книги / Механика трещин

часто оказывается неудобным: оно требует определения перемещений везде, где приложены внешние силы. Кроме того, если тело полага­ ется бесконечным и деформируемым внешними силами, приложенны­ ми на бесконечности, вариация перемещений там, где ее нужно опре­ делить, оказывается равной нулю, даже если вариация работы внеш­ них сил отлична от нуля, а сама эта работа и потенциальная энергия деформации бесконечны.

Задачу можно существенно упростить, если учесть, что количество выделяющейся энергии зависит от вариации перемещений лишь в той области, где происходит разрушение (это следует из того, что при лю­ бой вариации перемещений, не нарушающей сплошности тела, àA = 0). Поэтому существуют и „локальные” способы определения искомой величины, основанные на учете напряжений и перемещений в месте возможного разрушения. Один из таких способов был использован в§ 1.2, где отмечалось, что в линейной задаче об отслоении балки высвобождающаяся энергия - àA= U0àl, где U0 - энергия деформации балки, приходящаяся на единицу ее длины у края трещины. Рас­ смотрим некоторые другие способы.

Внешние силы, действующие на линейно-упругое тело с трещиной, обычно „переносят” на ее берега, т. е. рассматривают второе состояние (см. § 2.2), вычитая из напряжений и перемещений их значения, соот­ ветствующие первому состоянию - тем же условиям, но для тела без трещины. Покажем, что указанная замена не влияет на вычисляемую величину потока энергии.

Рассмотрим обобщенную плоскую задачу. Пусть тело занимает область Й, F - внешние силы, приложенные вне трещины (силы, сосре­ доточенные на поверхностях, линиях или точках, выражаются с помо­ щью обобщенных функций), L - длина трещины. Энергия, высвобож­ дающаяся при вариации (увеличении) длины трещины за счет движе­ ния одного ее края,

(3.1)

Й

В линейном случае работа внешних сил

Q

и, как уже отмечалось в § 1.1, из (3.1) следует

1	Г	ди	(3.2)
r . ^	F	- r f Q .

Q

Напомним, что при вариации L внешние силы полагаются неизменными. Представим перемещение суммой и = и1 +и2, где индексы отвечают

указанным выше состояниям. Внешние силы второго состояния - нап­ ряжения о, действующие на берега трещины, равные (с обратным знаком) напряжениям первого состояния, действующим на линию тре­ щины (здесь мы рассматриваем их как сосредоточенные на поверхно­ сти объемные силы). Имеем

1 Г	/дм,	ди2\
Т =— W F- о + о)- — + —
2 J	\dL	dLj

Но duJdL = 0, а по теореме взаимности (Бетти)

$(F- о) • ôuJàldQ = $о • duJdLdQ = 0. Поэтому

Я		я
Г = — ( о - — dfi.		(3.3)
2 J	dL

Q

Итак, формулы (3.2) и (3.3) эквивалентны.

Рассмотрим теперь локальный способ вычисления потока энергии. Пусть трещина у своего края (х = 0) касается оси х . Напряжения на продолжении трещины (х > 0) Оу, действующие со стороны у > 0 на сто­ рону у < 0, обозначим как о+(Т, х). Снимем (квазистатически) эти напряжения на бесконечно малом отрезке бL. Это эквивалентно продвижению трещины на тот же отрезок. Предположим, что раскры­ тие трещины - разность перемещений верхнего и нижнего ее берегов ив - ин = 2u_(L, х) - непрерывно по I:

u_(L + Ы, х + ÔL) ^ uJL, х) (бL -►0).

Тогда в силу линейности задачи выделится энергия (с точностью до ма­ лых высшего порядка)

ÔL

ТЫ = y j a+(L, X) •[2u_(L, х - àtydx.

