книги / Методы оценки трещиностойкости конструкционных материалов

где

2	_	Ji_	2 - 2 v .	iL	(1.30)
c i	—	Я	1 — 2v ’	A,	e

Уравнение (1.28) является однородным волновым уравнением со скоростью распространения волны с±1 показывающей, что часть перемещения, соответствующая функции фх, переносится со ско­ ростью с±. Из соотношений (1.26) следует, что в этом случае объем­

ное расширение 0 =	удовлетворяет	волновому	урав­
нению с той же скоростью. В сейсмологии эта		волна называется
первичной волной или волной	уплотнения — разрежения,		обус­

ловливающей изменение объема.

Уравнение (1.29) свидетельствует о том, что часть перемещения, соответствующая функции ф1? переносится с меньшей скоростью с2. В сейсмологии эта волна называется вторичной волной или вол­ ной сдвига, обусловливающей искажение элемента без изменения его объема.

Рассмотрим теперь случай осевой симметрии тела. В цилинд­ рических координатах г, a, z физические компоненты перемещения

можно

записать в виде

и --

(^f,

^сс» ^z)»

(1.31)

С учетом условия осевой симметрии напряженно-деформирован­

ного состояния

тела

уравнение

движения упругого

тела (1.24)

приведем к такой скалярной форме [130.]:

1 — V

д щ . Л- - дщ _

А,

д*иг

(1.32)

1 — 2v

дг

dz

2ц д р ’

1 — V

д щ

1 д (гсо2)

А,

д*иг

1 —

2v

dz

г

дг

2|х

dt2

’

где

1

д (ru r)

- +

d iiz

Щ

дит

диг

’1

-

г

дг

dz

dz

дг

Решение дифференциальных уравнений (1.32) представим так:

Ят

дфг

#

дг

dz

’

(1.33)

_

дфа

0 (гфа)

Uz ~

dz

дг

ГД0 Фгу

Фг — искомые

функции.

Подставляя выражения (1.33) в (1.32), получаем

^2Фг I

1

Зфа

|

д2Фа

\

32Ф2

I

1ч дг2

1 г

дг

1

dz*

)

а<2

J

- - э

д -

+4

афа

,

^фа

^2 \

02фа

1 _

дг*

дг

1

dz*

г2

dt*

д

Г 2 (

д2фа

_|

^Фг

I _£^Фг_\

д2фг

*[ ■

(1.34)

dz

[ 1

у

dr2

“Г г

dr

”Г dz2 j

дР

J 'Г

1

в -

Г-2 /

Д*Ч>1 |

1

аФг

,

____Фа N

д2фа

= 0.

Т "

"dT

[

2 ^

dr2 _Г

г

дт

_ r

dz2

г2 j

а<2

Отсюда непосредственно следует, что частные решения урав­ нений (1.32) можно получить на основе частных решений урав­ нений

	д2фа	+			+	дгфа	д2фа			0;
	«(■dr2		5^2	дт		dz2	d/2		=		(1.35)
с2 (	<э2ф2 1	1		,	^2Фг		Фа \ _	д2фа		= 0.
С2 (	dr2	г	dr	1		dz2	Г2г2 )		dt2

На основании соотношений (1.15) и (I.i напряжений, действующие в :ПЛОСКОСТЯХ Z = так:

1	гг	---	V		^2фг	|	02фа
2р	U Z ---		2v)	с\	di2	1	dz2
		а - -
		1 . т	_	д2ф2 .		1 ..	52Фа
		2р 1 rz		drdz		24	5/2

d2 (гф2)

+ -Г- drdz

(1.36)

дфг

dz2

Как в случае плоской деформации, так и при осевой симметрии напряженно-деформированного состояния бесконечного однород­ ного изотропного тела любое возмущение может быть представлено с помощью наложения первичных и вторичных волн. Однако если среда неоднородна или ограничена, возникают другие типы волн. Наиболее важными из них являются поверхностные волны, ко­ торые могут распространяться в окрестности границы упругого тела.

