книги / Методы оценки трещиностойкости конструкционных материалов

Используя выражение (11.83), интегральное уравнение (11.80) преобразуем к виду

ф(0 =	------— л-^)СГо			[V е2 — с2 +			~	arcsin	----- -у- cj —
__ .	v) Р	I	(1	v) °0	/г2	-,2\		2<То(1	v) /т/Та *2_
ярсД*		i	^		Vе	— с ) ----------Hji------КУ 6
— У с2 — *2)			4 (1 — у) а0		1‘	Кг (у)	Г	elj (еу)	elj (су)	X
					J	Ii(v)	[	У	У

х р г 1ch до]^+4 -^ w	] i M	r х
О	О
X р sh (су) — у ch (<у)| ch (ху) dydx.		(11.84)
Сделав замену переменных		(11.85)
t = 4 ; х = crii

интегральное уравнение (11.84) запишем в безразмерной форме

	Ф (СЮ =				J ф (сг|) F (|, л) *1.				(Н.86)
где					о
с.	2(1 — у ) Р		( 1 - у ) р , ( < Р - < ф					2^ 1 -	у) ст0
1					2^ / )			Я|х£)
X (-4-V rd, - 4		+ - ^ - n r cs i n - | - - - ^ -----K d2- d ? i 2 +
_l_ /? 1/ГГГТг\		4 (1 — у) а0		Г	X, (v)	Г	eMei/)	с/х (су) 1
+ l V 1	* )		—	]	“ м Г	Г	^ --------- у		J
				О
									(И .87)

а ядро F (£, г]) определяется соотношением (11.29).

Уравнение (11.86) решаем методом последовательных прибли­ жений. За нулевое приближение примем

Ф(0) (eg) = (g). (Н.88)

Для вычисления нулевого приближения с заданной точностью разложим в (11.87) функции 1г (еу), 1Х (су), sh (су), ch (tcy) в ряды по аргументам с точностью до малых величин 0 (е8, с8). На основании этого, а также осуществляя необходимые преобра­ зования и вычисления, получаем следующую приближенную

формулу:

<р«(eg -

М + too^ ~ --(K < p -< if{! - <i,V l = ? ) -

-

(' l

Z —

{ B ‘ V

-

'■ )

( T

-

51)

+ В г

<‘ s -

«■) [ - Й - ( - Г

-

E j +

+

4 - (e> +

if) (4 - - !

’) ] +

Й [ т £ г

<** -

if) (4--

r) +

+ -£ -< *- «•)(-Г-

sj + W

<s*-''*>(4-■-p)l}+ 0<* ’’>•<

(11.89)

где

коэффициенты

B\

определяются

из

соотношений

(II.33),

а величина

d2a0

aresm J i ____ 2Р

\

d

di

J*

(11.90)

Подставив

в

(11.89)

значение В, из

(11.33),

после

несложных

вычислений получим

ф<°) (ci) = м +

-2-(^=д-)-°-

(Kd2- ^

- а, V i = f ) -

~

{1щ Т ° -

{ ( - f -

d>)(0’2656 -

° ’7968^

с3 -

с5 [(-а г -

dl) *

X (0,0200 — 0,1000|4) +

^

-

d.'j (0,0500 — 0,1500|2)] +

+ с7 [(■ § - -

d,) (0,0030 -

0,0207ge) +

^

-

d^ (0,0155 -

- 0,0777^) +

- di) (°.°129 -

0,0388g*)|J.

(11.91)

Интегральное уравнение (11.86) решаем с точностью до малых величин 0 (е8, с8). Для достижения такой точности необходимо вычислить первое приближение, так как члены второго прибли­ жения начинаются с малых величин порядка е8 и с8. Первое при­

ближение получим, подставив значение ср(0) (с£) из (11.91) в урав­ нение (11.86), т. е.

1
Ф(1) (с1) = Ф(0) (с1) + [ Ф(0) (СГ|) F (£, Т]) dr\.	(11.92)
о

Интеграл в соотношении (11.92) вычисляем следующим образом. Ядро F (|, т]) представляем рядом по формуле (11.34) и перемно­ жаем с соотношением (11.91). Почленное интегрирование полу-

