книги / Моделирование и автоматизация проектирования силовых полупроводниковых приборов
..pdfВ структурах |
с |
__Wn/L^.2,0 |
величина |
{рс/Рты)2< |
||||
< К (V2/2) / (К(У2/2)—£(У 2/2)), и тогда |
предельное |
|
выражение |
|||||
для ршш оказывается совсем простым: |
|
|
|
|||||
|
|
|
- |
|
*0 ^ /2 ) |
|
|
(3.47) |
|
|
|
|
|
(U/„/2L) * |
|
|
|
Подстановка (3.47) в |
(3.42) |
позволяет в пределе больших то |
||||||
ков получить выражение |
|
|
|
|
|
|
||
Г, |
Г, |
I Г, |
|
« |
JL |
(U7„/2Z.)2 |
|
|
U T b - U r L D + |
U r e h - |
^ |
ч Ы Ь + Ъ Р с (7С(|/2/2))2 |
Х |
||||
|
X |
|
М |
Н 1 ) |
£±. |
w n |
|
(3.48> |
|
(>+ |
G |
Рг V |
qGpo |
|
Выражение (3.48) имеет следующие две особенности. Во-пер вых, оба слагаемых в правой части оказываются пропорциональ ными /. Линейная зависимость второго слагаемого определяется видом функции цПр(/?), описывающей рассеяние подвижных носи телей друг на друге. Линейная зависимость первого слагаемого яв ляется характерной особенностью влияния оже-рекомбинации на: ВАХ ПС. Физический смысл этого результата состоит в том, что в рассматриваемом диапазоне плотностей тока концентрация под вижных носителей в центральной части базового слоя насыщается. Области вблизи инжектирующих контактов при х = 0 и x = W n, в которых концентрация подвижных носителей продолжает увели чиваться с ростом тока, довольно узки и вносят -малый вклад в UTh. Поэтому ВАХ базового слоя структуры описывается обыч
ным законом Ома с некоторым эффективным сопротивлением, оп ределяемым -предельным значением концентрации инжектирован ных носителей заряда.
Во-вторых, значение 1!тъ, так же как и 1/тРп, определяемое
(3.36), в рассматриваемом диапазоне токов не зависит от шоклиридовокого времени жизни т. В этом легко убедиться, если обра тить внимание на то, что зависящие от т величины L и рс входят в формулы в виде произведения Lpc, которое от т не зависит. Физи ческая причина отсутствия зависимости ВАХ ПС от т, как упоми налось выше, заключается в том, что в таких структурах реком бинация подвижных носителей заряда обеспечивается оже-реком- бинационными процессами. Если в (3.36) и (3.48) подставить чис ленные значения физических констант, то вид ВАХ ПС таких структур в пределе больших токов приобретет совсем простой вид:
UT = — |
(3-49) |
Ян
где |
[ ( ' + ^ - ) ( l + ^ ) ] ,,2; 'c = < |
j / ^ |
C= |
~ 10' А/см2;
61
А,=0,275 Ом; Л2=1,06-10~2 Ом-см при Г=300 К-
Вструктурах, в которых Wn/L'>{WnlL )Kl>mt всегда pmin<Cpc-
Поэтому для определения предельного значения минимальной ком центрации рт<л можно .использовать выражение (3.45), которое •было получено в предположении рт /«< Р с, совершив в нем пре дельный переход при условии рс/р(0)-»-0 и pc/p(Wn)-+-0 с ростом
плотности тока. В результате предельное значение рты, при кото ром происходит насыщение концентрации подвижных носителей, оказывается равным:
Рты= 4 V%PCе*Р ( - |
■ |
(3.50) |
Подставляя pmin в (3.42), получаем предельное выражение для ВАХ ПС структур, имеющих WnfL > (Wn/L)i^n:
U T = |
U трп~\~ U гб = |
4 |
In — — |
|
|
и |
|
JL ехр © |
|
(3.51) |
|
+ 4^2 |
+ 1)Рс |
|
|
где Ji — то же, что и в |
(3.49). |
|
|
Так же как и в (3.48), (3.49), падение напряжения на базовом |
|||
-слое структуры UTB оказывается |
пропорциональным /. Причина |
линейности UTE по плотности тока J та же — насыщение концен трации носителей в центральной части базы вследствие оже-реком- бинации и влияние эффекта рассеяния подвижных носителей за ряда друг на друге. Однако в отличие от (3.49) ВАХ ПС в рас сматриваемом случае зависит от шокли-ридовского времени жиз ни т. Предельное значение рт1П согласно (3.50) меньше рс, а это •означает, что в базовом слое структуры есть область, в которой до минирует рекомбинация носителей заряда через глубокие уровни,