0

Учитывая, что о+(*) = 0 при х < 0, а и_(х) = 0 при х >0, получаем отсюда (указание на длину трещины опускаем)

Т= П т-----	о+(х) •и ( х -	бL)dx= Пт —	(о +(х) * и ( - х)].	(3.4)
ÔL-о ÔL	“	X-+Q dx	~

Эта формула применима во всех случаях, когда задача линейна1 [104]. Например, в задаче об отщеплении лучины (см. § 1.2)

В § 5.2 показано, что она справедлива и для динамики.

I I

х 2

х 3\

о+ =М"{х) =Р0Ь{х) +М0б'(х),

Я о .М * и_(—*) - - р ; J - +MJ Y (Р0 - Р(- 0), М , - М (- 0)),

т2El = t/«

Предел (3.4) удобно представить еще и в другом виде [104]. Прове­ дем преобразование Фурье над сверткой (3.4). Учитывая, что ее носи­ тель - правая полуось х, для вычисления предела производной можно воспользоваться известной теоремой (обычно формулируемой для преобразования Лапласа). Итак, если предел (3.4) существует, то он равен

T = lim р2о / (ip) •t f ( -		ip)
Р~*ОО	—
ifFiq) = Jf{x)ei(Jxdx).		(3.5)
-О О

Еще один способ, который мы здесь рассмотрим, состоит в непо­ средственном определении потока энергии через контур, окружающий край движущейся трещины. Вновь рассмотрим плоскую задачу. Про­ ведем контур Г, охватывающий край трещины (сплошная кривая на рис. 1.5). Пусть край трещины и контур движутся вправо со скоро­ стью и относительно среды. Скорость полагаем настолько малой, что динамическими эффектами можно пренебречь. Поток энергии в область Q, ограниченную контуром Г, через этот контур

Г	ди	(3.6)
N=\U0udy+0- — dr,

Г

где первый член под интегралом определяет конвективный поток энергии (U0 - плотность потенциальной энергии деформации), вто­ рой - работу (мощность) напряжений о, внешних по отношению к Q. В общем случае, стягивая контур к краю трещины, найдем в пределе энергию, стекающую в ее край при ее единичном продвижении: T= N/и.

Предполагая непрерывность раскрытия трещины в указанном выше смысле, представим перемещение в виде

um= Am(t, х, у)и0т(х - ut, у), т = 1, 2, 3,

где Ат - непрерывная функция t, в данный момент (t = 0) Ат = 1.

В производной

àu jd t = иот(х, y)dA jdt - идиот/дх (t = 0)

/ , С ^ \ Г L.

Рис. 1.5.

ди

Т = \U0dy - о * -dT. дх

первый член не связан с ростом тре­ щины и поэтому не дает вклада в по­ ток энергии в ее край: в пределе, когда контур стягивается в точку,

№n№orrpAmfotd^ =0.	(3.7)
Г
Итак, в указанном пределе из	(3.6)
получаем
	(3.8)

Интеграл (3.8) по произвольному замкнутому контуру называет­ ся1 J-интегралом [79,147] или Г-интегралом [117,127]. Если контур Г ограничивает область без особых точек (точек, в которых не вы­ полняются однородные уравнения равновесия или уравнения сов­ местности деформаций), то он равен нулю. Действительно, он пред­ ставляет собой поток энергии внутрь контура при стационарном перемещении поля напряжений и перемещений вместе с контуром.

При	этом	в ограниченной контуром	области	энергия неизменна,
и так	как	там нет источников (стоков)	энергии,	нет и потока (сум­
марного) через Г.

Дополним контур Г контуром, изображенным на рис. 1.5 пункти­ ром. Вместе с Г он образует замкнутый контур, ограничивающий область, не содержащую особых точек (если, конечно, в ней нет внеш­ них сил). Интеграл (3.8) по горизонтальным его участкам равен нулю, если на этих участках к берегам трещины не приложены напряжения. Поэтому интеграл по Г' совпадает с интегралом по Г. Таким образом, установлена инвариантность интеграла (3.8): он не зависит от контура, охватывающего край трещины, если в ограниченной им области нет внешних сил и трещина лежит на прямолинейной оси х.