ченного выражения приводит к равенству

1
J ф<°> (сто F (g, п) df] =				_ 2 ^ - ^ -		[с3 (0,1691 — 0,5073g2) +
+ с5 (0,0551 — 0,1274|2— 0,0637£4) + с7 (0,0282— 0,0396£2 -
— 0,0659g4 — 0,0132£6)] +							|с5(1 — 3£2)			х
X ^0,0212 - 0,0318 -|			-j + с7 (0,2000 — £4) ^0,0330 — 0,0495							+
+	с7 (1 — 3|2) ^0,0087 -				0,0060 ~	-	0,0087		—
-	2 2 - arcsin 2k -			с5- (i _	3|2) ^0,0425 — 0,0318				j +
+ с7 (0,2000 -		£4) ^0,0659 — 0,0495				j + с7 (1 -		3£2) Jo,0132 —
		d*	+ с3 ( - J - - dx) (0,2656 — 07968£2) -\-
— 0,0082 —j-
+ с5Jo,0867 ~			-	0,0700йг + 0,1500^2 + 0,1000^4 —
— 0,2000		12 — 0,1000 22_ |4) + с7 Jo,0444 22- _ 0,03Ш Х+
+ 0,0388^2 + 0,0777^4 + 0,0207^» -							0,0621 2k- g*_
	-0 ,1 0 3 6		- j - l * — 0,0207			g«JJ + 0 (c8).			(11.93)
Решение интегрального уравнения (11.86) с оговоренной точ­
ностью можно представить так:
		ф (ф = ф(1)(сН)+0(с8).							(11.94)
Подставляя		(11.91)	и (11.93) в соотношение (11.94), получаем
Ф(eg =	М —	2 (* ~	Р [с3(0,1691 — 0,5073£2) +					с5 (0,0551 -
— 0,1274£2 — 0,0637|4) + с7 (0,0282 — 0.0396?2 — 0,0659g4 —
—0,01326»)] +			{2 lSd2 — dff2 -			Z d ^ r ^		+ V dF^dl х

X j^c6 (1 — 3g2) ^0,0212 - 0,0318 -| -j+ c7 (0,2000 - £4) ^0,0330 —

- 0,0495	j +	с7 (1 -	3£2) ^0,0087 — 0,0060 4Л*- O’OOS?
— - J - arcsin A - jс5 (1 -			3£2) ^0,0425 — 0,0318			j +	c7 (0,2000
— £4) ^0,0659 — 0,0495			+ с7 (1 — 3g2) ^0,0132 — 0,0082 - A j +
d2	c5(1 -	3£2) ^0,0667— 0,0500 - A j +				c7(0,2000— |4) x
di
	X (0,1036 -		0,0777 d2	) +	с7 (1 -	3£2) x
		X (0,0207 — 0,0129		d4	+ 0 (c8).		(11.95)
				4

Соотношения (11.64), (11.66), (11.68), (11.85), (11.95) дают реше­ ние парных уравнений (11.62).

3. Определение нормальных напряжений, перемещений и пре­ дельного значения внешних нагрузок. Растягивающие напряже­ ния о 2 (г, 0), которые возникают в области перешейка трещины, аналогично предыдущему (см. параграф 2 настоящей главы) можно определить по формуле

аг (г, 0) =		- 4	--------		Ф (<) tdt	(11.96)
'		1 — V		pdp J	у 12 — Р2
Делая замену переменной			t =	e\,		(11.97)
соотношение (11.96) приводим к такому виду:
	Pdi		_ Л	1	(с|) <%
аг (г, 0) -■				г
	2 (1 — v)		rdr	»«■
		0 < 2г < d±.				(11.98)
После подстановки в		(11.98)		значения ср (с£) из		равенства

(11.95) и осуществления необходимых преобразований получим

а* (г, 0) =	------- 4	\Р (1 — 0,3382с3 — 0,1359с5 —
	яd iV d\ — 4r2 L
— 0,0904c7) + d2a0( -		0,7854	+	0,0667c5 +	0,0621c7) +
+ Q0d, V d 2 — d\(— 0,5000 +				0,0212c5 +	0,0220c7) +
+ Лт0 aFcsia - A	(0,5000 — 0,0424c5		— 0,0395c7) -----J - a 0 (0,0500c5+
					dj

4 - <r0 arcsin A - (0,0318c6 +		0,0198c7) —0,0129		a0c7 —
— 0,0082c7	cr0] /d 2 — d® +		0,0082c7 - J - a0 x
	X arcsin - y -	+	0 (1).	(11.99)

Равенство (11.99) и есть искомая величина нормальных напряже­ ний в перешейке трещины при 2г < dx.

Для нахождения области предразрушения в окрестности конту­ ра трещины поступим следующим образом. Выразим величины d±и с, входящие в выражение (11.99), через величину зоны предраз­ рушения х0 (см. рис. 7, а) и диаметры контуров трещины d и D:

d1 = d( 1 — а); с = е (1 — а); а = ^ ~ .