Г Л А В А

РАСТЯЖЕНИЕ

ЦИЛИНДРИЧЕСКОГО ОБРАЗЦА С ВНЕШНЕЙ КОЛЬЦЕВОЙ ТРЕЩИНОЙ

Стандартизация методов определения ха­ рактеристик К\с и бк трещиностойкости [9, 82, 118, 145] конструк­ ционных материалов требует подбора простых в эксперименталь­ ном осуществлении силовых схем разрушения образцов с трещина­ ми, для которых имеются соответствующие теоретические решения. Одна из таких силовых схем — растяжение цилиндрического об­ разца с внешней кольцевой трещиной. В отличие от схемы, когда применяют плоские образцы с трещинами, эта силовая схема реа­ лизует локальное состояние плоской деформации вдоль всего кон­ тура трещины, что соответствует расчетным моделям. Кроме того, описанная в гл. VI методика простого изготовления цилиндриче­ ских образцов с внешними кольцевыми трещинами также свиде­ тельствует в пользу выбора этих образцов в качестве базовых для определения характеристик К\с и 6К.

Настоящая глава посвящена решению задач о распростране­ нии трещин в хрупких и квазихрупких телах, в частности задач о предельном равновесии цилиндрического образца с внешней коль­ цевой трещиной. Для этого случая разработан теоретический под­ ход к определению предельно-равновесного состояния с учетом пластических деформаций в вершине трещины, а также получены уравнения для установления размеров трещины и образца, при которых выполняются условия автомодельности распростра­ нения трещины в процессе растяжения цилиндрического образца.

1. Обзор работ, посвященных решению упругой задачи

Образцы цилиндрической формы давно при­ меняли для определения прочностных свойств конструкцион­ ных материалов. Такие образцы часто ослабляли кольцевым надре­ зом с определенным радиусом закругления. Теоретические расчеты концентрации напряжений у вершины надреза в процессе растяже­ ния образца были проведены Нейбером [74] на основании предло­ женных им формул интерполяции. Если в установленных в [74]

формулах положить радиус закругления у вершины надреза равггым нулю (р = 0), то получим решение для упругого цилиндра с внешней кольцевой трещиной. Такой подход использовал Ирвин [194], который впервые нашел приближенное значение коэффи­ циента интенсивности напряжений для упругого цилиндра с внеш­ ней кольцевой трещиной с помощью экстраполяции соответствую­ щих формул концентрации напряжений около кольцевого надреза. В дальнейшем аналогичную идею при решении упомянутой задачи применяли и другие авторы [168, 225, 259], внося при этом допол­ нительные уточнения на основании приближенных анализов. Сравнение теоретических результатов [168, 194, 225, 259] и некото­ рых экспериментальных исследований [208] дано в работе [186]. Ее автор определил также коэффициент интенсивности напряжений в упругом цилиндре с внешней кольцевой трещиной, используя при этом только выражение для коэффициентов концентрации на­ пряжений в кольцевом надрезе [74] и не проводя дополнительной экстраполяции. Полученная им формула имеет следующий вид:

<и-‘ >

где Кг — коэффициент интенсивности напряжений; Grnet — растя­ гивающее напряжение в нетто-сечении; е = d/D\ d — диаметр перешейка трещины; D — диаметр цилиндра.

Выражение (II.1), как и интерполяционная формула Нейбера [74], дает наибольшую ошибку при е « 0,7. Аналогичный под­ ход был использован также в работе [155] при решении рассмат­ риваемой задачи с учетом возможной эксцентричности и эллиптич­ ности перешейка трещины. При этом установлена следующая при­ ближенная формула:

1	2 / я аЪ	^	L V	i ­+ g +• / 1 +0,5625? X
		cos у sin р		sin у cos р	(П.2)
		X (-	+	Р
Здесь Р — сила,		растягивающая		цилиндрический образец; г0,

у — полярные координаты точки пересечения оси стержня с плос­

костью	перешейка		трещины;			R — радиус		цилиндра;		£2 = ab X
X (а2 cos2 Р +		Ь2 sin2 P)““l/l;				ау	Ъ— полуоси		эллиптичности
перешейка трещины;				=	г0/й; х =			г,	р — полярные ко­
ординаты с		началом в			центре		эллипса;	g	= 0,199	X
X V i + х2.			когда		трещина		становится		концентрической
В	частности,
(а — Ъ= Q,		г0 =	0),	формула (II.2) совпадает с выражением
(II.1). Формулы (II. 1),				(II.2),		а также решения, полученные в ра­

ботах [168, 194, 225, 259], являются приближенными, и точность их строго математически не установлена.

