книги / Механика трещин
..pdf
|
~ du |
àUg |
д |
~ |
Ôun |
dxxdx2 = |
|
S U0dx2 - |
a ■—— |
dT = |
i |
l ° mn A |
|
||
г |
dxi |
àxi |
àxm |
\ |
dxx |
|
|
|
dUn |
Q |
a2iin |
|
|
|
|
|
d2un |
dxtdx2 = 0. |
(4.2) |
||||
d{dun/dxm) |
— o„ |
àXjôxm |
|||||
dxmdxl |
|
|
|
Таким образом, поток энергии в край трещины, берега которой свободны от внешних напряжений, определяется формулой (4.1), если Г - произвольный контур, охватывающий край трещины. Его можно провести вдали от края, где деформации и повороты по предпо ложению малы настолько, что применение линейной теории упругости полностью оправдано. Тогда для расчета потока энергии можно исполь зовать решение задачи, полученное в рамках линейной теории упру гости. Этот вывод, с учетом критерия Гриффитса, оправдывает приме нение линейной теории упругости для определения критических нагрузок на упругое тело с трещинами.
Заметим, что для указанного способа определения потока энергии [формулой (4.1)] существование потенциальной энергии деформации не является необходимым. Действительно, первый член правой части формулы (4.1) соответствует конвективному потоку энергии - энер гии, переносимой вместе с частицами тела, пересекающими контур. Для расчета этого потока не имеет значения, представляет ли U0 потенциальную энергию или просто работу напряжений, действующих извне на поверхность данного элемента тела на фактически реализуе мом пути его деформации (отнесенную к объему элемента в исходном состоянии). Конечно, если часть энергии может переноситься другим путем, например вследствие теплопроводности, в выражении для потока энергии это следует учесть отдельно.
Что же касается тождества (4.2), то, хотя его левая часть отвечает стационарному смещению контура вместе с полем деформаций, оно не обязано выполняться, если работа деформации не потенциаль на. Для пояснения рассмотрим две материальные точки, одна из кото рых находится внутри контура Г до его смещения, другая - располо жена относительно смещенного контура точно так же, как и первая относительно несмещенного. Ввиду стационарности деформация во второй точке после смещения контура та же, что и в первой до его смещения. Однако если одна и та же деформация в этих двух точках достигнута различными путями, то работа деформации может иметь там различные значения. Следовательно, после смещения энергия тела внутри контура может измениться и суммарный поток энергии через контур оказаться отличным от нуля. Вместе с тем, если стационарное смещение происходит на достаточно большое расстояние (например, при росте трещины в полосе), так что стационарным оказывается не только поле деформаций, но и весь путь нагружения, то энергия деформации в рассматриваемых двух близких точках становится оди наковой и, следовательно, тождество (4.2) начинает выполняться.
Поскольку в общем случае деформации неидеально упругого тела
тождество (4.2) не имеет места, для определения потока энергии в край трещины можно пользоваться формулой (4.1) лишь при условии, что контур Г, охватывающий край трещины, стягивается к нему.
Перейдем к определению связи между формой раскрытия трещины у ее края и напряжениями на ее продолжении [92]. Рассматриваем обобщенную плоскую задачу. Полагаем материал идеально упругим, а трещину в некоторой окрестности ее края прямолинейной. Как и для линейно-упругого тела, рассматриваем два состояния: состояние А х с данной трещиной, прямолинейная окрестность края которой располо жена на оси х х при х х < /, х 2 = 0, и состояние А2 с трещиной большей длины (координаты края х х = / + б/, х 2 = 0).
Пусть. SC*!, / ) - „напряжение” (его проекции - компоненты о21, о22), действующее на отрезок I < х х <1 + 6Zв состоянии Ах со стороны верхней полуплоскости. Предположим, что состояние, когда к верхне му и нижнему берегам трещины (абсцисса края которой Xj = / + 6Z) на указанном отрезке приложены напряжения + ао(х15 /), 0 < а ^ 1, устойчиво. Тогда изменением параметра а от нуля до единицы можно осуществить квазистатический переход из состояния А2 в состояние Ах. Действительно, граничные условия при этом будут соответствовать состоянию Ах, а так как материал идеально упруг, процесс перехода к данным граничным условиям несуществен.