(11.100)

На основании соотношений (11.100), а также соответствующих преобразований и вычислений равенство (11.99) примет вид

nd(1 — а) у (1 — a)2 d2— 4г2 [Р (1 — 0,3382е3 —

— 0,1359еб — 0,0904е7) — 1,8007Р0 |/а + Ра (1,0146е3 +

+ 0,6795еб + 0,6331е7) + Р 0a V a (1,0504 — 0,2040еб —

— 0,2533е7) — Ра2(1,0146е3 + 1,3590еб + 1,8992е7) +

+ Р 0a2 V a (— 0,2137 + 0,8052еб + 1,4062е7) + Ра3(0,3382е3 +

+ 1,3590е5 + 3,1654е7) + Р0а3 V * (— 0,0282 — 1,2541е6 —

— 3,3681е7) + 0 (е8)],

(11. 101)

В соответствии со свойствами бк-модели (см. параграф 2 гл. I) линейный параметр х0, характеризующий величину области пред­ разрушения в плоскости расположения трещины, должен быть таким, чтобы значение нормальных напряжений аг (г,\0) было ко­ нечным в области перешейка трещины. Как следует из формулы (11.101), напряжения oz (г, 0) будут ограничены, если выражение в квадратных скобках этой формулы равно нулю. На основании этого для приближенного нахождения параметра 2х0 = da, опре­ деляющего зону предразрушения, получим уравнение

Р (1 _ 0,3382е3 — 0,1359е5 — 0,0904е7) — 1,8007Р0 V а +

+ Ра (1,0146е3 + 0,6795е6 + 0,6331е7) + Р0а / а (1,0504 —

+ Р0аг 1/а (— 0,2137 + 0,8052е5 + 1,4062е7) + + Ра3(0,3382е3 + 1,3590е5 + 3,1654е7) +

+ Р0а3 V а (— 0,0282 — 1,2541е — 3,3681е7) = 0. (11.102)

Так как величина а < 1, то уравнение (11.102) решаем методом последовательных приближений. Для этого соотношение (11.102)

представим в			виде	У а = <р (а),	(11.103)
где	ф (а) =		Ыг (0,5553 — 0,1878е3 — 0,0755е5 — 0,0502е7) +
+	N1а (0,5634е3 + 0,3774е5 + 0,3533е7) —				а2 (0,5634е3 +
	+	0,7547е5 +		1,0547е7) + ^ а 3 (0,1878е3 +	0,7547е5 +
	+	1,7579е7) +		а [/а (0,5833 — 0,1133е5 — 0,1409е7) +
		+	а21 /а (— 0,1187 + 0,4472е5 + 0,7809е7) +
+	а31 /а (— 0,0157 — 0,6965е5 — 1,8704е7),				= - £Г-0< 1 .
За нулевое приближение в данном случае принимаем величину
(У а )0=			Nj, (0,5553 — 0,1878е3 — 0,0755е6 — 0,0502е7). (11.104)

Тогда для определения первого приближения необходимо про­

делать следующую операцию:
		(^ a )i = 9 [0/a)o]-	(11.105)
Повторяя данный процесс три раза, получаем, что
У а =	Nt (0,5553 — 0,1878е3 — 0,0755е5 — 0,0502е7) + N\ (0,0999 +
+	0,0725е3 +	0,0563е5 — 0,0832ee + 0,0578е7) +	N\ (0,0476 +
+	0,0222е3 +	0Д032е5 + 0,0243ев — 0,0087е7) +	N\ (0,0295 +
+	0,0118е3 +	0,0014е5 — 0,0029е6 — 0,0006е7) +	0 (N\). (11.106)

Используя аналитическую зависимость (11.100) между величи­ нами а и х0, а также соотношение (11.106), получаем такую формулу для установления протяженности зоны предразрушения:

х0=	dN\ [0,1542 — 0,1043е3 — 0,0419е5 +			0,0176е6 — 0,0279е7 +
+	N\ (0,0555 +	0,0215е3 +	0,0238е8 — 0,0598е + 0,0271е7) +
+	N\ (0,0314 +	0,0106е3 +	0,0038е5 +	0,0037е* — 0,0014е7) +

+ N\ (0,0106 + О.ООЗЗе3 + 0,0008е5 — 0,0019ев) + 0 (Лф]. (11.107)

Нормальные перемещения иг (г, 0) точек поверхности трещины определяем аналогично, как и в предыдущем параграфе, по фор­

