений |
в |
невозмущенной |
||||
|
среде (ис, О- |
|
|
|
|||
|
Суть гипотезы погранич |
||||||
Рис. 2.5. Схема к понятию температурного |
ных слоев состоит в том, |
||||||
что |
сила |
вязкого |
трения |
||||
пограничного слоя |
S у = |
\л{ди!ду) |
проявляется |
||||
|
|||||||
|
в пределах |
|
динамического |
пограничного слоя, а процесс теплоотдачи осуществляется в пределах температурного пограничного слоя и подчиняется закону теплопроводности Фурье q = —Х(ди/ду).
Подставляя эту плотность теплового потока из закона Фурье в урав нение теплоотдачи (2.34), получаем уравнение теплоотдачи в погранич-
ном слое |
|
а |
(2.35) |
коэффициент теплопроводности X в котором относится к вязкой среде в пограничном слое.
2.5. Условия однозначности
Система дифференциальных уравнений конвективного теплообмена описывает бесконечное множество процессов. Чтобы выделить конкрет ный процесс и определить его единственное решение, систему диффе ренциальных уравнений нужно замкнуть условиями однозначности, дающими математическое описание всех частных особенностей рас сматриваемого явления.
Различают следующие виды условий однозначности.
1. Геометрические условия, характеризующие форму и размеры тел или системы, в которой протекает процесс.
На свободной поверхности жидкости, не контактирующей с твер дой поверхностью, действует элементарная сила поверхностного натя жения
dF = а • дх, |
(2.39) |
где а - коэффициент поверхностного натяжения жидкости, (Н/м). При постоянном коэффициенте поверхностного натяжения эта сила не явля ется причиной движения жидкости, она лишь вызывает дополнительное давление, изменяя уровень жидкости в каналах малого диаметра (капил лярах), либо стремится придать конечному объему жидкости форму с наименьшей поверхностью. Например, в условиях невесомости жид кость принимает форму шара. Однако при переменном коэффициенте поверхностного натяжения силы поверхностного натяжения не скомпен сированы, появляется причина движения, и граничные условия на сво бодной поверхности в этом случае принимают вид
ди |
_ д о |
(2.40) |
|
|
%, =0 дх
Коэффициент поверхностного натяжения зависит от температуры
а ({) = ° о - ^ ( * - ( ° ) = а 0 + Y(*- 'о )> |
(2-41) |
где у - температурный коэффициент поверхностного натяжения, (Н/(м-К)), у = —ди/ду, отрицательное значение этого коэффициента от ражает тот факт, что сила поверхностного натяжения уменьшается с увеличением температуры. С учетом линейной зависимости (2.41)
да _ |
da |
dt _ |
dt |
дх |
dt |
дх |
^ д х ’ |
и граничное условие (2.40) принимает вид
(2.42)
у=0
Явление движения жидкости, инициированное силами поверхностного натяжения при неоднородном распределении температуры, называют mер-