Работа данных напряжений ТЫ = &Uравна
1 1+61 |
|
|
|
|
ôî/= - 2 11 o(xv /) •а |
и |
/ + 6/, a) dxxda, |
(4.3) |
|
о |
I |
|
между перемещениями |
верхнего |
где 2и _ ( х 1, |
/ + 6/, а)-разность |
|||
и нижнего берегов трещины, нагруженных напряжениями |
+ ао(х 15 /) |
(абсцисса края трещины х х = / + б/).
Интегрируя в (4.3) по частям и учитывая, что указанная разность при а = 1 равна нулю {1<хх < /.+ 6/), получаем
/ + б/ 1 |
^ |
(4.4) |
|
617= 2 $ |
3 и _ (х1? / + 6/, a) da *о (хх, /) dx2. |
||
/ |
о |
|
|
Предположим, что при росте трещины из состояния Ах в состоя |
|||
ние i42 раскрытие ее изменяется непрерывно: |
|
||
н_ (х191+ 6/, а) ~ и {хх - |
6/, /, а) (6/ 0), |
|
где правая часть соответствует трещине с абсциссой края х х = / берега загружены напряжениями + а о ( х 1 + б/, /). Кроме особых случаев, когда действие внешних нагрузок взаимно компенсируется (при этом Ы1= 0), данное асимптотическое равенство всегда справедливо при продвижении трещины в однородной упругой среде вдоль той прямой, на которой расположена окрестность ее края в начальном состоянии.
Учитывая это, равенство (4.4) для 6/ -►0 можно переписать в виде
1+611
617= 2 |
$ |
$ |
(хх - 6/, /, a) da •o ^ , /) dxx . |
|
/ |
о |
|
Как следствие устойчивости состояний А х, А2 и всех промежуточ ных (0 < а < 1) имеем неравенства
1+Ы
° < Г= àU < lim |
2 |
Гu {Xi _ |
6/) . ЦХ ) dXj = |
Ы ôf—о |
о» |
J |
|
d |
|
|
(4.6) |
= 2 lim-----[ы_(- х) * 5(х)] |
|||
х-»о dx |
|
|
|
(“ -(*i) = u_(xt, I, 0), |
о(хх) = 5(х1, Q). |
Теперь можно сделать некоторые выводы о связи между формой раскрытия трещины у ее края и напряжениями на ее продолжении:
- раскрытие трещины 2и_(хх~ ÔZ) и напряжение d ixj |
не могут |
быть ортогональными; |
|
- если перемещения берегов трещины непрерывны : |
|
lim u_(x1) = 0, |
(4.7) |
то напряжение, действующее на продолжение берега, не ограничено. Действительно, в противном случае интеграл в правой части соотно шения (4.6) был бы порядка о(6/), что исключается данным соотношением.
С л е д с т в и е . Если напряжение, действующее на продолжение бе рега трещины, ограничено, то раскрытие трещины при приближении к ее краю не стремится к нулю - равенство (4.7) не выполняется. Если при этом раскрытие трещины стремится к пределу, то можно говорить о величине раскрытия трещины на ее конце. В этом случае трещина нормального разрыва заканчивается тупиком. В дальнейшем будет видно, что подобная ситуация возникает в упругопластическом теле.
Далее, пусть (0 < т < 1)
о ~ N(xt - 1)~т |
(JV= const, |
Xj -*■ / + 0), |
(4.8) |
тогда |
|
|
|
и_ ~ M { l - x j)m |
{M= const, |
x x -- / - 0), |
(4.9) |
причем М •N> 0.