В более точной постановке задача об упругом равновесии ци­ линдра с внешней кольцевой трещиной была рассмотрена в работе [264]. Решение задачи осуществлено численным путем только для отдельных значений е.

Аналитическое решение задачи теории хрупкого разрушения для упругого цилиндра с внешней кольцевой трещиной получено в [83] на основании решения задачи о вдавливании жесткого штам­ па в торец упругого цилиндра [8]. В результате для коэффициента интенсивности напряжений установлена следующая приближенная

формула;
■[1 — 0,339е3— ОДЗбе5+ 0 (е7)].	(Н.З)
d у nd

Достаточная точность полученного решения обеспечивается при

е< 0,7.

Вработе [187] рассмотрена задача о предельном равновесии растянутого цилиндра с кольцевой трещиной с учетом концепций 6к-модели [82]. С помощью метода конечных элементов найдено решение задачи для некоторых значений е = d/D.

Случай кручения и растяжения упругого цилиндра с внешней кольцевой трещиной исследован в [111], где решение задачи осу­ ществлено (по аналогии с подходом, который развивается в работе [8]) на основании метода парных рядов и представлено в виде асимптотических разложений по е. Задача исследована в точной

постановке, однако асимптотическое	разложение	решения	по е
не дает замкнутости в том смысле, что	погрешность	решения	при

8 -*■ 1 неограниченно возрастает.

В [2] задача о растяжении упруго-го цилиндра с внешней коль­ цевой трещиной исследована аналогично, как и в работах [8, 83], с помощью метода парных рядов. Установленное решение годится для всех значений в при 0 < е < 1. Кроме того, для указанной задачи рассмотрен случай развития малых пластических деформа­ ций в окрестности вершины трещины и установлена предельная нагрузка по 6к-критерию [82]. Результаты [2] положены в основу излагаемого в этой главе материала.

2. Предельно-равновесное состояние цилиндра с внешней кольцевой трещиной при условии автомодельности зоны предразрушения

1. Постановка задачи и метод ее решения.

Исследуем длинный упругий цилиндр диаметра D , который ослаб­ лен внешней кольцевой трещиной с внутренним контуром диамет­ ра d (рис. 5). Пусть такой цилиндр растягивается усилиями Р, направленными вдоль его оси и приложенными вдали от плоскости расположения трещины. Задача состоит в определении такого

27

Рис. 5. Силовая схе­ ма нагружения ци­ линдра с трещиной при осевом растяже­ нии.

минимального значения внешних усилий Р = = Р%, по достижении которого произойдет распространение трещины.

Введем систему цилиндрических коорди­ нат г, a, z таким образом, чтобы ось Oz была направлена вдоль оси цилиндра, а начало ко­ ординат совпадало с центром перешейка тре­ щины. Решение задачи осуществляем на ос­ новании модели Гриффитса — Ирвина [193], используя критерий локального разрушения (1.1). При этом предполагается, что имеет место условие автомодельности зоны предразрушения в окрестности контура трещины. Это значит, что размеры зоны предразрушения настолько малы по сравнению с размерами образца и трещины, что она соответствует случаю зоны предразрушения возле вер­ шины полубесконечной трещины в неограни­ ченном теле при состоянии плоской де­ формации.

Расчетная схема Ирвина не дает математи­ ческого описания условия автомодельности зоны предразрушения, что осложняет выбор

размеров образцов и трещины при экспериментальном определе­ нии характеристики трещиностойкости материала К\с.