Если контуром Г охватить всю (конечную) прямолинейную тре­ щину, то интеграл (3.8) будет определять разность потоков энергии при возможном ее расширении вправо и влево. Действительно, при смеще­ нии трещины вправо [чему отвечает интеграл (3.8)] слева она будет закрываться - левый ее край будет источником энергии.

В случае пространственной трещины проведем в данной точке (где она и ее контур предполагаются гладкими) плоскость перпендикуляр­ но трещине и ее контуру. Тогда вблизи пересечения этой плоскости с контуром трещины состояние соответствует обобщенной плоской задаче и для определения энергии, стекающей в край трещины при рас­ ширении ее следа в данной плоскости, можно использовать формулы (3.4), (3.5). Что же касается интеграла (3.8), то он будет отвечать свое­ му назначению лишь при стягивании к контуру трещины.

1 В 1951 г. этот интеграл применительно к смещению произвольной сингу­ лярности был указан Дж. Эшелби (см. [123]).

Если рассматривать переход к новому равновесному состоянию, отвечающему удлинению трещины на бL , как варьирование некоторой обобщенной координаты, то высвобождающаяся энергия Т (приходя­ щаяся на единицу приращения площади трещины) - соответствующая ей обобщенная сила, называемая силой, движущей трещину [9] (то же относится и к любой другой сингулярности [123]). Она называется также конфигурационной силой [118]. Следует подчеркнуть, что она не является силой в обычном смысле, так как подрастание трещины или смещение какой-либо другой особой точки не эквивалентно смещению точки тела, к которой эта сила была бы приложена. Другой пример подобной ситуации дает „самодвижущееся” тело. Пусть тело, напри­ мер судно, самостоятельно движется в воде с постоянной скоростью. В этом случае действующий на него главный вектор сил равен нулю; следовательно, и на воду не действует сила (винт толкает воду назад, корпус вперед, а суммарная сила равна нулю). Однако ясно, что существует поток энергии от тела в воду: об этом свидетельствуют вихри и волны. Кстати, ниоткуда не следует, что „конфигурационная” сила, создаваемая тунцом или дельфином для своего движения, не мо­ жет меньше обычной силы - буксировочного сопротивления. Такого рода эффекты - работа при отсутствии обычной силы - возникают вся­ кий раз, когда „микроскопический” механизм не описывается явно в макроскопической теории и проявляется в ней лишь в виде особой точки как потенциальный источник или потребитель энергии. Можно сказать, что особые точки (линии) представляют собой каналы обмена энергией между макро- и микроуровнями. При этом суждение о рав­ новесии нельзя вынести, основываясь лишь на соотношениях макро­ скопической теории, т. е. на подсчете энергии, высвобождающейся

на макроуровне,	необходимы еще данные о мощности источника.
Втеориитрещин -	это эффективная поверхностная энергия, определяе­

мая экспериментально. В принципе ее можно найти и теоретически, но для этого необходимо привлечь данные о микроструктуре, необхо­ димо выйти за рамки макроскопической теории и явно описать меха­ низм, в котором работа совершается с помощью сил (см. гл. 6).

Инвариантный интеграл (3.8) можно применить для вычисления по­ тока энергии в произвольную особую точку (линию, поверхность) поля напряжений при ее смещении относительно среды (при смещении вместе со средой интеграл дает главный вектор сил, действующих в области, ограниченной контуром Г; соответственно при повороте - главный момент). В пространственном случае формула (3.8) приобре­ тает вид

Г = И U0dydz -	о -------dS,	(3.9)
s	àx

где S - замкнутая поверхность, ограничивающая область V, в которой содержится особенность поля. Таким путем можно определить взаимо­ действие данной особенности, отвечающей, например, микроскопическому

включению или дислокации, с полем напряжений от заданной системы внешних сил или взаимодействие особенностей друг с другом [118, 123]. Необходимо, однако, помнить, что это взаимодействие - сток энергии в особую точку при ее смещении соответствует стационарной вариа­ ции - смещению внешних сил вместе с особенностью. Если же при вариации положения особой точки внешние силы не смещать, сток энергии, вообще говоря, будет другим (в случае трещины он сохраня­ ется). Величина Г по зависимости (3.9) будет равна стоку энергии и при неподвижных внешних силах только при условии типа (3.7), иначе говоря, только в том случае, когда смещение внешних сил не сопро­ вождается потоком энергии в неподвижную особую точку.