Последние соотношения вытекают из положительности и ограни ченности производной dU/dl. Здесь поток энергии в край трещины при ее квазистатическом продвижении, как следует из равенств (4.6),
(4.8), (4.9), |
|
|
dU |
1 - X |
(4.10) |
Т=-----< M - N |
m dx = 2лmM •N/sin лт. |
|
а/ |
х |
|
о
В случае линейной теории упругости при переходе от равенства (4.5) к неравенствам (4.6) в правой части появляется множитель 1/2, а вместо правого неравенства появляется знак равенства. То же отно сится и к формуле (4.10), которая при этом (т = 1/2) совпадает с приве денной ранее [см. формулы (1.3.4), (2.2.15), (2.2.16), (2.2.25)].
Заметим, что если напряжение, действующее на продолжение бере га трещины, ограничено и трещина заканчивается тупиком, то требо вание непрерывности перемещения берега не выполняется. При этом, однако, выполняется условие ограниченности потока энергии (см. § 2.2), которое, таким образом, оказывается более общим.
ГЛАВА 4
УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОЕ ТЕЛО
Вэтой главе рассматриваются типичные квазистатические задачи
отрещинах в упругопластическом теле. Исследуются два варианта: нагружение тела с фиксированной (неподвижной) трещиной и рост трещины при фиксированном нагружении тела (стационарная задача).
Задачам, связанным с фиксированными трещинами, посвящена обшир ная литература (см. [77]). Первой работой, относящейся к растущей трещине, была статья [139], где рассматривалось движущееся упруго пластическое поле при антиплоской деформации тела (см. также [48]). Решение задачи, однако, не было завершено, так как не учитывалось наличие области разгрузки. Более полное решение соответствующей стационарной задачи для упругопластического материала без упрочне ния приведено в статье [128]. Та же задача для упрочняющегося, а также идеально упругопластического тела рассматривалась в работах [79, 95], аналогичные плоские задачи (для материала без упрочне ния) - в статье [97].
Основной вывод формулируется на основе сравнения результатов, отвечающих фиксированной и растущей трещинам. Показано, что для фиксированной трещины пластичность понижает (ограничивает) напря жения, но увеличивает концентрацию деформаций. В этом смысле состояние у края трещины соответствует нелинейно-упругому телу.
В случае растущей трещины влияние пластичности иное: |
наряду |
с уменьшением (ограничением) напряжений уменьшается и |
концен |
трация деформаций. В результате при росте трещины энергия непосред ственно в ее край не стекает, что исключает применение критерия Гриффитса. Здесь может использоваться деформационный критерий. На его основе с учетом различий в упомянутых решениях можно описать устойчивый рост трещины при монотонной и циклической нагрузках.
Первые четыре параграфа главы носят вспомогательный характер. В них представлены общие сведения об используемых моделях
упругопластического тела, приводятся зависимости для фиксирован ных и движущихся полей напряжений и деформаций в областях пла стического течения и разгрузки применительно к особой точке поля линий скольжения. В последующем эти зависимости используются при решении конкретных задач о трещинах.
§4.1. Некоторые сведения из теории пластичности
Рассмотрим теорию пластичности, основанную на условии Треска- Сен-Венана и ассоциированном законе пластического течения [28]. Условие Треска-Сен-Венана фиксирует значение максимальных (по модулю) касательных напряжений. Область, где это значение достигается, назовем областью пластичности. Упругой областью назо вем ту, в которой условие пластичности не выполняется в данный момент и не выполнялось ранее. Итак, в упругой области
т2 < к2, |
(1.1) |
|
а в области пластичности неравенство (1.1) переходит в равенство |
|
|
т2 = к2. |
(1.2) |
|
Здесь т - |
максимальное касательноенапряжение(максимальное |
отно |
сительно |
ориентации площадки, в которой действует напряжение); |
к > О- предел текучести при сдвиге.
