книги / Микромеханика композиционных материалов

Отметим, что разбиение потенциалов на самоуравновешенное и однородное состояния необязательно; в последнем случае необхо­ димо воспользоваться условиями осреднения (4.6) в качестве допол­ нительного соотношения при определении постоянных в разложении функций.

На границе каждой ячейки выполняются условия равенства ну­ лю главного вектора и главного момента всех сил, действующих в пределах одной ячейки. В случае плоского деформированного со­ стояния обозначим нормальные и тангенциальные напряжения, дей­ ствующие на элементарной дуге йв, через оп и стпа. Используя зави­ симости между напряжениями в декартовой и криволинейной системах

координат (1.32),	получаем
2 К	+ ' О = Оэ +	+ е- 210(а, — а ,+ 2|'о23).

Обозначим через Х г, I , и А1 компоненты результирующей силы в проекциях на одноименные оси координат и момент сил, действующих на участке А В. Имеем

х г + IX, = | (ап + ш„,)	= — / [	[<р(г) + гФЩ +	т|)(г)]
л в	АВ
откуда
+ IX, = -	«[ср(г) +	гФ ^Г + ^ )] ®	(4.32)

Подобным способом получаем формулу для результирующей пары сил на этой же дуге

М = Ке [д (г) — гф (г) — ггФ (г)]*,

(4.33)

где д' (г) — ф(г). Условие самоуравновешенности принимает вид

Ф (г + о/) — ф (г) + (г + со,) Ф (2 + ш,) — гФ (г) + ф (г + со;) —

— ^ ) = 0.

(4.34)

При подстановке приращений функций следует опустить слагае­ мые, характеризующие действие осредненных напряжений, стоящих в конце формул для комплексных потенциалов. Если бы средние нап­ ряжения не были заданы, то в левой части (4.34) находились бы сред­ ние напряжения, действующие на соответствующих сторонах парал­ лелограмма периодов. Согласно (4.19) и (4.31) окончательно запишем

_	N	_ А'	_	Аклак) +
<й}(А + Ап) — 6^ 2 (А ,2+ А л Ял) — У] 2			(А .2+
	А=1	к = 1
+	со,П0 — б,- 2	Фк.г + А и 4- Д&) = 0.		(4.35)
	к=1

Выполнение условия (4.33) не приводит к новым связям между коэф­ фициентами.

61

Произвольные постоянные в разложениях потенциалов устанавли­ ваются из N связанных бесконечных систем алгебраических уравне­ ний, вытекающих из краевых условий на каждом к-м (к = 1, , N) контуре волокна внутри ячейки. Для составления алгебраических уравнений в центре каждого волокна преобразованием г — ак = = вводится локальная система координат, а все потенциалы разлагаются по степеням в ряды Тейлора или Лорана. Для потенциа­ лов, определяющих состояние в волокнах, имеем

Разложение потенциалов, характеризующих состояние матрицы, производится после предварительного разложения в степенные ряды функций Вейерштрасса и их производных. Как показали исследова­ ния, условия существования единственного решения алгебраических систем уравнений выполняются, если волокна не касаются друг дру­ га [11]. При известных коэффициентах разложения потенциалов по формуле (1.31) или (1.32) устанавливается внутреннее поле напряже­ ний в структуре композиционного материала и его эффективные уп­ ругие постоянные.

§ 2. ЭФФЕКТИВНЫЕ ПОСТОЯННЫЕ МНОГОКОМПОНЕНТНЫХ (ГИБРИДНЫХ) МАТЕРИАЛОВ

Волокнистая среда имеет плоскость симметрии, перпендикуляр­ ную к ориентации волокон, и при произвольном в пределах одной ячейки расположении включений закон упругости содержит тринад­ цать эффективных постоянных (1.46). Если ввести технические пос­ тоянные, то эти соотношения перепишутся в виде

(4.36)

<?!*>=	и12	+ ^3
(?1з) =	т р - ^ г )	Н~	'■'18	(а 1з)*
	ии

62

Постоянные, расположенные симметрично диагональным членам, рав­ ны между собой:

У1а	__ ^21	1	_ ^1-	’
Еа	Ех		*1
			! 4	II
			II: Ла.	'
			*3

У23	_	^	У16 _	Уб1
Ея	-	Е2 •	^23	Ех *
УВ2
е2 '	_
Р аз		Р аз		(4.37)
(?13		013 *

н а следующем этапе для изучения эффективных постоянных необ­ ходимо определить их зависимости от структуры и физических свойств компонентов на основе двоякопериодических моделей и соотношений, приведенных выше.

В случае чистого продольного сдвига однородного анизотропно­ го тела с плоскостью симметрии хг= сопз1 приращение смещений в смежных ячейках определяется через средние углы сдвига соотноше­ ниями

И» (г + — «1 (г) = <У12 — *У*3> 4 т - + (у12 + <?1э) - у - •

Приравнивая эти приращения для композиционных сред (4.35), для

определения		эффективных постоянных					получаем
	(?1г) “	— ^ 2		^ к'2		Скл^ь)---- 2		й=1
		1 й=1					1
							с	Л/
Су12) соз а +		(у13) 51Па =	е‘аС0+ е~с*С0—					2	(см + Склак) —
					N		1	Л=1
		-	^	2	&	*	+ й .А > .		(4-38)
				1	А = 1
По	этим формулам, полагая			(<т12) =		1,	(а13) = 0,	и наоборот, находит­
ся	явная зависимость приведенных постоянных от								параметров струк­

туры.

Если центры волокон в ячейке размещены в узлах прямоугольной сетки, когда Ь ф 1, а — зх/2, то структура симметрична относитель­ но трех координатных плоскостей хъ х2, х3= сопз1; коэффициенты Сп будут вещественны и р2з= 0, [х32= 0. Такая структура называется

сложной орторомбической, для		которой число существенно	независи­
мых постоянных не изменяется, когда Ь = 1, а Ф п/2 или			а Ф л/3.
При Ь = 1, а	= п/2 приходим к сложной тетрагональной структуре,
приняв 012=	6 13, р2з= 0. Рз2=	0.
Проведенные расчеты показывают [13], что побочные эффекты,
определяемые величинами р2з*		вызваны несимметричным распо­

ложением волокон в ячейке и весьма малы (не более 10 %) для круг­ лых волокон, размещенных более или менее равномерно.

63

Если структура материала близка к гексагональной, то удается получить усеченные формулы для определения явной зависимости модулей сдвига от параметров компонентов материала. Обозначая через Ел относительное объемное содержание волокон к-го сорта в одной ячейке, запишем приближенно

					N
			1+	0/(?ц+ ( 1 - 0 /0 а) 2
					к=1
					N
			1 +	0/0о - ( 1 - 0 / 0 а) 2 ^
Эта формула	при С=	2 ^	полностью		согласуется	с результатами
первого приближения		к = \	полученного		методом	последовательной
		(1.26),
регуляризации	[14].

В практике для создания многофункциональных материалов или улучшения их механических характеристик используют многокомпо­ нентные, или гибридные, композиции, образуемые введением в одну прядь волокон различных сортов либо чередованием слоев, состав­ ленных из различных сортов [11]. Приближенная формула для моду­ лей сдвига гибридного композиционного материала со структурой, близкой к сложной гексагональной, имеет вид

		/У	N
	/;0	1 —		+о /о к
	°12	к=1		(4.39)
	О	N
			1 -	С/С*
		*	1 +	0/0,
		к=1

Подобный результат нетрудно получить методом последовательной регуляризации в первом приближении. Для материалов, армирован­

ных	полыми волокнами, в (4.39) следует заменить Ок на (1 — я1)Ок/
/(1 +	Як) , где <7а= ен/ак — отношение радиуса полости к внешнему

радиусу в &-м волокне.

При однородном продольном растяжении перемещения в попереч­ ной плоскости определяются через средние деформации

«2 + Щ =	(е3).
а также средние углы сдвига
«г + ш3 = х	<7гз>-

Приращения перемещений в смежных ячейках в соответствии с ре­ зультатами (4.19) и (4.31) будут

64

		<0}А0- б	N
	X		; 2	К	-	V) (Д .2 + Аклак)			,
ГСО.		--- Ч1ГЛ / о	\	I	I	1\	Г	N
___ __ /лт _\ ---							Л	с	(V* — V) X
2	(? 2з) —	ча> А ^1}~Т ( * +				1)		— 6 ; 2
		X (Ак,2 +			Д и а;1) .

Полагая / — 1,2, находим поперечные эффекты для структуры с мо­ ноклинной симметрией [11]:

см

V,, = 2 (х + 1) 1ш Д — ^ 2 (V* — V) ( Д , 2 + Д м а») ,

Ъ = V — (и + 1) Ке А — А - V (V,, - V) (Д.2 + Аклак) [, (4.40)

Здесь коэффициент А0 тоже пропорционален разности эффектов Пуассона компонентов. Коэффициент Vб1 характеризует угол сдвига, возникающий в поперечной плоскости при продольном растяжении

армированной среды, или продольное растяжение			материала — при
поперечном сдвиге. Он пропорционален разности			— V, следова­
тельно, при V* = V и любом	размещении волокон		в ячейке этот эф­
фект будет отсутствовать.	к гексагональной, у€1 ~ 0. Запишем уп­
Для структуры, близкой
рощенные формулы для гибридного материала
	Ч Л .	(к+ 1) (V — VЛ>
	2	2 + (яй- 1 ) в ! в к
			(4.41)

к=1 к=1

Если среда армирована полыми волокнами, то приближенные форму­ лы имеют вид

65

Е „(1-<7|)(у - У ( * + П

2 (1 — д\) + (к — I + 2 $ аюк

6=1	.(4.42)
	С* О - Й ) (“ + 1)
- 2 ь + 2 2 ( 1 - ф + ( « - 1 + 2$ е / с к
6^1	6=1

Здесь сохранены все ранее введенные обозначения.

Модуль при поперечном сдвиге волокнистой среды получаем, приравняв приращения смещений при сдвиге соответствующим сред­ ним деформациям, определенным из закона Гука (1.47) при плоской деформации:

1	* + 1	1т Д - +	2 (Ди + Ды«*> .(4.43)
С23	О
		1	6=I

Здесь первое слагаемое характеризует стесненность продольной де­

формации при	поперечном			сдвиге,			второе — податливость				матрицы,
а третье — податливость				с	учетом		армирования.		Другие		постоян­
ные будут [11]
^20	у61?21	,	Х+1		Ке	4	) - - ^ - 2	( ^	+ Аклак)
О»
							соза =		-	+
+	х + 1	Ке					(Аь,2+ Аклак)				(4.44)
Для сред с тремя плоскостями						симметрии		х2, х3= соп$1: следует
*«! = 0, у16 = 0, ^2б =		0,	гб2 = 0,			,Уд6 = 0,		= 0.

Дальнейшие упрощения можно получить для материалов со струк­ турой, близкой к гексагональной; в этом случае для гибридных ком­ позиционных материалов

				V	' ~ с/0*
				+ 2 ^ ^	н + С/О.
	о23 =		о	6=1		(4.45)
					и + в/Ок
Если волокна полые,		то
	, , V ,			1 - ^ - ( 1 - х ^ ) 0 / С ь
„	„	Н	' К (, -« 1 )к + (| +*»4Й0/0*			(4.46)
и23 ~	0 ------- ^		----------------------------------------
	, _	х \	\		+
				‘ (‘ - ^ ) « + ( 1 + « ^ ) 0 /С а

66

Для	двухфазных материалов (Ы = 1) со сплошными волокнами
(<7 =	0) из (4.46) вытекает приближенное соотношение (1.50). Осталь­

ные приведенные упругие постоянные, а также проверка ряда ра­ венств, вытекающих из физической симметрии (4.37), устанавлива­ ются в задаче о поперечном растяжении волокнистой среды. Решение этой задачи проводится аналогично задачам, приведенным выше, поэтому основные результаты запишем без доказательств:

~	р- “Ь	^ + 1 + - * ± ! Ке			Л , -	А _	2	И а.2 +	Лклам)
		80	2о			«1
							А=1
у23 _ ___	у2 1 у 01	|_____	х + 1	1т	А° ~	ш '/апа		2	+ Л*-'а»)
Е г	02я	20’	20

^20	_		1-21Уо1	+	х +	1 1т
Огя			Огз		0
	0		х + 1		х + 1
	Е,	^		Ч--			1т
			80		20
Уза	_	_	^31^1	•+	х +	1	Ре
Огя			Оаз		0

л» - + 2 (л« + л * А ) М 4-47)

N

л ° - ^ ^ 2 < л « + л ^ ) ] .

N	^	^
л» - - | г 2	^	+ л *.>а<‘)1-
1 к=1		]

Таким образом, формулами (4.38), (4.40), (4.42) — (4.44) и (4.47) определяются все 13 упругих постоянных волокнистой среды с мо­ ноклинной структурой общего вида для многокомпонентных (гибрид­ ных) материалов.

Для гексагональной структуры из полученных формул удается вывести приближенные зависимости

	_	<	. к + 1	/ 1	2(3 \
	~		8 0	\ Я
у°з _	^	|	у . х + 1		/ Я — 1
Е°	^	+	20	80	\ Я

Здесь

о _ , _ V I . у

< * + ’>$>.

2^1* -т 2 и 2+ <**-1)вюк ’

Л = 1

А = 1

В случае материалов с полыми волокнами

(4.48)

2<3 г) + ...

- о/оь

+ 0/0.

- I - ~ Л ® . + * +				1 /_!______+	+
4	-	Е°1	80	1 + р /
				1	(4.49)
~~	Е°	+	20 ^	80 ^ I	1+ р )

67

где

N

(*+1)СьП -?*)

2 (1 - ^) + (кь - 1 + 29|) 0/0„ ’

й—1

1 ~ ^ ~ О + У Й <?/<?» ( 1 - $ х + (1 + кл$ 0 /0 л '

Формулы (4.39), (4.41), (4.42), (4.45), (4.46), (4.48) и (4.49) опреде­ ляют полный комплект упругих постоянных многокомпонентных во­ локнистых материалов со сплошными и полыми волокнами различ­ ных диаметров при упаковке, приближающейся к сложной гексаго­ нальной.

Отметим, что приближенные формулы для упругих постоянных согласуются с таковыми, получаемыми с помощью метода последова­ тельной регуляризации в приближении однородного взаимодействия между волокнами.

§ 3. МАТЕРИАЛЫ С ЦЕНТРИРОВАННОЙ ОРТОРОМБИЧЕСКОЙ СТРУКТУРОЙ

Периодические структуры волокнистых сред при простой тетра­ гональной и гексагональной упаковках волокон детально рассмот­ рены для широкого класса заполнителей [11, 13]. Представляет прак­ тический интерес оценить дополнительные эффекты в свойствах мате­ риалов для более общих моделей структур. Если расстояния между центрами волокон не изменяются (1(0x1 = ю2), а угол решетки а про­ изволен, то такая структура носит название центрированной орто­ ромбической (см. рис. 6). Для определенности, не снижая общности, положим я/З ^ а ^ л/2 и проследим на основе составленных в § 2 общих решений за изменением побочных упругих постоянных при эволюции структуры от гексагональной до тетрагональной (рис. 18).

Рис. 19

о

0,2 ф

0,5

С

68

Расчеты проведены применительно к стекло­ пластику с низкомодульными волокнами (стекло) и матрицей с эпоксидно-малеино­ вым компаундом с упругими характеристи­

ками	компонентов:			Еа = 68,7 ГПа;		Е = 3,05
ГПа;	\’а =	0,2; V =		0,382.
Результаты			расчетов		отношения моду­
лей	для	предельных			(гексагональной и
тетрагональной)			структур при			различном

объемном содержании компонентов С пред­ ставлены на рис. 19, где сплошные кри­

вые соответствуют гексагональной, а штриховые — тетрагональ­ ной структурам. Кривая 1 определяет изменение ЕХЮ и не зависит от взаимодействия компонентов; кривые 2 определяют изменение моду­

лей поперечного растяжения Е21С = Е3/0 с ростом	кривые 3 и 4
характеризуют рост поперечного 023/0 и продольных	612/С = 013/0

модулей сдвига. Изменение поперечных эффектов с ростом объемного содержания изотропных волокон Е показано кривыми на рис. 20. Здесь кривые 1 характеризуют изменение у23, а кривая 2 — изменение Л?21= ^31 для тех же упаковок материала. Аномальное поведение ^23 (5) объясняется возникновением продольных растягивающих нап­ ряжений в матрице (при V > V,,), что приводит к росту V2з до значе­ ний, превышающих коэффициент Пуассона матрицы.

Рассмотрим внутреннее поле напряжений в волокне и прилегаю­ щем участке матрицы при поперечном сдвиге <<т23) и поперечном растяжении (о2) линейно-армированного стеклопластика из компо­ нентов, характеристики которых приведены выше.

Будем характеризовать распределение напряжений в структуре через коэффициенты концентрации напряжений, полагая единичными

действующие	внешние осредненные	напряжения.
Изменение	коэффициентов концентрации напряжений для а =
= 0,94, что	соответствует 2 — 0,7	для тетрагональной структуры

и С = 0,8 — для гексагональной, в случае поперечного сдвига (а23) = = 1 представлено на рис. 21. Здесь сплошные кривые характеризуют гексагональную, а штриховые — тетрагональную структуры. Кри­ вые 1У2 определяют коэффициенты концентрации кг и к$ внутренних нормальных напряжений на площадках, расположенных перпенди­ кулярно и параллельно радиусу р от центра волокна, находящегося в начале координат. Кривые 3 отражают изменение вдоль радиуса р коэффициента концентрации касательных напряжений /г^ на указан­ ных площадках; кривые 2 характеризуют изменение коэффициента к$ для матрицы, значения р отложены в безразмерном виде; точка О соответствует центру волокна, значение р = 1 — середине перемыч­ ки между волокнами, граничная точка волокна отмечена тонкой вер­ тикальной линией справа, соответствующей р = 0,94. На главных площадках (рис. 21, я, г) в волокне действуют только касательные напряжения стг$, возрастающие к его контуру. Максимальное значение коэффициента концентрации кгъ— 2. На площадках, наклонных под углом О = л/З (рис. 21, в), наибольшая концентрация нормальных

69

напряжений кг = 2,3 для гексагональной упаковки. Во всех осталь­ ных случаях максимальная концентрация напряжений отмечается в материале с тетрагональной структурой, т. е. менее удачная упаковка не только ограничивает коэффициент наполнения 5, но и вызывает большую напряженность материала заполнителя. Отметим, что в рас­ сматриваемом примере гексагональная структура имеет почти на 15 % более высокое объемное содержание волокон, чем тетрагональная.

Распределение коэффициентов концентрации напряжений вдоль ра­ диуса волокна в случае поперечного растяжения <ог> = 1 показано на рис. 22 (обозначения те же, что на рис. 21). Отметим отсутствие касательных напряжений на главных площадках # = 0 и # = я/2 (рис. 22, а, г). Наибольшая концентрация нормальных напряжений возникает в тетрагональной структуре кг= 2,3 (рис. 22, а) на меж­ фазной границе. В целом материал волокна менее напряжен, чем при поперечном сдвиге.

Эпюра коэффициентов концентрации напряжений на границе волокно — связующее в случае поперечного растяжения и сдвига пред­ ставлена соответственно на рис. 23, а и б (обозначения кривых см. на рис. 21). Абсолютное значение коэффициента концентрации напря­ жений отсчитывается по радиусу от контура волокна до соответствую­ щей кривой (масштаб отсчета см. на графиках). В силу симметрии изображена четвертая часть контура волокна. Максимальное значение коэффициентов концентрации напряжений в обоих случаях примерно одинаковое. Видна высокая концентрация нормальных напряжений для гексагональной структуры при поперечном сдвиге.

70