муле (11.37). При этом для вычисления величины и^ (г, 0) исполь­ зуем соотношения (11.61), (11.64), (11.66), (11.68). В результате ряда преобразований и вычислений найдем значение

		D *		Г	^		/o K " l “ ) cos(v)			I
								—		] «	-
п		\ „ п	е	Г			Jo <Ч«*) J0 (Лп			1	(11.108)
где 21< 2г <	2).
Функцию / 0 (Цпх) представим известным [15] интегральным раз­
ложением по	формуле
						^	пno (Vi	гЛ			(11.109)
								dt.
Учитывая соотношения (11.15) и (11.109), выражение (11.108)
можно записать в таком виде:
(г, 0) -		-§■ j	ф (0 [		■	D		- L (t.	- £ - ) ] d t -
(1 — v) a0D	( х Г ——-1-			■ [ —			- ■D	-----b ltx,			dtdx,
n\l	J	J	V i - t 2		[	У 4 г 2 - П		2хЧ2	\	D	j\
	c	0									(11.110)

где d±< 2dr < D.

Подставим значение и^ (г, 0) из равенства (11.110), а также определяемую формулой (11.83) величину X в соотношение (11.37). После осуществления необходимых преобразований и вычислений получим

(г. 0) - (У ^ = Щ + arcsinА - - -2 2 -) +

+	Ц -У )Р	| (1 -	v) a.D j	sh ш	[d t ы _ c h ш , iy +
^	2]xdi	i "	ЛЦС
	C	oo
	+ -JT ( Ф (*) J		fity)- ch (ХУ) [7« (РУ) —		- 7 f sh ^ )] dydx +

0 0

j	D	с	, ч	dx		(1 - V) a0D	e	1
		С						dtdx
				x2		яр	M VT=t2Y P2 — *2z2
					8	1 oo	c	0
			2(1„.r,D
					Н	К м п - ”* I ° w d»dtdx' <iwlI)
					c	0 0
где	p =	2r/D\		dx < 2r <	Z>.
	Вычислим нормальные перемещения точек внешнего контура
(2г = /))			трещины. Для этого в формуле (11.111) положим р = 1
и вычислим такие интегралы:

_

Лх =

	(1 — у) PQZ)	Г	К1	Г sh {су)
	П\1	С	*i(y(у)	f	[e/i (еу) — с /х (су)] —
		.)	Wi(l/)	\

е1

		-	-		dfctojjdy;		( Н. 112)
			с	0
		С	оо
Л2= X		f ф	f'ty) ch	[/. W ~~^~sb(С^1 dVdX' (п-113
		0	6
Л -	D	г ........	<**	(1 — у) СГ0О	г		dtdx
3	2 j Ф(		V I —	»Ч*	J	J /1 - <*/1 —г2х2
					с	0	(11.114)

На основании работы [24] внутренние интегралы в соотношении (11.112) будут иметь вид

8 1

f * \ - у = г dtdx = ~w[e/l to) - с/1(^)Ь (И-115

с0

Врезультате этого равенство (11.112) примет вид

Л1 =	(1 — у) ОдР	1 1 Ш [е11 № ) - clх (су)1 [ - ^ - /о (у)] dy.
	яр
		(11.116)

В соотношении (11.116) функции 1Х(гу),11 (су), sh (q/) и / 0 (г/) представим в виде рядов, а величины dx и с заменим их значениями через d и е по формулам (11.100). На основании этого, а также со­ отношений (II.33) и (11.43) интеграл Лх можно окончательно записать так:

Лх = (1 ~~2^ °°d [а (— 0,4436е + 0,0382е3 + 0,0234еБ+ 0,0539е7) +

+ а2 (0,2217е — 0,3123е3 — 0,1784е5 — 0,2870е7) + 0 (а3; 88)j.

Представим в соотношении (11.113) функции ch (ху), 10 (у), sh (су) в виде рядов и сделаем замену х = eg. В результате полу­ чим

Л, = А_ Г m(ct) у

у

f

Ki (у)

Ш 2п[

У*

(су )2ft

\dyd£.

п

J

v l & 2 l 2 l

}

Ii (

(2га)! I

22ft (И),

пО

пь

ЛУ)

(2л)I

2^ (kip

(2* + 1)!.

71=0

Яh=0 По

L

х'

'7

J

(11.118)

Используя соотношения (11.33) и (11.43), равенство

(11.118) при­

ведем к виду

Л2 =

.

1

-^ -{ф (е| ) [0,6989 — 0,4172с2 — 0,0314с1 — 0,0046св +

О

+

с%2(0,7524 — 0,3143с2 — 0,0976с4) +

с4£4 (0,6609 —

— 0,1627с2) + 0,5619с6£6 + 0 (с8)] d|.

(11.119)

На основании соотношений (11.95), (11.100) для вычисления ин­

теграла Л2 получим приближенную формулу

Л2 =

2(1~ v)

{— -J- [0,0708е — 0,0168е3 — 0,0004еБ—

— 0,0034ев + 0,0011е7 +

а (О.ОЗЗбе3 +

0,0016еБ+

0,0170е« —

— 0,0066е7) + а2 (— 0,0168е3 — 0,0024еБ— 0,0340ee +

0,0165e7)J +

+

[а (0,4449е — 0,0261е3 +

0,0377вБ+ 0,0391 е7) +

+

а2 (— 0,2225е +

0,3048е3 +

0,0458еБ— 0,0273е7) +

+ а У а (— 0,1917е3 — 0,1220еБ— 0,1094е7) +

а2 / а (0,0726е3 +

+ 0,0576еБ+

0,1124е7)] +

0 (а3;

е8) ] .

(11.120)

В соотношении

(11.114)

сделаем

замену

переменных х = eg

и подставим в него значение ф (с£) по формуле (11.95), используя зависимости (11.100). В результате этого, а также в результате соответствующих преобразований и вычислений для определения интеграла Л3 получим приближенную формулу

Л3 =	-2(1~ v)		|-----L [0,1592е + 0,0265е3 + 0,0119еБ— 0,0036е* +
+	0,0071е7 +		а (— 0,0530е3 - 0,0476еБ+ 0,0180е« — 0,0426е7) +
	+	а2 (0,0265е3 + 0,0714еБ— 0,0360ев +		0,1065е7)] +
	+		V a [а (— 0,2000е3 — 0,1801еБ-	0,1608е7) +
	+	а2(0,1900е3 + 0,3872е5 + 0,5387е7) ] + 0 ( а 3; е8), (11.121)

	В выражении
Л4	(1 — V) д„	( K ^ - ^ + -^ -a rcsm -^	nd* \	Р { 1 - У )
	4ц		2di )

(11 . 122)

заменим величину d± ее значением по формуле (11.100). В резуль­ тате получим

Л4 = ± = Z -

(1 +

а +

а?) + - й ! У а (0,9428а + 0,8014а2) +

+ 0(об»)].

(11.123)

Подставляя

значения

(11.117),

(11.119),

(11.121)

и (11.123)

в (11.111), при 2г = D находим

щ ( 4 - , ° ) =

" (1 ~^v)

{# ! [0,25 — 0,23е — 0,0096е3 — 0,0115е5 +

+

0,0070ев — 0,0082е7 +

а (0,25 + 0,0192е3 + 0,0460е6 -

0,0350s9 +

+ 0,0492е7) +

а2 (0,25 — 0,0096в3 — 0,0690е5 + 0,0700s9 —

— 0,1230s7)] + а (0,0004s +

0,0038s3 +

0,0194s8 + 0,0296s7) —

-

a V a (0,3001 +

0,1247s3 +

0,0962s5 +

0,0892s7) — a2 (0,0002e +

+ 0,0024s3 +

0,0422s5 +

0,1000s7) +

a2 / a (— 0,2551 +

+ 0,0836s3 + 0,1416s5 + 0,2073s7) +

0 (a3; s8) ) ,

(11.124)

На основании соотношений (11.107) и (II.100) равенство (11.124)

можно представить в виде

иг (-J -. о) =

— - Г2^

a°d- Ml [0,2500 — 0,2300s — 0,0096s3 —

- 0,0115s5 +

0,0070s9 — 0,0082s7 +

Nx(0,0001s + 0,0012s3 -

— 0,0001s1 +

0,0060s5 — 0,0008s9 +

0,0091s7) +

Nl (0,0257 —

— 0,0155s3 -

0,0024s5 — 0,0019s9 — 0,0001s7) +

N* (0,0002s3 —

— 0,0018s5 +

0,0005s9 — 0,0062s7) +

N\ (0,0104 — 0,0059s3 —

-

0,0028s5 +

0,0013s9 — 0,0035s7) + N\ (— 0,0017s5 + 0,0001s9—

— 0,0049s7) + Nl (0,0025 + 0,0020s3 +

0,0012s5 —

- 0,0293s9 +

0,0004s7) + 0 (N},

S8)].

(11.125)