Если образец с боковой поверхностью, свободной от внешних напряжений, растягивается напряжениями о, то максимальное каса тельное напряжение в нем т = о/2. Отсюда следует, что к = от/2, где 0Т - предел текучести (при одноосном растяжении).
Пусть о19 о2, о3 - главные напряжения, т. е. нормальные напряже ния, действующие в трех взаимно перпендикулярных направлениях (главных направлениях тензора напряжений), где касательные напря жения отсутствуют. Тогда максимальное по модулю касательное напряжение совпадает с одним из следующих значений:
Равенство (1.2) может достигаться лишь для одного из выписанных максимальных значений касательных напряжений, если ни одно из них не равно нулю, или для двух, если какие-либо два из главных напряжений равны друг другу. Значения главных напряжений ош(ш = 1, 2,3) определяются как корни уравнения
det [оКп- от бкп] = 0. |
(1*4) |
Предполагается, что деформации упругопластического тела склады ваются из упругих и пластических ешп = е^п + е^п, причем упругие деформации связаны с напряжениями законом Гука
1 |
3v |
Gтп |
(1.5) |
|
1 + V |
а пластические - подчиняются ассоциированному закону пластиче ского течения
& |
dtPmn |
д |
àxl |
р —1, |
2, 3; |
|
-------- = Л0 --------- , |
|
|||||
°тп |
àt |
Р |
дотп |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Лр^О (Tр = к2), |
Лр = О (Tp<fc2), |
àomn/dors = 6mr6ns. |
(1.6) |
|||
Здесь f - время; Лр - |
коэффициенты пропорциональности (зависящие |
от координат и времени t). Индекс р принимает значения 1, 2, 3, однако суммирование в правой части равенства (1.6) распространяется лишь на те значения р, при которых тр = fc2, т. е. в правой части содержится не более двух членов.
Существенно, что уравнениям совместности (вытекающим из усло вия, что деформации возникают вследствие некоторых перемещений)
“ |
+ - |
4,4, |
= 2 ------- — ; |
|
|
àx\ |
|
dxf |
dxtdx2 |
(1.7) |
|
д Ч „ |
_ |
д |
|
|
|
1 ^ е 12 ! |
^е31 |
^е23 |
|||
дх2дх3 |
дхх |
\ х 3 |
дх2 |
дхх |
и еще четырем аналогичным уравнениям, получающимся из выписан ных циклической перестановкой индексов, удовлетворяют лишь сум марные деформации. Что же касается отдельно упругих и пластиче ских деформаций, то они могут и не удовлетворять указанным урав нениям. Таким образом, перемещения ит вообще говоря, нельзя представить суммой упругих и пластических перемещений, как это было сделано выше в отношении деформаций.
Коэффициенты Лр произвольны в той степени, в которой это допу скается уравнениями совместности полных деформаций и другими условиями конкретной задачи, в частности условиями сопряжения пластической и упругой областей.
Соотношение (1.6) эквивалентно утверждению, что пластические деформации возникают вследствие сдвига (скольжения) на тех поверх ностях, где касательные напряжения по модулю достигают предельного значения, причем скольжение происходит в направлении действия ка сательных напряжений, так что они совершают положительную работу.
Пусть в данной точке тела при t= tx = fc2, при t > tx Тщ< к2. Тогда будем говорить, что при t > tх происходит разгрузка (соответ ствующую область называют областью разгрузки). Полагаем, что при
разгрузке |
накопленные |
пластические деформации сохраняются, |
а упругие - |
по-прежнему подчиняются закону Гука. Если при этом |
|
ни одно из |
экстремальных |
значений касательных напряжений (1.3) |
не достигает по модулю предела текучести на сдвиг (т2 < fc2), то связь между напряжениями и полными деформациями, отсчитываемыми от тех их значений о^п, е^п, которые были достигнуты к началу разгрузки, имеет вид
2pv
|
, + 2ц(етп - е° „) + — - (е - е°) 6И |
|
|
|
1 - 2v |
(1.8) |
|
е = ег |
.0 |
||
|
|||
jmm« |
|
Возможно, конечно, что при t> t1 т2 < fc2, \\ = fc2. Во всех таких случаях по-прежнему справедливы зависимости (1.5), (1.6).
Другой из наиболее популярных вариантов теории пластичности, основанный на условии Мизеса - условии постоянства интенсивности касательных напряжений, здесь не используется.
Применительно к антиплоской деформации (в этом частном слу чае указанные теории пластичности совпадают) в дальнейшем будет исследовано состояние у края трещины, растущей в упрочняющемся материале. Примем, что при нагружении, т. е. при увеличении макси мального сдвига у = у с з1 + £ 22, а также когда в процессе деформации у = const, существует однозначная зависимость
т = V 0§i + 032 = Ф). Ф ) = 2ц? (х < т0),
причем направления максимальных касательного напряжения и сдви га совпадают. Тогда
° 3 1 = e 3 i T(v)/V> |
° 3 2 = е 3 з Ф ) /Т - |
Полагаем по-прежнему, что при разгрузке (у < 7 °, у0-м акси мальное значение у, достигнутое ранее) материал следует закону Гука (1.8), а предел текучести (предел пропорциональности) отвечает достиг нутому уровню напряжений или, если он не был превзойден, первона чальному пределу текучести т0:
TS= T° = V (O°1)2 + (O«2)2 (х° > т0), т5= т0 (т° < т0), |
(1.10) |
где т°, о°1? о°2 -значения соответствующих величин, достигнутые к началу разгрузки.
В случае линейного упрочнения |
|
||
( 2HV |
|
|
(V < Уо “ т0/(2й)), |
T(v) = j |
|
|
(1.П) |
L 2\11{ у - у 0) + т0 |
|
(у > у 0У> |
|
О < < й |
|
|
|
и,следовательно, |
|
|
|
^31 = |
^ 3 2 = |
4 )^ 3 2 |
|
й —Wi |
Yo |
У >У о)- |
|
Q |
j |
||
Hi |
У |
|
|
Если область пластичности граничит с упругой областью, то возни кает вопрос об условиях на этой границе. В соответствии с третьим законом Ньютона вектор напряжения, действующий на границу, непре рывен. Пусть в рассматриваемом процессе граница пластической области движется - это происходит, например, при нагружении тела с фиксированной трещиной, когда пластические области расширяются, или при росте трещины, сопровождающемся движением пластической области. Тогда непрерывно перемещение на границе, а следовательно, непрерывны и деформации, определяющие удлинения и сдвиг в гра ничной поверхности. Что касается других компонент тензора напряже ний, от которых не зависит упомянутый вектор, и компонент тензора деформаций, не связанных с указанной деформацией граничной поверхности, то они, вообще говоря, не обязаны быть непрерывными. В дальнейшем, однако, будем полагать, что (если это не противоречит конкретным условиям задачи) все компоненты напряжений и дефор маций на границе между упругой и пластической областями непрерывны.