иэта область не исчезает при возрастании плотности тока. Полученные аналитические формулы (3.39) — (3.51), учитыва
ющие влияние нелинейных эффектов — оже-рекомбинации, ЭДР, снижения коэффициентов инжекции эмиттерных переходов, тем не менее достаточно просты и наглядны. Их недостатком, однако, яв ляется то, что каждая из них справедлива лишь в определенном интервале плотностей тока. В случае, когда необходим численный расчет ВАХ ПС в широком диапазоне плотностей тока, для вычис ления падения напряжения на базовом слое удобно пользоваться формулами (3.38). Значение рт ,-„, входящее в эти формулы, может быть легко определено в результате численного решения первого из уравнений (3.25). Вместе с формулами (3.35), (3.28), (3.30),
«2
определяющими UTpn, р(0) и p(W„) во всем интересующем нас диапазоне плотностей тока, А/см2, 1 < /< 5 -1 0 3, это позволяет разработать простую и надежную программу численного расчета ВАХ ПС структур с резкими р-п переходами. Алгоритм такой про граммы содержит численное решение алгебраического уравнения и последующие вычисления по алгебраическим формулам. Со ставление программы не представляет труда и может быть про делано читателем самостоятельно. Поэтому не будем останавли ваться на этом вопросе более подробно.
ВОЛЫ-АМПЕРНАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА СТРУКТУР ПРИ |
W J L < I |
|
|
||
Использованный в предыдущем параграфе метод упрощения решения (3.23) |
|||||
уравнения |
непрерывности |
(3.20) с помощью |
разложения по |
малым |
параметрам |
P m in / p (0 ), |
p ,n in / p (\V n ) < 1 |
применим далеко |
не всегда. Он |
правилен |
в структу |
рах с \VnfL^s.2 во всем интересующем нас диапазоне плотностей тока. В струк турах с W„/L<1, параметры рты/р(0) и ртш/р{Щп) малы лишь в области достаточно больших плотностей тока, когда процессы оже-рекомбинации, огра ничивая время жизни носителей заряда, делают распределение их по толщине п-базы существенно неоднородным, как это показано на рис. 3.6 с помощью-
кривой 3. |
В области сравнительно малых плотностей тока, точный критерий |
мы укажем |
после, соотношение между величинами р(0), p(W n) н рт,„ может |
быть совершенно иным. Начнем рассмотрение со сравнительно малых плотностей тока, когда точка xmin оказывается внутри базового п слоя [3.32]. В этом слу чае можно воспользоваться решением уравнения непрерывности в виде (3.23). Однако теперь вследствие малости отношения Wn/L<l значения концентраций р(0), p(W n) н р,ши оказываются близкими по величине. Поэтому в качестве малого параметра следует рассматривать теперь само отношение Wn/L. Из общего решения (3.23) тогда можно получить соотношения
|
Pm in __ |
. _ |
/ |
х 'п in \ 2 |
Pmjn __ . ___1_ |
/ W tl — Xmjn \ 2 |
|||
|
р (0 )~ |
|
2 \ L J ' |
p{\Vn) ~ |
2 |
\ |
L |
(3-52) |
|
|
|
I ' |
|||||||
Из |
(3.52) следует, |
что |
различия |
между р(0), |
p(W n) |
и рт1п возникают во- |
|||
втором |
порядке по |
малым |
параметрам Хт ы/L и |
( Wn~ x min)/L. Поэтому, огра |
ничиваясь в дальнейших вычислениях членами первого порядка по этим малым параметрам, можно считать p(0)= p {W n)==pmin. Раскладывая с указанной точ-
Рис. 3.6. Распределение носителей заряда в базовой области р+-п-п+ структуры с малым отношением
63=
ностью эллиптические интервалы в (3.23) и используя граничные условия (3.22), легко получить после простых вычислений для p {0 )= p {W n)=pm tn=p и x min
= Ч ^ ('Ч |
1+/-,+4(ж)2— + |
j |
|||
Г |
|||||
* m ln _ W a \ |
Jsn L |
1 |
(bJsp- J sn) |
(3.53) |
|
L L jJsn + Jsp^ |
2 |
(bb+ 1) |
Jsp) |
|
|
|
|
\a J(Jsn~\~Jsp) |
)!■ |
|
|
* ( 1+ ] / 1+ 4(ж ) |
|
|
где Jis=qDriio/L.
Найденные выражения позволяют вычислить коэффициенты и ВАХ ПС
структуры. Подставляя (3.53) |
в выражения |
для |
плотности |
дырочного |
тока |
||||||
в точке .v=0, получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ „ = — |
JsnT^sp |
2 Г 1 + |
1 / 1 |
+ |
4 |
( J |
L ) 2 |
/ </ “ |
+ |
Z2L) | ‘ (3.64) |
|
Jsn + Jsp |
[ |
V |
|
' |
|
J |
J~lS |
J |
|
||
и аналогично для n-n+ перехода |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Jsn + Jsc |
Jsn~b JSI |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Полученные формулы имеют следующие |
две |
особенности. Во-первых, |
более |
■быстрое, чем по (3.32), уменьшение коэффициентов инжекции с ростом плотно сти тока, что определяется появлением малого отношения (W n/L)2 в знаменате
ле второго слагаемого подкоренного выражения. Во-вторых, вместо привычного
значения |
Ь=р„/цр в (3.54), (3.55) входит значение |= J sn/JsP. В |
связи |
с |
этим |
|
большой |
интерес представляет поведение коэффициентов у + |
и у |
+ |
в |
обла- |
|
р |
п |
пп |
|
|
сти больших плотностей тока. К сожалению, для исследования этого вопроса формулы (3.54), (3.55) оказываются пригодными не при всех значениях электро
физических параметров структуры. Дело в том, что эти формулы были получе
ны с помощью решения уравнения непрерывности, записанного в виде (3.23), использование которого правомерно лишь в случае, когда точка х „»„, в которой концентрация носителей заряда минимальна, находится внутри базового слоя. В структурах с толстыми базовыми слоями это условие оказывается справедли
вым |
при |
любой |
плотности тока. |
В |
структурах |
с |
тонкими базовыми слоями |
|||||
в |
общем |
случае |
это |
оказывается |
не |
так. Из |
(3.53) |
следует, что если Jsn¥*bJSp, |
||||
т о |
с ростом плотности тока точка |
хты сдвигается |
в сторону перехода, обладаю |
|||||||||
щего |
большим током |
насыщения. При / = 7 Ь где |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
~ |
J2isJsnb(b-{-\) |
/ |
у |
|
ча |
||
|
|
|
|
|
/ l _ |
V sn -b J s;)* |
{ |
L |
(3.56*) |
|||
|
|
|
|
|
j |
|||||||
в |
случае Jsn>bJSp, либо при 7 = 7 2, где |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
j |
J2isJsp(b+\) |
/ Wn у |
|||||
|
|
|
|
|
2 _ |
(bJsp-Jsn)2 |
|
I |
I |
(3. 56" ) |
||
|
|
|
|
|
|
) |
64
в случае Jsp<bJspt точка <xmi„ |
достигает |
соответственно |
точки л-=0 либо точки |
|||
x = W n. Поэтому |
приведенные |
значения |
7 определяют |
границу применимости |
||
(3.53) |
— (3.55). |
И только в исключительном случае, |
когда |
7sn=67*p, формулы |
||
(3.53) |
— (3.55) |
остаются справедливыми вплоть до |
столь |
высоких плотностей, |
когда существенным становится вклад оже-рекомбинации. В этом случае с рос том плотности тока ур+ „ и у пп+ снижаются до значений, совпадающих с извест ным «теоретическим» пределом, определяемым отношением подвижностей носи телей заряда:
Jsp |
1 |
Jstl |
_ |
^ |
р П Jsn+ 7sp |
6 + 1 |
ПП 7sn + JSP |
6 + |
1 |
поскольку в этом случае Jsp=bJsp.
В области справедливости выражений (3.53) выражение для ВАХ записы-
вается просто: |
|
|
|
|
|
UTli |
]\Уп _ |
JWn |
1 |
w n ' |
(3.57) |
|
|||||
W y( 6+ l)/> |
qGP2 |
1 + P/Pi |
ФРо |
|
|
|
|
Граничное значение плотности тока, начиная с которого вклад оже-реком- бннации становится существенным, в рассматриваемом случае может быть вы числено по формуле
: (hii +
Простые оценки показывают, что при 7~/rpi рекомбинационный ток в л-базе мал по сравнению с полным током, текущим через структуру. Однако важно то, что при Jsn = bJsp с ростом плотности тока основным фактором, определяющим вид распределения носителей заряда, является оже-рекомбинация. От распреде ления, показанного на рис. 3.6 кривой 1, с увеличением плотности тока происхо дит переход к распределению вида 3 на этом же рисунке. Вклад оже-рекомби
нации |
при / > 7 rpi |
растет довольно быстро, при этом сильно увеличиваются ве |
|
личины |
р(0) |
и |
p(W n), а рост величины рты замедляется. В результате |
оказывается, |
что |
отношения ртш/р(0), pmin/p(Wn) < 1, и мы переходим к слу |
чаю, уже проанализированному в предыдущем разделе. ВАХ ПС приобретает вид, выраженный формулами (3.48), (8.49), а коэффициенты инжекции эмиттерных переходов насыщаются при значениях (3.33). Простые оценки показывают,
что при типичных значениях |
1 (Н 3 |
А /см 2 вторые |
слагаемые |
в (3.54), |
|
(3.55) успевают стать малыми по |
сравнению |
с первыми |
слагаемыми |
до того, |
|
как станет существенной |
оже-рекомбинация, т. е. при 7 < 7 rpi. Этому в значитель |
||||
ной степени способствует |
появление малого отношения (№ „/1 )2< 1 в |
знамена |
теле второго слагаемого подкоренного выражения. Вместе с тем величина 7с,
входящая в |
(3.33), в кремнии равна 7с— 10-13 А /см 2, что |
при |
типичных значе |
ниях токов |
насыщения Jsn^Jsp^ 10—13 А /см 2 приводит к |
тому, |
что предельные |
значения коэффициентов инжекции эмиттеров оказываются заметно большими, чем «теоретический» предел, определяемый отношением подвижностей. В резуль-
тате токовая зависимость |
и Ynn+ , изображенная |
на рис. 3.7 кривыми 1 |
и 2 соответственно, оказывается немонотонной. |
|
|
5— 6393 |
|
65 |
Рис. 3.7. Зависимость коэффи циентов инжекции у рч-n и -у„я+
от |
плотности тока |
в структу |
||
рах |
с |
малым |
|
отношением |
W J K l |
|
|
|
|
V » ,T = » T i ! (V « ,H = |
||||
= _ ! _ |
. _ А _ ___ !____ |
|||
|
4 + |
l T i + |
l |
1 + Jsn/Jc |
|
|
= — |
7 ; |
(Y„„+)H = |
=6+1^"ь + 1 1 + W
В общем случае, когда Jsn^bJsp в области плотностей тока /> 7 , решению уравнения непрерывности следует придать иной вид. Ограничиваясь, как и раньше, членами первого порядка малости по параметру ( Wn/L), решение удобно записать в виде
|
|
р(х) = |
р (0) + |
(p(Wn) - |
р (0 )) |
|
|
(3.58) |
|
Для |
определенности будем |
рассматривать |
случай |
Jsn<bJSP. В |
этом |
случае |
|||
р (0 )> р (№ п) |
(см. кривую 2 |
на |
рис. 3.6). Подстановка решения |
(3.58) |
в гра |
||||
ничные |
условия (3.22) приводит к системе квадратных |
уравнений |
|
|
|||||
|
|
( № |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\Л/о |
|
|
|
|
|
(3 .5 |
|
|
, |
/ р т у |
/ |
L |
\ (p (W n) |
р (0)\ |
6 |
|
|
|
|
|
В области больших плотностей тока / » 7 2, а именно такие плотности тока интересуют нас сейчас, решение системы (3.59) упрощается, поскольку линей ный по концентрации носителей заряда член в левой части второго уравнения оказывается малым и им можно пренебречь. В результате из (3.59) легко полу чить выражения для р(0) и p(W n), а с их помощью вычислить коэффициенты инжекции Y *-я и Y + :
Р(° ) = ^ о 1V t h t ’**>-*•/гртб
(3.60)
V » = г + 1 + ( б + т ) 1,!!
ь |
( ь \1/2Л |
л |
Its ( 1 \ |
Т , и + ” б + 1 |
\Ь + 1) |
у |
b J s J y j J s n K W n ) ' |
Полученные формулы обладают следующей интересной особенностью. Зна чение у + оказывается меньшим, чем «теоретический» предел Ь/[Ь-\-1), опре
деляемый отношением подвижностей носителей заряда. Физическая причина уменьшения Y,w + заключается в том, что при /> 7 2 и JSn<bJsp распределение
носителей заряда в базовом слое структуры приобретает вид, обозначенный циф
рой 2 на рис. 3.6. При этом производная |
в точке x = W n меняет знак и стано |
|||
вится |
отрицательной |
(dp/dx)x=.^ < 0 . |
Это определяет знак второго слагае |
|
мого |
в правой части |
выражения для Чппл |
из (3.60). Фактически вторые сла |
|
гаемые в полученных |
выражениях для |
Чр+п и Ynn+ описывают вклад диффу |
зионных составляющих дырочного и электронного токов соответственно. Посколь
ку |
при |
большой |
плотности тока ( / > 72) |
вклад диффузионных |
составляющих |
||||||
тока в общий |
ток |
невелик, значение |
уяя + |
не сильно отличается от «теорети |
|||||||
ческого» |
предела |
6 /(6 -f-1) и с |
ростом |
тока приближается к нему снизу. |
|||||||
вид |
ВАХ ПС структуры в рассматриваемом случае вычисляется легко и имеет |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1ц ( |
Р ( 0) \ |
|
|
|
|
= |
|
|
( J - ) + - J Z E________ U |
r o L |
|
|
|||
|
|
г |
Я |
|
\ Js 1 ^ |
Я М Ь+ 1 ) |
(/»(0) ~ P ( W „ ) ) ^ |
qGp0 ^ |
|||
|
|
|
|
1 |
Ш п |
|
Pl In ( |
+ |
\ |
n f i n |
|
|
|
|
|
^ |
q G (p {0 )-p (W n)) |
p3 |
" l Pi + P(Wn) |
) ' |
|
||
где |
Js = |
b-\- 1 |
_______ |
|
определены в |
(3 .60). |
|
|
|||
|
у |
JsnJsp] p [0) и p(Wn) |
|
|
Отметим, что при выводе (3.61), как и раньше, пренебрегалосьдемберовской. составляющей электрического поля в базовом слое по сравнению с омической составляющей. В структурах с толстыми базовыми слоями такое пренебреже ние вполне оправдано, поскольку вносимая им погрешность не превышает 1 %. В структурах с тонкими базовыми слоями напряжение, падающее на базовом слое, не столь велико. Поэтому в случае, когда токи насыщения эмиттеров отли чаются сильно, например на несколько порядков, вклад демберовского поля мо жет оказаться существенным и формулу (3.61) следует дополнить слагаемым
КГ Ь— 1 |
PWn) |
(3.62) |
|||
Я |
6 |
+ 1 |
Р(0) |
||
|
|||||
Следует однако иметь в виду, |
что |
при выводе выражений (3.60)— (3.62) не |
учитывалось влияние оже-рекомбинации. Такое пренебрежение вкладом ожепроцессов правомерно лишь до плотностей тока
/Рс y t + |
l r |
*• |
|
" “ U r i |
» |
|
|
где 75= m a x {/sn, bJsp). |
|
|
|
При / ^ / rp2 концентрация носителей |
заряда |
в граничных точках достигает |
характерного значения рс, при котором вклад оже-процессов сравнивается с ре комбинацией через глубокие уровни. Дальнейшее увеличение плотности тока приведет к резко неоднородному распределению носителей заряда по толщине базового слоя, как показано на рис. 3.6 с помощью кривой 3. Это связано с тем,
что |
оже-процессы начинают резко ограничивать проникновение инжектирован- |
5* |
67 |
ных носителей заряда от границ к центру базового слоя. В результате градиент концентрации носителей вблизи инжектирующих контактов растет по абсолют
ной величине с ростом тока, причем (dp/dx)*=0< 0 , a |
{d.p[dx)x_ w^ Q . |
||
За счет этого вклад диффузионных составляющих в коэффициенты инжек |
|||
ции растет, а с учетом |
знака производных в граничных точках |
это приводит |
|
х росту коэффициентов |
Y +я и Чпп+ . Аналитическое |
описание в |
этом случае |
становится возможным лишь при столь больших плотностях тока, когда в задаче
появятся |
малые параметры |
Pmin |
Pmin |
. , |
rr |
/? (0 ) ^ р (Wй) ^ |
‘ |
Наличие таких параметров |
|||
позволяет |
использовать для |
описания |
Y р ->п и Ynn+ результаты предыдущего |
раздела. В частности, отсюда следует, что рост коэффициентов инжекции при дальнейшем увеличении плотности тока сменится насыщением при предельных значениях (3.33) (см. кривые 3 и 4 на рис. 3.7):
( V » )4>“ |
= |
6 + l + 4+T |
i + 'W 'c ; |
|
<?„„+>"[*»= |
^ 7 + Г и |
i + v |
/ c - |
|
В рассмотренном выше |
случае считалось, |
что |
bISp>Jsn> и это привело |
к уменьшению Ynn+ ниже теоретического предела, определяемого отношением под
вижностей 6 / ( 6 + 1 ) , |
но Y +п оставалось выше значения |
1 / ( 6 + |
1). Легко |
по |
|||
казать, что в |
случае |
/ я » > 6 /5р Ynn+ > 6 /( 6 |
+ 1), но |
теперь Y + ft< l / ( 6 + |
l) в |
||
области токов |
I < 7 ^ . |
|
|
|
|
|
|
Таким образом, |
основной особенностью |
структур |
с |
Wn/L< 1 |
является |
не |
монотонное изменение коэффициентов инжекции эмиттерных переходов с ростом
тока. Быстрое их |
уменьшение при переходе к высокому уровню |
инжекции |
при |
||
7 < 7 объясняется |
малыми |
градиентами |
распределения носителей |
заряда в базо |
|
вом слое, вследствие чего |
дрейфовые |
компоненты оказываются |
основными |
как |
в электронной, так и в дырочной составляющих полного тока. Включение ожепроцессов в области больших плотностей тока при 7 > 7 rPi либо при />/грг
в зависимости от соотношения параметров структуры приводит к увеличению
1р+п и Ynn + . При определенном соотношении параметров структуры возможно уменьшение Чр+п либо Ynn+ ниже теоретического предела.
О ПРЕДЕЛЕ ПРИМЕНИМОСТИ ДИФФУЗИОННОГО ПРИБЛИЖЕНИЯ В ТЕОРИИ ВАХ СПП
Все результаты, описанные в предыдущих разделах, были получены в рамкак диффузионного приближения. Хотя это приближение наиболее часто используется при описании характеристик мощных СПП, оно не является един ственно возможным при решении уравнения непрерывности. П оэтому, естествен но, возникает вопрос о пределе применимости диффузионного приближения. Исследование этого вопроса позволит определить область применимости всех приведенных выше формул, описывающих ВАХ ПС СПП [3.23].
Начнем рассмотрение с простейшего случая, в котором не учитываются не линейные эффекты, и, получив ответ, проследим, к каким изменениям в нем приведет последовательный учет ЭД Р, оже-рекомбинации и т'. д. Выражения
(3.15) для потоков носителей заряда в случае, когда не учитываются нелинейные эффекты, приобретают вид
^р= ЧРЬЕ-Р°р— ;
(3.63)
г |
дпцпЕ + |
гч |
dn |
. |
Jn = |
qDn |
|
Подставив эти выражения в фундаментальную систему уравнений прибора, сложим уравнение, определяющее дивергенцию электронного тока, с умноженным на Ь уравнением, определяющим дивергенцию дырочного тока. В результате оче видных преобразований, использующих уравнение Пуассона, получим для одно мерной структуры при высоком уровне инжекции носителей заряда [3.1]
!rfo d |
I |
dE \ |
d |
d f |
dp \ |
<7 |
Н |
л г ) |
|
(,l"E,+21 7 |
I T ) " < " + <364> |
где R=p/T.
Для слагаемых в левой части (3.64) приняты названия [3.1] диэлектриче ского, полупроводникового и диффузионного соответственно. В монокристаллах кремния, используемых для изготовления СПП, диэлектрический член обычно
существенно меньше полупроводникового. |
В |
этом |
легко |
убедиться, сравнив |
|||
и Nd, входящие в эти члены. |
|
|
|
|
|
|
|
dE |
ДЕ |
|
|
|
|
|
|
Оценивая производную |
|
|
|
|
|
|
|
г д е А Е = Е max— Em m , п о л у ч а е м , |
ч т о |
|
|
|
|
||
10е в |
- 1 |
-см - |
1 |
- ^ |
- < |
Ю 110 |
см - *, |
так как при типичных толщинах без |
Ц7па ;1 0 -2 см |
напряженность стационарного |
поля в базовом слое мощной структуры не превышает 103 В/см. Полученная
численная оценка оказывается |
существенно меньшей, чем значение Nd, которое |
в современных структурах не |
менее 101Э см-9. Таким образом, поставленная за |
дача сводится к определению вклада полупроводникового и диффузионного членов в зависимости от соотношения параметров структуры и плотности теку щего через нее тока. Простейший способ решения, которым мы и воспользуем ся, заключается в следующем.
Рассмотрим структуру с такой плотностью текущего через нее тока, что в центральной части базовой л-области, где концентрация носителей заряда минимальна, дрейфовый член превалирует над диффузионным. Тогда, использо вав то обстоятельство, что в этой области базового слоя
qNd |
dE __ |
р |
|
2kT |
dx |
1Я |
‘ |
где L — амбиполярная диффузионная длина, и |
учтя в выражении для поля |
(3.21) только омическое слагаемое, поскольку демберовское слагаемое мало по сравнению с ним при больших плотностях тока, легко вычислить производную
dpldx, а затем и вторую производную, т. е. d?pldx2:
d*P |
_ |
3 |
/ /п \а |
Р6 |
|
|
|
dx* |
|
4 |
W |
) Nd4 * |
’ |
|
|
гд е/п г 4 » М ™ . |
|
|
|
|
|
|
|
Подставив это выражение в неравенство |
dE |
kT d%p |
легко привести |
||||
— > 2 —— |
|||||||
его к виду |
|
|
|
|
|
|
|
/ > |
JT |
- / n |
|
|
|
|
|
Из этого неравенства следует, что граница области самосогласоваиности |
|||||||
дрейфового приближения определяется условием |
|
|
|
||||
|
|
|
|
Pntin |
\2 |
|
(3.65) |
|
|
|
|
~Щ~) ’ |
|
||
|
|
|
|
|
|
||
Рассмотрим теперь ту же |
структуру в |
области |
плотностей |
тока, таких, что |
во всей л-базе диффузионное слагаемое превышает дрейфовое. Использовав то, что в этом случае
& р _ |
Р |
|
|
dxa |
L? |
’ |
|
d p |
= |
, |
|f р г — P “m in |
легко вычислить первую производную |
± |
---------£ ---------- » а с ее помощью и |
|
дрейфовое слагаемое |
|
|
|
" ч ^ г 4_г и г Н т ) — т*— •
Теперь условие малости дрейфового слагаемого по сравнению с диффузион ным может быть записано в виде
7 |
1 |
, |
(P/ W |
(3 .66) |
J < |
2 |
п |
|
|
|
|
|||
|
|
| |
/ * - W |
|
Из (3.66) следует, что |
при |
|
|
|
|
|
зК з |
г ( Pmin \а |
(3 .67) |
|
|
|
n llv r J |
|
|
|
|
|
диффузионное приближение будет самосогласованным во всей л-базе, поскольку правая часть (3.66) минимальна при р2=Зр2тш/2.
Из сравнения (3.65) и (3.67) следует, что области самосогласоваиности диф фузионного и дрейфового приближений частично перекрываются. Причина этого заключается в том, что вблизи границ областей самосогласоваиности, определяе мых условиями (3.65) и (3.67), отброшенные члены хотя и меньше оставленных
70