При необходимости, кроме механической энергии, в формулах (3.8), (3.9) можно учесть и другие ее виды [117].

ГЛАВА2

СТАТИКА ТРЕЩИН

ВЛИНЕЙНО-УПРУГОМ ТЕЛЕ

Втак называемой линейной механике разрушения полагается, что напряженно-деформированное состояние тела с трещиной определя­ ется линейной теорией упругости. В этой главе в рамках указанной теории рассматриваются методы и результаты решения типичных плоских и пространственных задач статики.

У края трещины напряжения и деформации оказываются неогра­ ниченными, повороты - большими, т. е. там линейная теория непри­ годна. Поэтому решения для малой окрестности края трещины, полу­ ченные на основе линейной теории, следует рассматривать как проме­ жуточную асимптотику, которая, по предположению, позволяет судить

(например, с помощью силовых критериев - см. § 2.2) о равновесии тела с трещиной. Что же касается потока энергии в край трещины при ее росте в упругом теле, то линейная теория определяет его правильно, так как эта энергия поступает в основном из далеких от края областей, где линейная теория справедлива. Более подробная интерпретация ре­ шений задач в рамках линейной теории упругости представлена в гл. 3.

§2.1. Основные соотношения линейной теории упругости для однородной изотропной среды

Состояние сплошной линейно-упругой среды характеризуется век­ тором перемещений и и тензором напряжений n = 1, 2, 3), между которыми имеется линейная связь - обобщенный закон Гука:

^тп = ц(дит/дхп+ дип!дхт) + М тп div и.

(1.1)

Здесь omn - проекция на ось хп вектора напряжения, действующего на площадку со стороны нормали, направленной вдоль оси хт; А., д - постоянные, характеризующие упругость среды (константы Ламе); ит- соответствующая компонента вектора и; хт- ортогональные пря­ молинейные координаты; бшп “ символ Кронекера (ômn = 1 при т = п, 6ШП= 0 при т Ф п). Напряжения удовлетворяют уравнениям равно­ весия

^ двmn/àXm = “ Fn,				(1*2)
m—ï
где Fn- проекция внешних объемных сил на ось хп.
В линейной	теории	компоненты	тензора	деформации: ешп =
= 1/2(дит/дхп + дип/дхт) -		относительное	удлинение (т = п) или угол
сдвига (т Ф п);	е = div и -	объемное расширение;		вектор со = 1/2 rot и

определяет поворот. Предполагается, что все эти величины малы по сравнению с единицей.

Будем рассматривать обобщенную плоскую задачу - плоскую и антиплоскую, в которой предполагается, что перемещения и напря­ жения зависят лишь от двух координат х 19 х 2 (за исключением компо­ ненты и3 при плоском напряженном состоянии). Плоская задача формулируется либо как задача о плоской деформации: и3 =const,

° 1з = 02з = ®’ °-зз = ^е> либо как залача 0 в оск ом напряженном состоя­ нии, когда пренебрегается напряжениями о13, о23, 033. При плоском

напряженном состоянии закон Гука принимает вид

Отп = £тп [2Л.|ы/(Л. + 2ц)](е11 +

(1*3)

Как видно из сравнения зависимости (1.3) с предыдущими соотно­ шениями, отличие от плоской деформации проявляется лишь в том, что постоянная К в (1.1) заменяется на 2\\i/(k + 2ц). Кроме того, при плоском напряженном состоянии и3 Фconst:

и3 =~[кх3/(к + 2ц)](е11 + б22) + const.

(1.4)

‘ В антиплоской задаче их = и2 = 0. При этом среди компонент напря­ жений не равны тождественно нулю лишь о13, о23. Отсюда и из ра­ венств (1.1), (1.2) следует

0^3 - \хди3/дх^) о2з ” й^н3/дх2>
Ди3 = д2и3!дх[ + д2и3/дх% = - F3/p.	(1.5)

При исследовании плоской задачи вместо х19 х29 и19 и2 будем употреблять обозначения х, у, и, и и соответственно изменим индексы у напряжений {например, будем писать оху вместо о12).

Как известно [61], в плоской задаче при отсутствии внешних объемных сил рассматриваемые величины выражаются через две

аналитические функции ф и ф комплексной переменной	z = х + iy
формулами КолосоваМусхелишвили:
2ц(ц + îu) = кф(г) - zф'(z) - ф(^), охх + оуу = 4 Re ф'(z);
°уу “ °хх + 2ioxy = 2(zîp"(z) + ф' (*))•	(1-6)

Здесь при плоской деформации и =3-4v, а при плоском напряженном состоянии к = (3 - v)/(l + v), где v = À/[2{к + ц)] - коэффициент Пуассо­ на, и3 = w - определяется по (1.4).

Рассмотрим два частных случая. Пусть на вещественной оси оХу = 0. Тогда из представления (1.6) следует тождество 1ш (хф"(х) + ф'(*)) = 0. Экстраполируем его на всю комплексную плоскость, положив ф(г) = ф ^ )- zф'(z). Подставим это выражение в правые части формул (1.6) и заменим ф на кр/2. Формулы (1.6) принимают вид

4цц = (1 - и) Ьп ф(г)- 2у Re ф'(z); 4ци = (1 + к) Re ф(z) + 2у 1ш ф'(z);

охх = - 1ш (fr(z) - у Re ф"(z); оуу = - 1ш ф'(*) + у Re ф"(*);

(1.7)

оху = у1тф "(*).

При этом оху = 0 (у = 0), а перемещения и напряжения выражаются через одну аналитическую функцию ф^).

Пусть теперь на вещественной оси оуу = 0. Тогда в представлении (1.6) Re (хф"(х) + 2ф'(х) + ф'(х)) = 0. Положим ф = - ^ ( z ) ) '. После заме­

ны ф на ф/2 формулы (1.6) принимают вид
4ци = (к + 1) Re ф(z) - 2у 1ш ф'^); 4цо = (к - 1) 1ш <p{z) -		2у Re ф'^);
охх = 2 Re ф'(z) -	у 1ш ф"(z); оуу = у 1ш ф”(z);	(1.8)
оху = - 1ш ф,(z) -	у Re ф"(*)-

Использование представлений (1.7), (1.8) для решения плоских задач теории упругости связано с именем Вестергарда [150].

Любой аналитической функции ф в (1.7), (1.8) отвечает распреде­ ление перемещений и напряжений, удовлетворяющее всем уравне­ ниям теории упругости. Действительно, в обоих случаях из аналитич­ ности ф следует аналитичность ф, так что указанные представления - частные случаи общего (1.6). Упрощение, конечно, суживает возмож­ ность удовлетворить граничным условиям, однако представления (1.7) , (1.8) достаточны для рассматриваемых ниже задач о трещинах

воднородном материале.

Вантиплоской задаче, также при отсутствии внешних объемных сил, перемещение п3 = w - гармоническая функция. Учитывая выра­ жения для напряжений (1.5), положим

Hw= Re <p(z); ох = о13 = Re <p'(z), оу = о23 = - Im <p'(z).

(1.9)

В задаче для полуплоскости у = 0, к которой сводится задача о тре­ щине, расположенной на осих в однородной изотропной упругой сре­ де, будут ставиться граничные условия относительно перемещений или напряжений приу = + 0. В первом случае (1.7) относительно ком­ понент

4р и = (и + 1) Re ф(х + Ю)

или

оуу = - 1ш ф'(х + /0);	(1.10)
во втором (1.8)
4[iw = (к + l)Re (р(х+ /0)
или
оху = - 1ш <р'(х+ /0);	(1.11)
в третьем (1.9)
JLUV = Re ф(х+ /0)
или
оу = - 1ш ф'(х+ /0).	(1.12)

Сравнивая выражения (1.10), (1.11), (1.12), видим, что определение функции ф(z) по указанным граничным условиям представляет собой одну и ту же задачу во всех трех случаях.

Перейдем к пространственной задаче. Здесь, как и в случае плоской задачи, для анализа конкретных ситуаций будем вместо уравнений теории упругости использовать представление общего решения через гармонические функции. В плоской задаче решение выражается, по существу, с помощью двух гармонических функций, скажем вещест­ венных частей аналитических функций ф и ф (две другие определяют­ ся условиями Коши-Римана). Общее решение однородных уравнений трехмерной теории упругости можно представить через четыре гармо­ нические функции. Известно несколько различных форм такого пред­ ставления, например представление П. Ф. Папковича [75]:

ит= 40 _	ô	з	1, 2, 3),
	»)Фт ---------- 2х Ф (т =
	дхт*=°		(1.13)
3	д2Фп	(т=0, . . . , 3 ) ,
ЛФ/71 = 2	= 0		х 0 = 1.
к=1	дх2

Так же как и в плоской задаче, к существенному упрощению при­ водит симметрия. Пусть компоненты перемещения и1 =и, и2 = и сим­ метричны относительно плоскости x3 =z = 0 (здесь z - координата, а не

комплексная	переменная),	a	u3 =w -	антисимметрична.	Положим
Ф0 = (1 - 2v)/,	Ф1 =Ф2 = 0,	Ф3	= àf/dz,	Д/ = 0. Получаем	следующее

представление перемещений и напряжений через одну гармоническую функцию (xj = х, х2 = у):

и = - (1 - 2v + A)df/dx;	А = zd/dz;		и = -	(1 - 2v + A)df/dy;
w = (2 - 2v - A)df/dz;	Oxx	„	AS* f	d2f
	-----= -	(1 + A ) -------- 2\>------ ;
	2ц		dx2	dy2

	°yy	= -	a2/
			(1 + A) —
	2|i		dy2
	0Xy	= -	(1 - 2v+A)
	2(1
	<y	~	^ a3/
	2(1		dydz2

a2/	0 Zz	a2/
- 2v — ;	= ( 1 - A )	(U 4)
dx2	2(7	az2

a2/ ,	Oxz	a3/
axdy ’		z -------------- ;
	2ц	dxdz2

Видно, что из компонент вектора напряжений, действующего на плоскость z = 0, не равна тождественно нулю лишь одна: oZ2.

Конечно, данное представление не является вполне общим и в рамках сформулированных выше условий симметрии. Однако если внешние нагрузки приложены лишь к берегам трещины, расположен­ ной в ограниченной области на плоскости z = 0 (на каждый берег дей­ ствует одно и то же нормальное напряжение), то представление (1.14) содержит решение задачи. Это же замечание относится и к другому представлению, пригодному в случае, когда нормальное перемещение w симметрично относительно плоскости z = 0, а тангенциальные пере­ мещения и, и антисимметричны относительно той же плоскости. Положим в (1.13)

	1 .	dg		dh	ч	1	dg	Ф	1	dh
ф = ------ (х —			+ у ------ 2 # ,			ф , . у	_
0	2	dz		dz				* 2	2	dz ’
1			dg	dh	Ag= àh = 0.
Ф3 = —	ф;	Ф = ~		+ Т “ " ’
2			дх	dy

Поскольку g, h - гармонические функции, гармоническими явля­ ются и функции Ф^. В результате получаем следующее представле­ ние перемещений и напряжений через две гармонические функции: