книги / Микромеханика композиционных материалов

Л =

-Г ( т

+

2^) 5'п’ +

00526 + (т+ |-с о $ 1 > 0- 2 Р 8 т ^ 0 +

+

2 Р г 5Ш 2

| СОЗ 20.

Остальные обозначения соответствуют ранее введенным.

(а3) Ф

Решение задачи о поперечном растяжении напряжениями

Ф

0 приводит к формуле

1

_

V02

,

х +

I

* +

(1 + 2 0

[ 1 +

(* +

1) 0 / в а 1— 2^ (кй* -+• 6* — с*)

1

^31_

40

(* +

1)[2- С+ Ш*+Ь* -

П\ + 2(1 - 5)(на+1)0/0а

Е°

Р°

'

Здесь

(8. 101)

* *

7

^

^

-

2

?

зш

Т - ) -

^

(

т

+

2Р2) 2^

7

^ +

л

«0 + 2

5Ш2-у- С0520

(1

— г) <7 +

(I +

40*) 81Па А

соз 20

+

2 («а + Оа/0) - ( х а +

1)<7

2

1 - 5

26* =

(1 — й д +

2 соз2

— 4р 5'т2

+ 802 зш2

+

(1

_

д + (1 +

40*) 5Ш2

соз 20

+

(ха +

1)?

2(ха + 0а/0)-(ха+1)7

Для

сложных

моделей

разрушения, когда приведенный

элемент

или ячейка структуры содержит множество волокон, часть из которых имеет локально нарушенную связь с матрицей, решение задачи стро­ ится по рассмотренным выше методам.

Если волокна неоднородны или анизотропны, то для построения решения задач со смешанными краевыми условиями полезно восполь­ зоваться методом вспомогательных функций.

Построенные решения задачи о локальном разрушении представ­ ляют возможность изучать разрушение слоистых материалов с ориен­ тированно-армированными волокнами на начальной стадии нагруже­ ния или при циклических во времени воздействиях, когда в структуре среды зарождаются и развиваются множество трещин. Для этих целей можно применить модели поэтапного локального разрушения, когда процесс нагружения разбивается на отдельные участки, каждому из которых ставится в соответствие модель структуры со все более увеличивающимся числом трещин.

Г Л А В А 9

ТЕРМОУПРУГОЕ РАСШИРЕНИЕ И ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ

Тепловое расширение компонентов композиционных сред является источником внутренних напряжений, так как коэффициенты теплового расширения у них различны. Деформации алюмоборосиликатных во­ локон при повышении температуры на порядок меньше, чем у эпоксид­ ных компаундов для этой же температуры; поэтому нагрев стеклоплас­ тиков из указанных компонентов приводит к значительным внутрен­ ним напряжениям. Ориентированно армированный материал при этом расширяется анизотропно, что представляет собой дополнительный источник внутренних напряжений в конструкции из этих материалов. Роль внутренних напряжений, как и тепловых эффектов для всей кон­ струкции из стеклопластиков в целом, уменьшается вследствие ускоря­ ющейся с ростом температуры релаксации напряжений в матрице или благодаря интенсивному падению ее модулей упругости, когда тем­ пература релаксации близка к температуре стеклования полимера. В материалах с металлической матрицей релаксация напряжений су­ щественна при более высоких температурах.

Термическая усадка — обратный тепловому расширению эффект — способствует образованию остаточного напряженного состояния в ма­ териалах и изделиях при их изготовлении. Для расчетов тепловых эф­ фектов в композиционных материалах рассмотрим связь некоторых теплофизических характеристик компонентов с интегральными пара­ метрами.

§ 1. ТЕРМОУПРУГОСТЬ ВОЛОКНИСТЫХ СРЕД

Пусть неограниченная армированная прямыми волокнами среда находится при некоторой повышенной температуре 0 = Т — Т0, по­ стоянной во всем пространстве; сечения среды хг = сопз!, перпенди­ кулярные к ориентации волокон, при этом повышении температуры в среднем не искривлены. Подобное состояние в случае среды с грани­ цей будет устанавливаться только с удалением от торцов оканчива­ ющихся волокон.

Средние деформации среды вдоль волокон (е^ слагаются из свобод­ ного теплового расширения на единицу длины, пропорционального приращению температуры 0, и составляющей, обусловленной вырав­ ниванием продольных деформаций в компонентах благодаря их взаи­

модействию:	(9.1)
<«*> = Рв + («»>.= М + <«1>„ = РА

182

где р, ра — коэффициенты линейного теплового расширения матрицы и волокон; р2 — эффективный коэффициент теплового расширения вдоль ориентации волокон; (еД, <6^ — средние деформации мат­ рицы и волокон, возникающие при указанном выравнивании дефор­ маций. Состояние среды у торцов волокон здесь не рассматривается, поэтому остается неопределенной ширина зоны, в которой продольные касательные напряжения способствуют выравниванию продольных де­ формаций среды.

Приведенный объем среды с одним или несколькими волокнами находится в равновесии, следовательно, усредненные по его граням

напряжения
(°1к) = 0, *, Л = 1, 2 ,3 .	(9.2)

Решение задачи о тепловом расширении составим из функций, оп­ ределяющих однородное продольное растяжение среды неизвестными напряжениями без учета взаимодействия компонентов и функций, учи­ тывающих указанное взаимодействие при условии, что осредненная продольная деформация среды равна нулю. Последнее условие исполь­ зуем для определения неизвестных напряжений в первом решении за­ дачи.

Однородное состояние при повышенной температуре и отсутствии взаимодействия компонентов будет

(°<)а = Е„ <е,>а, И1 = (<е,) + ра0),

(9.3)

Щ+ ш3= — гча(е1>а + гро0.

Подобные зависимости для матрицы получаются опусканием индекса а в этих формулах. Несовместность поперечных смещений компонентов

(иг + ш3)а— (ы2 + ш3) = (Р— Ра) (1 + уа) гв + (ул— V) г (е,>5.

Решение второй задачи строим в приближении метода однородного взаимодействия; искомые функции плоского деформированного со­ стояния подчиняем первому краевому условию (1.35) — условию ра­ венства напряжений на межфазной поверхности. Второе граничное уравнение заменяется следующим:

(1 - О/Са) Фа (Т) + (1 + *а<?/0а) ФТМ - (1 - С/Оа) <>”* X	(9.4)
___
X [тФа (т) + У , (т)] — (X + 1)ф (т) = 2О[(Р~Ра)(1 + г„)0+ (^а	.

Для определения интегральных коэффициентов теплового расши­ рения учтем, что в отсутствие внешних напряжений средние деформа­ ции среды пропорциональны приращению температуры 0:

(в*) = ЙА А - 1 ,2 ,3 .

(9.5)

Здесь Рь — интегральные коэффициенты теплового расширения вдоль одноименных осей координат волокнистой среды. Средние смещения

(«2 + Ш3) = \ (ра + Р„) 0 + \ (р2 - Рз) 0. (Щ) = Р^10.

183

Составим интегралы от деформаций и преобразуем их согласно мето­ ду, изложенному в гл. 8:

— у $ (“г — *'“з) <& =					~	0 (Рг — Рз).
										(9.6)
— 2 7 ^ К“г — г“з)			— (и2 +		ш„) <й] =			0 (Р2 +		рэ).
Для построения элементарного решения принимаем
Ф0 (г) =	< 1 -9 $ 2 .		Т„(г) =		0,	Ф(г) =			- Й 2 ,
										(9.7)
	V (г)------ 2 -1 - 0 ,
й =	(Р — Р„) О + V,,)0+ (V, -						V) (е4),
	20- 2 -	с - к * +		(1 -	0 <*а -		1)е/ов
Здесь а — радиус волокон. Условие				равновесия				в	среднем приводит
к связи между (е ^ и 8:
(с,) = О = ХДа(в,)0 + (1 -		9 Е (е.), +			^	( 1	- 0	0	-	4 * (1 - 0 а .

откуда с учетом (9.1)

г8 0 (у — V) (1 — О (1 4- V )

<е,), = —С(Р—р0)егг1[е. +			2_ и	(с; +(; : Т)-(,а(+ , ) 4
где Е1— эффективный модуль при продольном растяжении,
д , - № . + а - о д +			8 0 (V — л О Ч (1 — ?)				'
Эффективный		коэффициент теплового		расширения	в	направлении
ориентации волокон
К - В	я	.	80 ( у . - у ) ( 1 - 0 ( 1		+	у.)	1
р ! - Р - ( Р		Р«)№ [50 +	2-5+С х + (1 -У (ха+1)0/0а				] •
							(9.8)

Второе слагаемое в скобках мало в сравнении с первым, поэтому справедливо правило смеси

Р4- Р - ( Р - Р		а) ^ .	(9.9)
Смещения в среде устанавливаем	по	формулам (1.31) и (9.3),	(9.7).
Из первого уравнения (9.6) вытекает		= р3, из второго —	+
+ 1) — 2у (е^, + 2р0 = 0 (р2 + р3),	откуда следуют искомые соотно­

шения между интегральными коэффициентами и параметрами струк­ туры среды:

Р2 = Рз = Р + (Р - Р1) т21 - (Р- рв) (1 + V,) ^

(9.10)

184

Несложный анализ показывает, что при Р > Ра матрица сжата вдоль ориентации волокон, а волокна растянуты. Отметим, что фор­ мулы (9.9) и (9.10), полученные в первом приближении, совпадают с точными, найденными с помощью эллиптических функций.

Если структура среды образует орторомбическую или центрирован­ ную орторомбическую решетку, то аналогичные построения приводят к более общим интегральным параметрам

Р2= Р +	(Р - Р .К 1- < р - р а)(1 + у с) ^	4 . ,
		(9.11)
Р, = Р +	(Р - Р.) V,, - ф - ра)( 1 + г„)	.
		а

В случае сред с равными коэффициентами Пуассона V = V0 полу­ чаем = V, и различие между коэффициентами |32 и р3 исчеза­ ет независимо от вида упаковки материала. Поэтому в реальных мате­ риалах различие между коэффициентами р2ир3 не может быть суще­ ственным, так как роль упаковки определяется только разностью ко­ эффициентов Пуассона компонентов.

Для моноклинной упаковки волокон в материале соотношения (9.5) заменяются такими:

<*.) = р.е, <е2) = р2е, <е3> = р,е, <?23>= М -

Средние смещения в поперечной плоскости

(и* + Ьк) = Т №• + Р3) г + (Р2 - Р, - Фаз)&

Интегральные соотношения (9.6) заменяются обобщенными равенст­ вами

У Ф («2— »"з)< & = — 0Оа —Ра + Фгэ).
~ У р - § ^ и2 ~ ‘“а)* — («г + Щ <&\ = 0 (Рг + Ра)-	<9-12>
I

Для получения решения задачи методом последовательной регу­ ляризации необходимо рассмотреть структуру, ячейка которой содер­ жит несколько произвольно расположенных волокон или произволь­ но ориентированную трещину на одном волокне. В этих случаях не­ трудно получить эффективные коэффициенты теплового расширения с помощью совершенно элементарных функций, полностью совпадаю­ щих с точными решениями, в виде [111

Рг = Р + ( Р - Р . ) ^ - ( Р - Р с ) ( 1 + ^ ) ^ ^ - .

а

Ра = Р + ( Р - р 1 К 1- ( Р - Р , . ) ( 1 - М в) ^ = ^ .

(9-13>

о

Р а а ^ ^ Р - Р . + ф - Р а ) - ^ ] -

185

			Влияние коэффициента у61
			определяется			разностью				ко­
			эффициентов			Пуассона				ком­
			понентов		независимо от					вида
			упаковки материала. Поэтому
			побочные		эффекты будут су­
			щественными			только		при за­
			метном различии значений ко­
	0 4:___ I—		эффициентов			Vа	и V	и асим­
			метрии	расположения					воло­
			кон. Более существенны							эф­
			фекты	анизотропии с возник­
	1^	> 4 1	новением		развитых			трещин
	ф	5/12п Ы.	при дисперсном				разрушении
	Рас. 76		композиционного				материала.
			Последнее внесет еще						боль­

шую неоднородность в напряженное состояние структуры с повыше­ нием температуры.

Типовая зависимость коэффициентов теплового расширения от объемного содержания волокон ? приведена на рис. 75» где по оси ординат отложены значения Р^/6 для моноклинной структуры одно­

направленного	стеклопластика: С/Са = 25; та =	0,21; V = 0,382;
Ра = 0,49-10- 5	1/°С; р = 6- 10~5 1/°С; а=7л/18; |	| = | а>2|. Кривые

1—4 определяют соответственно изменение Р1/Р; р2/р; р3/р и р23/р при

росте		Для малых ^ ^					0,1 наблюдается аномалия коэффициентов р2
и р3, обусловленная						дополнитель­
ным	поперечным тепловым расши­
рением от сжатия					полимерной мат­
рицы вследствие					продольных			свя­
зей	от	волокон. Суммарная						ани­
зотропия		теплового				расширения
существенна — поперечное тепло­
вое расширение в четыре-пять раз
превышает			продольное.				Эффекты
поперечного			сдвига при				тепловом
расширении				(кривая		4)	заметны
при	высоком			объемном			заполне­
нии
Изменение				коэффициентов				теп­

лового расширения при различных ос в структуре показано на рис. 76, где угол решетки а изменяет­ ся от я/3 (гексагональная струк­ тура) до тетрагональной укладки волокон (%= 0,7). Обозначение кривых такое же, как на рис. 75. Как видно, только побочные эф­ фекты р2з заметно изменяются. Значения остальных коэффици-

186

ентов практически постоянны.	Для	материалов с VI = V имеем
Ргз — 0>
Рй = Р	(Р	Ра) ^ ~ ] Г •

Рассмотрим тепловое расширение стеклопластиков с рядной струк­ турой, образованной из гексагональной решетки путем удаления смеж­ ных рядов волокон вдоль оси 0х3. Положение центра ближайшего во­ локна определяется вектором а>2 = Ьще*а, а = агс1§ V 4Ь'1— 1. Уве­ личение продольного коэффициента р^р с изменением Ь > 1 видно из рис. 77,а. Объемное содержание волокон С при Ь — 1, т. е. для гекса­ гональной исходной структуры, принималось равным 0,75; 0,80; 0,85, а %—равной 0,85; 0,8; 0,75 (соответственно кривые 1—3 на рис. 77). На рис. 77,а все кривые сливаются в одну. Как следует из рис. 77,6, в, анизотропия материала интенсивно растет с удалением рядов воло­ кон вследствие их взаимодействия и увеличения объемного содержа­ ния матрицы. Распределение напряжений на границе волокно — мат­ рица идентично кривым рис. 34.

Для композиционных материалов с одинаковыми полыми волокна­

ми

Р.= Р—7=5*{О+ V) §4(1 -«*)-(! +».)[! -<1-1)-§г!

(9.14)

где ц = 0,5 -ь 0,7 — коэффициент капиллярности, равный отноше­ нию диаметра полости к внешнему диаметру волокна. Остальные коэф­ фициенты теплового расширения подсчитываются по формулам (9.13), если учесть зависимость всех параметров от <7. Тепловое расширение многокомпонентного (гибридного) материала, армированного волок­ нами N сортов, составляет

		(9.15)
Р8= |5 ,,~ Р + ( Р - Р 1К 1-
N		рк) [2 + ниСЮкГ '
(к + 1) 2	(1 + V (р -
	N	(9.16)
1 -	С+ 2 к (*+ ‘И2 +

Здесь индекс к отмечает параметры волокон к-тосорта.

187

Приближенно эффективные коэффициенты теплового расширения многокомпонентных материалов с полыми волокнами определяются формулами

А=1

Р2 = Р э = Р + ( Р - Р . К , -

N

( * + I )	2 к	( 1	—	9 * )	0 + V	( Р -	Р * )	[2	( I -	а «-*>	+ 1 +( « 2 $01вкГ 1
А=1____________________________________________ _________
		N									*
1 -	&+	2	к	0 -	ч1) (« +	1) [2 (1 -	$	+	(«А -	1 +	К ) 0/ОкГ 1
		к=1

где все упругие постоянные указаны для сред с полыми волокнами.

§ 2. ТЕРМОУПРУГОСТЬ СРЕД С ТРЕЩИНАМИ

Пусть в неограниченной армированной среде имеются ослабленные связи на межфазных границах в виде трещин. Примем, что повышение температуры не приводит к налеганию берегов разрезов. Определим эффективные коэффициенты теплового расширения армированной сре­ ды. Для удаленных от торцов волокон площадок принимаем гипотезу плоских сечений, согласно которой плоскости, перпендикулярные к ориентации волокон, не искривлены при тепловой деформации. При этих ограничениях тепловое расширение среды вдоль волокон будет удовлетворять равенствам (9.1), а средние напряжения — (9.2).

Решение задачи строим по аналогии с рассмотренным выше слу­ чаем. Однородное состояние невзаимодействующих компонентов опре­ деляется равенствами (9.3); на площадках совершенного контакта вы­ полняются первое уравнение (1.35) и соотношение (9.4), на берегах тре­ щин отсутствуют напряжения. Для определенности полагаем, что трещины расположены симметрично относительно плоскости х3 = = сопз!, проходящей через оси волокон. Обозначения размеров тре­ щин сохраним прежние.

Для этих предпосылок в решении однородного взаимодействия комплексные потенциалы, определенные формулами (8.87), позволя­ ют удовлетворить всем поставленным краевым условиям задачи. Коэф­ фициенты расширения р2 и р3 определяем согласно системе (9.6) или (9.12). Окончательно запишем

<«!>.=■ Ф .- Р )0 .

Р. = Р -(Р -Р 0)?ЕГ‘^ о +

8С(уа —\)( 1 —С)(1+^)<у	1
+ Е <* + 1) 9+ 2 (1 — Е) (1 + КО0/Са) - (1 -	Е) (*„ +1) цОЮа : (9.18)
<7и другие параметры определены выше.

188

Коэффициенты теплового расшире­ ния в направлениях, перпендикуляр­ ных к ориентации волокон, находятся по формуле (9.11) для простейших ре­ гулярных структур.

Из приведенного анализа следует, что коэффициенты теплового расшире­ ния армированной среды при произ­ вольно расположенных и ориентирован­ ных трещинах определяются формула­ ми (9.13), в которых упругие постоян­ ные должны быть заменены на упру­ гие параметры, найденные с учетом трещин.

Уравнения упругости (1.46) в слу­ чае среды с произвольно расположен­ ными трещинами при повышенной тем­ пературе заменяются соотношениями

(е1) =		“2г (*-Ч) —	^ 2)	/Р- (<*з) "Ь т^ ' ( (12з) +
<е2>=	-	<<Т() +	± ( а 2) - ^	{ а	э>+ ^ <см) + Р20,
						(9.19)
а д =	-	-тр -а д -	> • а д + т а д			+ ^ ( « я ) + Рз0.
		"1	с 2	*-3		и23
ад> =		^ а д +	^ а д + -%3 а д		+	оЬ а д > + м .

для которых методика определения всех параметров для ряда струк­ тур композиционных сред и произвольно расположенных трещин рассмотрена выше.

Результаты численных расчетов эффективных коэффициентов теп­ лового расширения с неналегающими трещинами представлены на

рис. 78 для	стеклопластика с такими постоянными:	уа=0,2; Еа ==
= 9,981* 104	МПа; V = 0,382; Е = 0,981 -0,315-104	МПа; Ра= 6 ,1 х
X 10- 5 1/°С;	р=0,49-10- 5 1Г С. Кривые 1 и 3 соответствуют рх и р2

для среды с совершенным контактом компонентов и гексагональной упаковкой волокон; кривые 2 и 4 построены для ^ и р2 при $<> = п. Как видно, наибольшее отклонение достигает 9 % при весьма развитых межфазных трещинах.

189

§ 3. ТЕПЛОВОЕ РАСШИРЕНИЕ СРЕДЫ СО СФЕРИЧЕСКИМИ ВКЛЮЧЕНИЯМИ

Пусть неограниченная изотропная среда — матрица компози­ ционного материала с изотропными одинаковыми включениями сфери­ ческой формы — находится при повышенной температуре 0, а вклю­ чения образуют кубическую или плотную гексагональную решетку (см. рис. 45, 48), поэтому эффективные свойства композиционной среды также будут изотропны.

Определим коэффициент теплового расширения среды со сплошны­ ми включениями радиусом а. Расположение системы сферических ко­ ординат г, ф принимаем в соответствии с рис. 49. В приближении однородного взаимодействия включений сферически симметричные функции непосредственно выписываются согласно формулам (6. 10), (6.12) и (6.13), (6.15). Состояние включения

	4(1—0 0й (Р -Р о)е
ЗА А+ 4 0 Кйа + ( 1 - 0 А ] г + № , и° = 0,
°? =	а	12(1 -® 0кка( р - р в)0
	°!> = °Ф а*вА+401САв +(1-Б)А ] *

Остальные компоненты тензора напряжений равны нулю; состояние матрицы

	2Е п 3к + 40
“г	3*7 "ЗА+ 4 0 А г + 0 л ^ - 4 о 1 ~ р ^ ^ -

— ЗА9 5“

Р„ а»

2Н

к - к

А -у , и$ = О,

к ЗА + 40

ЗА +

40 г г

г

Е к ЗА

+ 40 „

"Р а

Е В — В дз

а

а____ А

12К?

+

80

_а

^

а л

ка

ЗА + 40

+ 40

к

а

ЗА+40

1

= (Тф = — 2 V

ЗАа + 4 0

л

12/гО

Р -Р а

ка

ЗА +

40

ЗА +

40

— 40

Еа

Р

Рд л в3

ка

ЗА +

40 л г8 *

где

О(1-О А вМ Р -Ра) 0

О

ЗАаА + 4 С [^ а+ (1 -С )А 1 0 а

*

Построенные решения удовлетворяют

условиям совершенного контак­

та при г =

а : о° = аг;

=

иг.

Условие равенства нулю средних напряжений на внешних гранях приведенного элемента, которые в первом приближении заменяются сферой равновеликого объема, приводят к выражению всех функций

сс стояния через приращение температуры 0. Составляя интеграл от перемещений согласно приведенному выше методу, получаем искомый

190