книги / Механика трещин

ц = 2(1 -	àg		аф			àh	аф	;
	v) —— z —				u = 2 ( l - v ) ——		z —
	àz		àx			oz	ày
w= (1 -	2 v - А)Ф,		A = zd/dz;
о xx		à 2g	+	I	à
= 2(1 -v )		dxdz		(2v	-------z ------ -
2\i				\	àz	àx
Oyy		d 2h		I	à	d 2
								( U 5 )
0 22	à 2Ф		o Xy		à	àg	àh\	а 2ф
		—		= (1 - v) — —— + — I- z ---------
~2i = ~ Z~ à ?			2Ц		dz \ ду		дх I	dxdy
Oxz		à 2g			дф
— - a - v)		T P ' * " *
2ц
OyZ		d 2h			аф
= (l _ v ) — _ ( V + A) — ,
2 ц		àz			ày,

Видно, что в этом случае на плоскости z = 0 равно нулю нормальное напряжение.

С целью применить в дальнейшем указанные представления для решения задач о круглой трещине запишем их в цилиндрических коор­ динатах г, 0, z, несколько преобразовав соотношения (1.15). Представ­ ление (1.14) в цилиндрических координатах принимает вид

ит= -	àf	, ue = - (1 -		1	0	/
	(1 - 2v + 4) —			2V + 4) — — - ;
	дг			г		дв
	àf
и2= (2 - 2v - А) — ;
	dz
°rr	à2f	2v	1
2ц		г	г ae2+ àr/ ’
°99	- ( 1+ A)						(М б)
2Ц		Ô02	дг	dr2
	г
Ozz	àf			1	à	àf_	f
2Г		= - (1 - 2\+A)-				àr	Г
	2[l			ae

°rz	Ô3/	Ogz		2		à3/
2(J	ôrdz2 ’		2|i	г	d0dz2
Функция /удовлетворяет уравнению Лапласа
1	д I	df\	1	а2/	а2/		(1.17)
Д/ = -	— (г — ] + —			- г ? - + —		=0.
г	дг\	дг J	г2	а э2	dz2
В представлении (1.15) введем две новые функции
а = g cos 0 + h sin 0,			P = h cos 0 -			g sin 0
( g = a cos 0 -		P sin 0,		h = a sin 0 + р cos 0).			(1.18)
Поскольку g, h -		гармонические функции, справедливы равенства
аф		d2g	d?g
а 7 ‘	dxdy	dz2	dy2 ’
аф	d2g	d2h	d2h
а 7 =	dxdy	dz2	dx2 ’

с учетом которых соотношения (1.15) в цилиндрических координатах примут вид

и_ = 2(1 -

v)

а<х

аф

Ue = 2(1 - v)

ар

z

аф

— - Z —- ;

---------- —

;

r

dz

drл*

dz

ao

uz = (l -

2v -

А)ф;

a2a

аф

а2ф

v ) -------+ 2 v --------- z —

— ;

àràz

dz

àr2

= — (1 -

v)

а2р

da

0 ф

z

i

а2Ф

аф \

dQdz

dz

2v

г

Ô02

+

’

2\i

г

dz

r

àr

I

02ф

-+-

z ------

dz2

i a = ( l - v )

азр

1

ар

1

d2a

z

à

I аф

ф\

dràz

r

dz

r

dQdz

r

а0

\

аг

г / ’

2ц

(U 9)

orz

ô2ot

аф d2a v du

а2ф

—= (1 - v ) -------- (v + A) — = ------ + --------------2 -------- ;

2ц dz2 dr dz2 r à0 drdz

00z		a2 p		î	аф
— - = a - v) —			- (v + A )— —			;
2ц		dz2		r	a0
aa	a	i	ар	1	aa		ар	p
^ dr	r	r	а0	r	a0		ôr	r

Перейдем к осесимметричному напряженному состоянию. Пола­ гая, что функции /, a, Р не зависят от 0, получаем следующие зави­

симости.
З адача		I. На плоскость z = 0 действуют только нормальные напря­
жения [см. (1.16)]:
иг -	(1 -	ч àf		; «0=0;		и, = (2 -	а/	;
		2v + А) —					2v - А) —
			дг				dz
2ц		dr2		г	дг			(1.20)
Oflfl		ч	1	df	д2/
2ц			г	дг	дг2
°zz	„	A à2f		orz	= - z	d*f
—	= (1 -	А) —	;	—		--------	°г0 ~ °0z = °-
2ц		dz2' "		‘2ц		drdz2
При этом на плоскости z = 0
		а/			а2/			(1.21)
u2 = 2 ( l - v ) —			; ozz = 2ц —— ; or2 = o6z = 0.
		dz			dz2
З адача		II. На плоскость z = 0 действуют только радиальные ка­
сательные напряжения (f= Р = 0) -						см. (1.19):

аааф

иг = 2(1 - v ) — —	z —	; и0 = 0;
oz	дг
uz = [ l - 2 v - z —	|ф;	—^- = 2 ( l - v )	а2а	аф	а2Ф
			-------+ 2 v	--------- z	--------;
дг		2ц	drdz	dz	дг2

o09	2 ,л	аа	аф	Z	дф
— = — ( 1 - v ) — + 2 v			------------ dz	—	(1.22)
2ц	г	dz		г	дг

огг	а2а		а2Ф	да	а
2ц	dz2		drdz	Ф = —	+ — .
				дг	г
На плоскости z = О
				д2а	; ° r0 = °QZ = о.
Щ= 2(1 -		v )-----; оГ2 = 2ц				(1.23)
		ÔZ		ÔZ2
З адача		111. На плоскость z = 0 действуют только тангенциальные
касательные напряжения о02(/= а = 0). При этом

(1.24)

°ГГ “ 000 “ °ZZ ™ °r z - 0.

Функции а, Р в осесимметричном случае, как это следует из их определения (1Л8), удовлетворяют одному и тому же уравнению. Например,

(1.25)

Для того чтобы убедиться в этом, достаточно подставить гармони­ ческие функции#, h, выражение через а, Р, в уравнение Лапласа (1.17).

В качестве граничных условий на плоскости z = 0 можно задавать: uz njmozz (задача I), итили orz (задача II), ив или о02 (задача III). Как видно из формул (1.21), (1.23), (1.24), определение 'функций /, ос, Р по этим условиям представляет почти одну и ту же задачу во всех трех случаях. Отличие заключается лишь в том, что функция / - гармони­ ческая (1.17), а функции ос, Р удовлетворяют уравнению (1.25). Это отличие, однако, не вносит существенных изменений в процедуру ре­ шения осесимметричных задач о плоской круглой трещине.

Рассмотрим линейно-упругое тело, ослабленное трещиной. Под тре­ щиной здесь подразумевается разрез - поверхность, на которой пере­ мещение может претерпевать разрыв. При нагружении тела трещина, вообще говоря, раскрывается: предельное значение перемещения при подходе к разрезу с одной стороны - перемещение верхнего берега трещины ив - отличается от предельного значения перемещения при подходе с другой стороны, т. е. от перемещения нижнего берега тре­ щины ин.

Пусть тело находится под действием сил F, приложенных вне тре­ щины, а ее берега не взаимодействуют и свободны от внешних напря­ жений. Пользуясь линейностью задачи, состояние нагруженного тела с трещиной, т. е. перемещения и напряжения в нем, можно представить суперпозицией двух состояний (см. § 1.3).

С осто я н и е 1. Тело, загруженное теми же внешними силами F, но при отсутствии трещины. Пусть при этом вектор напряжения, дей­ ствующего, скажем, со стороны нижнего берега поверхности (на кото­ рой в действительности находится трещина) на ее верхний берег, равен о.

С остоя н и е 2. Рассматриваемое тело с трещиной, но при отсут­ ствии внешних сил F На верхний берег трещины действует напряже­ ние - о, на нижний - напряжение + о.

Суммирование напряжений, отвечающих указанным состояниям, снова приводит к исходному.

Анализ первого состояния - обычная задача теории упругости для сплошного тела. Кроме того, первое состояние характеризуется огра­ ниченными напряжениями (вне действия внешних сил). В то же вре­ мя напряжения в окрестности трещины, как правило, неограничены. Поэтому обычно достаточно рассматривать лишь второе состояние упругого тела, т. е. полагать, что внешние силы приложены только к берегам трещины. При этом если на верхний берег действует напря­ жение - о, то на нижний - то же напряжение, но противоположно направленное, так что условия равновесия тела в целом выполняются автоматически.

В свою очередь, второе состояние можно представить суммой, каж­ дое слагаемое которой соответствует лишь одной из проекций напря­ жения - о на координатные оси.

Перейдем к обобщенной плоской задаче. Пусть трещина располо­

жена на отрезке - / < z < I	(z =x + iy).	В соответствии со	сказанным
выше достаточно рассмотреть три задачи.
З адача I . На берега	трещины	действуют только	нормальные
напряжения. На указанном отрезке
оуу ( х + Ю) = Оуу( х - /0) = -	о(х);
			(2. 1)

^ху{х + *0) = Gху(х ” Ï0) = 0.

Напряжения oxz = о13, oyz = о23 равны нулю во всей области. Если тело и граничные условия симметричны относительно оси х, то, как это следует из уравнений (1.2), закона Гука (1.1) и условий (2.1), сим­ метричны компоненты и, охх, оуу и антисимметричны и, оху. А так как вне трещины перемещения и напряжения непрерывны, то

о = оху = 0 (/ < 1x1, у = 0).

(2.2)

Объединяя условия (2.1), (2.2), можем рассматривать лишь половину тела, лежащую, например, в верхней полуплоскости у > 0.

З адача	II. На берега		трещины действуют только касательные
напряжения	оху. На отрезке, где расположена трещина,
оху(х + Î0) = а (х -		Ю) = -	т(х);
оуу(х + iû) = оуу(х -			(2.3)
		/0) = 0.

Перемещение w и компоненты напряжения о13, о23 равны нулю во всей области. В случае указанной выше симметрии компоненты и, оху симметричны относительно оси х, компоненты и, охх, оуу - анти­ симметричны. Отсюда следует

и = оуу = 0 (/<1x1, у = 0).

(2.4)

З адача III (антиплоская задача). На берега трещины действуют только касательные напряжения oyz = о23. При этом на берегах трещины

а23(х + Ю) = о23(х - i0) = - т0(х),

(2.5)

а компоненты и = и = охх = оуу = оху = 0 во всей области. Если по-преж­ нему имеет место симметрия, то напряжение о23 симметрично отно­ сительно оси х, а компоненты w, о13 - антисимметричны. Поэтому на продолжении трещины

w = 0 (/<1x1, у = 0).

(2.6)

Пусть длина трещины, расположенной внутри тела, мала по срав­ нению с характерным размером области, где существенно изменяется напряженное состояние (при тех же условиях, но в отсутствие трещи­ ны), и по сравнению с расстоянием от нее до границ тела. Тогда состоя­ ние 1, по которому определяются граничные условия на берегах тре­ щины, можно отождествить с равномерной деформацией безгранич­ ного тела при напряжениях, равных действующим в области располо­ жения трещины. При этом упомянутое выше условие симметрии выполняется автоматически и, кроме того, о, т, т0 = const.

Обращаясь к соотношениям (1.7)- (1.12), (2.1)- (2.6), видим, что определение 2-го состояния, т. е. влияния трещины, сводится к опре­ делению аналитической функции ф (z), например, в верхней

полуплоскости при	следующих условиях на ее	границе у = + 0:
Re ср = 0 (/<|х|),	Imcp'=p (ixl < /),	(2.7)
где р = о (задача I), р = т (задача Ц), р = (задача III).

Впостановке смешанной задачи (2.7) не указаны условия в точках

х= ± /, что вносит некоторый произвол в определение ф(х) как обоб­

щенной	функции - „предела” аналитической функции <p(z) при
z -*>х + /0.	Этот произвол устраняется требованием непрерывности

перемещения берега трещины. Кроме того, чтобы доопределить зада­ чу, необходимо указать условие „на бесконечности” . Учитывая, что вне трещины перемещение непрерывно и что при удалении от нее оно должно исчезать, положим

lirnRe ф(х ± /0) = lim Re ф(х); ф(z) = 0(l/z) (z °°).		(2.8)
W /-0	Ixl /+0

Общее решение такой задачи можно построить следующим образом. Перепишем граничное условие (2.7) в виде

Reф' = 0 (/ < Ixl), Im ф' = р(х) (1x1 < /).

(2.9)

Чтобы преобразовать данную смешанную задачу (на части оси х задана Reф', а на другой - 1тф') в обычную, т. е. в такую, для которой при у = + 0, - оо< х< «> задана, скажем, вещественная часть аналити­ ческой функции, введем новую функцию

<ï>(z) = ф'(z)^z2 - /2,

д/х2 -	/2sgn X	(1х1>/,	у = 0),
yjz2 - Р = <			(2. 10)
iV/2 -	x2	(1x1 < /,	у = + 0).
Обращаясь к граничным условиям (2.9), видим
Re Ф(х + i0) = - p(x)V/2 - х2		(Ixl < /),
			(2. 11)

Re Ф(х) = 0 (1x1 > /).

В точках х = ± / функция Re Ф(х) не определена. Доопределение ее может оказаться существенным для дальнейшего лишь в том случае, если указанные точки являются носителями обобщенных функций. Но функция с носителем, сосредоточенным в точке, представляет собой линейную форму из производных ô-функции Дирака.

Итак,

Re Ф(г) -*■ Z акЬ(к)(х + /) + bKà(K)(x - I) (z-*-±/ + i0).	(2.12)
к=0

Из условия (2.8) следует, что

Ф'U) = 0(z“ 2), Ф(z) = 0(z“ 1 ) (z -►<*>).

Поэтому функцию Ф(z) можно определить по граничным значениям ее вещественной части (2.11), (2.12) с помощью интеграла типа Коши. Полагаем, что р(х) - произвольная обобщенная функция, но в некото­ рых окрестностях точек х = ± I она регулярна (т. е. обычная функция), причем произведение р(х)(/2 - х2)~1/2 интегрируемо там в обычном смысле.

Условие непрерывности перемещения берега трещины приводит к исключению обобщенной функции (2.12), поэтому в дальнейшем полагаем ак = Ьк = 0. В результате получаем выражение для Ф^):

(2.13)

Отсюда и из соотношений (2.10) находим, что при у= + 0

Иечр' = 0 (/< 1x1);

-I

Im ф' = р (1x1 < /);

X

(2.14)

( I -

■ Т Г	11" У/"+ТУ/f l	- х - у / - 1 У/ + х
(Ixl < /,	у= + 0).

Из формул (1.10)- (1.12), (2.14) следуют выражения для переме­ щений и напряжений. Их асимптотики вблизи края трещины имеют вид (перемещение - верхнего берега)

Qrv ~МцА/£7 u ~м u ^ 7 - ~	2\1	ма { 7 ;
ХУ

(2.15)

5 ,

где 5- расстояние от края трещины (в сторону ее продолжения), а рим­ ская цифра означает номер задачи. Часто вместо коэффициентов N вво­ дят коэффициенты интенсивности напряжений:

к = к 1,11,т ^^1,11,иг		(2.16)
Они определяются так
/
‘ " Я г И / И Ь	f e = ± , ) -	(2.17)
-I
Из упомянутых выше формул при р = const находим
Ф(г) =р(У/2 ~ z 2 +iz)l Иеф(х +iO)~pjl2 - x 2H(f -		1x1);
р(|х| </);		(2.18)
1тф'(х)
р [1 - lxl(x2 - / 2)-l/2] (Г < 1x1);

К=р/пГ

Перемещения берегов трещины таковы, что она принимает форму эллипса с размерами полуосей

р(х - 1)	р(х + i)
а -I +и{1, 0) = /(1 —	b = и(0, 0) = /
4р	4ц

Для такого жесткого материала, как сталь, отношение b/а может достигать величины порядка 0,01, а для эластичной резины - может превзойти единицу. Большее раскрытие трещины ведет к разрушению.

Приведем асимптотические формулы для распределения переме­ щений и напряжений у края трещины (г, 8 - полярные координаты с началом в точке х = /, у = 0; г 0). Обращаясь к (2.13), (1.10) - (1.12), находим:

З адача 1:

К,	/ 2F	8	ч	Кх	Г2Г	8
и ~ — /	—	cos — (х - cos 8);		о ~ — /	—	sin — (и - cos 8);
4ц V	л	2		4ц V	л	2

О XX

COS

0

/

. 0

30 \

И -

sm—

S,nT

);

у/2пг

2

\

2

Qyy

cos

0

/

0

39 \

(2.19)

2 \

1 + sm—

smT

);

V H 7

2

*i

1

30

° ху'\к==и

~

sinBcos-

у2лг

2

2

З адача

II;

u ~ ~T~

ГТГ

0

Kn

/ 2г

0

cos 0)}

/

—

sin— (2 + и + cos 0); и ~ —

/ —

cos — (2 -и -

V

л

2

4|Д / л

2

„

*U

.

0 /

0

30

(2.20)

Oxx~----- = = rsm —

2 + cos— cos —

V2n r

2 l

2

2

*H

j_

30

*il

9

0

30'

°V y~ "~ r= - — sin 0cos—— ;

oxv---- = ^ c o s —

Il -

sin— sin

2

V ^ i?

2

2

y ijlnr

2 \

2

З адача

III:

*111

/

2r

0

Ki

0

■------ / — sin—

■>yZ

•III COS-

2 ’

0

V

л

2

V2Ï7

*111

0

#

(2.21)

“ ----- 7=

sin —

V2лг

2

Приведем еще формулы для полубесконечной трещины (0 < х < 00). Положим 2 = - 1 +21, + р(- / + £,) = Pi(^i)» подставим эти выражения в соотношения (2.13) - (2.17) и устремим I к бесконечности. Получим (индексы у переменных опускаем)

ср'О?)

1 РГ( М м

W ? ] 1 - г dêi

± {х	{х > 0,	у = ± 0);
iyf-~x	(х < 0,	у = 0);