§ 4.2. Поля напряжений при пластическом течении
Рассмотрим вначале антиплоскую деформацию. Условие пластич ности (1.2) принимает вид
* 2 = °?з + °!з = fc2- |
(2.1) |
|||
Положим, удовлетворяя этому условию, |
|
|||
o 13 = -ksin<p, |
o23 = kcoscp. |
(2.2) |
||
Обращаясь к уравнению равновесия |
|
|||
до 13 |
до 23 |
= 0, |
(2.3) |
|
dxt |
дх2 |
|||
|
|
приходим к уравнению относительно функции <рв (2.2)
д(р |
дер |
(2.4) |
-------cos Ф+ |
--------sin ф = 0. |
|
дхх |
дх2 |
|
Левую часть последнего равенства можно рассматривать как производную dq/dl вдоль некоторой кривой, длина дуги которой обозначена через I и на которой в силу того же равенства ф = const. На этой кривой cos ф = dxjdl, sin Ф = dxjdlvi, следовательно,
dx2/dx1= tg Ф= const. |
(2.5) |
Отсюда видно, что линии уровня |
ф = const прямые и совпадают |
с линиями максимальных касательных напряжений (они называются линиями скольжения). Действительно, касательные напряжения в пло
щадках, |
повернутых относительно оси х г на угол 0, |
OQz= o23cos 0 - |
|
- o 13sin |
0 = fccos(<p- 0) достигают максимума (по модулю) |
при 0 = ф, |
|
0=Ф+л. На этих направлениях tg 0 = dx2/dx1= tg Ф, |
что |
совпадает |
|
с равенством (2.5). |
|
|
Итак, линии скольжения прямые. В обычных точках, где напряже ния непрерывны, линии скольжения не пересекаются. Эти прямые, дополненные ортогональными им (в точках пересечения) кривыми, можно рассматривать как координатную сетку. Обозначим радиус кривизны указанных кривых через R, а угол наклона прямых (линий скольжения) через 0. Уравнение (2.4) в новых переменных будет иметь вид
0 ф |
0 ф з т ( ф - 0 ) |
(2.6) |
|
— cos (ф - |
0) + —— |
-------------- -- 0, |
|
dR |
d0 |
R |
|
где д/dR - производная вдоль линии скольжения (0 = const); {l/R)d/dQ - производная по дуге координатной кривой, на которой R = R(Q). Радиус кривизны определяется равенством l/R = dQ/ds, где s - длина дуги кривой, а положительные направления назначаются так, чтобы элементы dR, ds образовали правую систему.
Поскольку 0 = ф(0 = ф + л), из уравнения (2.6) видно, что |
при R Ф0 |
|
производная dy/dR = 0 (как это и было установлено ранее), |
а зависи |
|
мость Я(0) произвольна. В частности, если R = « , |
линии скольжения |
|
параллельны, что соответствует равномерному полю напряжений |
||
Ф = const; о 13 = - fcsin ф; о23 = fccos ф, |
|
(2.7) |
а если на координатной кривой R = const = 0(1), то Я -г , 0 образуют полярные координаты и мы имеем так называемое центрированное поле линий скольжения (линии скольжения, пересекаясь в одной точке - в полюсе, образуют „веер” )-
O23 = ± fcc°s0; |
o rz= 0; |
(2.8) |
o 0z= ± fc |
||
В общем случае центр кривизны может описывать некоторую |
||
кривую - эволюту, |
которой |
касаются линии скольжения (рис. 4.1). |
Угловые точки эволюты - полюса центрированных полей. Равномерно му полю соответствует бесконечно удаленный полюс. Заметим, что эволюта (или отдельные полюса), где R= 0, может лежать вне той области, в которой напряженное состояние определяется соответ ствующими линиями скольжения, или на ее границе.
В случае центрированного поля предел для напряжений при приб лижении к полюсу зависит от направления (от того, по какой линии скольжения приближаться к полюсу) и, следовательно, полюс - особая точка поля напряжений.
Перейдем к плоской задаче. Здесь о 13 = о 23 = о 31 = о 32 = 0, и уравнение (1.4) принимает вид
(°зз- °m)[(°n- °m)(022- О щ ) - О 1 2 О 2 1 ] = 0 .
Отсюда и из равенств (1.3) следует, что главные напряжения от и экстремальные касательные напряжения ттопределяются так:
0 1 ~ ® зз> |
^2,3 |
J (^ 1 1^ ^ 2 2 "*” V (® ц |
®2г) + 40J 202I ], |
||
Т 1 = у |
У ( |
0 ц - |
0 2 2 )2 + 4 ° 1 2 ° 2 1 |
; |
(2.9) |
т2р = - |
1 |
|
|
о 2а)]. |
|
— [2Tt +(2о33- о п - |
|
Пусть т\ = к2. В отличие от антиплоской задачи здесь через каждую