Как следует из гл. I данной монографии, решение задачи сво­ дится к установлению растягивающих напряжений ст2 (г, 0) в об­ ласти перешейка трещины. Используя условие симметричности напряженно-деформированного состояния в цилиндре относитель­ но плоскости трещины, задачу сведем к определению упругого равновесия для полубесконечного цилиндра со следующими гра­ ничными условиями:

и2 =	— X	при	2г <	d,		2 = 0;
о2 = 0		при	d<z2r<c.D,			2 =	0;
тГ2=	0	при	0 <	2г <	D,	2 =	(И.4)
							0;
ог =	тГ2= 0	при	2г =	D,		2 ;> 0,
при этом перемещения и		напряжения на бесконечности равны
нулю.
Величина X находится из условия равновесия
		d/2
	2л j о2(г, 0) rdr =				Р .		(И.5)

о

Поскольку для рассматриваемого тела радиальные смещения на боковой поверхности цилиндра пренебрежимо малы по сравне­ нию с осевыми смещениями, можно принять следующие граничные

условия на боковой поверхности:

иг = 0; Хгг = 0; 2г = D;

0.

(II.6)

Это допущение, очевидно, внесет незначительную погрешность при исследовании предельного равновесия цилиндра с кольцевой трещиной.

Вследствие равенства нулю касательных напряжений в плос­ кости z = 0 решение задачи можно представить через одну гармо­ ническую функцию X (г, z) (см. гл. I, соотношения (1.21), (1.22)), которую выберем в виде разложения

	1 (г- z) = 2(l — vf 2		i n ^ / o (Inг) е~1”г.	(И.7)
		71=1
Здесь	Вп'— неизвестные	коэффициенты; / 0 (£пг) — бесселева
функция	I рода.	(И .7) в	соотношения (1.21)	и (1.22),
Подставляя выражение

для определения перемещений и напряжений получаем такие фор­ мулы:

=	2l	l- l	v )-	2	Ы о (? » г ) е " 6** + 2 & lB nJ 0 ( U ) е ~ 1пг; |
				71=1	71=1
“ г =	- J	;4 -L	v)	2	5 « 7 i(in r ) е 4 »* -

----- 2 (Г-\Г	|	(£nr) e -^ ‘;	(II.8)
(z 2		М е-1"1+ 2 а д (5nr)	.
(	п=1	71=1	)
2	Е- а д	(^ r) e_EnZ-
71=1

Удовлетворяя первым двум граничным условиям (II.4) и используя формулы (II.8), приходим к парным рядовым уравне­

ниям			2Х
2	BnJQ(Япр) =			0	р <	е;
		-----,
71=1			и			(II.9)
2	BnJ0 (Хпр) = 0 ,		е <	р <	1.
71=1
Здесь					d
n _ J l . . .		D o .		®		(11. 10)
г	D ♦ 'Wi	2	о71»		Z? *

Удовлетворяя далее условию (11.6), получаем трансцендент­ ное уравнение

29

где Хп {п = 1, 2, ...) — положительные корни уравнения (11.11), расположенные в порядке возрастания величины.

2. Решение парных уравнений (II.9). Используя метод, пред­ ложенный в работе [247], парные уравнения (II.9) будем решать следующим образом. Сделаем такую замену:

во	8
	1 d Г*	/ф (t) dt	0 < р < е . (11.12)
2 BnJо (^пР) —	рГ"5р” J	У^2__р2 7
	р
Умножая обе части равенства		(11.12) на / 0 (А,пр), а затем ин­

тегрируя по р в пределах от нуля до единицы и учитывая при этом второе соотношение (II.9), получаем

		8
Вп =	-----	Г ф (t) cos (Knt) dt (лг = 1, 2, ...) .	(11.13)
	'о (К)	g

Подставляя выражение для Вп из (II. 13) в первое уравнение (II.9), для определения функции ф (£) находим интегральное урав­ нение

$ ф (*)	2 2	J0 (кпр) cos (knt)
		О < р < е. (11.14)
L	п=1	^71*^0 W

Выражение в квадратных скобках можно свести, используя при этом контурное интегрирование и разрывный интеграл Вебера — Шафхейтлина [15], к следующему виду:

2 -	/ 0 (^ р ) с о з ( М	= Я ( р - 0		(11.15)
&	Vo(^n)	V»
где		0,	р < * ;
	Н(р =			(11.16)
		1,	P > t ;
L (t, p) =	2 + ^ ^ - ^	r [2I1(!/) - y c h ( t y ) I 0(p!/)]d!/. (11.17)

о

Здесь 1п (у), Кп (у) — функции Бесселя от чисто мнимого аргу­ мента.

Учитывая выражения (11.15) — (11.17), уравнение (11.14) сво­ дим к такому виду:

Р	е
| - ^ Ш = ^ = = - 4	- + |ф(*) £ (*)Ри г , 0 < р < е . (11.18)
о	о

Для решения интегрального уравнения (11.18) используем приемы, развитые в работе [68]. В результате этого получим, что

_2	t	xf (х) dx
	d С
л	J	Vt2x2 ’
	0

/ (*) =	-----77- +	J ф (О L (t, х) dt.
Если в соотношении	(11.19)	О	значение	для / (х) и
		подставить
L (t, х), то
	г { - - т - + ( * т [ * + т ? - й ® - х
О		0	0
х (21х (у) — у ch (ty) / 0(ху)) dyj d£j dx.				(11.20)

В соотношении (11.20) вычислим интегралы по х. После инте­ грирования, заменяя справа под интегралом переменную t на х, получаем интегральное уравнение Фредгольма II рода следующего вида:

	(p (f) = - w		+ J	<p ( * ) * в * ) dx>	(IL 2 1 )
	где
	К {(*> *) = I T +	| ' yl\(y)	[2/i O') — у ch №0 ch (*»)] dy-
		6
	Используя соотношения (11.8) и (11.12), определяем нормальные
	растягивающие напряжения az (г, 0)			через неизвестную функцию
	Ф (<)
	(г>°) =	Z)3		(0 dt	( 11. 22)
		4г	И	]/ /2£2 _ ^2

2r/D

Для нахождения неизвестной функции ф (t), через которую выражаются сг2 (г, 0) и иг (г, 0), поступим следующим образом. Подставляя соотношение (11.22) в (II.5), находим

d/2 р			Г	^ ^______ 1гЛг-_Р
	______I				т . 2 3 )
2л |	1 — v 4г	dr		-lrdr = P.	(II.2
			J	V <2Z>2 - 4r2	V
6	U		2r/P	J

После вычисления интеграла по г соотношение (11.23) приве­ дем к такому виду:

Jl|lP2

(11.24)

Подставив из уравнения (11.21) значение ф (£) в уравнение (11.24) и вычислив необходимые интегралы, для определения ве­ личины X получим такую формулу:

* ( * ) = 4 - + - 4 - f		j h S r [2 /i {y) -						- г sh {ey) ch {xy) dy.
С учетом выражения (11.25) интегральное уравнение (11.21)
примет вид
ф (0		2Р (1 -			v)	®				(11.26)
	= ----- +		[ ф ( * ) ^ ,				x)dx.
Здесь
F (*• *) =	W	f	* * у11^){ХУ)				[sh (еу) — 8J/ Ch			d y'
	О
Для решения интегрального уравнения (11.26) удобно перейти
к безразмерным величинам, положив
			t =		eg;	х =	ет].			(11.27)
Тогда уравнение (11.26) примет вид
					1
	Ч>1 (0	=	1	+	J Ч>1 (л) Р (Е. л) * 1 .					(11.28)
					6
где
F (Б. л) = -fir J		Ki				[sh ^			~ вуch	dy’ (п,29)
	О
	Ф1 (0 =			-	ф № 2>			(f - v	) •	(I L 3 °)

Интегральное уравнение (11.28) решаем методом последователь­ ных приближений с точностью до малых величин 0 (е8). Для этого ядро F (g, г]), определяемое формулой (11.29), раскладываем в ряд по малым величинам eg и ет] и представляем его приближенной формулой

F (5. Л) = 2 -4',Cn) f + 0 (е8).	(11.31)
г = 0

Здесь коэффициенты Ai (ц) определяются так: